证明f(x)=√x在[0,+∞]上一致连续.
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应该讨论该函数在[0,1]和[1,无穷]在[0,1],在零点和1点的极限存在,所以一直连续.（充要条件）在[1,无穷]上有,|√x1-√x2|
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则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1,x2满足|x1-x2|<δ就有|f(x1)-f(x2)|<ε因此f(x)=√x在[0，+∞]上
提问的时候在书本找到了一个解答，书本说要分别讨论[0,2]和[1,+∞]一致连续，这是为什么啊？
|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1,x2满足|x1-x2|<δ就有|f(x1)-f(x2)|<ε因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续
扫描下载二维码证明一致连续性
证明一致连续性
如何利用：
引理1：设(X,dX),(Y,dY)为度量空间，f:X→Y在X上连续,如果X是紧的,那么f(X)={y∈Y|ョx∈X,使得y=f(x)}也是紧集
引理2：如果S是度量空间(X,d)的紧集，那么对每个ε&0,都存在S中有限多个点x1,x2,……,xm,使S&#8834;∪B(ε),k=1,2,……,m
来证明命题如下：
设(X,dX),(Y,dY)为度量空间,f:X→Y在X上连续,且X是紧的，那么f在X上一致连续
记：B(x;ε)为开球。
任意ε&0,任意x∈X,存在δ(x)&0,
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相关问答：证明：当x＞0，有不等式arctanx+＞．
大爱研子6ei
证明：，x＞0则2-1x2＝-1x2(1+x2)＜0∴f（x）在x＞0时单调递减∴，x＞0即：当x＞0，有不等式＞．
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利用函数单调性证明不等式，先由题目的不等式假设一个函数，并给出区间，然后求导，根据导数的符号来判断单调性，就能证明不等式了．
本题考点：
利用单调性证明函数不等式．
考点点评：
本题考查函数单调性质的应用．对于求函数的单调性，一般不用定义式来求，而采用函数的一阶导函数．这里还需要用到的是广义单调性证明不等式
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