【图文】第11讲 外点惩罚函数法_百度文库
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第11讲 外点惩罚函数法
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你可能喜欢（一） 实验目的
熟练掌握外点法、内点法原理并可以在matlab熟练运行。
（二） 问题描述
目标函数：z=minx1+x2
Cx21+x2≥0
外点法： 对于混合约束问题 min f(x)
s.t. si x ≥0,i=1:m
hj x =0,i=1:n
可以转化为：
min F(x,σ)=f(x)+ σ([max{0,? s
21 x }]2+ max 0,? s2 x
+ max 0,? sm x
h1 x +h2 x 2+?+hn x 2) = f(x)+ σ( mi=1[max{0,? sm x }]2+ nj=1h2j
其中，P(x)=
mi=1 max 0,? sm x
2+ nj=1h2j
F(x,σ)：增广目标函数
P(x)：惩罚函数 ，σ：罚因子
外部惩罚函数法迭代步骤：
给定初始点x0，初始惩罚因子σ1，放大系数c&1，ε&0置k:=1 Step1：以xk?1为初始点求解min F（x,σk）得极小点xk
Step2：若σkP xk &ε,stop
Step3：σk+1=cσk，置k?k+1转step1
注意外点法在选取初始点时要选取在可行域外的点。
在本问题中x0 =[-1;-1],c=10，ε=0.01，σ1=1
内点法：这种解法只能用于不等式
对于约束问题 min f(x)
s.t. si x ≥0,i=1:m
可以转化为：
min F(x,σ)=f(x)+μ（1
sm x ） …
其中μ为一个小正数
内部惩罚函数法迭代步骤：
已知f(x), si x ,取β x =s11 x +s12 x +?+s1m x
给定初始点x0，初始惩罚因子μ1，放大系数1&c&0，ε&0置k:=1 Step1：以xk?1为初始点求解min F（x,μk）得极小点xk
Step2：若μkP xk &ε,stop
Step3：μk=cμk，置k?k+1转step1
在本问题中x0 =[0.03;0.03],c=0.2，ε=0.001，μ1=0.1
注意内点法在选取初始点时要选取在可行域内的点。
其中以???????为初始点求解min F（x,????）得极小点????的求解过程我们利用最速下降法得到
（四）程序代码及运行结果：
（1）外点法源程序代码：
function f=again(x,c,e)
syms x1 x2 t
y1=-x1^2+x2;
y1=-subs(y1,{x1,x2},x);
y2=-subs(y2,{x1,x2},x) ;
P=(max(0,double(y1)))^2+(max(0,double(y2)))^2;
double(y1)&0&&double(y2)&0
y11=-x1^2+x2;
if double(y1)&=0&&double(y2)&0
if double(y2)&=0&&double(y1)&0
y11=-x1^2+x2;
FF=f+a*(y11^2+y22^2)
a1=diff(FF,x1);
b1=diff(FF,x2);
a1=subs(a1,{x1,x2},x);
b1=subs(b1,{x1,x2},x);
g=[a1;b1];
while P*a&e
while double(sqrt(a1^2+b1^2))&0.5
FF=subs(FF,{x1,x2},x);
f1=diff(FF);
f1=solve(f1);
ti=double(f1);
x=subs(x,t,ti(1,1));
FF=f+a*(y11^2+y22^2);
a11=diff(FF,x1);
b11=diff(FF,x2);
a11=subs(a11,{x1,x2},x);
b11=subs(b11,{x1,x2},x);
g11=[a11;b11];
y1=-x1^2+x2;
y1=-subs(y1,{x1,x2},x);
y2=-subs(y2,{x1,x2},x) ;
P=(max(0,double(y1)))^2+(max(0,double(y2)))^2;
double(y1)&0&&double(y2)&0
y11=-x1^2+x2;
if double(y1)&=0&&double(y2)&0
if double(y2)&=0&&double(y1)&0
y11=-x1^2+x2;
FF=f+a*(y11^2+y22^2)
a1=diff(FF,x1);
b1=diff(FF,x2);
a1=subs(a1,{x1,x2},x);
b1=subs(b1,{x1,x2},x);
g=[a1;b1];
（2）在matlab对话框中输入again([-1;-1],10,0.01)， 外点法得到结果为 ：
1.0e-003 *
其中a为惩罚因子。
（3）内点法源程序代码：
function f=neidian(x,c,e)
syms x1 x2 t
y1=-x1^2+x2;
FF=f+a*((1/(y1))+(1/(y2)) ) ;
a1=diff(FF,x1);
b1=diff(FF,x2);
a1=subs(a1,{x1,x2},x);
b1=subs(b1,{x1,x2},x);
g=[a1;b1];
y1=subs(y1,{x1,x2},x);
y2=subs(y2,{x1,x2},x) ;
P=1/double((y1))+1/double((y2));
while P*a&e
while double(sqrt(a1^2+b1^2))&0.5２００８年９月；第２４卷第３期陕西理工学院学报（自然科学版）Ｊｏ；一种基于非均匀惩罚因子的；序列无约束最优化外点新算法；郭三刚，曹吉利，张琳；（陕西理工学院数学系，陕西汉中７２３００１）；［摘要】增广拉格朗日乘子方法（Ａｕｇｍｅｎｔｅｄ；ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐ；点法，内点法适用于仅有不等式约束的情形，其主要思；罚；匀惩罚的自适应更新
２００８年９月
第２４卷第３期陕西理工学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）ｓｅｐｔ．２００８Ｖ０１．２４Ｎｏ．３［文章编号］１６７３－２９４４（２００８）０３―００４９―０６
一种基于非均匀惩罚因子的
序列无约束最优化外点新算法
郭三刚，曹吉利，张琳
（陕西理工学院数学系，陕西汉中７２３００１）
［摘要】增广拉格朗日乘子方法（Ａｕｇｍｅｎｔｅｄ
ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒＬａｇｒａｎｇｅｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｍｅｔｈｏｄ）是拉格朗日乘子方法（Ｌａｇｒａｎｇｅｍｅｔｈｏｄ）的推广，它是一种序列无约束的最小化技术，包括内点法扣外
点法，内点法适用于仅有不等式约束的情形，其主要思想是对违背可行性的约束给予一个惩
罚。传统的做法是：对所有约束以相同的罚因子，自适应调整Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子。提出了一种非均
匀惩罚的自适应更新罚因子的方法，即根据近似解对约束违反的严重程度施行不同惩罚的新
方法。算例表明，本方法是有效的。
［关键词］序列无约束最小化技术（ＳＵＭＴ）；
［中图分类号］０２２４增广拉格朗日乘子函数；罚因子［文献标识码】Ａ
众所周知，增广拉格朗日乘子方法ｕｏ是拉格朗日乘子方法的推广，它是一种序列无约束的最小化技术睥．３１（ＳｅｑｕｅｎｆｉＭ的约束给予一个惩罚，在迭代计算中自适应地调整罚因子或蛔ｇｅ乘子，使得我们可以通过求解一ＵｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ｉ．ｅ．，ＳＵＭＴ）。其主要思想是对违背可行性系列最小化问题来逼近原问题的最优解（这些点都在可行域的外部，所以这种方法也叫做外点法）。但是它有一个明显的缺点：对于违背可行性程度不同的约束，施加了相同的惩罚，即相同的罚因子【ｌ－５】，这样有时会减缓收敛的速度；有些文献（如［６］）中尽管介绍了对于不同的约束给予不同惩罚的思想，但是没有给出一种一般化的更新罚因子的方法，而且实际计算时采用的还是对所有的约束施加相同的惩罚的方法。本文基于对于违背可行性程度不同的约束，施加不同的惩罚的思想，证明了算法的收敛性，给出了更新罚因子向量的一般方法．这种更新罚因子向量的方法也可以推广到相应的简单罚函数外点方法和阻挡罚函数内点方法中。算例表明，这个方法的计算速度比传统的更新罚因子的计算速度要快。１算法的提出和算法的收敛性
首先，讨论只有等式约束的情形，所给方法很容易推广到包含不等式约束的情形。要讨论的问题是
，蠹轳工），Ｄ＝…ｈｉ（ｚ）＝ｏ，ｉ＝１，…，ｍ，工∈刖，
其中Ｘ是有界闭集。引入增广的拉格朗日乘子函数
靠ｍ（１?１）
Ｌ（ｘ，Ａ，Ｍ，只（工））＝以ｚ）＋Ａ’＾（ｚ）＋彬足（工）＝八ｘ）＋∑Ａｉｈ‘（ｚ）＋∑ＭＩＲ‘（工），
（１．２）
这里，Ａ是乘子向量，ｈ（ｘ）是约束函数向量，Ｍ是罚因子向量，Ｒ（ｘ）是罚函数向量，并且
Ａ＝（Ａｌ９…，Ａ。）Ｔ，ｈ（ｘ）＝（ｈ１（善），…，＾。（工））７，
收稿日期：２００８－０３一１１
基金项目：陕西省教育厅自然科学研究计划项目（０７ＪＫ２０４），陕西理工学院博士科研启动基金资助项目（ＳＬＧＱＤ０６２６）。作者简介：郭三刚（１９６６一），男，陕西省高陵县人，陕西理工学院副教授，博士，主要研究方向为系统优化与调度，数据挖掘等。（Ｉ．３）
陕西理工学院学报（自然科学版）第２４卷
Ｍ＝（Ｍｌ，…，帆）Ｔ，Ｒ（ｘ）＝（Ｒｌ（ｘ），…，Ｒ。（工））’，（１．４）
Ｒ；（工）选择如下
Ｒ‘（工）＝ＩＲ（工）：掣，ｆ：１，２，…，ｍ，ｈ‘（ｊ）Ｉ，ｉ＝１，２，…，ｍ，（１．５）
或者（１．６）称Ｌ（ｘ，Ａ，Ｍ，Ｒ（ｘ））为增广拉格朗日函数。不妨就选取（１．６）的罚函数。
下面，给出序列无约束最小化（ＳｅｑｕｅｎｔｉａｌＵｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄＭｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｉｑｕｅ，简称ＳＵＭＴ）方法的收敛性定理。
定理１设函数以工），ｈｉ（善），ｉ＝ｌ，…，ｍ，是连续的函数，工’是原问题的全局最优解，０＜Ｍｉ（‘’≤
ｍ―ｉｎＬ（ｘ，Ａ仕’，膨¨，Ｒ（ｘ））＝厂（ｘ）＋∑Ａｉ（ｋ）ｈ‘（ｘ）＋∑尬‘”尺ｉ（ｘ）＃Ｅ＾ｆｌ５（１．７）
．１ｉｍＬ（ｘ，Ａ㈣，Ｍ‘¨，Ｒ（ｘ））＝ｆ（ｘ’）．（１．８）
证明：设Ｘ“是｛Ｘ‘‘’｝的一个聚点，则｛善‘‘’｝存在一个子序列（为方便起见，仍然用｛ｘ（‘’｝表示这个
．１ｉｍｘ‘‘’＝ｚ一，／卜．－Ｄｍ（１．９）
ｆ（ｘ’）＝ｆ（ｘ。）＋∑∥’ｈ。（善’）＋∑鸠‘”Ｒ（工’）≥
八ｚ（‘’）＋至Ａｉ（”＾ｉ（工（Ｄ）＋．耋帆‘”Ｒ‘（工（Ｉ’）≥
以ｘ仕’）＋昱Ａ‘ｏ’ｈ‘（工仆’），（１．１０）
由于Ａｌ‘‘’有界，！ｉｍ帆‘‘）＝∞，ｉ＝１，…，ｍ，所以必有
ｌｉｍＲ‘（工¨’）＝０，（１．１１）
姆［Ａ如‘ＪＩ旬（工“’）＋％；‘尺电（工‘”）］＝∞，（１．１２）
ｈｍｈｉ（工¨’）＝＾‘（工’’）＝０，ｉ＝１，…，ｍ，（１．１３）
另外，由（１．１０）。（１．１３）和函数厂的连续性，有
ｆ（ｘ”）＝堑叭工仕’）＝！ｉｍ叭？¨’）＋∑Ａ‘‘ｋ（嚣似’）］≤以工‘），Ｈ■Ｊ－＝＃ｍ＿（１．１４）
ｆ（ｘ”）＝ｆ（ｘ＋），（１．１５）
．１ｉｍＬ（ｘ‘ｎ，Ａ‘ｎ，Ｍ‘¨，ｓ（ｘ‘‘’））＝／（ｘ’）．（１．１６）
说明：这个定理给出罚因子向量的要求：所有的０＜鸩‘‘’≤尬‘“¨，ＪｉｍＭ‘‘’＝∞，ｉ＝１，…，ｍ，而对定理２我们讨论的问题是（１．１），且Ｘ＝Ｆ以工），＾（善）在Ｘ＝Ｒ。连续可微。对于七＝０，ｌ，…，｛？¨’｝是由问题?５０?
鸩‘“¨，ＪｉｍＭｉ‘‘’＝∞，Ａｉ（ｋ）有界（ｉ＝１，…，ｍ），｛ｘ（ｔ’｝是由下面的序列最小化问题产生的最优解序列，则｛ｚ¨’｝的任意聚点是原问题的全局最优解，并且存在子序列，仍然用｛工‘‘’｝表示，使得子序列）收敛于量”，即于是，对于最优解ｚ。，否则，根据Ｒ（工）的定义，必有某项，如第屯项，使得这与（１．１０）式矛盾。由（１．１１）式及函数ｈ；的连续性，ｉ＝１，…，ｍ，我们有另外，Ｘ为有界闭集，所以，嚣“是可行解。所以所以，工”是原问题的全局最优解，并且乘子只要求有界的，即Ａ。仙’有界，ｆ＝ｌ，…，ｍ，再加上其它的条件就可以保证算法是收敛。另外，由于Ａ。¨’有界，ｉ＝ｌ，…，ｍ，因此必有收敛子列。
第３期郭三刚，曹吉利，张琳一种基于非均匀惩罚因子的序列无约束最优化外点新算法
ｍｉｎＬ（ｘ，Ａ‘ｎ，材（舢，足（工‘‘’））
，Ｅ矗４；，（髫）＋至Ａ；（。＾；（工）＋至肛‘”蔓兽１２Ｉ１２１－（１．１７）
产生的解序列。这里Ａ‘‘’有界，且
０＜Ｍｉ（‘）≤Ｍｉ（Ｉ＋１），ｌｉｍＭ，‘‘）＝∞，ｉ＝１，２，…，ｍ，●－●∞（１．１８）
而且ｚ‘‘’满足
０ＶＬ（ｘ‘¨，Ａ‘ｎ，膨‘¨，Ｒ（ｘ‘‘’））《≤占‘”一Ｏ（后－＋∞），（１．１９）
再假设，ｚ‘是序列｛工‘‘’Ｉ的聚点，并且ｒａｎｋ（Ｖｈ（ｘ’））＝ｍ．那么，序列｛Ａ‘‘’＋Ｍ‘‘’?’ｈ（ｘ‘‘’）｝必有一个子序列收敛到Ａ‘，这里，Ａ‘和工。满足下面一阶必要性条件
（１．２０）Ｖ尺工’）＋Ｖｈ（ｘ’）Ａ’＝０，ｈ（ｘ‘）＝０，
这里，“?”’表示两个向量的对应坐标乘积得到一个新的向量的运算。
证明：设ｚ仕’为问题（１．１７）的最优解。那么，由ｆ，ｈ的可微性，有
Ｖ￡（工‘ｎ，Ａ‘¨，Ｍ‘耵，足（工‘‘’））＝ｖｆ（工（‘’）＋ｖｈ（ｘ‘‘’）Ａ‘‘’＋Ｖｈ（ｘ‘‘’）Ｍ?’ｈ（ｘ‘‘’）
＝Ｖｆ（Ｘ（ｔ’）＋Ｖｈ（ｘ‘‘’）［Ａ‘‘’＋膨?。ｈ（ｘ‘‘’）］
＝ｖｆ（工‘‘’）＋Ｖｈ（ｘ‘‘’）臀¨，（１．２１）
（１．２２）另外，根据假设（１．１９），有ＶＬ（ｘ‘¨，Ａ‘¨，Ｍ‘¨，Ｒ（ｘ‘‘’））－＋０（后＿＋∞），
由于工’是序列｛工仕’｝的聚点，因而存在子列（仍然用｛ｚ仕’｝表示）收敛到Ｘ’。又已知ｒａｎｋ（Ｖｈ（ｘ’））＝ｍ，即方阵是满秩的，由连续性，当ｋ充分大时，Ｖｈ（ｘｏ’）也满秩。从而Ｖｈ（ｘ“’）７Ｖｈ（ｘ仆’）是可逆的ｍ×ｍ矩阵，于是，在（１．２１）两边乘以Ｖｈ（ｘ（‘’）Ｔ，然后两边再乘以（Ｖｈ（ｘ‘‘’）Ｔｖ＾（ｊ‘‘’））～，于是得到
繁‘）＝（ｖ＾（工（‘’）Ｔｖ＾（工（‘’））’１ｖｈ（ｘ‘‘’）Ｔ?
（ＶＬ（ｘ‘”，Ａ‘”，Ｍ‘＂，Ｒ（ｘ‘＂））一Ｖｆ（童（‘’）），
由于，（ｘ）ｈ（ｘ）连续可微，再结合（１．２２），得到
”ｍＡ‘‘’＝Ａ‘＝一（Ｖｈ（ｘ’）７ｖｈ（ｘ’））。１
再利用（１．２１）和（１．２２），有
Ｖ八工’）＋Ｖｈ（ｘ‘）Ａ‘＝０．（１．２５）Ｖ（１．２３）ｈ（ｘ’）Ｔｖｆ（工‘），（１．２４）
２罚因子向量的选择
为了体现对违背可行性要求大的约束给予较大的惩罚，我们给出选择罚因子更新的方法如下
Ｏ＂ｉ（工（Ｉ），ａｉｆ％≤攀，ｊｆ月。（ｚ（”）＞０，９占）：ｊａ‘丽’吐矗‘‘ｚ‘。’＞’（工仆’，占）＝｛ｌ浒（工¨’）ＩＩ毛‘¨＝ＪＩ以‘（１＋盯‘（茗ｆ，ａ‘，占））ＪＢ，（２．１）（２．２）
【占，’ｉｆＲ‘（工（‘’）＝ｏ。
规定：丝１＝Ａ＞０，，卢≥１，０＜ａｉ≤ｌ，０＜占《１．为了不使Ｍ‘增加过快，通常尬１选得都比较小，ｉ＝１，…，，，１．这里，Ａ，卢，８为正常数。
这样选择的罚因子向量保证：
（１）对于任何ｉ∈｛１，…，ｍ｝，有
ＩｉｍＭ，‘＝∞；
（２）对违背可行性越严重的约束给予越大的惩罚；
（３）通过引入一个非常小的正数，对满足可行性要求的约束几乎不改变它的罚因子，但从理论上讲，我们总是可以保证（２．３）式成立。
３（２．３）算法描述新的增广拉格朗日乘子方法的算法描述为：
陕西理工学院学报（自然科学版）第２４卷
（１）给定初始的乘子向量ｒ＝（０，…，Ｏ）’，初始的罚因子向量Ｍｏ＝（Ａ，…，Ａ）７，这里Ａ是某个正的常数，令后＝１，再给定精度０＜８《ｌ，厣，％，ｆ＝ｌ，…，ｍ；
（２）求解第后个问题
ｍｉｎＬ（ｘ，ｒ，Ｒ（工），膨），（３．１）
得到最优解工¨），进入（３）；
（３）如果帆（工似’）Ｉ＞占，对所有的ｉ∈｛１，…，ｍ｝，停止，并令ｚ＋一ｘ似’；否则进入（４）；
（４）更新罚因子向量Ｍｉ“１＝Ｍ；‘（１＋叽（矿，ａ¨８））艿，同时更新乘子向量
∥”＝ｒ＋（∥）７?’ｈ（ｘ‘‘’），（３．２）
对于不等式约束ｇ（工）≤Ｏ，更新乘子的方法如下
／２‘¨’＝Ｉｎａｘ｛Ｏ泓‘‘’＋∥‘’?＋ｇ（ｘ‘‘’）｝，（３．３）
函数吼由（２．２）定义。令后．－Ｊ｝＋ｌ，回到（２）。
传统ＳＵＭＴ外点算法的实现步骤可以描述为
（１）给定初始的乘子向量ｒ＝（０，…，０）７，初始的罚因子∥＝（Ａ，…，Ａ）７，这里Ａ是某个正的常数，令忌＝１，再给定精度０＜ｓ《ｌ，艿，ａ‘，ｉ＝１，…，ｍ，罚因子更新因子ｐ：１＜卢；
（２）求解第后个问题
ｍｉｎＬ（ｘ，Ａ‘，膨，Ｒ（工）），（３．４）
得到最优解Ｘ¨），进入（３）；
（３）如果魄（茹¨’）ｌ＞ｇ，对所有的ｉＥ１１，…，ｍ｝，停止，并令工’一工‘‘’；否则进入（４）；
（４）更新罚因子：
∥”＝ＢＭ＇，（３．５）
同时，更新乘子向量
ｒ”＝ｒ＋∥ｈ（ｘ‘‘’），（３．６）
对于不等式约束ｇ（ｘ）≤ｏ，更新乘子的方法为
肛‘¨’＝ｍａｘ｛Ｏ，肛‘‘’＋∥‘’ｇ（ｘ‘‘’）｝，（３．７）
令后：＝Ｊ｝＋１，回到（２）。
注：有不等式约束情形可类似讨论。
４测试结果的比较
例试用传统的ＳＵＭｌＴ外点方法和新的ＳＵＭＩＴ外点方法分别计算下面最小化问题的最优解工’．
ｒｍｉｎｆ（ｘ）＝ｏ．５（一毛２＋吻２＋为２），
｛ｈｌ（工）＝茗ｌ―ｌ＝０，
‘ｔｈ２（ｚ）＝茗２＋Ｘ３―１＝０．
解：用两种方法求解时，我们给出相同的精度要求勘＝０．０００００１及艿＝１，啦＝ｌ，ｉ＝１，…，ｍ，初始罚因子向量Ｍ‘１’＝（肘１‘¨，鸩‘１’）７，其中肘１‘”＝Ｏ．００１，鸠‘１’＝０．００１，另一方面，对于传统增广乘子方法，更新罚因子的参数卢＝１．１，对于新的增广乘子方法，更新罚因子向量的方法采用下面的形式
Ｍ；（Ｉ＋－）：Ｍｉ㈣（１＋季鲨Ｌ）％ｆ：ｌ，．．．，ｍ，
∑尺‘（Ｊ¨’）
我们选择％＝卢．为了比较两种算法，我们需要分别计算下面的几个量：
尬‘，ｉ＝１，…，ｍ，∑Ｍｉ‘Ｒｊ（工¨’），Ｌ（ｘ¨’，Ｒ（ｘｏ’），∥），ｆ（ｘ¨’），
并画出随迭代次数变化的曲线。得到的解茗‘＝（１．００００，０．５０００，０．５００Ｏ）’，最优值八Ｊ。）＝一０．２５．我们可以将占取得更小，从而得到更精确的解（对于本例，这已经是最优解！），但是罚因子会变得很大。?５２?
第３期郭三剐，曹吉利，张琳一种基于非均匀惩罚因子的序列无约束最优化外点新算法
两种方法得到的各性态曲线分别是
（１）新的增广拉格朗日乘子方法中罚因子向量丝‘（ｉ＝１，…，ｍ）的变化趋势画在图１中，惩罚项与乘子项之和∑Ａ；‘¨ｈ；（ｘ‘‘’）＋∑Ｍｉ㈣Ｒ；（ｘ‘‘’）的变化趋势画在图２中，增广Ｌａｇｒａｎ舀观函数值ｉ＝１ｉ＝１
厶（工（耵，足（善（‘’），∥）的变化趋势画在图３中，目标函数值ｆ（ｘ‘‘’）的变化趋势在图４中；
（２）传统的增广拉格朗日乘子方法得到的结果，分别见图５一图８。
图ｌ新方法的罚因子各个分量图２新方法的惩罚项与乘子项的和随
随迭代次数的非均匀递增着迭代次数的趋向于零，中间有震荡
图３新方法的目标函数值随着图４新方法的增广Ｉｄｇ撇ｇｉ明乘子
迭代次数趋向于最优值一０．２５函数随着迭代次数趋向于最优值一０．２５
图５传统方法的罚因子随图６传统方法的惩罚项与乘子项的和随
迷代次数的变化趋势着迭代次数趋向于零，中间有剧烈震荡
图７传统方法的目标函数值图８传统方法的增广ｈｇｍｎｇｉ锄乘子
随着迭代次数趋向于值一０．２函数随着选代次数趋向于值一０．３０
结果分析：
算例表明，与新方法比较，总体上，传统方法的罚因子变化不大，但是会引起目标函数值、惩罚项与
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