第２章第１节引言；力ｓｅｌｆ－ｃｏｎｃｏｒｄａｎｔｂａｒｒｉｅｒ函；另外值得注意的是，ＳＤＰＮＰ可以看作是ＬＰ的推广；半定规划（ＳＤＰ）在组合优化领域有着重要的应用，；?Ｙｅ等人首先将Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉｍｓｏ；?２玎拿大Ｗｏｌｋｉｃｚ【８５］所领导的研究小组；１２｛爹｝江大学簿士学位论文，陈洚，２０００年１；?［］豹Ｈｅｌｍｂｅｒｇ｝３习对拳定燕划瓣
第２章第１节引言
力ｓｅｌｆ－ｃｏｎｃｏｒｄａｎｔｂａｒｒｉｅｒ函数建立起了一个用内点法求解非线性最优化的其本框架。
另外值得注意的是，ＳＤＰＮＰ可以看作是ＬＰ的推广，又可以看作是锥（ｃｏｎｉｃ）最优化的一个特例。许多人对此作了深入地研究，例如Ｎｅｓｔｅｒｏｖ和Ｎｅｍｉｒｏｖｓｋｉ等人在文【６６，６７】考虑了更广泛地凸规划问题，其中一个关键的结果是ｓｅｌｆ－ｃｏｎｃｏｒｄａｎｔｂａｒｒｉｅｒ也适应这样一个锥问题。Ｎｅｓｔｅｒｏｖ和Ｔｏｄｄ『６９，７０］考虑了自尺度锥的一个子类，它可以用原始对偶算法来求解（这些锥被证明与对称锥一致）。另一种观点是从欧几里得约当代数的观点来研究半定规划【２２，２３，６］。
半定规划（ＳＤＰ）在组合优化领域有着重要的应用，这种应用最早可以追溯到七十年代Ｄｏｎａｔｈ和Ｈｏｆｆｍａｎ等人的工作。其中最引人注目的工作却是在九十年代中期由Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ等人在文［３４】中所做出的。他们在该文中创造性地提出了一种随机算法并利用该算法求解ＭＡＸＣＵＴ、ＭＡＸ２ＳＡＴ、ＭＡＸＳＡＴ以及ＭＡＸＤＩＣＵＴ等问题并获得了突破性的结果。例如对极大割问题使得其性能比由以前的０．５提高到了０．８７８。当时自然会有一个疑问：该算法性能比的提高是不是由于该算法为随机算法的缘故？后来，Ｍａｈａｊａｎ和Ｒａｍｅｓｈ等人在文［６２】指出该随机算法可以在多项式时间内转化为一确定型算法。从而澄清了这一疑问。Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ－－人的工作随后便激发了越来越多的学者投身于这一领域，其中很重要的工作包括：
?Ｙｅ等人首先将Ｇｏｅｍａｎｓ和Ｗｉｌｌｉｍｓｏｎ的工作抽象出一个等价地算法框架，然后通过添加一些参数，使得由此而得到的算法更加有效。例如对双分问题（Ｂｉｓｅｃｔｉｏｎ），Ｙｅ给出了一个性能比为０．６９９的随机算法。这是目前所知求解该问题的最好算法。不仅如此，Ｙｅ等人也对其它更加复杂的问题按照此框架给出了性能比较好的算法。其中关键性的技巧在于Ｙｅ在文中所采用的一种分析方法。具体文献见ｆ８７，８８，９０，９１，９３】口
?２玎拿大Ｗｏｌｋｉｃｚ【８５］所领导的研究小组对此也做了大量地工作，他们的工作主要集中于构造组合优化问题的更加有效的半定松弛规划上从而得到了很多深刻的理论结果。当然数值实验也表明他们得到的结果是极为有效的。
１２｛爹｝江大学簿士学位论文，陈洚，２０００年１０弼
?［］豹Ｈｅｌｍｂｅｒｇ｝３习对拳定燕划瓣足窍终构方瑟皴了漾刻靛探讨粒分撰。
半定趣划农其它领域逛一豢寿着广泛遗应髑，尤其是菲凸二次援划、特援毽窝菲殛最优化、系统论和控制论、结构设计、矩阵甄补以及统计等领域。据不完全统计，九＋年代疆来，瓣《ｓＤｐ）及其交雳兹酝究霹键嫩超云灞，出瑗豹文藏大概骞专，℃吾蔫之多。
§２。２半定规划
２．２。ｌ半定规划阏题
规划（ＰＳＤＰ）的对偶半定规划标准形式为
（ＤＳＤＰ）ｍａｘｂＴｙ
∑嚣１ｙｉＡｉ＋ｓ＝Ｃ
其中变量为Ｙ《盈ｍ，Ｓ《＆
为寝述方便，引入线性算予Ａ：Ｓｎ一曰ｎ；
ＡＸ：一（Ａｆ?ｘ）鍪１∈ｊＰ
给定ｘ∈酽、”∈ｊ≯宥（艘）≯ｔ，＝Ｅ鎏１（Ａ?ｘ）砘一∑銎Ｉ（ｖｉＡｉ）?ｘ所跌一连的伴随葬子岸西定义为Ａ＊ｖ＝￡罢ｌ毡Ａ?因此，上面给出的蹶始半定规划和对偶半定规划的标准形式可记为
（ＰＳＤＰ）ｍｉｎＣ?Ｘ，ＡＸ＝ｂ，Ｘ芝０
Ａ＊ｙ＋Ｓ―ＧＳ兰。（ＤＳＤＰ）ｍａｘ６≯弘，
壤２．２。１。援大劐闫瑟闯趱：绘定无囱图Ｇ＝职嚣），且对边辑ｊ）《Ｅ有权矬≮，
第２章第２繁半定麓搿１３绘定嚣ｃＶ，联搿）＝｛《《，ｌ》∈露：ｉ∈Ｋ，ｊ∈矿＼趸｝秘佟Ｇ终一令裁，其投定义为ｗ（６（Ｋ））：＝∑（叫）Ｅ５（Ｋ）叫“，问题的目标照寻找具有最大权值的割。即
∽’舭（Ｇ）。学ｆ；磊础训甜
为了构造强意国的数学模挺，我们可以等价趣研究一个赋粳完全瞬托。着（ｉ，Ｊ）∈脚斌权材球，否则赋投０．且用Ａ一（链≮）毯ｐ表示图Ｇ的黻投邻按矩蓐１。下嚣我们绘出一个易于代数处理的数学模型。引入向量。∈｛一１，１）”，当ｌ∈Ｋ，ａ＝１，否则赫＝一１．易翔《艇Ｃ）可等徐缝表嚣蔻
ｍａｘ。ｅ｛－１，ｌ｝。∑蛳生２业。ｌｐ士？。
给定＂∈舻，算予ＤｉⅡ９０）生成一他×ｎ缏对角矩阵且对角元由＂的元素所依次构戒。鄹爱Ｇ瓣粒饕控蘩楚簿记炎￡（Ｇ）一Ｄｉａｇ（Ａｅ）一Ａ，遴豢我钓筵记为三。藩令Ｃ一｛Ｌ，则（ＭＧ）等价地表示为
聪｛一１．１｝ｎ《Ｄｚｚｒ》’
设Ｆ＝＝｛嚣。ｒ｜苫毫｛一１，ｌ｝“｝
定瑗２。２。１。［３０】Ｘ《Ｆ铮ｄｉａｇ（Ｘ）一ｅ、ｒａｎｋ（Ｘ）一ｌ虽ｘ蠹０。
由上述定理，ｆＭＣ）ｎ－Ｉ等价地表承为
ｍａｘ＜ａＸ＞
ｓ．ｔ．ｄｉａｇ（Ｘ）＝ｅ
ｒａｎｋ（Ｘ，＝ｌ
嚣为毒谈ｌ约束，因魏上嚣熬戴粼不是够定援划。毽去撵这令约束褥到豹筑划就是一个半定规划如下：
ｍｏ．ｘ＜ｇＸ＞
ｆＳＭＣ）ｓ．ｔ．ｄｉａａ（Ｘ）＝ｅ
１所ｉ胃圈Ｇ的赋权邻接矩阵腿‰：｛％椒ｔｎ∈Ｅｌｏ否则
１４浙江大学博士学位论文，陈峰，２０００年１０月这是原规划的一个松驰，进一步通过引入舍入策略便可得到极大割问题的近似解。具体在以后章节中会给出。
极大割问题在大规模集成电路（ＶＬｓＩ）的设计中有着重要地应用，见［７４】．
２．２．２半定规划的对偶理论
由引理１．１．１可知规划（ＰＳＤＰ）可以表述成
（ＰｓＤＰ）ｍｉｎ＜ｑＸ＞ｓ．ｔ．ＡＸ―ｂ∈｛ｏ），Ｘ∈黠
。ｍ。埘＆ｘ．＜Ｇｘ＞一＜Ａｘ―ａ，Ⅳ＞＝＋ｏｏ：ｘ＞且．ＡＸｘ一－。ｂ∈量扣｛０；
所以（ＰＳＤＰ）等价表述为ｒｎｊｎｘ∈对ｍａｘ。ｅ｛ｏ｝?＜ｅＸ＞一＜ＡＸ―ｂ，Ｙ＞
ｘｍ∈ｉ黠ｎｙｍ∈｛ａ。ｘ｝．＜ｑｘ＞一＜舣，”＞＋矿Ⅳ辛ｘｒａ∈ｉ对ｎ嚣黔＜Ｃ，Ｘ＞一＜∥Ⅳ，ｘ＞＋矿Ⅳ根据极大极小原理可得
ｘｍ∈ｉ对ｎ，ｍ∈｛ａ。ｘ）．＜Ｃ，Ｘ＞一＜＿＋可，ｘ＞＋６Ｔ掣≥眶ｍ（０ａｘ｝．ｘｍＥｉ时ｎｘ∈ｓ｝，∈｛ｏ）＋眶１０｝。ｘＥ醋ｂＴｙ＋＜Ｇ一４＋Ⅳ，ｘ＞
因为｛ｏ）’＝Ｒ且
ｍｉｎ｛爵善二簇Ｙ嚣：ＩＤ‘暑，ｕ一一ｑ’∈ｏ二
咋ｍ｛ａ。ｘＪ．ｘｍ∈ｉ甜ｎｂｒｙ＋＜ｅ一一４＋Ｖ，ｘ＞Ｉ｛专ｍａｘｂＴｖｓ?‘?ｃ一４＋９∈黠＋
第２章第２节半定羧翊１５
由于≯瓣耋瑟镄毽，鑫魏上瑟簸嚣一个嫒捌帮兔（ＤｓＤＰ）。上甏豹论述胃壤番作是对弱对偶定理的一个证明。
Ｃ?Ｘ―ｂｒｙ＝（Ａ＋掣＋Ｓ）?Ｘ―ｂｒｙ＝（ＡＸ）？Ｙ＋Ｓ?ｘ―ｂｒｙ＝Ｘ?Ｓ
定义２．２．１＋（ＰＳＤＰ）￥ｉ］（ＤＳＤＰ）目标值的差称为对偶Ｉｈ－］隙，（ｄｕａｌｇａｐ）．若Ｘ?Ｓ＞０则称原舰划是弱对偶的，否则称原问题强对儡。
有了弱对偶定理，自然会阀：警定规划楚否其裔强对瘸性昵？答案是否定的，证我｛｜、］举一个例子来说骥这一点。
ｅＰｓ。Ｐ，ｍ注（ｏ；０?墨“．Ｇｉ三）?ｘ＝建Ｇｉ匀?ｘ＝。，ｘ至。可知其对偶规划为
Ｓ删聊∽ｌ｛‰
舞渤嚣。沙＋（ｊ。沙兰（：。？）》＋（ｏ。１００》（｜ｉ０；）渤固瓣舅爨黻趾
优值为０。Ｇｉ晕），最傀僮魏，。ｅ。ｓ。固熬最缓解为溉眩最
生抛．２．１．值得注意的是，尽管所给的问题不舆有强对偶性，但若给～个小的扰动，就会褥到一令凝骞强ｊｃ重猖蛙的安捌，謦ｌ翔，在上爨孛，若６ｌ＝￡＞８，粼最甓壤懿蔑０，艇能达到。
郎然如此。人们自然要问：能磷找到一个满足强对偶性的充分条件呢？在回答这个翘题之翦毙绘出Ａ个定义。
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　这是半在线排序研究中 首次得到一般机器数下最优半在线算法。带机器准备时段的...1995 年,半定松弛策略被首先用来求解一些组合优化问题,并由此引起大 家对这一... 　、神经 网络(neural networks)、拉格朗日松弛等算法。...法的推广, 是人工智能在组合优化算法中的一个成功...其中 D 为优化问题的定 义域,则简单解变化为 x... 　S 成立. 在组合优化间题的近似算法中,还要涉及邻域和局部最优解的概念,我们将在§3 中定义。 1.2 几个组合优化问题的数学描述例 1.2 0 一 1 背包问题 ... 　属于无约束优化问题求解算法中的直接法是_院校资料_...线性组合 C.代数和 D.算术平均值 10.在平面三角...半正定 B.正定 C.半负定 D.负定 7.对约束优化... 　本课程主要介绍求解线性、非线性和整数规划的实用算法,求解组合优化 问题的精确算法、近似算法和启发式算法。通过学习,能灵活地运用这些算法解决实际中遇到的多 种... 　多种最优化问题中寻找特定最优化解决 方案的算法,特别是针对离散、组合的最优化...中有多种应用,比如计算 矩阵的伪逆矩阵(以求解最小二乘法问题)、解决超定线性... 　小学计算教学中“算法多样化”的优化教学摘 要:提倡算法多样化绝不是算法在形式上越多越好, 其更深层次的目的 是培养学生的创新意识和自我价值观念。因此,在算法... 　规划转化为松弛形式 个约束的线性规划中,加入 m 个...具有完全相同的名字 形式中此变量的定值和使用具有...协同优化算法 具体说来,协同优化是在优化每一子目标... 　2、用固体退火模拟组合优化问题:将内能 E 模拟为...3、算法特点 新解不是在当前解的邻域中随机产生,...最好的移动不一 定是改进移动,也可能是非改进移动...Hannokinol
Hannokinol
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字母叅攸燪纳
你这道题有问题吧,我看第二个x号是+号吧
如果是加号该怎么算哇？
运用到乘法交换律和分配律
那个是109还是100？
我按照1/100算了，这样结果比较好看
。。好看+-+。。
熟练练习乘法那几个乘法和加法法则就迎刃而解了，题目基本都很相近
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