无穷递降等比数列求和公式_高二数学
无穷递降等比数列求和公式
学习啦【高二数学】 编辑：若木
　　等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q&0)，等比数列a1& 0。注：q=1 时，an为常数列。
　　无穷递减等比数列
　　a,aq,aq^2&&aq^n
　　其中，n趋近于正无穷，q&1
　　注意：
　　(1)我们把|q|&1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|&1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
　　(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n&&的极限，即S=
　　S=a/(1-q)
　　想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式
　　设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时
　　Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)
　　将这个式子两边同时乘以公比q，得
　　qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n
　　两式相减，得
　　(1-q)Sn=a1-a1q^n
　　所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)
　　对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式
　　S=a/(1-q)
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高中数学教案：高一数学《等比数列》教学设计方案
时间： 13:13:18 点击： 【
教学目标& 1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）正确理解的定义，了解公比的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等比中项的概念；（2）正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项；（3）通过通项公式认识的性质，能解决某些实际问题.2.通过对的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.
教学建议 教材分析（1）知识结构是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.（2）重点、难点分析教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点 在于通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议（1）建议本节课分两课时，一节课为的概念，一节课为通项公式的应用.（2）概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到的定义.也可将几个等差数列和几个混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括的定义.（3）根据定义让学生分析的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.（5）由于有了等差数列的研究经验，的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题：的概念
1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导.
投影仪，多媒体软件，电脑.
讨论、谈话法.
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1， ， ，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为）.
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列――. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）
1.的定义（板书）
根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出的定义，标注出重点词语.
请学生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是，当 时，它只是等差数列，而不是.教师追问理由，引出对的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）的首项不为0；
（2）的每一项都不为0，即 ；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为的什么条件？
（3）公比不为0.
用数学式子表示的定义.
是 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是 ？为什么不能？
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个？（不能）确定一个需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.
3.的通项公式（板书）
问题：用 和 表示第 项 .
①不完全归纳法
，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .
（板书）（1）的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.
（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.
1.本节课研究了的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.
四、作业 （略）
五、板书设计&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
（2）对公式的认识&
将一张很大的薄纸对折，对折30次后（如果可能的话）有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案：
30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰――珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗？第31个格子中的米已经是粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧（用对数算也行）.
作者：不详　来源：网络
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高中数学数列公式大全
来源：互联网&&
&&& 小编寄语：数学也是需要记忆的一门学科，数学有很多的公式需要大家记忆。下面小编为大家提供高中数学数列公式大全，供大家参考。
&&& 一、数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=&
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d&&&&& an=ak+(n-k)d&&&& (其中a1为首项、ak为已知的第k项)& 当d&0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=&&&&& Sn=&&& Sn=&
当d&0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1&0），Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1&qn-1&&&&&an= ak&qn-k&&&&&
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an&0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 &&&&(是关于n的正比例式)；
当q&1时，Sn=&&&&&&&&& Sn=&
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m&- S3m、&&仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则&
3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则&
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m&- S3m、&&仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an&bn}、&、&仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3& (为什么？)
11、{an}为等差数列，则&&(c&0)是等比数列。
12、{bn}（bn&0）是等比数列，则{logcbn} (c&0且c&1) 是等差数列。
13. 在等差数列&中：
（1）若项数为&，则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）若数为&则，&&&&，&&
14. 在等比数列&中：
（1）&&&&&&& 若项数为&，则&&&&&
（2）若数为&则，
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