【图文】3函数逼近与计算_百度文库
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3函数逼近与计算
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东南大学高等数学实验报告
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泰勒公式与函数逼近
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你可能喜欢导读：3.给出f(x)=lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值.，第三章函数逼近与计算，第一章绪论1.设x&0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.2.设x的相对误差为2％,求x的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****x1?1..031,x3?385.6,x4?56.430,
1. 设x&0,x的相对误差为δ,求lnx的误差. 2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位
*****x1?1..031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.
4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
************
,x2,x3,x4(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1
均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式
Yn?Yn?1( n=1,2,…)
Y计算到Y100.
27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
7. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字
8. 当N充分大时,怎样求
9. 正方形的边长大约为100M,应怎样测量才能使其面积误差不超过1M?
gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,
而相对误差却减小. 11. 序列
{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),
若y0??1.41(三位有效数字),计算到y10
时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
f(x)?ln(x价公式
,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等
ln(x??ln(x
计算,求对数时误差有多大?
14. 试用消元法解方程组
x1?0;x1?x2?2.
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
15. 已知三角形面积
1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为?a,?b,?c.证其中c为弧度,
明面积的误差?s满足
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?
证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且
2nxn?x?1n?1
Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性
插值求cos x 近似值时的总误差界.
maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
xl(x)?x(k?0,1,?,n);?jjj?0n
?x)klj(x)???k?1,2,?,n).
2maxf(x)?Ca,b??f(a)?f(b)?07. 设且,求证a?x?b
f(x)?(b?a)2maxf?(x8a?x?b
8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截断误差不超过
10?6,问使用函数表的步长h应取多少?
9. 若yn?2,求?yn及?yn.
10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分?f(x)(0?k?m)是
m?k次多项式,并且?
f(x)?0(l为正整数).
11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.
12. 证明k?0
?fngn?f0g0??gk?1?fk.
yj??yn??y0.
f(x)?a?ax???ax?ax01n?1n14. 若有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明
0,0?k?n?2;
?1an,k?n?1.
15. 证明n阶均差有下列性质: i)
若F(x)?cf(x),则
F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;
Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.
ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?01
74f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次埃尔米特插值
19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.
f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当
n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).
f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点间21. 设
中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
22. 求f(x)?x在?
4a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差. f(x)?x23. 求在?
24. 给定数据表如下:
试求三次样条插值并满足条件
S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.
f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若
?f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx
ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则
S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?
26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)式的表达式).
函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为?
a,b?的伯恩斯坦多项式.
0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数(b)对f(x)?sinx在?
部分和误差做比较. 2. 求证:
(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.
0,2??的最佳一致逼近多项式.
3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?
a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.
4. 假设f(x)在?
5. 选取常数a,使0?x?1
达到极小,又问这个解是否唯一?
0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
6. 求f(x)?sinx在?
0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.
2p(x)?x?r在??1,1?上与零偏差最小?r是否唯一? 8. 如何选取r,使
0,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.
Tn(x)?Tn(2x?1),x??0,1?,求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3(x).
11. 试证12. 在?
的正交多项式.
?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.
x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln
13. 设f(x)?e在?
有界,证明对任何
n?1,存在常数?n、?n,使
?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).
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