由来/函数[数学函数]
中文书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的.中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思.我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专着《九章算术》中,意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
特性/函数[数学函数]
有界性函数设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M&0,对于一起属于区间X上的x，恒有,则称f(x)在区间X上有界，否则称f(x)在区间上无界。单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x及x，当xf(x)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。奇偶性函数设为一个实变量实值函数，若有，则f(x)为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。函数设f(x)为一实变量实值函数，若有，则f(x)为偶函数。几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos(x)和cosh(x)。偶函数不可能是个双射映射。周期性函数设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一有，且f(x+T)=f(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。周期函数有以下性质：（1）若T（T≠0）是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期。（2）若T（T≠0）是f(x)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(x)的周期。函数（3）若T1与T2都是f(x)的周期，则也是f(x)的周期。（4）若f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。（5）T*是f(x)的最小正周期，且T1、T2分别是f(x)的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(x)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(x)不存在最小正周期。（7）周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合。连续性在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性。仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：对于任意的正实数，存在一个正实数δ& 0 使得对于任意定义域中的δ，只要x满足c - δ& x & c + δ，就有成立。凹凸性函数设函数在上连续。如果对于上的两点，恒有函数，函数函数那么称第一个不等式中的是区间上的凸函数；称第二个不等式中的为严格凸函数。同理如果恒有函数，函数函数那么称第一个不等式中的是区间上的凹函数；称第二个不等式中的为严格凹函数。复合函数函数设函数的定义域为,函数在D上有定义(D是构成符合函数的定义域，它可以是定义域的一个非空子集)，且，则函数称为由函数和函数构成的复合函数，它的定义域为D，变量称为中间变量。函数并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，若D为空集，则和函数不能复合。反函数函数一般地，设函数,值域是W，对于每一个属于W的y，有唯一的x属于D，使得f(x)=y,这时变量x也是变量y的函数，称为y=f(x)的反函数，记作。而习惯上y=f(x)的反函数记为。习惯上只有一一对应的函数才有反函数。而若函数是定义在其定义域D上的单调增加或单调减少函数，则其反函数在其定义域W上单调增加或减少。原函数与反函数之间关于y=x对称。分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集。
多项式函数/函数[数学函数]
常函数x取定义域内任意数时，都有 y=C (C是常数)，则函数y=C称为常函数，其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分。一次函数函数在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成(k为一次项系数,k≠0，b为常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。基本性质1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)；当y=0时，一次函数图像与x轴相交于（﹣b/k）3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。4．在两个一次函数表达式中：当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。5．两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，该函数的对称轴为－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。二次函数与y轴交点为（0，b2b1)。6．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。7. 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。图像一次函数的图像如右图所示，一次函数y=kx+b(k≠0)图像是直线，过(0，b)和(-b/k，0)两点。特别地，当b=0时，图像过原点。一次函数和方程的联系与区别:1、一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。2、一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。3、一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k,0)。当k&0时，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k；当k&0的解为：不等式kx+b&0的解为：x&- b/k，不等式kx+b&0的解为：x&- b/k。二次函数函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：，则称y为x的二次函数。二次函数的定义域为实属域R。常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)二次函数还有以下两种表示方式：函数顶点式：;函数交点式（与x轴）：从右图可见二次函数图像是轴对称图形。函数性质1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）函数2.抛物线有一个顶点P，坐标为,当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。函数3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。当a&0时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；函数的值域是相反不变。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。函数5.令，有以下性质：函数Δ&0，抛物线与x轴有2个交点，分别为：和。函数Δ= 0，抛物线与x轴有1个交点，为。Δ&0，抛物线与x轴没有交点，x的取值为虚数。三次函数函数形如（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）四次函数函数定义：形如的函数叫做四次函数。五次函数函数一般的，自变量x和因变量y存在如下关系：的函数，称y为x的五次函数。其中，a、b、c、d、e分别为五次、四次、三次、二次、一次项系数，f为常数，a≠0。在实际中，一般不使用此函数。
复变函数/函数[数学函数]
复变函数是定义域为复数集合的函数。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映象就都是共形映象，共形映象也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，自2002年来这方面的理论发展十分迅速。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。2002年，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
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All Rights Reserved解答：解：把函数y=3sin（2x）的图象，沿；图象，故选：B．；点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的；7．（5分）已知tan2α=2，且满足＜α＜，；A．B．C．3+2；考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函；D．32；分析：首先根据已知条件已知tan2α=2，且满；变换=，最后求的结果．；解答：解：已知tan2α=2，
解答： 解：把函数y=3sin（2x）的图象，沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=3sin=3sin2x 的
图象， 故选：B．
点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．（5分）已知tan2α=2，且满足＜α＜，则的值为（）
考点： 三角函数的恒等变换及化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： 首先根据已知条件已知tan2α=2，且满足＜α＜，求出tanα=，进一步对关系式进行
变换=，最后求的结果．
解答： 解：已知tan2α=2，且满足＜α＜，
则：解得：tanα=
所以上式得：==3+2
点评： 本题考查的知识要点：倍角公式的应用，三角关系式的恒等变换，及特殊角的三角函数值
8．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|
＜的解析式是（）
）的部分图象如图所示，则f（x）
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 数形结合．
分析： 观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出
φ，即可求出函数解析式． 解答： 解：由图象可知：函数的周期为2，所以ω=
的长度是四分之一个周期
函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（
f（x）的解析式是
点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，是基础题．
9．（5分）已知函数f（x）是（∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈=f（x+2）==f（x），
所以当x≥0时，f（x）是以4为周期的周期函数，所以f=f（503×4+0）=f（0）=log2（0+1）=0．
又函数f（x）是（∞，+∞）上的偶函数，所以f（2001）=f=f（500×4+1）=f（1）=log2（1+1）=1． 所以f（2001）+f=1． 故选D．
点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了函数的奇偶性，考查了数学转化思想，解答此题的关键是运用函数的周期性进行转化，此题为中低档题．
10．（5分）已知函数f（x）=
sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离等于
则f（x）的单调递增区间是（）
A． ，k∈Z
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题．
分析： 化简函数f（x）=点的距离等于调增区间．
解答： 解：函数f（x）=
sinωx+cosωx为f（x）=2sin（ωx+），y=f（x）的图象与x轴两个相邻交
，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单
sinωx+cosωx=2sin（ωx+），
，函数的周期T=π， ≤2x+
因为y=f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离等于所以ω=2，所以f（x）=2sin（2x+
），因为2kπ
解得x∈，k∈Z
即函数的单调增区间为：，k∈Z 故选：C．
点评： 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，正弦函数的单调增区间的求法，常考题型．
11．（5分）已知函数
的最小正周期为π，将y=f（x）的图
象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（）
考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 先根据函数平移后得到
解答： 解：由已知，周期为
为偶函数可知
的最小正周期为π求出ω的值，再由
，即可确定答案．
则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，
点评： 本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用．
12．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2x），当x∈时，x∈．
考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值．
分析： 方程变形表示出a，利用同角三角函数间基本关系化简，配方后利用二次函数的性质及正弦函数的值域确定出a的范围即可．
解答： 解：方程cosx+sinxa=0，
变形得：a=cosx+sinx=sinx+sinx+1=（sinx）+，
∵1≤sinx≤1， ∴a的范围为．
点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14．（5分）已知方程xax+2a=0的两个根均大于1，则实数a的取值范围为内的增区间为和； （5）y=f（x）的周期为π．其中正确命题的序号是（2）（3）（4）（5）．
考点： 命题的真假判断与应用；函数的图象与图象变化；函数奇偶性的判断． 专题： 计算题；综合题．
分析： 求出f（x+）解析式，结合三角函数的奇偶性可得y=f（x+）为非奇非偶函数，故（1）
不正确；因为g（x）=f（x
），结合函数图象平移的规律可得（2）正确；当x=
4恰好是函数的最小值，所以y=f（x）的图象关于直线x=对称，故（3）正确；利用正弦函数单调
区间的求法，可得y=f（x）在内的增区间为和，故（4）正确；利用三角函数的周期公式可得（5）正确． 解答： 解：对于（1），∵f（x+∴y=f（x+
）=4sin=4sin（2x+
）为非奇非偶函数，故（1）不正确；
），满足g（x）=f（x
）=4sin=4sin2x
对于（2），∵f（x）=4sin（2x∴将f（x）的图象向右平移对于（3），当x=
个单位，得到函数g（x）=4sin2x的图象，故（2）正确；
）=4sin=4sin（
）=4，恰好是函数的最小值，
∴y=f（x）的图象关于直线x=对于（4），令
对称，故（3）正确； +2kπ，得
+kπ，k∈z．
取k=0和1，与区间取交集，得y=f（x）在内的增区间为和，故（4）正确； 对于（5），y=f（x）的周期为
=π，故（5）正确．
故答案为：（2）（3）（4）（5）
点评： 本题以命题真假的判断为载体，考查了函数y=Asin（ωx+?）的图象与性质，三角函数的周期性、单调性的奇偶性，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤） 17．（10分）设函数f（x）=log2（ab），且f（1）=1，f（2）=log212．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈时，求f（x）最大值．
考点： 对数函数图象与性质的综合应用． 专题： 综合题．
分析： （1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用换元法，由（1）得
，令g（x）=42=（2）2，再令t=2，则
y=tt，可知函数y=（t）在上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．
解答： 解：∵函数f（x）=log2（ab），且f（1）=1，f（2）=log212
（2）由（1）得
令g（x）=42=（2）2
令t=2，则y=tt ∵x∈， ∴t∈，
显然函数y=（t）在上是单调递增函数，
所以当t=4时，取得最大值12，
∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23
点评： 本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．
18．（12分）已知f（α）=（1）化简f（α）； （2）若f（α）=，且
，求cosαsinα的值；
（3）求满足f（α）≥的α的取值集合．
考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值．
分析： （1）直接利用诱导公式以及二倍角公式化简求解f（α）；
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杭州市余杭区学年高一上期末数学试卷含答案解析
第1页（共16页）2015年浙江省杭州市余杭区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U{1，2，3，4，5，6，7}，集合A{2，4，5}，则?）A．?B．{1，3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数yy图象是（）A．B．C．D．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y．yx﹣C．y﹣．y．把函数y图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y3x﹣）B．y3x）C．y3x﹣）D．y3x）5．若（﹣＜θ＜0），则θ﹣）的值是（）A．B．C．D．6．函数f（x）5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1B．1，∞）C．（0，1D．（0，∞）7．函数f（x）的最大值是（）A．1B．2C．3D．48．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若ab＞0，则有（）A．f（a）f（b）＞f（﹣a）f（﹣b）B．f（a）f（b）＜f（﹣a）f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）9．若0，则a，b满足的关系是（）第2页（共16页）A．1＜a＜bB．1＜b＜aC．0＜a＜b＜1D．0＜b＜a＜110．函数yx∈﹣，的值域是（）A．﹣，B．﹣2，2C．﹣﹣1，D．﹣﹣1，111．若αβ），则为（）A．5B．﹣1C．6D．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）﹣（x﹣1）21，则满足ff（a）的实数a的个数为（）A．2B．4C．6D．8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）3x），则f（x）的周期是f（π）．14．若，则．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．16．若函数f（x）35xa的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．17．已知f（x）4﹣区间﹣1，3上是增函数，则a的取值范围是．18．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x1），当x∈（0，1时，f（x）2x，则f（于．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）ωxφ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．第3页（共16页）20．已知函数f（x）为奇函数．（1）求实数a的值（2）试判断函数的单调性并加以证明（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间（2）若f（，，求值．22．如图，正方形边长为1，P，Q分别为动点，且△周长为2，设APx，AQy．（1）求x，y之间的函数关系式yf（x）（2）判断∠大小是否为定值并说明理由（3）设△面积分别为S，求S的最小值．第4页（共16页）2015年浙江省杭州市余杭区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U{1，2，3，4，5，6，7}，集合A{2，4，5}，则?）A．?B．{1，3，5}C．{1，3，6，7}D．{1，3，5，7}【考点】补集及其运算．【专题】计算题定义法集合．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解∵集合U{1，2，3，4，5，6，7}，集合A{2，4，5}，∴?1，3，6，7}，故选C．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数yy图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】作图题函数思想定义法函数的性质及应用．【分析】根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断．【解答】解a＞1时，函数yy均为增函数，故选B．【点评】本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y．yx﹣C．y﹣．y考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断．【专题】函数思想综合法函数的性质及应用．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可判断出A错误，可判断yx和y在（0，1）内单调递增便可判断B错误，而根据奇函数和减函数的定义即可判断出C正确，根据y错误．【解答】解A．根据y图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误第5页（共16页）B．yx和在（0，1）内都单调递增，∴在（0，1）内单调递增，∴该选项错误C．y﹣奇函数，且x增大时，y减小，∴该函数在（0，1）内单调递减，∴该选项正确D．由y图象知该函数在（01，1）内单调递增，∴该选项错误．故选C．【点评】考查奇函数图象的对称性，一次函数和反比例函数的单调性，奇函数和减函数的定义，清楚yy图象．4．把函数y图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y3x﹣）B．y3x）C．y3x﹣）D．y3x）【考点】函数yωxφ）的图象变换．【专题】计算题数形结合分析法三角函数的图像与性质．【分析】根据函数yωxφ）的图象变换规律即可求解．【解答】解把函数y长度单位，所得曲线的对应函数式为y（x﹣）3x﹣）．故选A．【点评】本题主要考查了函数yωxφ）的图象变换规律，属于基础题．5．若（﹣＜θ＜0），则θ﹣）的值是（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想综合法三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解∵﹣＜θ＜0且，∴﹣，∴θ﹣）．故选C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．6．函数f（x）5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1B．1，∞）C．（0，1D．（0，∞）第6页（共16页）【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合数形结合法函数的性质及应用．【分析】在x上加绝对值的图象表明去掉绝对值后的原函数图象只保留x＞0部分，然后关于y轴对称后得到的图象就是填绝对值的图象．【解答】解∵y5其图象是过（0，1），单调递增的，而y5|x|的左侧图象是指数函数y5具体图象如下故选B．【点评】本题主要考查指数函数图象，和在x上填绝对值后的图象特点．属于基础题．7．函数f（x）的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合数形结合法不等式．【分析】作出分段函数的图象，数形结合可得．【解答】解作出分段函数f（x）的图象（如图），数形结合可得最大值为4，故选D．第7页（共16页）【点评】本题考查函分段函数图象，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若ab＞0，则有（）A．f（a）f（b）＞f（﹣a）f（﹣b）B．f（a）f（b）＜f（﹣a）f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）【考点】函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用不等式的性质将ab＞0转化为两实数的大小形式，再利用函数f（x）的单调性，比较函数值的大小，最后利用同向不等式相加性得正确不等式【解答】解∵ab＞0，∴a＞﹣b，b＞﹣a∵函数f（x）是R上的增函数∴f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a）∴f（a）f（b）＞f（﹣a）f（﹣b）故选A【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用函数的单调性比较大小的方法，转化化归的思想方法9．若0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜bB．1＜b＜aC．0＜a＜b＜1D．0＜b＜a＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题方程思想综合法函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解∵0∴0＜a＜1，0＜b＜1，∵2＞1，要使0∴0＜b＜1∵0，∴a＞b，且0＜a＜1，∴0＜b＜a＜1．故选D．【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．10．函数yx∈﹣，的值域是（）A．﹣，B．﹣2，2C．﹣﹣1，D．﹣﹣1，1【考点】函数的值域．【专题】计算题函数思想函数的性质及应用三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域．【解答】解∵函数yx∈﹣，上为增函数，∴，．第8页（共16页）故选D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．11．若αβ），则为（）A．5B．﹣1C．6D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】由两角和差的正弦公式，解得，，相除求得的值．【解答】解由题意可得，，解得，，∴5，故选A．【点评】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出，，是解题的关键．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）﹣（x﹣1）21，则满足ff（a）的实数a的个数为（）A．2B．4C．6D．8【考点】根的存在性及根的个数判断函数奇偶性的性质．【专题】数形结合分类讨论转化法函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函方程转化为f（t），利用数形结合进行求解即可．【解答】解设tf（a），则条件等价为f（t），若x≤0，则﹣x≥0，∵当x≥0时，f（x）﹣（x﹣1）21，∴当﹣x≥0时，f（﹣x）﹣（﹣x﹣1）21﹣（x1）21，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）﹣（x1）21f（x），即f（x）﹣（x1）21，x≤0，作出函数f（x）的图象如图当x≥0时，由﹣（x﹣1）21，得（x﹣1）2，则x1或x1﹣，∵f（x）为偶函数，第9页（共16页）∴当x＜0时，f（x）的解为1﹣，1综上所述，f（t）得解为或﹣，1﹣，1由tf（a）得，若，则f（a）1，即f（a）＞1，此时a无解，若﹣，则f（a）1﹣，即f（a）﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若1﹣，则f（a）﹣1﹣，即f（a）﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若1，则f（a）﹣1，即f（a）﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，故共有2226个解．故选C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）3x），则f（x）的周期是4πf（π）．【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题函数思想分析法函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解∵f（x）3x），∴f（x）的周期T4π，f（π）3）33．故答案为4π，．第10页（共16页）【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14．若，则2．【考点】同角三角函数基本关系的运用三角函数的化简求值．【专题】转化思想综合法三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解∵，则，，故答案为2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是16．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题方程思想综合法三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解设扇形的半径为R，所以2R2R16，所以R4，扇形的弧长为8，半径为4，扇形的面积为S8416故答案为16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．16．若函数f（x）35xa的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（﹣12，0）．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题转化思想定义法函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）35xa的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，得到，解得即可．【解答】解∵f（x）35xa的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，即第11页（共16页）解得﹣12＜a＜0，故a的取值范围为（﹣12，0），故答案为（﹣12，0）．【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．17．已知f（x）4﹣区间﹣1，3上是增函数，则a的取值范围是﹣4＜a＜0．【考点】对数函数的图象与性质复合函数的单调性．【专题】计算题转化思想函数的性质及应用．【分析】若f（x）4﹣区间﹣1，3上是增函数，则内函数t4﹣区间﹣1，3上是增函数，且恒为正，进而得到答案．【解答】解∵f（x）4﹣区间﹣1，3上是增函数，故内函数t4﹣区间﹣1，3上是增函数，且恒为正，故，解得﹣4＜a＜0，故答案为﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．18．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x1），当x∈（0，1时，f（x）2x，则f（于．【考点】函数的周期性函数的值．【专题】计算题函数的性质及应用．【分析】根据题意，算出f（x2）f（x），得f（x）是最小正周期为2的周期函数．从而算出f（f（．由x∈（0，1时f（x）2x，结合f（x1）f（x）1算出f（，即可得到所求的函数值．【解答】解∵f（x1），∴f（x2）f（x），可得f（x）是最小正周期为2的周期函数∵8＜9＜16，2＞1∴3，4）因此f（f（2）f（第12页（共16页）∵f（而f（，∴f（f（故答案为【点评】本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）ωxφ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由yωxφ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象．【专题】函数思想数形结合法三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的范围可得φ，可得解析式（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解（1）由图象可得A，由﹣﹣（﹣）可得周期Tπ，∴ω2，∴f（x）2xφ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为（2）∵，∴，第13页（共16页）∴f（x）在即x0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．20．已知函数f（x）为奇函数．（1）求实数a的值（2）试判断函数的单调性并加以证明（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数恒成立问题．【专题】证明题综合题函数思想函数的性质及应用．【分析】（1）解f（0）0可得a值（2）由单调性的定义可得（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．【解答】解（1）由函数为奇函数可得f（0）0，解得a﹣1（2）由（1）可得f（x）1﹣，可得函数在R上单调递增，下面证明任取实数f（f（﹣＜0，∴函数f（x）R上的增函数（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．21．已知函数f（x）2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间（2）若f（，，求值．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象．【专题】计算题转化思想分析法三角函数的求值三角函数的图像与性质．第14页（共16页）【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式f（x）22x），由22x≤2，即可解得f（x）的单调递减区间．（2）由（1）及，则可求，由，可求2∈，，解得2）﹣，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．2分）【解答】（本题满分为12分）解（1）由f（x）2x﹣1得f（x）（2（21）2x）．由22x≤2得k≤x≤k，（k∈Z）．所以函数f（x）的单调递减区间是k，k，（k∈Z）．（2）由（1）知，，又由已知，则．因为，则2∈，，因此，所以2）﹣，于是2）﹣2）2）（﹣）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．如图，正方形边长为1，P，Q分别为动点，且△周长为2，设APx，AQy．（1）求x，y之间的函数关系式yf（x）（2）判断∠大小是否为定值并说明理由（3）设△面积分别为S，求S的最小值．第15页（共16页）【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题方程思想综合法函数的性质及应用不等式．【分析】（1）由已知可得﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2x2可求x，yf（x）（2）求得∴∠，即可判断∠大小（3）表示△面积，利用基本不等式求S的最小值．【解答】解（1）由已知可得﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2x2化简得y（0＜x＜1）（2）﹣y，﹣x，∠1∵∠0，），∴∠，∴∠﹣（∠，（定值）（3）S1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣y）（xy﹣令t2﹣x，t∈（1，2），∴S（t）﹣1，∴t时，S的最小值为﹣1．【点评】本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第16页（共16页）日
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