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洛必达法则
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小然然0469
求出f(0)和f'(0)的值&利用极限＝e的公式证明&过程如下图：&
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3-2洛必达法则
复习罗尔定理?(1) f ( x ) ? C[a, b] (2) f ( x ) ? D(a, b) (3) f ? a ? ? f ? b??f ?(? ) ? 0拉格朗日定理??f ?(? ) ?<
br />f (b) ? f (a ) , b?a1三、柯西(Cauchy)中值定理及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? . 至少存在一点 使 F (b) ? F (a ) F ?(? ) a ?? ? b 分析: F (b) ? F (a) ? F ?(? )(b ? a) ? 0 f (b) ? f (a) F ?(? ) ? f ?(? ) ? 0 要证 ? ?(? ) F (b) ? F (a) f (b) ? f (a) ? ( x) ? F ( x) ? f ( x) F (b) ? F (a)2f (b) ? f (a) F ( x) ? f ( x) 证: 作辅助函数 ? ( x) ? F (b) ? F (a) 则? ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) ? f (a) F (b) ? (a) ? ? ? (b) F (b) ? F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? . F (b) ? F (a ) F ?(? ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? ? f (b) ? f (a) ? f ?(? )(b ? a) , ? ? (a , b) 两个 ? 不 F (b) ? F (a) ? F ?(? )(b ? a) , ? ? (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!3f ?(? ) f (b) ? f (a ) ? 几何解释: F ?(? ) F (b) ? F (a ) Y在曲线弧AB上至少 有一点C ( F (? ), f (? )),C? X ? F ( x) ? ? Y ? f ( x)B ( F (b), f (b))( F (a), f (a)) AD在该点处的切线平行于弦AB.oF (a ) F (?1 )F (? 2 ) F (b)X当F ( x ) ? x, F (b) ? F (a ) ? b ? a, F ?( x ) ? 1,f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? F (b) ? F (a ) F ?(? )f (b) ? f (a ) ? f ?(? ). b?a拉格朗日中值公式说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.4柯西()简介：法国数学家, 物理学家，柯西的父亲是 拉格朗日和拉普拉斯两位数学家的朋友，柯西从小热爱数学，他 小时候常会突然中断其它事情去画图，拉格朗日当着议员的面说： “瞧，这孩子，我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之。” 是他写了第一部较严谨的分析书《解析教程》，但当时没有极限 的准确定义，用了“要多小就有多小”含混不清的语言。他对数 学的贡献主要集中在微积分学,复变函数和微分方程方面 .一生 发表论文800余篇, 著书 7 本 , 《柯西全集》共有 27 卷.其中 最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》, 《无穷小分 析概论》, 《微积分在几何上的应用》 等, 对数学的影响广泛 而深远 .他是经典分析的奠基人之一,他为微积分奠定的基础推 动了分析的发展。他在巴黎科学院任职，但他一生的大部分时间 是教学当教授，但他不是出色的教师，对年轻人很冷漠是最不可 爱的数学家之一。数学家阿贝尔说：“没法同柯西打交道”。他 把阿贝尔，伽罗瓦的文章丢到一边不理睬，当雅克比发现时，阿 贝尔已去世。柯西是仅次于欧拉的多产科学家。5例1. 设至少存在一点 证: 结论可变形为 使证明设 F ( x) ? x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ? , 使F (11? 0 (0) )?F即F ?(? )6思考与练习1.函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理3 15 4 _____ .条件, 则中值 ? ?2. 设 f ( x) ? C[ 0 , ? ], 且在 ( 0 , ? )内可导, 证明至少存 在一点 ? ? ( 0 , ? ) , 使 f ?(? ) ? ? f (? ) cot ? . 提示: 由结论可知, 只需证 即 设? f ( x ) sin x ?? x???0F ( x ) ? f ( x ) sin x7验证 F (x ) 在 [ 0 , ? ] 上满足罗尔定理条件.3. 若 f (x )可导, 试证在其两个零点间一定有f ( x ) ? f ?( x ) 的零点.提示: 设 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , x1 ? x2 ,欲证: ?? ? ( x1 , x2 ) , 使 f (? ) ? f ?(? ) ? 0只要证亦即e? f (? ) ? e? f ?(? ) ? 0[ e x f ( x ) ]?x ???0作辅助函数 F ( x) ? e x f ( x ) , 验证 F (x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足罗尔定理条件.8第二节 洛必达法则0 一、 型未定式 0第三章二、 型未定式三、其他未定式9洛必达(1661 C 1704)法国数学家,出生于贵族，当过军官，因视力不好退役了，他在15岁时就解决了帕斯卡提出的摆 线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲 线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有《无穷小分析》, (1696),这是一本较系统的微积分书，并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名 为“ 洛必达法则 ”。10? 0 一、 与 型未定式 0 ? 定义： 如果当 x ? a （或 x ? ?） 两个函数 f ( x ) 时，与 g ( x ) 都趋于零或趋于无穷大， 那么极限x?a ( 或x ? ? )limf ( x) 可能存在， 也可能不存在， 通常 g( x )0 型 或 ? 型未定式. 把这种极限称为 ? 0 ln sin ax ? tan x 0 ,( ) 例如, lim , ( ) lim ? x? 0 x 0 x ? 0 ln sin bx ?11定理 1.?f ( x ) ? f (a ) f ?(? ) ? F ? x ? ? F ? a ? F ? ?? ?? ? a2) f ( x) 与F ( x) 在 ?(a)内可导,f ?( x) 3) lim 存在 (或为 x?a F ?( x ) f ( x) f ?( x) lim ? lim x?a F ( x ) x?a F ?( x ))?x?当x ? a时,? ? a ,(洛必达法则)定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.12定理条件:2) f ( x) 与F ( x) 在 ?(a)内可导, f ?( x) 3) lim 存在 (或为 ) x?a F ?( x )证: 无妨假设 f (a) ? F (a) ? 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 当x ? a时,? ? a , f ( x) f ( x) ? f (a) f ?(? ) ( ? 在 x , a 之间) ? ? F ( x) F ( x) ? F (a ) F ?(? ) f ?(? ) 3) ? lim ? ?a F ?(? )13?洛必达法则推论1. 定理 1 中 x ? a 换为x ? a? ,f ?( x) 推论 2. 若 lim F ?( x) 理1条件, 则x ? ?? ,之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.14例1. 求 解: 原式 ? lim0 型 0x?13x ? 3 3x 2 ? 2 x ? 126x 3 ? lim ? x?1 6 x ? 2 2注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !6x lim x?1 6 x ? 2?6 lim ? 1 x?1 615例2. 求? 10 型 01? x2 解: 原式 ? lim x? ? ? ? 1 x2? 型 ?x? ? ?? limx2 x2x? ? ? 1 ?? lim?x1 ?1 1 ?1 2思考: 如何求 limx ???2? arctan n1 nn ??n??( n 为正整数) ?16lim f ? x ? ? A(或?) ? lim f ? n ? ? lim f ? x ?x ???tan x ? x 例3 求 lim x 2 tan x . x ?00 （ 型） 0se c2 x ? 1 tan x ? x ? lim 解 原式 ? lim 3 2 x ?0 x ?0 x 3x tan2 x x2 1 ? lim ? lim 2 ? . x?0 3 x 2 x ?0 3 x 3sec 2 x ? 1 ? tan 2 x注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.17sinx 1? x . 例4 求 lim x ?0 1 ? cos x x ? sin x sinx 0 1? x ? sin x x 0 lim x ? ? 2 lim lim 解 x ?0 x ?0 1 2 x ?0 x3 1 ? cos x x1 ? cos x ? 2 lim x ?0 3x2 sin x 1 ? 2 lim ? . x ?0 6 x 3 尽量使用无穷小的代换和重要极限， 可以简化计算. 说明：180 02注意：1.可以连续使用.0 其它两个条件在计算 2.每次使用前都应检查是否为 0 ，f ?( x ) 中可得到检验 （是否可导，li m 是否存在）. x ? a F ?( x )?x ， 3.当x ? a ，x ? a ?， ? ?， ? ?? x ? ?? 时， x该法则仍然成立.4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.5.x ? a，x ? ? 时的未定式? ?型也有相应的法则.19定理 2.2) f ( x) 与F ( x) 在 ?(a)内可导, f ?( x) 存在 (或为∞) 3) lim x?a F ?( x ) f ( x) f ?( x) lim ? lim (洛必达法则) x?a F ( x ) x?a F ?( x ) 说明: 定理中 x ? a 换为 x ? a? , x ? a? , x ? ?, x ? ?? , x ? ?? 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.20?ln sin ax ? lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x ?0? ln sin bx ? a cosax ln sin ax si nax ? a lim sin bx cos ax li lim 解 x ?0 ln sin bx ? x ?m b cosbx b x ?0 sin ax cos bx 0 si nbx???a bx cos ax ? lim ? 1. ? b x ?0 ax cos bx例6.求解: 原式 ? lim1 x n ?1? 型 ?x???nx1 ?0 ? lim x??? n x n21? xn 型 例7. 求 lim ? x (n? 0 , ? ? 0) . ? x ??? e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n?1 n(n ? 1) x n?2 ? lim 原式 ? lim ?x x ??? ? e x ??? ?2 e? x n! ? ? ? lim n ? x ? 0 x??? ? e 例6、例7说明：当 x ? ?? 对数函数 ln x， 时，幂函数 x 及指数函数 e??x均为无穷大量. 但它们三者相比， 指数 趋于无穷大的“快慢”程度不一样。函数最快，幂函数次之，对数函数最慢。22tan x . 例8 求 lim ? tan 3 x x?2? ( ) ?2 2解 原式 ? lim2sec x 1 cos 3 x ? lim 2 ? 3 sec 3 x 3 x ? ? cos 2 x x?26 cos 6 x 1 ? 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x ? 3. ? lim ? lim ? lim ? ? 3 x ? ? ? 2 cos x sin x x ? 2 cos 2 x x ? sin 2 x21 ? x2 例9 求 lim 100 e x ?0 x 1 t 50 50 t 49 50 ?t 解: 令 t ? 2 , 则 原式= lim t e ? lim t ? lim t ? ?? x? ?? e x t ? ?? et 50 ! ? ? ? lim t ? 0 t ? ?? e23122二、其他未定式:关键: 将其它类型的未定式化为洛必达法则可解决的 0 ? 类型.( ),( ) 0 ? 1 1 1. 0 ? ? 型 步骤: 0 ? ? ? ? ? , 或 0 ? ? ? 0 ? .?0例10. 求lim x n ln x (n ? 0).x?0?0 ? ?型1 x ? n ?1 ?ln x ? lim 解: 原式 ? lim ? ?n x?0? ? n x x?0 xx lim (? ) ? 0 n x ?0 ?24nπ 例11 求 xlim x( ? arctanx ). ? ?? 2 ??0 π解2. ? ? ? 型π ? arctanx l i m x( ? arctanx ) ? l i m 2 x?? ? x?? ? 1 2 1 0 x 2 ? 2 0 lim 1? x ? lim x ?1 . ? 2 x?? ? x?? ? 1 ? x 1 ? 2 x1 1 0?0 . 即通分 步骤: ? ? ? ? ? ? 0 0 0?0 例12. 求 lim (sec x ? tan x) . ? ? ?型 ?x? 21 ? sin x 1 sin x ? cos x ? lim 解: 原式 ? lim ( cos x ? cos x ) ? lim ? x? 2 x ?? cos x x ?? ? sin x 25 2 2例131 lim[ x ln(1 ? ) ? x ]; x ?? x2解1 lim[ x ln(1 ? ) ? x ] x ?? x21 (令 t ? ) x1 1 ln(1 ? t ) ? t ? lim ? 2 ln(1 ? t ) ? ? ? lim t ?0 t t t ?0 t2 1 ?1 1 ?t 1?t ? lim ?? ? lim t ?0 2t 2 t ?0 2 t (1 ? t )注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与 其它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无 穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.263. 0 ,1 , ? 型0 0?0 ? ?0 ? ln 0 ? ? ? 用对数 步骤: 1 ? 恒等式 ?? ? ln 1 0? ? ? ? 0 ?ln ?0? 0 ? ?.?例14. 求 lim? x .x ?0x00 型解: lim x x ? lim e x ln xx?0? x?0?lim x n ln x ? 0 ( n ? 0). 利用 例10 x ?0?? e ?1027例15 求 lxi m(1 ? si n2 x ) . ?0m 解 lxi?0 (1 ? si n2 x ) ? x ?00 01 x1 x1 l i me?1 ln( 1? sin 2 x ) x?eln( 1? sin 2 x ) lim x ?0 x? sin 2 x ln( ? sin2 x ) 1 ? ? 2. ? lim ? lim x ?0 x ?0 x x则原式=e .?2i 例16 xl?m x ??1 x??lim ex?? ?01 ln x x?eln x lim x??? x?e1 lim x?? ? x? 1.幂指函数求极限的方法： ?用第二个重要极限； ?变形后用洛比达法则.28注意:不要把求导、求极限混淆了1? x 2x 例16 求 lim( x ) . x ??解1? x 2x 1 lim( ) ? lim e x ?? x ?? x? e x??lim 2 x ??2 x ln1? x x?e1 lim 2 x ln(1? ) x?? x1 x? e21? x 解 ln y ? 2 x ln( x ) ? 2 x[ln(1 ? x) ? ln x] 1? x 1 1 ? ? y? 1? x 1 1 ? ) ? 2 x( ? )? ? 2 ln( ) ? 2 x( ? ), y ? y ?2 ln( x 1? x x ? y x 1? x x ? 291? x 2x ) , 求y? . 已知 y ? ( 例17 xf ( x) 是未定式极限 , 如果 f ?( x) 极限 1. 设 lim 1.条件充分但不必要. g ?( x) g ( x) f ?( x) f ( x) f ?( x) 若 lim f ( x) 不存在 (? ?)时 , lim ? lim. F ?( x) . F 不存在 , 是否?( x) 的极限也不存在 ?F ( x) 举例说明 g ( x) x ? sin x 1 ? cos x 例如, lim ? xlim 1 x??? ??? x极限不存在注意： 洛必达法则的使用条件sin x lim (1 ? ) ?1 x??? x 2.对有些极限失效f ?( x ) ? 对数列极限失效. ? 对 lim 不存在时失效. g ?( x ) 30? 有时出现循环，这时罗比达法则失效. x ?x e ?e e x ? e? x e x ? e? x 如： xlim x ? x ? xlim x ? x ? xlim x ? x ? ?? e ? e ? ?? e ? e ? ?? e ? e x ?x 1 ? e ?2 x e ?e 事实上： ? 1. lim x ? x ? lim ?2 x x ? ?? 1 ? e x ? ?? e ? e?有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.se c2 x ? 1 tan2 x ? lim 如： lim 2 2 x ? 0 cos x si n 3 x x ?0 cos x sin 3 x 1 1 x2 ? . ? lim ? lim 2 x ? 0 9 cos x x ?0 cos x ? ( 3 x ) 9313.对数列极限的未定式，若想用洛必达法则，应先 用以下定理x ???lim f ? x ? ? A(或? ) ? lim f ? n ? ? lim f ? x ?n ?? x ???4. 想用洛必达法则之前应先0 ? 型、 型 （1）检查极限的类型是否为 0 ?（2）结合以前的方法化简函数，如等价无 穷小代换、四则法则、变量代换等用罗比达法则时必须检验是否为未定式。32内容小结00 ,1? , ? 0 型洛必达法则令y? fg???型f ?g ?1?1 g f 1?1 g f0 型 0 0?? 型 ? 型 f f ?g ? 1 ?g取对数33机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习3 21 分析: 原式? lim 2 x?02. 3. 求 4. 求 lim3 sin x ? x 2 cos 1 x xln(1 ? x) ～ x1 ? (3 ? 0) 2n ??n(nn ? 1) .1 1 2. ；3. ；4. 0. 6 4 342.1 6cos x ( x ? sin x) 分析: 原式 ? lim 2 x?0 x sin x x ? sin x ? lim x?0 x3 1 ? cos x ? lim x?0 3 x 2?1 x2 lim 2 2 x?0 3 xsin x ～ xlim cos x ? 1x?01? cos x ～ 1 x 2 21 ? 635练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（ D）1 1 2 ln n ? ? ln n ? n ? lim 2 ln n ? 2 lim n ? 0 ( A) lim ? lim n ?? n?? n?? n?? 1 n 1 n x ? sin x 1 ? cos x ( B ) lim ? lim ?? x ? 0 x ? sin x x ? 0 1 ? cos x2x ? cos x 1 ? sin x (C ) lim ? lim 不存在 x ?? x ?? x 1 x 1 ( D ) lim? ? lim? ? lim? x ? 0 x ? 0 ln x x?0 1 x?0 x作业：P137 1(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4.P181 10(2),(3)预习：137~14336
第3 章 中值定理与导数的应用 3.2 洛必达法则 习题解 1.用洛必达法则求下列极限: x ?0 sin bx 0 【解】这是“ ”未定型商式极限,可以应...3-2洛必达法则 高数_法律资料_人文社科_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 3-2洛必达法则 高数_法律资料_人文社科_专业资料。...3-2.洛必达法则_理学_高等教育_教育专区。模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 函数与极限 洛必达法则 1、0?∞,∞-∞转换为 2、常见等价无穷...3.2 洛必达法则_理学_高等教育_教育专区。第 3 章 中值定理与导数的应用 3.2 洛必达法则 习题解 1.用洛必达法则求下列极限: x ? 0 sin ...3.2 一、 导入新课: 柯西中值定理与洛必达法则 我们把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为“ ”型或 0 0 “ ? ? ”型未定式的极限。作为柯...x 2 ? x + 1 例 3 求 lim x →1 解 0 这是 型未定式,连续应用洛必达法则两次,得 0 x3 ? 3x + 2 3x 2 ? 3 6x 3 = lim 2 = lim = ....例题略。 .. 2.洛必达(L’hospital)法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个...(?1) 2 3 n (n ? 1)(1 ? ?x) n?1 (1+x) = 1 ? ux ? u ...考研高数--洛必达法则及函数的连续性_研究生入学考试_高等教育_教育专区。在求...(1)只有 (2)每用完一次法则,要将式子整理化简 (3)为简化运算,经常将法则与...20页 2下载券 第六节 洛必达法则 8页 免费 洛必达法则(新) 34页 免费研&#8203;究&#8203;性&#8203;学&#8203;习&#8203;3&#03;(&#8203;洛&#8203;必&#8203;达&#8203;法&#8203;则&#8203;) ...0 ? 0 0 ? 3 在着手求极限以前,首先要检查是否满足 ,, 0 ? ? ,1 , ? , 0 , ? ? ? 型○ 0 ? 2 洛必达法则可处理 ○ 定式,否则滥用洛必达...
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教学中关于洛必达法则的使用条件
2010年第9期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘 要:在无穷小量的比较中讨论两个无穷小量商的极限问题,它们有的存在,有的不存在,我们称这类极限为未定式。求这类极限既简便又重要的一种方法――洛必达法则。 中国论文网 /9/view-926674.htm　　关键词:法则 使用 条件 推广 　　 　　洛必达法则在求未定式的极限时,是一种很有用的工具,下面是它的一种常见形式。 　　定理1 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上 　　(2)■ f(x)=■ g(x)=0 　　(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x) 　　(4)在区间(a,b]上g′(x)≠0 　　(5)存在极限(有限或无穷)■■=k则也有■■=k 　　在定理1中,条件(5)的必要性一般高等数学教材中都有介绍,并举有反例。本文先对条件(4)加以分析,然后对定理1作点推广。 　　定理2 如果函数g(x)在[a,b]内处处有有限导数。且g′(x)≠0,则在[a,b]内g′(x)同号。 　　证明 若在[a,b]内有α,β(α0,g′(β)0,使 　　g(α)g(β)。 　　这说明在区间(α,β)必有一点C达到极大值。因此可推出g′(c)=0,这与条件矛盾。 　　定理2说明定理1中条件(4)等价于g′(x)在(a,b]内同号,这在有些情况使我们更容易判别条件(4)是否满足。 　　定理3 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上 　　(2)■ f(x)=■ g(x)=0 　　(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x) 　　(4)存在正数α及A,对所有a<x<α,有 　　■　　(5)存在有限极限■■=k则也有 　　■■=k 　　证明 任给ε>0,存在δ>0,当x-a<δ,有■-k<■ 　　于是补充定义f(a)=g(a)=0,注意到条件(5),我们有 　　■-k=■-k 　　=■-■ 　　=■ 　　=■ 　　≤■■<ε 　　即■■=k 　　说明 1.若定理3中条件(4)不成立,即存在数列{xn｝, 　　 ■xn=a,使■≥2n 　　在{xn｝中选子数列■, 　　使■≥2n 　　■≥nt 　　令f′(x)=■g′(x)(当■≥x>■), 　　则■■=0 　　但■=■ 　　≥■≥1 　　即■■≠0。 　　这说明对任意g(x),若它不满足定理3中条件(4),则存在f(x)使定理3不成立。从这个意义上说,定理3中条件(4)再不能改善了。 　　2.定理3中条件(5)要求k有限,若k 为无穷时,则需把条件(4)改成“在(a,b]内g′(x)”或总是不小于零,或总是不大于零。 　　其证明与定理3类似。 　　3.关于定理2的证明,严格地说,将用到实函数论知识这里不讨论了。 　　4.对于其他形式的洛必达法则,我们可用类似的办法来建立类似的定理,例如我们有 　　定理4 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上 　　(2)■ f(x)=+∞,■ g(x)=+∞ 　　(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x) 　　(4)存在正数α及A,对所有a<x<α,有 　　■　　(5)存在有限极限■■=k 　　则也有■■=k 　　最后,举一个例子来作为本文的结尾。 　　例 求极限■■ 　　解:∵■■=lna 　　由定理3,原式=lna。 　　作者单位:贵阳职业技术学院
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