知识点梳理
【外角和定理】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【内角和定理】三角形三个内角的和等于&180°．
直角性质定理：1.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即a?+b?=c?。2.在直角三角形中，两个锐角互余。3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。5.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。其逆定理也成立，即在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。7.直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D&则BD:DC=AB:AC
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在△ABC中，∠B=64°，∠BAC=72°，D为BC...”，相似的试题还有：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为()
如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E．若∠AFD=155&，则∠EDF的度数等于()
已知如图，Rt△ABC和Rt△DAE中，∠BAC=90°，∠ADE=90°，∠B=60°，∠E=45°，且AE∥BC，边AC与边DE交于点F，求∠AFD的度数．其他类似试题
24.(12分)定义:长宽比为
：1（n为正基数)的矩形称为株为
矩形. 下面，我们通过折叠的方式折出一个
如图①所示.
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF
边形BCEF为
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=
由折叠性质可知BG=BC=1，
，则四边形BCEF为矩形
阅读以上内容，回答下列问题：
中，所有与CH相等的线段是 ，tan
(2)已知四边形BCEF为
矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图
求证：四边形BCMN是
N沿用（2）中的操作3次后，得到一个“
矩形”，则n的值是
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站长：朱建新△abc中,角a=70°d为ac上的点,角a平分线ae交bd于h,ah:he=3:1,bh:hd=5:3,求角c
影歌SAMA0576
延长AE到M,使EM=AE∵AH：HE=3:1∴AH：HM=3:1+4=3:5又BH:HD=5:3 ∠BHM=∠DHA∴△BHM∽△DHA∴∠M=∠MAD又∠MAD=∠MAB∴∠M=∠MAB∴等腰△ABM又AE=EM∴BE⊥AM且平分∠ABM∴∠ABC=（180°-35°-35°）/2=55°∴∠C=180°-70°-55°=55°
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一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．化简的结果是（　　）
　 A． 2 B． 4 C．
2．下列各式中，y随x的变化关系式是正比例函数的是（　　）
　 A． y=2x B． y= C． y=x﹣1 D． y=x2﹣1
3．如图，在直角三角形ABC中，B=90°，以下式子成立的是（　　）
　 A． a2+b2=c2 B． a2+c2=b2 C． b2+c2=a2 D． （a+c）2=b2
4．下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（　　）
　 A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
5．下列式子成立的是（　　）
　 A． = B． 2﹣=2 C． =3 D． （）2=6
6．如图，特殊四边形的面积表达式错误的是（　　）
　 A． 平行四边形ABCD中，AEBC，则平行四边形ABCD的面积为：BC×AE
　 B． 菱形ABCD中，AEBC，则菱形ABCD的面积为：BC×AE
　 C． 菱形ABCD中，对角线交于点O，则菱形ABCD的面积为：AC×BD
　 D． 正方形ABCD中，对角线交于点O，则正方形ABCD的面积为：AC×BD
7．以下四点：（1，2），（2，3），（0，1），（﹣2，3）在直线y=2x+1上的有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（　　）
　 A． 若ACBD，则平行四边形ABCD是菱形
　 B． 若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
　 C． 若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
　 D． 若ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
9．将一组数据：3，1，2，4，2，5，4去掉3后，新的数据的特征量发生变化的是（　　）
　 A． 中位数 B． 平均数 C． 众数 D． 方差
10．已知点O为平面直角坐标系的原点，点A（5，0），点B（x，），若△AOB是直角三角形，则x取值有（　　）
　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　．
12．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，甲、乙参加表演的8个女演员身高的方差分别为S甲2=1.5，S乙2=2.5，则　　　　　　芭蕾舞团的身高更整齐（填“甲”或“乙”）．
13．如图，ACB=90°，AC=6，BC=8，则以AB为边长的正方形面积为　　　　　　．
14．初二（1）班共有50个人，期中考数学成绩有5个人不合格，初二年段共有600名学生，各个班级数学学习水平相差不大，请你估计年段数学不及格的人数大约有　　　　　　人．
15．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是　　　　　　．
16．若直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2=x交点为点B，若点O为
坐标原点，则△AOB的面积为　　　　　　．
三、解答题（本大题有11小题，共86分）
17．计算：÷+（﹣1）
18．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：△ABECBE．
19．某公司需招聘一名公关人员．对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示．公司规定，面试成绩与笔试成绩的权重分别为6和4，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
应试者 面试 笔试
20．如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
21．甲、乙两商场春节期间都进行让利酬宾活动．其中，甲商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折，如图所示，表示甲商场在让利方式下y关于x的函数图象，x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额．若乙商场所有商品按8折出售，请在同一坐标系下画出乙商场在让利方式下y关于x的函数图象，并说明如何选择这两家商场购物更省钱．
22．在同一平面直角坐标系中，观察以下直线：y=2x，y=﹣x+6，y=x+2，y=4x﹣4图象的共同特点，若y=kx+5也有该特点，试求满足条件的k值．
23．如图，在四边形ABCD中，ABC=90°，BAD=135°，AB=1，AC=，点E为CD中点．求证：CD=2AE．
24．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），直线y=x+b和线段AB交于点D，DEx轴，垂足为点E，DFy轴，垂足为点F，记w=DF﹣DE，当1≤w≤2时，求b的取值范围．
25．如图，四边形ABCD是菱形，CEAB，垂足为点E，且CE交对角线BD于点F．若A=120°，四边形AEFD的面积为，求EF的值．
26．在平面直角坐标系中，直线y1=x+a和y2=﹣x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y1=x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y2=﹣x+b于点F．
（1）若n=2，求△PEF的面积；
（2）若PF=2，求点P的坐标．
27．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8．
（1）如图1，若ABAC，BD=12，点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），过点P作PEAC，垂足为点E，PFBD，垂足为点F，设PE=x，PF=y，求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若AE平分BAC，点F为BC中点，且点F保持在点E的右边，求线段BC的变化范围．
学年福建省厦门市湖里区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．化简的结果是（　　）
　 A． 2 B． 4 C．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 利用二次根式的乘法法则，对二次根式化简．
解答： 解：==2．
点评： 主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
2．下列各式中，y随x的变化关系式是正比例函数的是（　　）
　 A． y=2x B． y= C． y=x﹣1 D． y=x2﹣1
考点： 正比例函数的定义．
分析： 根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
解答： A、y=2x符合正比例函数的定义，故本选项正确；
B、y=自变量次数不为1，故本选项错误；
C、y=x﹣1是和的形式，故本选项错误；
D、y=x2﹣1是二次函数，故本选项错误．
点评： 本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
3．如图，在直角三角形ABC中，B=90°，以下式子成立的是（　　）
　 A． a2+b2=c2 B． a2+c2=b2 C． b2+c2=a2 D． （a+c）2=b2
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方直接作答即可
解答： 解：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
由题意可知B=90°，所以b斜边，a，c直角边，
即a2+c2=b2，
点评： 本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，解题的关键是熟记并且灵活运用勾股定理．
4．下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（　　）
　 A． 平行四边形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
考点： 多边形．
分析： 根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质可求．
解答： 解：矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直．故选：B．
点评： 本题考查了特殊四边形性质，熟记平行四边形、正方形、菱形、矩形的性质是解决本题的关键．
5．下列式子成立的是（　　）
　 A． = B． 2﹣=2 C． =3 D． （）2=6
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 按照二次根式的性质，逐一化简，进一步计算比较得出答案即可．
解答： 解：A、=，此选项错误；
B、2﹣=，此选项错误；
C、=3，此选项正确；
D、（）2=3，此选项错误．
点评： 本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质与运算方法是解决问题的关键．
6．如图，特殊四边形的面积表达式错误的是（　　）
　 A． 平行四边形ABCD中，AEBC，则平行四边形ABCD的面积为：BC×AE
　 B． 菱形ABCD中，AEBC，则菱形ABCD的面积为：BC×AE
　 C． 菱形ABCD中，对角线交于点O，则菱形ABCD的面积为：AC×BD
　 D． 正方形ABCD中，对角线交于点O，则正方形ABCD的面积为：AC×BD
考点： 多边形．
分析： 根据平行四边形面积公式和菱形、正方形的面积公式解答即可．
解答： 解：A、平行四边形ABCD中，AEBC，则平行四边形ABCD的面积为：BC×AE，错误；
B、菱形ABCD中，AEBC，则菱形ABCD的面积为：BC×AE，错误；
C、菱形ABCD中，对角线交于点O，则菱形ABCD的面积为：AC×BD，错误；
D、正方形ABCD中，对角线交于点O，则正方形ABCD的面积为：AC×BD，正确；
点评： 此题考查平行四边形的面积，关键是根据平行四边形面积公式和菱形、正方形的面积公式判断．
7．以下四点：（1，2），（2，3），（0，1），（﹣2，3）在直线y=2x+1上的有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 把四个点的坐标分别代入直线解析式，看其是否满足解析式，可判断其是否在直线上．
解答： 解：在y=2x+1中，
当x=1时，代入得y=3，所以点（1，2）不在直线上，
当x=2时，代入得y=5，所以点（2，3）不在直线上，
当x=0时，代入得y=1，所以点（0，1）在直线上，
当x=﹣2时，代入得y=﹣4+3=﹣1，所以点（﹣2，3）不在直线上，
综上可知在直线y=2x+1上的点只有一个，
点评： 本题主要考查点与函数关系式的关系，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
8．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（　　）
　 A． 若ACBD，则平行四边形ABCD是菱形
　 B． 若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形
　 C． 若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形
　 D． 若ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质；命题与定理．
分析： 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得出A正确；
由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出C正确；
由平行四边形的性质得出ADB=∠CBD，证出ADB=∠ABD，得出AB=AD，即可得出D正确；
解答： 解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
一组邻边相等的平行四边形是菱形，
如图所示：
四边形ABCD是平行四边形，
ADB=∠CBD，
ABD=∠CBD，
ADB=∠ABD，
四边形ABCD是菱形；
点评： 本题考查了菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解决问题的关键．
9．将一组数据：3，1，2，4，2，5，4去掉3后，新的数据的特征量发生变化的是（　　）
　 A． 中位数 B． 平均数 C． 众数 D． 方差
考点： 方差；算术平均数；中位数；众数．
分析： 根据平均数的计算公式，中位数的确定方法，众数的确定方法和方差的公式分别进行计算，比较得到答案．
解答： 解：3，1，2，4，2，5，4的中位数是3，去掉3后中位数是3，A没有变化；
3，1，2，4，2，5，4的平均数是（3+1+2+4+2+5+4）=3，去掉3后中位数是3，B没有变化；
3，1，2，4，2，5，4的众数是2和4，去掉3后众数是2和4，C没有变化；
3，1，2，4，2，5，4的方差是[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（2﹣3）2]=，
去掉3后的方差是[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（2﹣3）2]=2，D发生变化，
点评： 本题考查了平均数，中位数，众数和方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
10．已知点O为平面直角坐标系的原点，点A（5，0），点B（x，），若△AOB是直角三角形，则x取值有（　　）
　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
分析： 作出图形，利用数形结合即可确定点B的个数，从而确定x的取值．
解答： 解：根据题意作图如下：
根据图象得：满足条件的点有4个，故x的取值有4个，
点评： 本题考查了坐标与图形的性质，能够根据题意作出图形是解答本题的关键，同时也考查了数形结合的数学思想．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥﹣1　．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 常规题型．
分析： 根据二次根式的性质可求出x的取值范围．
解答： 解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
点评： 主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，甲、乙参加表演的8个女演员身高的方差分别为S甲2=1.5，S乙2=2.5，则　甲　芭蕾舞团的身高更整齐（填“甲”或“乙”）．
考点： 方差．
分析： 根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．
解答： 解：根据方差的意义，方差越小数据越稳定；因为甲的方差为1.5，乙的方差为2.5，故有甲的方差小于乙的方差，故甲团演员的身高较为整齐．
故答案为：甲．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．如图，ACB=90°，AC=6，BC=8，则以AB为边长的正方形面积为　100　．
考点： 勾股定理．
分析： 根据已知条件，利用勾股定理求出AB的长，然后即可求出此正方形的面积．
解答： 解：ACB=90°，AC=6，BC=8，
正方形的面积是10×10=100，
故答案为：100．
点评： 此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．初二（1）班共有50个人，期中考数学成绩有5个人不合格，初二年段共有600名学生，各个班级数学学习水平相差不大，请你估计年段数学不及格的人数大约有　60人　人．
考点： 用样本估计总体．
分析： 利用初二（1）班共有50个人，期中考数学成绩有5个人不合格，即可估计出该年级数学不及格的人数．
解答： 解：初二（1）班共有50个人，期中考数学成绩有5个人不合格，
初二年段共有600名学生，数学不及格的人数大约有：×600=60（人）．
故答案为：60人．
点评： 此题主要考查了利用样本估计总体，正确得出样本中不及格所占比例是解题关键．
15．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2），则顶点B的坐标是　（4，2）　．
考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
分析： 根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC=OA即可得到结论．
解答： 解：如图，在OABC中，O（0，0），A（3，0），
又BC∥AO，
点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
B（4，2）；
故答案为：（4，2）．
点评： 本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．
16．若直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2=x交点为点B，若点O为
坐标原点，则△AOB的面积为　8　．
考点： 两条直线相交或平行问题．
分析： 根据直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，得到方程m﹣2=0，求得m=4，得到A（0，4），由于直线y1和直线y2=x交点为点B，得到方程m﹣2=m，求得m=﹣4，得到B（﹣4，﹣4），于是结论可得．
解答： 解：直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，
解得：m=4，
A（0，4），
直线y1和直线y2=x交点为点B，
B（﹣4，﹣4），
S△AOB=×4×4=8，
故答案为：8．
点评： 本题考查了两直线相交或平行的问题，一次函数图形上点的坐标特征，正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（本大题有11小题，共86分）
17．计算：÷+（﹣1）
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 按照先算除法和乘法，再算加减的运算顺序计算即可．
解答： 解：原式=+2﹣
点评： 本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：△ABE≌△CBE．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 利用正方形的性质和SAS证明△ABECBE即可．
解答： 证明：正方形ABCD中，AB=CB，ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
ABE≌△CBE（SAS）．
点评： 本题利用了全等三角形的判定，关键是根据正方形的性质和SAS证明．
19．某公司需招聘一名公关人员．对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩（百分制）如表所示．公司规定，面试成绩与笔试成绩的权重分别为6和4，请计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
应试者 面试 笔试
考点： 加权平均数．
分析： 根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
解答： 解：甲的平均成绩==84，
乙的平均成绩==86，
乙的平均成绩高于甲的平均成绩，乙被录取．
点评： 此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．
20．如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
考点： 矩形的判定．
专题： 证明题．
分析： 利用平行线的性质得出ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出B=90°，进而得出答案．
解答： 证明：四边形ABCD中，ABCD，BAD=90°，
ADC=90°，
又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，
ABC是直角三角形，且B=90°，
四边形ABCD是矩形．
点评： 此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．
21．甲、乙两商场春节期间都进行让利酬宾活动．其中，甲商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折，如图所示，表示甲商场在让利方式下y关于x的函数图象，x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额．若乙商场所有商品按8折出售，请在同一坐标系下画出乙商场在让利方式下y关于x的函数图象，并说明如何选择这两家商场购物更省钱．
考点： 一次函数的应用．
分析： 利用两点法作出函数图象即可，求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．
解答： 解：乙商场的让利方式y关于x的函数图象如图所示：
y乙=0.8x，y甲=200+0.7（x﹣200）=0.7x+60，
令0.7x+60=0.8x，得x=600，
当x＞600元时，选择甲，
当x=600元时，甲乙一样，
当x＜600元时，选择乙．
点评： 本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键．
22．在同一平面直角坐标系中，观察以下直线：y=2x，y=﹣x+6，y=x+2，y=4x﹣4图象的共同特点，若y=kx+5也有该特点，试求满足条件的k值．
考点： 一次函数的性质；一次函数的图象．
分析： 解其中任意一对方程组，得到（2，4），再将其他代入，验证发现均经过（2，4），把（2，4）代入y=kx+5得4=2k+5，求出k的值即可．
解答： 解：解法一：解方程组得，，
直线y=2x，y=﹣x+6过（2，4）点．
对于直线y=x+2，当x=2时，y=4；
对于直线y=4x﹣4，当x=2时，y=4，
验证发现此组直线均经过（2，4），
把把（2，4）代入y=kx+5得4=2k+5，得k=﹣．
解法二：在同一直角坐标系中，正确画出y=2x，y=﹣x+6，y=x+2与y=4x﹣4其中任意的两条图象，观察它们的图象发现这些直线交于同一点（2，4）…（3分）
验证其余直线也交于同一点（2，4），把（2，4）代入y=kx+5得4=2k+5，得k=﹣．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象上各点的坐标均适合此函数的解析式是解答此题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，ABC=90°，BAD=135°，AB=1，AC=，点E为CD中点．求证：CD=2AE．
考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
专题： 证明题．
分析： 首先利用已知条件和勾股定理可证明BC=AB，进而可得BCA=∠BAC=45°，再根据已知条件可得CAD=135﹣45°=90°，所以三角形CAD是直角三角形，利用在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可证明CD=2AE．
解答： 证明：Rt△ABC中，ABC=90°，
BC2=﹣12=1，
BCA=∠BAC=45°，
又BAD=135°，
CAD=135﹣45°=90°，
又AE为CD上中点，
AE为Rt△CAD斜边上中线，则CD=2AE．
点评： 本题考查了勾股定理的运用以及在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）的性质，解题的关键是证明△CAD是直角三角形．
24．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（4，0），（0，4），直线y=x+b和线段AB交于点D，DEx轴，垂足为点E，DFy轴，垂足为点F，记w=DF﹣DE，当1≤w≤2时，求b的取值范围．
考点： 两条直线相交或平行问题．
分析： 根据A（4，0），B（0，4）求得直线AB的解析式，联立方程组求得D的坐标，得到w=DF﹣DE=﹣=﹣b+，根据一次函数的性质即可得到结论．
解答： 解：如图所示，
设直线AB解析式为：y=kx+m
A（4，0），B（0，4）
解得：k=﹣1，m=4，
直线AB的解析式为：y=﹣x+4，
w=DF﹣DE=﹣=﹣b+，
﹣＜0W随着b的增大而减小，
当W=1时，b=；当W=2时，b=﹣，
当1≤W≤2时，﹣≤b≤．
点评： 本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的性质，求出w与b的函数关系式是解题的关键．
25．如图，四边形ABCD是菱形，CEAB，垂足为点E，且CE交对角线BD于点F．若A=120°，四边形AEFD的面积为，求EF的值．
考点： 菱形的性质．
分析： 首先利用已知条件求出ABC=2∠ABD=60°，进而可得到ECB=30°，设EF=x，利用分别x表示出△ABD和△EFB的面积，再根据S四边形AEFD=S△ABD﹣S△EFB=，即=﹣建立方程，解方程求出x的值即可．
解答： 解：菱形ABCD中，DAB=120°，AB=AD，
ABD=30°，
又BD平分ABC，
ABC=2∠ABD=60°，
又CE⊥AB，
ECB=30°，
在Rt△EFB中，ABD=30°，
则BE2=（2x）2﹣x2=3 x2
在Rt△CEB中，ECB=30°，
E点为AB中点，BC=AB=2，
四边形AEFD的面积为，
S四边形AEFD=S△ABD﹣S△EFB=，
点评： 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用、一元二次方程的运用、三角形面积公式以及直角三角形30°角的性质，解题的关键是利用勾股定理建立方程，利用方程思想解决几何图形问题，题目的综合性较强，计算量较大，是一道不错的中考题．
26．在平面直角坐标系中，直线y1=x+a和y2=﹣x+b交于点E（3，3），点P（m，n）在直线y1=x+a上，过点P（m，n）作x轴的垂线，交直线y2=﹣x+b于点F．
（1）若n=2，求△PEF的面积；
（2）若PF=2，求点P的坐标．
考点： 两条直线相交或平行问题．
分析： （1）根据直线y1=+a和直线y2=﹣+b的交点为E（3，3）求得a=2，b=，得到直线y1=和直线y2=﹣，求得P（0，2），即可得到结果；
（2）由（1）知，点P在y1=+2，点F在y2=﹣，由于PFx轴，可设P（m，），F（m，﹣），于是得到PF=|（）﹣（﹣）|=2即可得到结果．
解答： （1）解：直线y1=+a和直线y2=﹣+b的交点为E（3，3）
3=×3+a，3=﹣×3+b，
得直线y1=和直线y2=﹣，如图所示，
又n=2，2=，m=0，
P（0，2），
过点P（0，2）作x轴的垂线，交y2=﹣直线于点F，
F（0，），
（2）解：由（1）知，点P在y1=+2，点F在y2=﹣，
PF⊥x轴，可设P（m，），F（m，﹣），
PF=|（）﹣（﹣）|=2，
m=﹣或m=，
P（﹣，）或P（，）．
点评： 本题考查了两直线相交或平行的问题，一次函数的性质，三角形的面积的求法，求点的坐标，正确的理解题意是解题的关键．
27．在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8．
（1）如图1，若ABAC，BD=12，点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），过点P作PEAC，垂足为点E，PFBD，垂足为点F，设PE=x，PF=y，求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若AE平分BAC，点F为BC中点，且点F保持在点E的右边，求线段BC的变化范围．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）如图1，由平行四边形的性质易得BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，利用勾股定理可得AB的长，BC，AD的长，由三角形的面积公式可得，S△AOD=S△POA+S△POD=2x+3y=，S△AOD=S△ABC==4，得x，y的关系式；
（2）法一：如图2，由AE平分BAC，点F为BC中点，可得BF=CF，利用角平分线的性质易得ET=EG，AT=AG，由勾股定理可得，BT2=BE2﹣TE2，GC2=EC2﹣GE2=EC2﹣TE2，由点F保持在E的右边，且BF=CF，易得BT＜GC，可得BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，由三角形三边关系可得BC的取值范围；法二：如图3，连接FO，过点F作FHAE，交AC于H，由平行线的性质和角平分线的性质可得，BAE=∠FHO，由中位线的性质可得2FO=AB，FOC=2∠FHO，由外角的性质可得FOC=∠FHO+∠HFO，易得HO=FO，可得0＜FO＜4，由三角形三边关系可得AC﹣AB＜BC＜AB+AC，设FO=x，则AB=2x，且0＜x＜4，结合图象，如图4，可得BC的取值范围．
解答： 解：（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AC=8，BD=12，
BO=DO=6，AO=CO=4，BC=AD，
又AB⊥AC，
Rt△ABO中，AB2=62﹣42=20，
Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=84，
点P是线段AD上的动点（不包含端点A，D），
PEAC于点E，PFBD于点F，PE=x，
PF=y，连接OP，
S△POA==2x，
S△POD==3y，
S△AOD=S△ABC==4，
S△AOD=S△POA+S△POD=2x+3y=，
y=，（0＜x＜2）；
（2）法一（几何法）：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8，
点F为BC中点，则BF=CF，
AE平分BAC，则BAE=∠CAE，
过点E作ETAB，EGAC，则ET=EG，AT=AG，
Rt△BTE中，BT2=BE2﹣TE2，
Rt△EGC中，GC2=EC2﹣GE2=EC2﹣TE2，
点F保持在E的右边，且BF=CF，
BT2＜GC2，
BT+AT＜GC+AG，即AB＜AC，即0＜AB＜8，
△ABC中，AC﹣AB＜BC＜AB+AC，
即0＜BC＜16；
法二（代数法）：在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=8，
如图3，连接FO，过点F作FHAE，交AC于H，
AE平分BAC，
BAE=∠CAE，
又FH∥AE，
FHO=∠CAE，
又点F为BC中点，BF=CF，AO=CO=4，
2FO=AB，FOAB，
FOC=∠BAC，
FOC=2∠FHO，
又FOC=∠FHO+∠HFO，
FHO=∠HFO，
又HO＜AO，
2FO＜2AO，且0＜FO＜4，
ABC中，AC﹣AB＜BC＜AB+AC，
设FO=x，则AB=2x，且0＜x＜4，
8﹣2x＜BC＜8+2x
令y1=8﹣2x，y2=8+2x，（0＜x＜4），
画出图象，如图4，可知0＜BC＜16．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，三角形三边关系，勾股定理等，利用三角形的面积公式和三角形的三边关系是解答此题的关键．
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