设函数则c=．考点：微积分基本定理．3794729专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：由，∴=1，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．湖北省襄阳市2013届高三元月调考数学（理）试题解析版答案 考点：微积分基本定理．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：由，∴，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．相关试题谁有上海交大微积分习题解答？ 求大学数学微积分（上海交大编，高等教育出版社出版）的课后习题解题答案！！！ 09-10-23 &匿名提问 我不知道你指的是通常大学理科所学的“高等数学”课程的范围，还是宽泛的、广义的“高等”数学的内容。同样的作为一本课外书，它们是很不同的。我只好多说一点。 一、通常“高等数学”课程的内容包括： 初等微积分（不同于复变函数、实变函数、泛函分析之类的高等数学分析）和简单的微分方程、线性代数初步、空间或平面解析几何、初等概率论和数理统计。上面的清单不是所有教材都面面俱到，还可能分成了不止一门课，有时“高等数学”这个课只是一些初等微积分和微分方程的内容。 这一类内容主要还是选择教材来看。常见的有如下一些，内容按由浅入深排列，你可以按介绍来选择。我个人觉得课外书还是找一本最简单的看，理解思想方法最主要： 1、北大版或人大版《文科高等数学》。想快速了解高数的一些思想、原理和计算方法的话，这两本书都是不错的选择。基本没有什么难度，高中生读来不会有什么障碍。还有一大好处是内容比较杂，微积分、代数、几何、统计什么的都有一点。 2、高等教育出版社，旧版是人民教育出版社，樊映川著《高等数学讲义》。这个书是五六十年代一直到80年代使用十分广泛的教材，尤其是师范类院校。讲解相当细致，例题选择精到，没有习题。这个书还有一大好处是先有很大篇幅讲空间解析几何，后讲微积分。 3、同济版（新版是第五版）《高等数学》。它是被国内工科大学广泛采用的一本教材，也是国家“十五”计划教材，在同类教材中算是比较好的，计算例题比较详细。不过我觉得作为“课外书”可能会嫌篇幅大了一点。（纠正santiagomunez说的一点，中国高数教材多如牛毛，并不以它为蓝本，同济这个书用得多一些，但还称不上什么权威） 4、西安交大版，或国防科大版《工科数学分析》。内容有相当深度，想把它当成课外书啃下来是很难的事情。工科数学分析的特点是所有问题基本都能让你“知其所以然”，不留逻辑漏洞，但又注意形象思维，不像数学专业的书那么形式化。 5、北大版，李忠编《高等数学》（物理类）。理科院系用书，难度和4差不多，重理论推导。也包含空间解析几何的内容。 6、北大版，张筑生著《数学分析新讲》（三册）。就是以前数学系用的书，这一版本的特点是比较注意形象性，把一些难理解的东西都放在较后面。但学完它肯定有很好的训练。 7、科学出版社新版，菲赫金哥尔茨，《微积分学教程》（三册）。经典教材。苏联的书就是讲得细，没得说，所有定理都有详尽的讨论。缺点是篇幅太大，有时过于罗索。 8、美国R·柯朗著《微积分和数学分析引论》，科学出版社。这是一本数学名著，讲了不少别的书很少提到的应用上的原理，风格比菲赫金哥尔茨的书明快一些。我就是看了这本书才搞明白“面积”的严格定义的。虽然比较难，但有不少有趣的内容，很值得一读。 9、W.Rudin《数学分析原理》，机械工业出版社，英文影印本和译本都有。这是一本数学名著。很难，都是从抽象的、一般角度讲数学分析。风格十分简约。不推荐初学者读。 如果是想自学，可能还是会需要有解答的习题集或问题集，也按难度排： 1、同济版高数的习题解答或同步辅导。想必你不感兴趣。 2、人民教育出版社，吉米多维奇，《数学分析习题集》；山东教育出版社，《数学分析习题集解》。这个书有4千多道题，无论如何是太多了，有许多同类型的重复。曾见有此书的精简本，也有一千多吧。 3、北大，方企勤，《数学分析解题指南》。跟上一个内容相似，难度也相似。量比较少，也比较精致。 4、高教，裴礼文，《数学分析中的典型问题与方法》。很难，讲了不少技巧。初学不推荐。 5、波利亚、舍贵，《数学分析中的问题和定理》。这是一本数学名著。超级难，但绝不是为了应付考试的书。有志于进入数学领域的话还是值得一看的。不过就是非初学也不怎么推荐。 二、宽泛的内容。 凡是中学以后的内容基本上都是广义的高等数学范畴，要列出一个详细的书单是困难的。但作为入门的、课外的读物，比较好的有： 1、北大，《数学的美与理》《数学的源与流》。都是讲数学的思想、方法和应用，前者尤其浅显易懂。 2、科学出版社，亚历山大洛夫，《数学——它的内容、方法和意义》（三卷）。这是一本数学名著。通俗地介绍了数学的各个分支的主要内容、思想方法和应用。因为是科普性质，所以有高中知识就可以读懂。而这本书的内容又十分广泛、全面，涉及的领域绝不浅近，是不可多得的好书。 3、上海科技教育出版社，克莱因，《古今数学思想》（四册）。一本十分经典的数学史的书，主要是西方数学成就，至今没有什么数学史的书比它更出色。和上面那本书一样是百科全书式的，不同的是上一本重“论”，这一本重“史”。 请登录后再发表评论! 抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。 题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。 数学，是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。 培根说，“数学是科学的大门和钥匙。”的确，数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们，数学功底都极深。比如，约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。 数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理，要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成，要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫。 基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解。数学的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多内容就学不懂，无法掌握和运用。例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性，向量组的秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等，初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。 基本理论是数学推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的，有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一定要清楚，要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的。例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。求逆方阵、求矩阵的秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换，要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题，理论依据是什么？是作初等行变换还是列变换。又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理，判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的。在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。 掌握数学概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题，而且要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解，提高解题能力，熟才能生巧，捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性，通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学素养。我大学时期的数学老师是北大的研究生（当时正准备去美国读数学博士），福建省当年高考的状元，他高考数学是120分（满分），物理99分，……他告诉我学习微积分的经验就是作四万道题，保证微积分通过（包括考研微积分部分）。——作题的重要性可见一般。 要学好数学就要认真对待学习的各个环节。首先是听课，听课要精神集中，如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析，作好笔记，学会自己动手，边听边记，特别要记下没有听懂的部分。第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习，要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容。在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成练习册上的习题，这样做是收不到任何效果的。要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂。对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂。（当然，我不鼓励象我一样，自己一个人看书，最好找一下免费的视频课件，效率会高些） 接着是阶段总结。每学完一章，自己要作总结。总结包括一章中的基本概念，核心内容；本章解决了什么问题，是怎样解决的；依靠哪些重要理论和结论，解决问题的思路是什么？理出条理，归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。 最后是全课程的总结。在考试前要作总结，这个总结将全书内容加以整理概括，分析所学的内容，掌握各章之间的联系。这个总结很重要，是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理。在总结的基础上，自己对全书内容要有更深一层的了解，要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。 若能把握住以上四个环节，真正做到认真学习，不放过一个疑难点，一定会学好数学。 当然，对于自考的高等数学一和高等数学二来说，详细具体的计划是必要的（最好计划要有些富余，以减少突发事件对计划的影响），毕竟我们要工作的，时间有限，合理的规划往往会事半功倍，“凡事预则立，不预则废”；历年考题的详细研究也是保证通过的一个不错的途径。因为自考的定位，就是考些我们应知应会的东东，题目往往不会太难，据说题库的总量好像也不大，每年重复出题的几率很高。当然，也会有个别题目有难度，因为被大多数学生考满分，说明老师水平有问题，：），至少试题有问题。 最后送两句话给自考的朋友，来点私心，也copy一份留送给自己。 “顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰。”——狄更斯 “没有比人更高的山，没有比脚更长的路。”――汪国真 4月17日，我在上海财大考了自考的高数（二），考试比预想中的要顺利很多，估计能够打破我参加自考以来的得分记录。自考不在于分数高低，关键在于花费最少的时间得到你想要的结果，考后回忆自己最后这一个月的复习历程感慨甚多，觉得有必要把自己的考试经历及最后1个月的应试方法写出来和大家共享。 第一次报名自考的时候就报了高数（二），报名之前就知道高数难，难到很多人为此放弃自考，但我当时并没有把这当一回事，我想我读书的时候成绩最好的就是数学，其他没有把握这门应该没有问题。但真正进行起来我发现完全不是这么回事，要把这两本书完全看懂几乎是不可能完成的任务，线性代数的书看了一半我就放弃了。 之后的几次自考我都没有报高数（二），一方面是想先把其他科目解决掉，另一方面是对这门课有点畏惧。但再怕还是要考的，我已经上了自考的贼船了！2005年4月的考试我再次报名高数（二），这次我准备了不少资料，最重要的是中华会计网校2004年的语音视频课件及讲义，我下定决心一定要考过。 我给自己订了个计划，分3个阶段学习高数，先听课件看讲义（从2004年12月到2005年2月，3个月完成60个课件），再做章节练习（2005年3月），最后做模拟试题冲刺复习。计划订得很好，但由于种种原因没有好好执行，想想我真可以算得上“三天打鱼，七天晒网”到了考试前1个月，也就是3月18日才看完线性代数1-4章，概率统计还没有碰（60个课件才完成了25个），而且效果极差。后面课程中涉及到的前面章节的知识点我象没有学过一样，战线拖得太长的弊端暴露无疑。眼见这次考试又要失败，我猛然觉醒，改变了学习方法，在1个月左右的时间里顺利完成了复习。 最大的改变就是从原先的想法“把书上的知识点弄懂”变成“如何通过这门考核”。 高数（二）的教材并不适合自学，编排体系比较乱，知识点很多，但真正要求重点把握的知识点有限。概率统计中有3章（1、7、9）几乎是不考的，还有些章节中部分内容考核中也不做要求（如线性代数中的分块矩阵、子空间、约当、惯性，概率统计中的多维随机变量、大数定律和中心极限定律不考，第8章只考一元线性回归方程）。我意识到在不到一个月的时间里完成自考的高数（二）必须从考核重点出发，明确学习重点，对重点逐一落实。自考的考生还是上辅导班比较好，但前提是要碰到一个有应试意识的老师。 明确了方向以后要做的事情就是如何明确重点。高数使用的是题库，我收集了从2000年到2004年的16份试卷，对主观题的考点做了统计归纳，具体如下： 线性代数部分： 矩阵的性质、定义 29 方程组求解 15 线性关系 11 行列式计算 4 向量正交 2 特征值、特征向量、对角阵、二次型 11 概率统计部分： 概率计算 23 分布函数与密度函数 25 矩估计 3 无偏估计 11 极大似然估计 2 数学期望 9 置信区间 7 假设检验 7 回归方程 9 （以上统计归纳仅供大家参考） 重点明晰以后我把有限的不到一个月时间重新排了个计划，还是3个阶段。 一、章节复习，重点归纳 重点复习历年试卷中重点考核的知识点，对重点题型认真理解，边学习边对知识点总结归纳，把基本的定义、定理、公式，自己掌握较差的知识点以及常见题型的解题思路及解题步骤记录下来，陆陆续续地在一本笔记本上记了40多页（个人认为这个笔记在应试方面的价值高于任何一本参考书）。每一章的总结完成以后再把历年16份试卷中涉及到该章的题目认认真真地做一遍，对基本的题型做到熟练掌握。 二、各章知识点串联 各章复习完成以后要把相关的章节串起来，我这时的复习重点是我自己的笔记，书已经被我扔到一边去了。 三、综合题复习 最后是看模拟题，这时我已经不动笔做题目了。最后2天是看我买的北大燕园的10套模拟试题，想解题思路（重点是证明题），再对照答案找感觉。当然进考场之前对一些公式之类的还是要再记忆一下。 最后一个月的复习是相当艰苦的，有时在写字台前一坐就是2个小时，这也算是对我前期复习拖沓的惩罚吧！如果我能够在考前2个月就开始调整状态、改变方法认真复习的话，那会轻松很多。 高数是自考中一大难点，很多人在心理上就非常畏惧，就象我这次考试时一个考场25个人只来了7个。高数的确很难，但并非高不可攀，综合我的学习经历，我给准备参加自考高数（二）的网友提供以下建议： 1、建立应试意识，明确考核重点。 2、重点内容重点复习，不求全部掌握，但对于历年考核的重点必须搞懂。 3、学会归纳总结。 我个人认为只要方法对头，平均每天能够投入2个小时，花上1个半月到2个月就能够消灭自考路上最大的拦路虎。 以上是我自考高数（二）的经历及个人总结的功利性的应试方法，这种方法对高数复习有效，但还是希望大家慎用。 你好！如何学好高等数学微积分 几点建议。一、学习高等数学，首先要理解知识间的必然联系，在头脑中形成一个知识网络。《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识，需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中，理清思路，弄清整本教材的脉络。该课程的核心是微积分，围绕这一核心，需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立，无穷级数学习的基础，因而极限论成为重要的基础内容。而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着密切的联系。从这些方面来看，虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点，但它们又是一个密不可分的整体。为此，在学习的过程中，应该掌握好每一块内容的重点和要点，由点带动面的学习，由局部带动整体的理解。二、学习高等数学时，注意多归纳、勤总结。归纳总结能帮助学习者将一些比较分散的知识集中起来，做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解，这样在解决问题时，头脑中会形成更多的思路，找到更多的解题方法。下面是对极限求法的一个归纳总结，以此说明归纳总结的重要性，同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。常见的求法归纳起来有如下几种：1．先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。2．利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。3．利用无穷小的性质求极限。这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。③非零无穷小与无穷大互为倒数。④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的效果。要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。4．两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。5．利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。6．利用洛必达法则求0/0型，(无穷)/（无穷）型，0，无穷，无穷-无穷，0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方型函数极限。需要说明的是，求函数极限的方法很多，到底用哪一种方法简单，这需要具体问题具体分析。有时对一个问题，我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换，可以大大减少计算量，同时也减少了出错的可能。三、学习高等数学，注意自始至终要做到学习与思考相结合。整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道，“学而不思则罔，思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来，才能不断发现问题，有所收获。遇到一些典型问题要多加考虑，追根溯源，这样不管问题如何变化，都能做到游刃有余。对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的，由于该函数较为抽象，学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时，有公式，我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时，应该有对应的公式成立。再往深处思考，我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x)，积分下限为变量x的函数a(x)时，应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点，那么再次遇到有关变上、下限的积分函数的问题，都可轻松解决了。四、学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法；二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法；三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。五、学习高等数学，日常练习是必不可少的。通过练习，一方面可以回顾、巩固所学知识，另一方面还可以总结解题的关键和思路。但做练习也要适度，不必沿袭中学的题海战术，练习时尽量找有代表性，少而精的题目。比如，分段函数是高等数学里一类基础却重要的函数为例。所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的一个函数。分段函数的定义虽然简单，但我们可以利用它联系起来起很多知识。如已知一分段函数,求:①函数的定义域；②f(1)，f(0)，f(-3/2)，f(1/2)；③研究函数在间断点处的连续性与可导性；④求积分f(x)在某个范围的定积分。通过练习此题的①②④，可以帮助我们深入理解分段函数的定义。对于③的求解，需要用到左、右连续和左、右导数的定义以及函数在某一点处连续和可导的充要条件。更多地，我们从中还可找出函数极限存在、连续与可导之间的密切关系。可谓是一举多得。六、学习高等数学，讲究循序渐进，不可急于求成。这是因为任何知识的学习都需要一定的消化过程，高等数学更是如此。学习者应根据自己的实际能力选择一个适当的学习进度。不要一味地追求速度，而忽略了学习的效果，也不要因为某一方面的问题不能解决而放弃学习或停止不前。最好的学习方法是边学习边复习。不断地学习能帮助我们吸收新的知识，而有计划的复习能巩固知识，深化知识，达到对知识的深入理解。在学习过程中遇到各种各样的问题是在所难免的，如果实在不能掌握该问题，建议大家不妨暂时把问题分成一系列小的问题，然后去复习、回顾那些与此相关的基础知识，采取各个击破的方法排疑解难，直到最终解决该问题。比如说，在微分学一章中，以求多元抽象复合函数的高阶导数最为困难。为了克服这一难关，学习者最好先打牢有关的基础，如：什么是多元函数？复合函数以及多元复合函数的含义是什么？什么样的函数为抽象函数？怎样正确做出多元复合函数的求导链？如何理解多元抽象复合函数的一阶导数？解决好这些问题，会对我们掌握好多元抽象复合函数的高阶导数起到关键的作用。 都大学生了还问这个问题不觉得对不起自己么？建议你先不要浮躁静下心来慢慢看，多做一些练习实践永远是这种问题的最好答案 还有比多做更好的办法了吗？ 请登录后再发表评论!当前位置： >> 微积分基本定理的证明 理学院School of Sciences微积分基本定理的证明Proof of the fundamental theorem of calculus学生姓名： 张智 学生学号： 所在班级： 数学 101 所在专业： 数学与应用数学 指导老师： 杨志林摘 要
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不 断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志 着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必 要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、 勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学 理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor 中值定理的积分证明、连续函 数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元 函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明IABSTRACTCalculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others onmade the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem.Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,ProofII目 录摘 要 ..................................................................... I ABSTRACT ................................................................. II 第一章 微积分基本定理发展历史 ............................................. 1 1.1 前言 ............................................................... 1 1.2 巴罗的几何形式的微积分基本定理 ..................................... 1 1.3 牛顿的反流数形式的微积分基本定理 ................................... 3 1.4 莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 ......................... 4 1.5 柯西现代形式的微积分基本定理 ....................................... 5 1.6 黎曼积分下的微积分基本定理 ......................................... 6 1.7 勒贝格测度积分论下的微积分基本定理 ................................. 8 第二章 微积分基本定理的应用 .............................................. 10 2.1 微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用 .......................... 10 2.2 微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用 ........................ 11 2.3 微积分基本定理在 Taylor 中值定理的积分证明中的应用 ................. 12 2.4 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 .......................... 13 2.5 一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 .................................. 14 2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 ................................. 16 第三章 微积分基本定理的证明 .............................................. 20 3.1 微积分基本定理的一个证明 .......................................... 20 3.2 利用定积分的定义证明微积分基本定理 ............................... 21 3.3 利用微分证明微积分基本定理 ....................................... 22 3.4 利用中值定理证明微积分基本定理 ................................... 22 3.5 在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索 .............. 22 结论 ..................................................................... 23 致谢 ..................................................................... 23 参考文献 ................................................................. 24III第一章 微积分基本定理发展历史1.1 前言微积分是经典数学的重要内容，曾引起马克思、恩格斯、列宁的关心和兴趣。他们 从哲学家的角度，对微积分及其发展史进行深入地研究，并对微积分的本质进行了广泛 的讨论。认为微分和积分是微积分的主要研究对象，它们之间的矛盾是微积分的主要矛 盾，明确指出：微积分这门科学，是研究微分和积分这对矛盾的科学。为我们研究微积 分及其历史提供了线索。 本文以研究反映微分和积分内在联系的微积分基本定理发展为 主线，简叙微积分发展历史。 事物是普遍联系的，发现事物的一种联系，是一种创造。从哲学角度来说，事物相 距越远，其发现难度就越大，就越能说明事物之间的联系，其发现的意义也就越大。微 积分基本定理就是这样一项发现和创造。 微积分基本定理 ? f ( x)dx ?F (b) ? F (a) 作为微积分的核心定理，一方面，它将求函a b数定积分计算化为求函数原函数的计算，从而简化了定积分的计算，为微积分的应用带 来了活力。另一方面，它在理论上揭示了微分和积分这对矛盾的内在联系和转化规律。 因此，微积分基本定理的确定和完善，成为微积分发展的标志，在微积分发展史上有着 重要的意义。 微积分基本定理从发现到形成现在的形式，跨度将近二个世纪，大致分为萌芽、创 立和完善三个阶段，作出贡献的有巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人。1.2 巴罗的几何形式的微积分基本定理微分和积分的概念，古而有之，在古希腊时代，伟大数学家就创立了求抛物线切线 的方法。我国古代数学家祖冲之利用无穷小分割的方法，计算出圆周率为 3．1415926， 创造了中国古代数学的辉煌一章。所有这些，都为微积分创立做了必要的准备。特别从 15―16 世纪欧洲文艺复兴时代以来，一大批数学家沿着古人的道路，在求切线，求面积 和体积这两类微分和积分的基本问题上进行了深入的研究，得到了用无穷小方法求切线 和面积的方法，为微积分的诞生做出了贡献，其中有培根、韦达、费马、笛卡尔、开普 勒、帕斯卡等人。由于时代的限制，这些研究都是针对个别问题的，并未形成统一的方1法。特别是他们并未看到“求切线”和“求面积”之间的互逆关系。利用这种关系可以 将“求面积”这一繁琐的运算化为“求切线”的逆运算这一简便计算的事实，所以他们 并未成为微积分学说的创立者。 在历史上， 十七世纪英国数学家巴罗是第一个看到这一互逆关系的人。 巴罗(1630～ 1677)，曾任剑桥大学第一任“卢卡斯教授” ，三一学院院长和剑桥大学副校长，牛顿的 老师。 他的代表作有： 《数学讲义》 ()， 《光学讲义》 (1669)， 《几何讲义》 (1670)。 在数学方面的主要贡献有：给出求曲线切线的方法，引入“微分三角形 的概念，以明 确形式给出了求切线和求面积之间的互逆关系。所有这些，对于后人，特别是对于牛顿 和莱布尼兹确立微积分体系有着重要的启发，对于后人，巴罗被认为是微积分创立的先 驱者。 他在《几何讲义》一书的第 10 讲和第 l1 讲中，以几何形式给出了求面积和求切线 的互逆关系，这一关系用现代数学语言可以表叙为： 建立坐标系 XOY，使 OY 向下，现有增函数 y ? f ( x) 在 坐标系中表示为曲线 BGE(图 1)， D(x,0)为 OX 上任一点， 曲线 BGE 和 OD 及纵线 BO，ED 所围成的面积(即曲边 梯形 OBED 的面积)是 x 的函数，记作 S(x)，为了便于比 较，以 OY 的反方向为 OZ,建立坐标系 XOZ，作出函数 Z=S(x)的曲线 OIF，F(x，S(x ))是 ED 延长线与曲线的交 点，在 OX 上取点 T，使得 TD ?DF S ( x) 。巴罗断言直 ? ED y线 TF 是曲线 OIF 在点 F 的切线(原话是 TF 仅在点 F 与 OIF 相接触)，并以较为初等方 法加以证明。 很容易看出直线 TF 是分析意义下面积函数 S(x)的切线。若同时适当地定义斜率， 则上述结论就相当于S ?( x) ? d x f (u )du ? F ( x) 。 dx ?0巴罗的这一结果被认为是微积分基本定理的最早形式，从而对微积分的创立起到了 巨大的作用。由于这一结果是甩几何语言叙述的，较难理解，应用也较为困难，再加上 巴罗本人对于接近微积分基本定理的重大发现似乎认识不足，因此这一发现在当时影响 不大。再加上他的兴趣日益转向神学，1669 年，巴罗主动宣布牛顿的才华超过自己，并2将“卢卡斯教授”这一重要职位让给了年仅 26 岁的牛顿，从而为牛顿在科学研究中显 示自己的才华创造了机会。与此同时，揭示微分和积分内在联系，确立微积分基本定理 在微积分学中核心地位的重任历史地落在牛顿和莱布尼兹肩上。1.3 牛顿的反流数形式的微积分基本定理牛顿()是英国最伟大的数学家、 物理学家、 天文学家， 微积分学的奠基人。 一般认为牛顿是在前人的工作基础上进行分析和综合的基础上建立他的理论体系的，他 将古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法――微分和积分。以 “流数”(导数)为该理论的核心概念，并通过逆过程(反流数)来解决面积等积分问题， 是牛顿构建微积分理论的主要特点。 牛顿研究微积分的代表怍有三本： 《论流数》写于 1666 年； 《无穷多项方程的分析》 写于 1669 年，发表于 1711 年； 《流数法和无穷级数》写于 1671 年，发表于 1736 年。 牛顿被认为是完全继承了费马和瓦里斯的无穷小算法，实际上他的发展远大于继承。他 从瓦里斯的整数幂有限项级数得到启发，发现了无穷级数的二项式定理。使无穷小更富 于活力， 并使他可以从函数关系中自变量的无穷小量变化和相应的函数变化量之闯的比 例关系加以考虑，从而得到人类有史以来最有力的数学工具――微分方法及其思想，牛 顿称之为“流数法” 。进而，他发现反流数法，可以由切线求出曲线，由流数求出函 数，更加神奇地是利用反流数法，可以轻松求出曲线所围图形的面积，而不必借助复杂 的穷竭法求面积。 牛顿将求曲线切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到代数形式 的互逆运算形式，这是历史上第一次以明确形式给出了微积分基本定理。 以下是牛顿在《论流数》中首次给出的微积分基本定理： 设 y 为曲线 g ? f ( x) 下图形 abc 的面积，作 de//ab，ad⊥ab，ce⊥de，be=1，当垂直线 cbe 以单位速度向右移动时，cb 扫出面积 abe=y，其流数? dy ? ? dx ? ? ? ? q ，be 扫出 adeb=x，其流数 ? ? ? p ? 1。因此， ? dt ? ? dt ?? dy ? ? dy dt ? q ? ? ??? ? ? ? ? q ? f ( x) ,于是面积 y 可以通过面积 ? dx ? ? dx dt ? p3? dy ? 的变化率 ? ? ? f ( x) ，经过反流数求得(如图 2)。 ? dx ?这里，牛顿虽未以命题形式叙述和证明微积分基本定理，但他确实很清楚地看到这 个事实，并应用它使许多动力学、运动学的问题到牛顿手里变为简单问题，从而使牛顿 在经典物理学做了开创性的工作。牛顿在以后的著作中，如《流效法和无穷级数》中将 微积分分为二个基本问题：已知流量关系，求流数比；已知含流致的方程，求流量的关 系，从而确定这两个问题的互逆关系，进而建构起系统的微分法和反微分法。1.4 莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理莱布尼兹()，德国伟大的哲学家、数学家、微积分的奠基人之一。 他开始研究数学的时间比牛顿要晚，在十七世纪七十年代，他开始了解到笛卡尔、瓦里 斯、巴罗在研究做积分的初期工作，并萌发了与做积分有关的思想。做为一位哲学家， 他是从发现和揭示做积分基本原理入手发展他的学说的，独立的微分 dx 和 dy 作为他的 体系基本概念，面积和体积被看成为若干个微分之和。 巴罗的微分三角形对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到：曲线 切线依赖于纵坐标的差值与横坐标差值之比，求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐 标之和，再加上他对整数平方和序列中“和”与 差”关系的研究，使他意识到求切线 和求积问题是一对互逆的问题， 从而促使他去研究“ ? ”的运算(积分)和“d”的运算(微 分)之间的关系。在他研究了积分和微分的运算之后，注意到这样一个事实： “对于 pdx ? xdx ， 转换成和式就变为 ? pdx ? ? xdx ， 而从我们所建立的求切线方法中， 明显地有 d1 2 1 x ? xdx ， 所以反过来 x 2 ? ? xdx ． 因此作为普通运算的幂和根式， 和与差， 2 2“ ? ”和“d”是互逆的。 ” 通过以上不充分的论证，莱布尼兹第一次表达出微分和积分之间的互逆关系。 年间，他给出微积分基本定理?都发表在《教师学报》上。badf ? f (b) ? f (a), ? f ( x)dx ? A ， dx其中 A 为曲线，所围图形的面积。1693 年，他给出了上述定理的一个证明．以上这些将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志。牛顿和莱布尼兹4在前人研究的基础上，各自独立地将微分和积分真正地沟通。通过微积分基本定理将两 种运算统一起来，明确这对矛盾是可以转化的，是一对互逆的运算，这是建立微积分的 关键所在，只有确定了这一基本关系，才能构建系统的微积分理论，并从对各种微分和 求积公式中，归纳出共同的算法，从而为微积分应用提供了有力武器。这就是牛顿、莱 布尼兹做为微积分理论奠基人的主要功绩。1.5 柯西现代形式的微积分基本定理牛顿和莱布尼兹的做积分体积中，总是将积分看成微分的逆运算，并且他们的积分 概念也是含糊不清的，有时指为定积分，有时又为不定积分、特别是将积分定义为微分 的逆命题，从某种意义上影响了积分学做为相对独立数学分枝的发展，造成了微积分发 展的曲折，这种情况到微积分进行严格化尝试时才有所变化。 柯西()，十九世纪法国著名的数学家，他在分析基础、单复变函数、常 微分方程方面作出巨大贡献。他是微积分的真正理论基础――极限理论的缔造者。我们 今天看到极限、连续性定义、把导数看成差商的极限、把定积分看成和的极限、微积分 基本定理现代形式和证明，事实上都是柯西给出的。 柯西在他的《无穷小计算概念}(1823)中对定积分作了最系统的开创性工作，首先他 恢复了把积分作为和的特征。 他对连续函数 f(x)给出了定积分作为和的特征， 他指出； 如果 f(x)是定义在区间 ?x0 , x? 上连续函数，区间 ?x0 , x? 为 x 的值 x1 , x2， ?，xn?1 所分割，那么 f(x)在 ?x0 , x? 上的积分是指 特征和式f ( x0 )(x1 ? x0 ) ? f ( x1 )(x2 ? x1 ) ? ?? f ( xn ? xn?1 ).当 xi ?1 ? xi 无限地减小时的极限。 柯西证明了 “这个极限仅仅依赖于函数 f(x)的形式以及 变量 x 的两端值 x0和X ” ，因此他称这个极限为定积分，记作 ? f ( x)dx 。用以代替高x0 X? x ? b? 斯对反微分法经常使用的记号 ? f ( x)dx? ?。 ? x ? a?接着柯西定义， F ( x) ? ? f ( x)dx ，利用推理证明了 F(x)在 ?x0, X ? 上连续，并且设x x0F ( x ? h) ? F ( x ) 1 x ? h ? ? f ( x)dx. h h x5? x 利用积分中值定理证明了 ?? f ( x)dx? ? f ( x) ，即 f(x)在区间 ?x0 , x? 上的定积分的导数就 ? ? ? x0 ?是 f(x)的本身。这就是微积分基本定理的现代形式，所给的证明也是微积分基本定理第 一个严格的证明。 柯西接着证明了：给定函数 f(x)的全体原函数彼此只差一个常数之后，定义了不定 积分? f ( x)dx ? ?积分基本定理的全部任务。xaf ( x)dx ? c 。b a在这一著作中，柯西指出，若 f ?( x ) 连续，则 ? f ?( x)dx ? f (b) ? f (a) 。从而完成了揭示微1.6 黎曼积分下的微积分基本定理黎曼（） ，19 世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。是世界数 学史上最具独创精神的数学家之一。对 l9 世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献。 18 世纪末到 l9 世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支――微积分在概念和证明中 表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全 力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯 西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854 年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格， 需要他递交一篇反映他学术水平的 论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容 丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续 与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来 50 年 中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名 反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必 要充分条件。 （即柯西-黎曼方程） 设函数 f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 定义在区域 D 内，并且在 D 内一点 z ? x ? iy 可导。所以对 于充分小的 ?z ? ?x ? i?y ? 0 ，有6f ( z ? ?z) ? f ( z) ? f ?( z)?z ? ? (?z)?z ，其中?z ?0lim ? (?z ) ? 0.令 f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?u ? i?v ， f ?( z ) ? a ? ib ， ? (?z ) ? ?1 ? i? 2 。 由上式得?u ? i?v ? (a ? ib)(?x ? i?y) ? ( ?1 ? i?2 )(?x ? i?y) ? (a?x ? b?y ? ?1?x ? ?2 ?y) ? i(b?x ? a?y ? ?2 ?x ? ?1?y).从而就有?u ? a?x ? b?y ? ?1?x ? ?2 ?y, ?v ? b?x ? a?y ? ?2 ?x ? ?1?y.由于 lim ? ( ?z ) ? 0 ， 所以 lim ?1 ? 0, lim ? 2 ? 0. 因此得知 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在 ( x, y ) 可微，而?z ? 0?x ?0?x ?0?y ?0?y ?0且满足方程a? ?u ?v ?u ?v ，?b ? ? ?? . ?x ?y ?y ?x这就是函数 f ( z ) ? u ( x, y) ? iv( x, y) 在区域 D 内一点 z ? x ? iy 可导的必要充分条件。 方程?u ?v ?u ?v ? ， ?? ?x ?y ?y ?x即为柯西-黎曼方程。 黎曼积分下的微积分基本定理为： 若 f ( x) 在 ?a, b? 上可微， f ?( x ) 在 ?a, b? 上黎曼可积， 则 ( R) ? f ?( x)dx ? f (b) ? f (a).a b黎曼的工作直接影响了 19 世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎 曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。多年以后，当黎 曼的想法在物理界完全成熟、开花结果时，爱因斯坦曾经写道： “惟有黎曼这个孤独而 不被世人了解的天才，在上个世纪中叶便发现了空间的新概念―――空间不再一成不 变，空间参与物理事件的可能性才开始显现。 ”对于他的贡献，人们是这样评价的： “黎 曼把数学向前推进了几代人的时间” 。7随着微积分学的发展，人们在利用黎曼积分时，感到它有很大的局限性，这要从黎 曼积分的起源说起，我们知道黎曼积分的思想方法是“分割，近似求和，取极限”。黎曼 积分在处理逐段连续的函数以及一致收敛的级数来说是足够的。然而随着集合论的一系 列工作的创始， 出现一些函数， 在研究它们的可积性时， 黎曼积分理论面临了新的挑战。 特别是考虑微积分基本定理方面。在微积分基本定理中， f ?x ? 必须可积的，但我们知道 存在着可微且导数有界的函数，但其导数不是黎曼可积的。因此限制了微积分基本定理 的应用范围。1.7 勒贝格测度积分论下的微积分基本定理亨利?勒贝格（）法国数学家，对数学的主要贡献属于积分论领域，这 是实变函数理论的中心课题。 19 世纪以来， 微积分开始进入严密化的阶段。 1854 年 B． 黎 曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分， 这一理论的应用范围主要是连续的函数。 随 着 K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和 G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许 多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。几乎与这一理论发 展的同时( 年)，人们就已经开展了对积分理论的改造工作当时，关于积分论 的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的 发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成 的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考 虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度 理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将 意味着函数的积分与可积性的推广。勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上 的，它是黎曼积分的扩充。n n 勒贝格给出了集合测度的分析定义： 设 E ? R ，若对于任意的 T ? R 有m ?T ? m ? (T ? E) ? m ? (T ? E c )则称 E 为 lebesgue 可测集，简称 E 可测或称 E 为可测集。在此基础上，勒贝格引入了 新的积分定义： 设 y ? f ( x) 是在 ?a, b? 上定义的非负有界函数，即 0 ? m ? f ( x) ? M . 对 ?m, M ? 作任意 的分法m ? y0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ? M ，8考虑点集 Ei ? ?x ??a, b? yi ?1 ? f ( x) ? yi ?， 这时曲线上点的纵坐标在 yi ?1 与 yi 之间的这一部 分小“曲边梯形”的面积近似地等于底乘高。这时高可取作 yi ?1 ，底应是集合 Ei 的“长 度” 。但一般来说， Ei 不是区间，因此不见得有长度，故我们需要把“长度”的概念推 广到 Ei ，记为 m es ( Ei ) 。这样，小“曲边梯形”的面积就近似地为 yi ?1mes( Ei ) 。作和?yi ?1ni ?1m es ( Ei ) ， 它 便 是 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上 的 曲 边 梯 形 面 积 的 近 似 值 。 令? ? max ( yi ? yi ?1 ) ? 0 ，如果上述和的极限存在，便定义这极限值为 f ( x) 在 ?a, b? 上的积1?i ? n分：( L) ??a ,b ?f ( x)dx ? lim? yi ?1m es( Ei )? ?0i ?1nLebesgue 本人曾用生动的譬喻来解释他的方法并说明其优越性。 他写道 “在 Cauchy 的方法（指 Riemann 积分）中，是这样的操作的，就像没有经验的店员清点硬币和纸币 那样，捡到那个就点那个。然而，我们在操作时就像老练并且有条理的店员那样，嘴里 说着：我有 mes( E1 ) 个一法郎的硬币，价值 1? mes( E1 ) ，我有 mes( E2 ) 个二法郎的硬币， 价 值 2? m e s ( E2 ) ，我有 m e s ( E5 ) 个五法郎 的硬币， 价值 5 ? mes( E5 ) ，?。 我总共有 当然， 这两个店员得到同样的结果， 可是， 1? mes( E1 ) + 2 ? mes( E2 ) + 5 ? mes( E5 ) +?法郎。 在这些和数不清的时候，即硬币的总数为吴琼师，两种方法的差别就大了。 ” 在 年间，U．迪尼(Dini)和 V．沃尔泰拉(Volterra)曾构造了这样的函数， 它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的。 此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难。然而，在新的积分理论 中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的。在 f'是有限值但无界的情形， 只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于 f 是有界变差函数。同时，逆向 问题也被人们提出来了：何时一个连续函数是某个函数的积分？为此， A ．哈纳克 (Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数。约在 1890 年期间，绝对连续函数就被当 作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是 一个积分。 然而， 勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察， 认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完9整结果：公式(1)成立的充分且必要条件是： f ?x ? 是 ?a, b? 上的绝对连续函数。 勒贝格积分下的微积分基本定理：若 f ( x) 为 ?a, b? 上的绝对连续函数，则( L)? f ?( x)dx ? f (b) ? f (a)ab第二章 微积分基本定理的应用2.1 微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用微积分主要由微分学与积分学两部分组成。 历史上， 微分学的中心问题是切线问题， 积分学的中心问题是求积问题。 微分同积分本质上是平行发展的、 互不相干的两个概念， 直到十七世纪后期，微积分基本定理建立之后，才在微分与积分之间架起了一座桥梁。 这个定理不仅给出了计算积分的一套有效方法， 而且在理论上标志着微积分完整体系的 形成，从此微积分才真正成为一门学科。 （1）定理揭示了定积分与不定积分（即原函数）之间的联系，把定积分的计算归 为求原函数，从而为计算定积分提供了一个十分有效的方法。 （2）定理揭示了微分与积分之间的本质联系――微分与积分是互逆运算。第一基 本定理表明，对函数 f ( x) 取（变上限）积分之后，再取导数；或对表达式 f ( x)dx 取积 分之后，再取微分，则完全恢复原状，犹如先后进行的两种运算互相“抵消” ，因此可 认为微分（或导数）与积分是互相运算，第二基本定理则从另一角度对这种关系做了进 一步揭示，我们用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 对区间 ?a, b? 进行分割，则F ?b ? ? F ?a ? ? ?F ?x1 ? ? F ?x0 ?? ? ?F ?x2 ? ? F ?x1 ?? ? ? ? ?F ?xn ? ? F ?xn?1 ?? ? ? ?F ?xi ? ? F ?xi ?1 ??.i ?1 n由 微 分 中 值 定 理 知 F ?xi ? ? F ?xi ?1 ? ? F ???i ??xi ? xi ?1 ? ? f ??i ??xi其 中 xi ?1 ? ?i ? xi ，?xi ? xi ? xi ?1 ， i ? 1,2,?, n 。于是，F ?b ? ? F ?a ? ? ? f ??i ??xii ?1 n10令 ? ? max ??xi ? ? 0 ，对上式两边取极限，得i?nF ?b? ? F ?a ? ? lim ? f ??i ??xi ? ? f ?x ?dx 。bn? ?0i ?1a式子 ? f ??i ??xi ? ? F ???i ??xi 可粗略理解为函数 F ?x ? 在点 x0 , x1 ,?, xn?1 处的微分之和。i ?1 i ?1nn而式子 lim ? f ?? i ??xi ， 即积分 ? f ?x ?dx 可以理解为 F ?x ? 在 ?a, b? 上各点处的微分 “总和” 。bn? ?0i ?1a又由于 dFi ? ?Fi ? F ?xi ? ? F ?xi ?1 ? ，所以 ? dFi ? ? ?Fi ? F ?b ? ? F ?a ? 这就从理论上揭示了i ?1 i ?1nn积分与微分分别是同一变量（原函数增量）的整体形式和局部形式，积分 ? f ?x ?dx 是微b a分 dFi 的无限积累；微分 dFi 是积分 ? f ?x ?dx 的无限细分，这就从“和” “差”角度进一b a步阐明了微分与积分之间的互逆关系。 导数、微分、不定积分与定积分是微积分学中的最重要的概念，其中微分与不定积 分都是由导数定义的，三者之间的联系是明显的，但定积分同这三个概念间的联系却不 能从定义中看出，正式微积分基本定理从理论上揭示了定积分与微分间的互逆关系，使 微积分的四个重要概念得到了完全沟通，从而使微积分学与积分学形成一个有机整体。 至此便可以看出，将定理冠以“微积分基本定理”是理所当然的了。2.2 微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用微积分基本定理是微积分学的重要思想基础，如定积分的换元公式、分部积分公式的证 明都用到它。 （分部积分公式）定理：设 u ( x) ， v( x) 在区间 ?a, b? 上有连续导数，则? u?x?v??x?dx ? ?u?x?v?x??a ? ? v?x?u??x?dxb b a ab上式也能写成下列形式? u?x?dv?x? ? ?u?x?v?x?? a ? ? v?x?du?x?b b a ab11（换元公式）定理：设 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上连续， x ? ? ?t ? 在区间 ?? , ? ?（或区间 ?? , ? ?） 上有连续导数，其值域包含于 ?a, b? ，且满足 ? ?? ? ? a 和 ? ?? ? ? b ，则?baf ?x ?dx ? ? f ?? ?t ??? ??t ?dt 。??证 因为 f ?x ? 连续，所以必有原函数。设 F ?x ? 为 f ?x ? 的某个原函数，由复合函数求导法 则，可知 F ?? ?t ??是 f ?? ?t ??? ??t ? 的一个原函数。按 Newton ? Leibniz 公式，则有?? f ?? ?t ?????t ?dt ? F ?? ?? ?? ? F ?? ?? ?? ? F ?b? ? F ?a? ? ? f ?x?dx.b a?证毕 它还建立了微分中值定理与积分中值定理的联系： 假使函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上联系，且存在原函数 F ?x ? ，利用微积分基本定理，可 由关于 F ?x ? 的微分中值定理导出关于 f ?x ? 的积分中值定理，反之亦然。? f ?x?dx ? F ?b? ? F ?a? ? F ??? ??b ? a? ? f ?? ??b ? a?, a ? ? ? b 。b a微积分基本定理还揭示了一个事实：定积分可归结为一个只与被积函数和积分区间 端点有关的量，并且这一思想也可以推广到多元函数的积分，如格林公式、高斯公式、 斯托克斯公式就表明多元函数在某个区域上的积分可归结为一个只与被积函数和积分 区域的边界有关的量。 （积分区间为区间时，其边界为区间的端点；积分区域为平面区 域或曲面区域时，其边界为一条封闭曲线）2.3 微积分基本定理在 Taylor 中值定理的积分证明中的应用Taylor 中值定理是说，若 f ( x) 在 ?c, d ? 中有 n ? 1 阶连续导数。则对 ?a, b ? (c, d ) 有f (b) ? f (a) ? f ?(a)(b ? a) ?其中， ? 介于 a 、 b 之间。f ??(a) f ( n ) (a) f ?n?1? (? ) 2 n ?b ? a ?n?1 (b ? a) ? ? ? (b ? a) ? ?n ? 1?! 2! n!对此定理， 大多都是通过构造辅助函数借助 Cauchy 中值定理或 Rolle 定理来证明的。 也可用积分手段来证明，则较简明。Taylor 中值定理等价于12f (b) ? f (a) ? ?k ?1n?n ?1? f ?k ? ?a ? ?b ? a ?k ? f ?? ? ?b ? a ?n?1. ?n ? 1?! k!而此式可经由牛顿―莱布尼茨公式变形， 然后直接计算得到 （差的积分化+分部积分法） ；f (b) ? f (a ) ? ? f ?? x ?dx ? ? ?b ab ? x ?t0b?af ?(b ? t )dt ? ?b?a0f ??b ? t ?dtb?a b ? a b?a ? ?tf ?(b ? t )? ? ? tdf ??b ? t ? ? f ?(a )(b ? a ) ? ? tf ???b ? t ?dt 0 0 0 1 b?a ? f ?(a )(b ? a) ? ? f ???b ? t ?dt 2 2 0 ?1 ? b ? a 1 b ? a 2 ?? ? f ?(a )(b ? a) ? ? t 2 f ???b ? t ?? ? ? t df ?b ? t ? 2 0 ?2 ? 0 b?a f ???a ? ?b ? a ?2 ? 1 ?0 f ????b ? t ?dt3 ? ?? ? f ??a ??b ? a ? ? 2 3! ?n ? b?a f ???a ? ?b ? a ?2 ? ?? ? f ?a ? ?b ? a ?n ? 1 ?0 f ?n?1? ?b ? t ?t n dt ? f ??a ??b ? a ? ? 2! n! n! ?k ? n a f ?a ? ?b ? a ?k ? 1 ?b f ?n?1? ?x ??b ? x ?n d ?b ? x ? ?? k! n! k ?1??k ?1 nn??k ?1 na f ?k ? ?a ? ? ?b ? a ?k ? 1 f ?n ?!? ?? ? ? ?b ?b ? x ?n d ?b ? x ?? ?由积分第一中值定理 k! n! a f ?k ? ?a ? 1 ?b ? a ?k ? 1 f ?n?1? ?? ?? ?b ? x ?n?1 ? ? ? k! n! ? n ?1 ?b??k ?1? n ?1? f ?k ? ?a ? ?b ? a ?k ? f ?? ? ?b ? a ?n?1. ?n ? 1?! k!其中 ? 介于 a、 b 之间。这样我们便得到f (b) ? f ?a ? ? ?k ?1n?n ?1? f ?k ? ?a ? ?b ? a ?k ? f ?? ? ?b ? a ?n?1. ?n ? 1?! k!2.4 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理若 f ( x) 在 ?a, b? 上连续，且 f (a) ? f (b) ? 0. 则 ?c ? ?a, b? 满足 f (c) ? 0. 这便是连续函数 的零点定理。它是与介值定理等价的一种特殊形式。下面借助于牛顿―莱布尼茨的等价? x ? ? 形式 ? ? g ?t ?dt ? ? g ?x ? 及微分学中的 Fermat 定理来给出它的一个 微积分证明。不失普 ? a ?遍性。令 f ?a ? ? 0 ， f ?b? ? 0 .令 F ?x ? ? ? f ?t ?dt ，则 F ?x ? 在 ?a, b? 上可导（在 a 处有右导数x a13在 b 处有左导数 F ?(b ? ) ） ， 且 F ?( x) ? f ( x). 由于 f ?a ? ? F ??a ? ? ? lim F ? a? ， ?? ?由 极 限 性 质 知 道 ， ??a, m? ? ?a, b?F ?x ? ? F ?a ? ?0， x?a x?a F ? x ? ? F ?a ? ?0 即 满 足 ： ?x ? ?a, m ?, x?aF ?x? ? F ?a ? ? 0 ? F ?x? ? F ?a? .这表明 F ?a ? 不是连续函数 F ?x ? 在 ?a, b? 上的最大值。同理，F ?b ? 也不是最大值。故 f ?x ? 在 ?a, b? 上的最大值只能在 ?a, b ? 中某一点 c 处取到。此时 c 也是极大点。由 Fermat 定理知 F ??c ? ? 0 ，即 f ?c ? ? 0 。2.5 一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广定理 1 ：若函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上可积，且存在函数 F ( x) 使得 (1) F ( x) 在 ?a, b? 上连续； (2) F ( x) 在 (a, b) 内可导，且 F ?( x) ? f ( x) ， 则有?baf ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。证明：在区间 ?a, b? 中插入 n ? 1 个点 x1 , x2 ,?, xi ?1 , xi ,?, xn?1 ，将区间 ?a, b? n 等分，其中x0 ? a, xn ? b, xi ? a ? b?a i ?i ? 1,2, ?, n ? 1? ，记 ?xi ? xi ? xi ?1 。 n因为 F ( x) 在 ?a, b? 上连续，故有F (b) ? F (a) ? ? ?F ( xi ) ? F ( xi ?1 )? ? lim ? ?F ( xi ) ? F ( xi ?1 )? 。i ?1 n?? i ?1 n n又因为 F ( x) 在 ?a, b? 上连续，在 (a, b) 内可导，且 F ?( x) ? f ( x) ，于是 F ( x) 在各个小 区间 ?xi ?1 , xi ? 条件，故有 ?i ? ( xi ?1 , xi )(i ? 1,2,?，n) 使得F ( xi ) ? F ( xi ?1 ) ? F ?(?i )(xi ? xi ?1 ) ? f (?i )?xi 。所以F (b) ? F (a) ? l i m ? f (?i )?xi 。n ?? i ?1 n又因为 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上可积，所以无论对区间 (a, b) 怎样划分，以及区间?xi?1, xi ? 上的任意一点， lim ? f (?i )?xi 皆存在并等同于同一个常数 ?a n ??i ?1nbf ( x)dx ，故按照将14?a, b? 等分并 ? i 取上述这些 ? i 的方法也有F (b) ? F (a) ? lim ? f (?i )?xi ? ? f ( x)dxb n?? i ?1 a n定理 2：函数 f ( x) 在 ?a, b? 闭区间上可积，若存在函数 F ( x) 满足条件 （1） F ( x) 在 ?a, b? 上连续； （2） (a, b) 内除有限个点外有 F ?( x) ? f ( x) 恒成立，则有?baf ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。证明：假设点 x1, x2 ,?, xm?1 ? (a, b)(a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xm?1 ? xm ? b) 是开区间 (a, b) 内使 得 F ?( x) ? f ( x) 不成立的全部点，这些点将整个闭区间 ?a, b? 分割成 m 个小闭区间： ， f ( x) 和 F ( x) 在这 m 个小区间上皆满 ?x0 , x1 ? ，?x1 , x2 ? ，? ?xm?1 , xm ?（其中 x0 ? a, xm ? b ） 足定理 1 的条件，于是有?baf ( x)dx ? ? ?i ?1mxixi ?1f ( x)dx ? ? ?F ( xi ) ? F ( xi ?1 )? ? F (b) ? F (a)i ?1m定理 3：函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上可积，若存在函数 F ( x) 满足条件F ( x) 在 ?a, b? 上连续；在 ( a, b) 内除点集E ? ? i ? i ? ?a, b?且U 0 (? ? ) ? (a, b) ? ?, i ? 1,2,?, N .N为有限数， ?为任意小正数 外，均有??F ?( x) ? f ( x) ，则?baf ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。证明： （1）先设 E 有一个点 ? 且 ? ? a ，因为 f ( x) 在 ?a, b? 上可积，从而 f ( x) 在 ?a, b? 上有 界，即存在常数 M ? 0 ，使得 ?x ? ?a, b? 有 f ( x) ? M 。又 F ( x) 在 ?a, b? 上连续，从而 F ( x)? ? ? 在 ?a, b? 上 一 致 连 续 ， 故 对 ?? ? 0, ?? ? 0 ， 且 可 要 求 ? ? min?b ? a, ? ， 使 得 对 M? ??x?, x?? ? ?a, b?只要 x? ? x?? ? ? ，便有 F ( x?) ? F ( x??) ??2。? 由于 ? 为 E 中的唯一点，且 U 0 (? ? ) ? (a, b) ? ? 从而在 (a, a ? ) 内几乎含有 E 的全 215部点，而在 (a ? 又由于 a ??2, b) 内至多含有 E 中有限多个点。?2?a ??? ? ，从而有 F (a ? ) ? F (a) ? 。 2 2 2??? ? ? ? ? ? ? 显然， f ( x) 在 ?a ? , b? 上可积，F ( x) 在 ?a ? , b? 上连续且在 (a ? , b) 内含有 E 中 2 2 ? 2 ? ? ?有 限 个 点 ， 从 而 除 去 这 有 限 多 个 点 之 外 均 有 F ?( x) ? f ( x) 。 根 据 定 理 2 ， 有?ba??2f ( x)dx ? F (b) ? F (a ? ) 。 2?于是?baf ( x)dx ? ?F (b) ? F (a)? ??a??2af ( x)dx ? ?ba??2f ( x)dx ? ?F (b) ? F (a)???a??2af ( x)dx ? F (b) ? F (a ? ) ? F (b) ? F (a) 2?? F (a ? ) ? F (a) ? ? a 2b a?a??2f ( x)dx ??2??2M?M ?? 。由 ? 的任意性可知， ? f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。 (2)设 E 有有限个点， 总可在 ?a, b? 中插入有限个点 a ? c0 ? c1 ? c2 ? ? ? ck ?1 ? ck ? b 使得在?ci ?1 , ci ? 中至多有 E 的一个聚点，则由(1)的证明可知?于是cici?1f ( x)dx ? F (ci ) ? F (ci ?1 )(i ? 1,2?, k )? ?F (c1 ) ? F (a)? ? ?F (c2 ) ? F (c1 )? ? ? ? ?F (b) ? F (ck ?1 )? ? F (b) ? F (a)?baf ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?a c1c1c2bck ?1f ( x)dx2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广通常牛顿―莱布尼兹公式只适用于求定积分，而对于多元函数积分的计算，则是将 其化为定积分来进行。事实上，在一定的条件下，可以建立多元函数的牛顿―莱布尼兹 公式，从而将多元函数积分直接化为相应函数的函数值计算。这就要建立多元函数的牛16顿―莱布尼兹公式。 下面给出二重积分及曲线积分的牛顿―莱布尼兹公式，从而把牛顿―莱布尼兹公式 从一元函数推广到多元函数。 二重积分的牛顿一莱布尼兹公式 设 函 数 f ( x, y ) 在 矩 形 区 域 ?a, c, d ? 上 连 续 ， 以 ? x, y ? 表 示 区 域 内 任 意 点 ， 令F ( x, y) ? ? du? f (u, v)dv ，则a cxyy ?F ( x, y) ? 2 F ( x, y) ? ? f ( x, v)dv, ? f ( x, y) 。 c ?x ?x?y定 义 1 ： 设 f ( x, y ) 在 矩 形 区 域 ?a, c, d ? 上 有 定 义 ， 若 存 在 函 数 F ( x, y) 使 得? 2 F ( x, y ) ? f ( x, y ) ，则称 F ( x, y) 为 f ( x, y ) 在矩形区域 ?a, c, d ?上的一个原函数。 ?x?y下面是二重积分的牛顿―莱布尼茨公式。 定理 4：设 f ( x, y ) 在矩阵区域 D?a, c, d ? 上连续， F ( x, y) 为 f ( x, y ) 的一个原函数，则?? f ( x, y)dxdy ? F (b, d ) ? F (b, c) ? F (a, d ) ? F (a, c) 。D证明：将矩阵区域 D?a, c, d ? 分为 n ? m 个小矩形区域：?xi , xi?1; yi , yi?1 ?(i ? 0,1,2,?, n ?1; j ? 0,1,2,?, m ?1) ，则F ( xi ?1 , y j ?1 ) ? F ( xi ?1 , y j ) ? F ( xi , y j ?1 ) ? F ( xi , y j ) ?? (? ij ,?ij )?xi ?yi ? f (? ij ,?ij )?xi ?yi ? Fxy其中， xi ? ? ij ? xi ?1, y j ? ?ij ? y j ?1 ，对 ??? 中的 i 及 j 相加，得???? f (?i, jij,?ij )?xi ?y j ? F (b, d ) ? F (b, c) ? F (a, d ) ? F (a, c) 。令 i, j ? ? ，由 f ( x, y ) 的连续，知F (b, d ) ? F (b, c) ? F (a, d ) ? F (a, c) ? limi , j ??? f (?i, jij,?ij )?xi ?y j ? ?? f ( x, y )dxdy.D曲线积分的牛顿―莱布尼兹公式 定义 2：设 D 为单连通区域， p ( x, y ) ， Q( x, y ) 在 D 上具有连续的一阶偏导数，若存在u ( x, y ) ，使得17du( x, y) ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 。则称 u ( x, y ) ，为 P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 的一个原函数。 由 定 理 若 存 在 u ( x, y ) ， 使 du( x, y) ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ， 则 曲 线 积 分? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 与路径无关，于是有如下曲线积分的牛顿―莱布尼兹公式。L定理 5 ： 设 D 为单连通区域， p ( x, y ) ，Q( x, y ) 在 D 上具有连续的一阶偏导数，u ( x, y ) 为P( x, y)dx ? Q( x, y)dy 上的一个原函数， A, B 为 D 内的任意两点，则对连接 A 与 B 的任意一条光滑曲线 AB 上的积分有?ABP( x, y )dx ? Q( x, y )dy ? U ( B) ? U ( A) 。证明：由原函数的定义不难知道： P( x, y ) ??u ( x, y ) ?u ( x, y ) , Q ( x, y ) ? 。 ?x ?y设 A, B 两点的坐标分别为 ( xA , y A ) 及 ( xB , xB ) ，并设连接 A 、 B 两点的任意光滑曲线 K 的? x ? ? (t ), 参数方程为： ? ? ? t ? ? 且 ? (? ) ? xA ，? (? ) ? xB ；? (? ) ? y A ，? (? ) ? yB ，则沿 ? y ? ? (t ),曲线的曲线积分为I ? ? P( x, y )dx ? Q( x, y )dyK? ? ?P(? (t ),? (t ))? ?(t ) ? Q(? (t ),? (t ))? ?(t )?dt? ? ? ? ?u ? du(? (t ),? (t )) ? ?u ? ? ? ? ?(t ) ? ? ?(t )? dt ? ? dt ? ?x ? ?y dt ? ?? U (? (t ),? (t ))? ? U (? ( ? ),? ( ? )) ? U (? (? ),? (? )) ?? U ( B) ? U ( A).b b 小结：牛顿―莱布尼兹公式 ? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a) 实际上就是把 f ( x) 在区间 a a?a, b? 上的定积分变为函数 F ( x) 沿边界（端点）的函数值得差。类似在数学分析中给出了格林公式?D? Pdx? Qdy ??? ? ? ?x ? ?y ? ?dxdy. ? ?D? ?Q?P ?18高斯公式. ??? ? ? ?x ? ?y ? ?z ? ?dxdydz? ?? Pdydz? Qdzdx? Rdxdy ? ?? ??? ?P?Q?R ?斯托克斯公式??? Pdx ? Qdy ? Rdz ? ?? ? ? ?y ? ?z ? ?dydz ? ? ?z ? ?x ?dzdx ? ? ? ?x ? ?y ? ?dxdy ? ? ? ? ? ??? ?R?Q ?? ?P?R ?? ?Q?P ??? ?R ?Q ? ? ? ?Q ?P ? ? ?P ?R ? ? ?? ?? ? ?y ? ?z ? ? cos? ? ? ?z ? ?x ? cos ? ? ? ? ?x ? ?y ? ? cos? ?ds. ? ? ? ? ? ? ?? ?都是将某区域（区间，平面区域，空间区域，曲面）上的积分化为其边界上的积分。所 以，可以把上述公式统一成为：D? dw ? ? w?D即：k+1 阶外微分形式在 k 维区域所围的 k+1 维区域上的积分等于 k 阶外微分形式 w 在 k 维区域上的积分。 综上所述，积分与微分其实是同一个量（原函数的增量 F (b) ? F (a) ）的整体形式与局部 形式，积分是微分的积累，微分是积分的分解，积分与微分是整体与局部的关系，这是 积分与微分的最基本的关系。虽然从牛顿―莱布尼兹公式的表面看，该公式反映的是一 元函数积分与微分之间的基本关系，但事实上整个微积分上都是微分与积分的关系，面 由线组成，体由面组成与线由点组成一样，都是整体与局部的关系。因此，二重积分与 定积分、三重积分与二重积分也可以说是积分与微分的关系，这种观点一直可以推广到 高维空间。所以，无论是积分与微分的关系，还是高维空间积分与低维空间积分之间的 关系都包含在这个定理之中。总而言之，牛顿一莱布尼兹公式确实是名副其实的整个微 积分的基本定理，是微积分理论的基础，特别是积分学理论的基础。19第三章 微积分基本定理的证明在我们所学的数学分析中可以看到： 引理：设 f ?x ? 在 ?a, b? 上可积，作函数 F ?x ? ? ? f ?t ?dt, x ? ?a, b?则x aF ?x ? 是 ?a, b? 上的连续函数；若 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续，则 F ?x ? 在 ?a, b? 上可微，且有 F ??x ? ? f ?x ? 。 证 由定理条件，知 F ?x ? 在整个 ?a, b? 上有定义。由定积分的区间可加性，F ?x ? ?x ? ? F ?x ? ? ?x ? ?xaf ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? ?x ax ? ?xxf ?t ?dt 。记 m, M 分别为 f ?x ? 在 ?a, b? 上的上确界和下确界，由定积分第一中值定理，即得到?? ? ?m, M ??， 若f ?x?在?a, b?上可积。 ? ? ? ?x F ?x ? ?x ? ? F ?x ? ? ? 若f ?x ?在?a, b?上连续。 ? f ?? ?? ?x ??在x与x ? ?x之间?，显然，不管在哪一种情况下，当 ?x ? 0 时都有 F ?x ? ?x ? ? F ?x ? ? 0 ，即 F ?x ? 在 ?a, b? 上 连续。 若 f ?x ? 在 ?a, b? 连续，当 ?x ? 0 时有 ? ? x ，因而 f ?? ? ? f ?x? ，于是F ?? x ? ? lim F ?x ? ?x ? ? F ?x ? ? lim f ?? ? ? f ?x ? 。 ?x ?0 ?x ?0 ?x证毕3.1 微积分基本定理的一个证明（微积分基本定理）设 f ?x ? 在 ?a, b? 上连续， F ?x ? 是 f ?x ? 在 ?a, b? 上的一个原函数，则成 立 ? f ?x ?dx ? F ?b ? ? F ?a ?。b a证设 F ?x ? 是 f ?x ? 在 ?a, b? 上的任一个原函数。而由引理， ? f ?t ?dt 也是 f ?x ? 在 ?a, b? 上x a x a的一个原函数，因而两者至多相差一个常数。记 ? f ?t ?dt ? F ?x ? ? C ， 令 x ? a ，即得到 C ? ? F ?a ? ，所以 ? f ?t ?dt ? F ?x ? ? F ?a ? 。x a20再令 x ? b ，由于定积分中的自变量用什么记号与积分值无关，便可得到：? f ?x?dx ? ? f ?t ?dt ? F ?b? ? F ?a?b b a a证毕3.2 利用定积分的定义证明微积分基本定理证 由定积分的定义，任意 ? ? 0 ，要证存在 ? ? 0 ，当 T ? ? 时，有? f ?? ??x ? ?F ?b? ? F ?a?? ? ?i ?1 i in下证满足此要求的 ? 存在。 事实上， 对于 ?a, b? 的任一分割 T ? ?a ? x0 , x1 ,?, xn ? b?， 在每个小区间 ?xi ?1 , xi ? 上对 F ?x ? 使 用拉格朗日中值定理，则分别存在?i ? ?xi ?1 , xi ?, i ? 1,2,?, n ，使得F ?b ? ? F ?a ? ? ? ?F ?xi ? ? F ?xi ?1 ?? ? ? F ???i ??xi ? ? f ??i ??xii ?1 i ?1 i ?1 n n n? f 在 ?a, b? 上连续 ? f 在 ?a, b? 上一致连续? 对上述 ? ? 0 ，存在 ? ? 0 ，当 x?, x?? ? ?a, b? 且 x? ? x?? ? ? 时，有f ? x?? ? f ? x??? ??b?a于是，当 ?xi ? T ? ? 时，任取 ?i ? ?xi ?1 , xi ? ，便有 ?i ??i ? ? ，则?i ?1 nnf ?? i ??xi ? ?F ?b ? ? F ?a ?? ?? ? f ?? ? ? f ?? ???xi ?1 n i ini? ? f ?? i ? ? f ??i ? ?xi ?i ?1b?b?a? ?xi ?1i??? f 在 ?a, b? 上可积，且 f ?x ?dx ? F ?b ? ? F ?a ? 。 ?a213.3 利用微分证明微积分基本定理证 ? F ?x ? 在 ?a, b? 上可导? F ?x ? 在 ?a, b? 上连续设 a ? xi ? x2 ? ? ? xi ? xi ?1 ? ? ? xn ? xn?1 ? b 是 ?a, b? 的任一分割，则F ?b ? ? F ?a ? ? lim ? ?F ?xi ? ? lim ? ?dF?xi ? ? o??xi ??? ?0i ?1nn? ?0i ?1? lim ? dF?xi ? ? lim ? f ?xi ??xi ? lim ? f ??i ??xi ? ? f ?x ?dxbnnn? ?0i ?1? ?0i ?1? ?0i ?1a其中 ?xi ? xi ?1 ? xi ?i ? 1,2,?, n?， ? ? max ??xi ?1? i ? n3.4 利用中值定理证明微积分基本定理证 ? F ?x ? 在 ?a, b? 上连续? 根据中值定理得F ?b ? ? F ?a ? ? lim ? ?F ?xi ? ? lim ? f ??i ??xi? ?0i ?1nn? ?0i ?1? lim ? f ??i ??xi ? ? f ?x ?dxbn? ?0i ?1a3.5 在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索定理：若 f ? L?a, b ? ， F ??x? ? f ?x?, a.e. x ? ?a, b? ，且 F ?x ? 在 ?a, b? 绝对连续，则?L??a f ?x ?dx ? F ?b? ? F ?a ? 。b证已知 F ?x ? ， ? f ?t ?dt 在 ?a, b? 绝对连续，且x a? x ? ? ? F ?x ? ? ?a f ?t ?dt ? ? 0 ，a.e. x ? ?a, b?. ? ?22因此F ?x ? ? ? f ?t ?dt ? c, ?x ? ?a, b?.x a令 x ? a ，得 c ? F ?a ? ，代到上式得 F ?a ? ? F ?x ? ? ? f ?t ?dt.x a令 x ? b ，得 F ?b? ? F ?a ? ? ? f ?t ?dt 。便是所要证的结果。b a结论经过前几章的分析，我们了解到微积分基本定理是微积分中最重要的定理。在积分 理论中，柯西积分的对象时连续函数的积分，当然许可在某些点上不连续或无界，即包 括了现在所说的反常积分。而黎曼考虑的对象是使得积分和极限存在的函数类，也就是 所谓的黎曼可积类。黎曼可积函数许可更多的不连续点，极大地扩充了可积函数类。现 在我们知道有界函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续，但是还要研究具有不连 续点的函数，进而引出勒贝格积分，完善了微积分基本定理。微积分基本定理的建立标 志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑，具有重要的意义。致谢首先，本论文的所有研究工作从论文的选题、实现条件到论文的写作等阶段都是在 杨志林教授的悉心指导下完成的。导师在学术和生活等方面的给予了无微不至的关怀和 指导。导师严谨的治学态度、渊博的学术知识、诲人不倦的敬业精神以及宽容的待人风 范使作者获益颇多。谨向导师致以最衷心的感谢。感谢在本科学习期间给我上课的老师 们。需要一一感谢我的同学们，有幸与你们同学是我大学期间的最大收获。 其次，感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果 没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。23最后，感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康 快乐是我最大的心愿；感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予了我很多论文素 材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论 文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析.第 2 版，高等教育出版社，2004. [2]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程，高等教育出版社，2005. [3]谭小江，伍胜健.复变函数简明教程，北京大学出版社，2006. [4]吴文俊．世界著名科学塞传记[M]．科学出版社，1994. [5][美]爱幕华-锻积分发展史[J]．北京出敝杜，1989. [6]衰小明．数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991. [7] G.Klarnbauer,Problems and propositions in Analysis New York[M]． [8] T.M.Apostol,Mathematical analysis[M].Amer,Addison-Wesley PublishingCompany,Inc．1957．24 微积分基本定理的证明_学习总结_总结/汇报_实用文档。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理,它的建立...用微积分基本定理推导球的体积公式_数学_自然科学_专业资料。利用平面直角坐标系中平面图形绕轴旋转得到几何体以及微积分基本定理来推导球的体积公式。...用微积分基本定理推导圆锥的体积公式_数学_自然科学_专业资料。利用平面直角坐标系中平面图形绕轴旋转得到几何体以及微积分基本定理来推导圆锥的体积公式。推导...也称作微积分基本公式。 证明:已知 F (x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数,又由定理 2,积分上限函数 ?( x) ? ? f (t )dt a x 也是...方式从导数的定义、函数 的单调性、 微分中值定理、 极值理论和凹凸性等方面归纳总结了微积分知识在不 等式中证明常用的技巧和方法,彰显了不等式证明的基本思想和...dx ∫ a 注(i)证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. (ii)通过微分中值定理(推论) ,可获得微积分基本定理 如下的等价表述: 若 f ∈ C[ a, b] ,...a 注(i)证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. (ii)通过微分中值定理(推论) ,可获得微积分基本定理 如下的等价表述: 若 f ? C[a, b] ,而且 F ?...a 1 1 ( 2 x ? ) dx=3+ln2,且 a&1,则 a 的值为___. x 答案:2. 2.证明问题 利用微积分基本定理的几何性质、 定义和运算性质等, 可以用来处理...关键词 微积分;不等式;证明 1 利用可导函数的单调性证明不等式法 1.1 依据 此类方法根据可导函数的一阶导数的符号与函数单调性关系的定理来解决 问题。 定理 ... All rights reserved Powered by copyright ©right 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}