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DataAnalysis（33）
参数估计、假设检验统计总体架构
拟合（fitting）
已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归，否则叫作非线性拟合或非线性回归。
在已知系统模型结构时，用系统的输入和输出数据计算系统模型参数的过程。
最小二乘法和极大似然法（见Logistic regression 及MLR）
最小二乘法（least-squaresmodel）
使误差的平方和 ∑[p(Xi)-Yi]^2 最小
最小二乘矩阵形式：
计算 &，解出其中的 x。比较直观的做法是求解&，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对&进行QR分解（），其中Q&是&（Orthonormal
Matrix）， R 是&上（Upper Triangular Matrix），则有
普通最小二乘（OLS）、偏最小二乘、有条件（CLS）、正则化、加权
极大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）
在已知总体X概率分布时，对总体进行n次观测，得到一个样本，选取概率最大的值作为未知参数的估计是最合理的
选取达到最大值的作为估计值最合理。即,
&为极大似然估计值 (MLE). 其计算一般用对数求解。
例：设总体X服从参数为p的0-1分布，(X1, X2, …, Xn)&是来自X一个样本，求p的极大似然估计。
解：X的概率分布为
似然函数
其中x1, x2, ..., xn 在集合{0,1} 中取值。
对数似然函数：
极大似然估计只是一种粗略的，要知道它的误差大小还要做区间估计。
区间估计（interval estimation）
根据样本确定待估参数&的置信区间
常见的分布统计量（参见参考文献中的“统计学区间估计公式汇总表”）、Bootstrap方法
区间估计：正向求解，目的是对未知参数的一个取值变化范围（区间）的检验；
假设检验：逆向求解，目的是对已经给出的有关未知参数的一个结论作检验，看这个说法是不是应该被拒绝
置信区间（confidence interval）
显著性水平（符号：α）
如5%，小于给定标准的概率区间称为拒绝区间，大于这个标准则为接受区间（置信区间 confidence interval）。
置信水平（符号：1-α）
假设检验（Hypothesis Testing） / 显著性检验（Significance Test）
根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法，计算求出特定统计量（如t，F，卡方等），根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。
参数检验（parameter test）、非参数检验（Nonparametric tests）
参数：F检验、t检验
非参数：拟合优度检验、Shapiro-Wilk W检验、D'Agostion's D检验、秩和检验
原假设、备择假设
原H（），备H1（）
检验统计量
Ex，H: Ex = 8，H1: Ex & 8
临界值c
X & c，拒绝H；X & c，保留H
拒绝域W、接受域A
假设H被拒绝的样本值集合为拒绝域
显著性水平a
“H为真但被错误拒绝”的概率，如0.05
参数检验、非参数检验
参数检验：总体分布已知，对参数假设检验
单边、双边检验
拒绝域W={x&=c}单边，W={x&=c1或x&=c2}双边
拒绝H0，则模型为真
F检验（方差分析、方差齐性检验、似然比检验 Analysis of Variance, ANOVA, Fisher）
检验两个样本的方差是否有显著性差异（通俗点，判断两方差是否足够接近）。这是选择何种T检验的前提。
当自变量只有一个时，方差分析与t检验的结果等价。
R-squared是查看方程拟合程度的；F检验是检验方程整体显著性的；T检验是检验解释变量的显著性的。
F统计量的构造即为 两个服从卡方分布的统计量分别除以各自的自由度再相除。
F=(w/n)/(v/m) 其中 W,V为服从卡方分布的统计量，n,m为W,V的自由度
原假设：H0——无差异；H1——有显著差异
F value的P值&显著性水平（如0.05），则方程显著
单因素方差分析（one way），有一个自变量
两因素方差分析（two way），有两个自变量，如教学方法（A1,A2,A3）学生年级（B1,B2），第一个自变量有3个水平，第二个有2个水平，3x2共六种组合
又可分为多重比较检验和对比检验
t检验（studentt检验）
主要用于样本含量较小（例如n&30），总体标准差σ未知的正态分布资料。
两组以上比较，或含有多个自变量，需要用方差分析，方差分析被认为是T检验的推广。
H0两个平均数之间没有显著差异（即自变量对因变量无显著影响，如：性别为x，身高为y，男平均身高=女平均身高），一旦显著，则接受H1，自变量参数有效。
（1）单总体（单样本 / single sample）
（2）双总体检验（two sample）
（2.1）独立样本（dependent）
（2.2）配对样本t检验（非独立t检验 / paired samples / indenpendent）
z检验（u检验）
z检验用于在总体标准差已知的情况下比较样本均值与总体均值，样本容量大于30平均值差异性检验。
H0两个平均数之间没有显著差异
总体参数标准差已知！（更多情况下，总体标准差未知时，但样本来自正态分布时，仍考虑采用t检验）
非参数检验（Nonparametric tests）
优点：在不假定总体分布的情况下，从数据本身，由于要求的信息少，适应性相对更广
缺点：对总体分布没有要求，方法上缺乏针对性
当然，如果我们事先对总体分布信息一无所知或难下定论，那么建立在数据本身基础上的非参数检验结果要比建立在一个可疑的总体分布上得到的参数检验结果要可靠得多。
拟合优度检验（test of goodness of fit）
主要是运用判定系数（或称拟合优度）和回归标准差，检验模型对样本观测值的拟合程度。
当解释变量为多元时，要使用调整的拟合优度，以解决变量元素增加对拟合优度的影响。
决定系数 / 判定系数 / 拟合优度Coefficient of determination
拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越高，相关的方程式参考价值越高.
R2（R squared），相关系数（coefficient of correlation）的平方即为决定系数。
&is the mean of the observed data，SST (sum
of squares for total)为总平方和，SSR (sum of squares for regression为回归平方和，SSE (sum of squares for
error) 为残差平方和，SST=SSR+SSE。
卡方检验（χ2检验、皮尔逊检验 Chi-square fitting test、Pearson）
A代表观察频数，E代表基于假设H0的期望频数，A与E的差为残差
确定显著性水平如α=0.05，查x2值表得到否定域的临界值
如：临界值 & 统计量χ2，接受假设H0
赤弛弘次信息量AIC
Akaike information criterion，为日本统计学家赤池弘次创立，建立在熵的概念基础上，判断模型拟合数据的优良性。
AIC=2k-2ln(L)
其中：k是参数的数量，L是似然函数。 假设条件是模型的误差服从独立正态分布。 让n为观察数，RSS为剩余平方和，那么AIC变为： AIC=2k+nln(RSS/n)
优先考虑模型应是AIC值最小的那一个
经典非参数假设检验方法全
统计学区间估计公式汇总表
/link?url=Ui6nRPtMhetUXVhb5ExcEAUJXXibNuf_GwczmpuCSa5USi4UQy1N2gLVf5hqhHMy9Gzy0y-0fchRQ0CU6naC_sz7WhXNiMAin6HJkf9Q0gq
极大似然估计
/view/b4d058d17fe8d1.html
回归总体架构
Simple Linear regression
多重共线性问题（Multicollinearity）
回归模型中的解释变量之间由于存在高度相关关系而使模型估计失真
1、特征值；
2、条件索引；
3、方差比例
1、尝试增大样本量；
2、去除专业上认为不重要但带来强共线性的变量；
3、时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型；
4、进行主成分、因子分析，将多个共线性强的自变量综合成少量的新变量；
5、进行岭回归分析（Ridge Regression）、通径分析
逐步回归分析
解决多重共线性问题，变量选择方法。
回归方程是显著的，方程中的自变量也是尽可能显著的，这才是最佳的回归模型。
引入变量Xi或剔除变量Xi所进行的F检验，一般 F进&=F出
包括3种方法：（1）forward，不断引入；（2）backward，不断剔除；（3）both，向前向后，反复引入剔除。
回归系数regression coefficients
表示自变量x 对因变量y 影响大小的参数，正回归系数表示y 随x 增大而增大，负回归系数表示y 随x增大而减小。用 &表示，通常使用极大似然估计。
e.g. 回归方程式Y=a+bX 中的b就称为回归系数。
从本质上说决定系数和回归系数没有关系。
广义线性模型Generalized linear model（GLM）
一般线性模型，其基本假定是y服从正态分布，而广义线性模型则y服从其它分布（如一般logistic模型中y服从二项分布）。
自变量x、因变量y主要可以分为：
（1）&&&&&& 连续变量，如面积、数值范围；
（2）&&&&&& 有序变量（等级变量），如-/+/++，0~10/10~20/20+；
（3）&&&&&& 分类变量，如广州/深圳/珠海，等级为二即二分类变量（0-1变量）；
GLM 很难处理连续型解释变量的情况，解决方法，将连续型解释变量的可能取值进行分组，缺点不是所有的连续型解释变量都适合分组。这时可考虑GAM。
&Logisticregression (or logit regression)
属非线性回归，是研究二分类或多分类观察结果的多变量分析方法。
应变量：1个，二项分布或多分类分布
自变量：2个及2个以上
回归系数估计方法
极大似然法
回归模型系数检验
似然比检验、Wald检验、比分检验
模型拟合效果评价
总符合率、Hosmer-lemeshow拟合优度统计量
binominal(or binary): dependent variable can have only two possible types(e.g. &win& vs. &loss&).
multinominal: more than two categories.
ordinal: the multiple categories are ordered. vise versa, 无序。
条件、非条件logistic回归
，Note that&&is
interpreted as the probability of the dependent variable equaling a &success& or &case& rather than a failure or non-case.
odds: probability that an outcome is a case divided by the probability that it is a noncase.
Odds ratio
解释：The odds multiply by&&for every 1-unit increase in x.
多元线性回归Multiple Linear Regression（MLR）
two or more independent variables (IVs) and a single dependent variable (DV).
应变量：1个，正态分布
自变量：2个及2个以上
回归系数估计方法
最小二乘法
回归模型系数检验
方差分析（F检验）、t检验
模型拟合效果评价
决定系数R2、复相关系数R、校正决定系数
矩阵形式：
&(for predicted values) or
&(for observed values)
R is the multiple correlation coefficient, R can only range from 0 to 1, with 0 indicating no relationship and 1 a perfect relationship. R2&values would indicate 10%, 30%, and 50% of the variance in the DV
Multiple linear regression
A single output Y is influenced by a set of input X=(X1, ... ,Xr)，即两个或两个以上的自变量，相对应的是一元线性回归。是简单直线模型的直接推广。
Multivariate linear regression
A output Y=(Y1, ... ,Ys), each of them may be influenced by input X=(X1, ... ,Xr). The components of Y are also correlated with each other (and with the components of X).
Assumptions
1. Sample size:
50 + 8(k) for testing an overall regression model (where k is the number of IVs)
2. Normality
the variables are normally distributed
3. Linearity
the bivariate relationships need to be linear
4. Homoscedasticity
Are the bivariate distributions reasonably evenly spread about the line of best fit?
5. Multicollinearity
Is there multicollinearity between the IVs?
6. Multivariate outliers（MVOs）
7. Normality of residuals
Residuals are more likely to be normally distributed if each of the variables normally distributed
广义相加模型Generalized additive model（GAM）
回归模型中部分或全部的自变量采用平滑函数，降低线性设定带来的模型风险
fi(xi)为光滑函数，代替经典线性回归中的xi，对样本要求少，适用性广。
最小二乘法
取值
联系函数名称
正态分布（normal）
二项分布（binomial）
Logit（Y）
Poisson分布
γ&分布（gamma）
<span style="color:#/（Y-1）
负二项分布（negative binomial）
logistic回归与多元线性回归区别及若干问题讨论/p-.html
/manuals/empowerRCH/html/index.php?b=s5_gam&m=
/link?url=5GnKukkTKQjxFXnNsjKcVPqfWumtgWAMFEP4Xbgqr4phtX2FTQjFAaLq4tLyff-BOD1JXwDC-1HAimFdCk2-kQg9-72TXxkbayGq8i-tTzO
参考知识库
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(2)(6)(4)(3)(1)(15)(7)(9)(6)(1)(3)(11)(13)(20)(14)(31)(37)(11)(6)(3)(2)(7)(1)(4)误差理论和测量平差试卷及答案_百度文库
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误差理论和测量平差试卷及答案
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你可能喜欢并求出置信度为95%的预测区间；解答：；equationeq1.lsicfkexpand；smpl.forecast；scalartc=@qtdist(0.975,1；（1）最小二乘回归结果为：；???109.158F?0.；se?(97.4478??；经济意义说明：在假定其他变量不变的情况下，
并求出置信度为95%的预测区间。
equation eq1.ls i c f k expand
f=5593.6 k=2226.3
eq1.forecast yf sf
scalar tc=@qtdist(0.975,16) series yl=yf-tc*sf series yu=yf+tc*sf show
（1）最小二乘回归结果为：
???109.158F?0.326143KIii?1i?1
se?(97.43575) ?0.023478?
?0.039398?t?(?1.126880) ?4.862344? ?8.?0.?0.877022
F=65.18405
经济意义说明：在假定其他变量不变的情况下，已发行股票的上期期末价值增加1单位，当期总投资增加0.114158单位；在其他变量不变的情况下，上期资本存量增加1单位，当期总投资增加0.326143单位。
（2）模型的拟合优度为R?0.890687，修正可决系数为?0.877022，可见模型拟合效果不错。
F检验：对模型进行显著性检验，F统计量对应的P值为0，因此在??0.05的显著性水平上我们拒绝原假设H0:?2??3?0，说明回归方程显著，即变量“已发行股票的上期期末价值”和“上期资本”存量联合起来确实对“当期总投资”有显著影响。
F?F??2,16??3.63
t检验：针对H0:?j?0?j?1,2,3?进行显著性检验。给定显著性水平??0.05，查表知
?、??对应的t统计量的绝对值均大于2.12，所以拒绝t?2?16??2.12。由回归结果，?23?对应的t统计量的绝对值小于2.12，在0.05的显著性水平上不H0:?j?0?j?2,3?；但?1
能拒绝H0:?1?0的原假设。 （3）?0.877022
（4）Ii在2003年的预测值为，置信度为95%的预测区间为（79.405）
sf?105.9276
设一元线性模型为r23.1 (i=1,2,…..,n)
?X，证明残差满足下式 ??????其回归方程为Y
如果把变量X2,X3分别对X1进行一元线性回归，由两者残差定义的X2，X3关于X1的偏相关系数r23.1满足：
（1）对一元线性模型，由OLS可得
??X???Y???S
???Y???i?Yi?Y??Xi??ii?SXY?S
?Yi?????XiXY
?Yi??XY?Xi??
（2）偏相关系数是指在剔除其他解释变量的影响后，一个解释变量对被解释变量的影响。不妨假设
进行一元线性回归得到的回归方程分别为：
?1???2X1?e1X2??
?1???2X1?e2X3??
就分别表示
影响后的值。
的偏相关系数就是指
的简单相关系数。
e?e? X???X??X???X???????????0,?0，?，?
??X????X??
X?X?r?X?X?
令X1i?1?x1i,X2i?2?x2i,X
?1???21,3???1???21，所以e1i?x2i???2x1i,e2i?x3i???2x1i 注意到2??
r23.1?其中，
x3i???2x1i????x2i??
?x??xx??xx???x???2i3i22i
1i21i3i221i
??xx?rxx?rxx?rx
?rrrr?rrrrrrr?rrr??r?rr2i3i
同理可得：
??1?r212??x2i2 ??1?r312??x3i2
2.7考虑下面两个模型：
Ⅰ：Yi??1??2X2i????lXli????kXki??i
?X2i????l?Xli????k?Xki??i
Ⅱ：Yi?Xli??1???2
??????1,??????,j?1,2,?,l?1,l?1,?k （1） 证明?lljj
（2） 证明模型Ⅰ和Ⅱ的最小二乘残差相等
（3） 研究两个模型的可决系数之间的大小关系 解答：
?1,X21,?,Xk1??Xl1??Y1???1???1????1??????????????
Y1,X,?,X???X222k2222l2?,????,?????,????,X??? （1）设Y???,X??l
???????????????????????????????????
?Y???1,X,?,XX?n?2nkn??k??k??n???ln?
则模型Ⅰ的矩阵形式为：Y?X??? 模型Ⅱ的矩阵形式为：Y?Xl?X????
取el??0,?,0,1,0,?,0??，其中1为el的第l个分量
令Z?Y?Xl?Y?Xel，则模型Ⅱ又可表示为Z?X????
???X?X?又OLS得知，?
????X?X??1X?Z X?Y，?
将Z?Y?Xl?Y?Xel代入可得：
????X?X?X?Z??X?X?X??Y?Xe??l
??X?X?X?Y??X?X?X?Xel??e??l
??????????0???1?11?????????
????????????????????????即??1????l??1???l?1?
????????????????????????????0????????k??k??k?
（2）由上述计算可得：
????Z?X?e??Z?Z
??e??Y?Xel??X?l??Y?Y??Y?X??e
（3）由（2）可知ESS?ESS?
RSSTSS?ESSESS
所以要比较R和R?，只需比较TSS和TSS?
TSS????Zi??
??????Yi?Xli????l??
????Yi????Xli?l??2?Yi???Xli?l??
???Yi??????Xli?l??2?Yi???Xli?l??
?TSS????Xli?l??2?Yi???Xli?l??
?TSS?2(n?1)cov(Y,Xl)?(n?1)var(Xl)
所以，当var(Xl)?2cov(Y,Xl)时，TSS?大于TSS，则R??R；反之，R??R 3.4美国年个人可支配收入和个人储蓄的数据见课本102页表格。
包含各类专业文献、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、中学教育、行业资料、文学作品欣赏、应用写作文书、高等教育、各类资格考试、30高级计量经济学课后习题参考答案等内容。　
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