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已知cosα，sinα是函数f（x）=x2-tx+t（t∈R）的两个零点，则sin2α=（　　）A．2-2B．2-2C．-1D．1-【考点】；．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】根题意，知公差为8，分析可得这三中就其中一个能3整除，而被3整除的质数只有3，故其个为，且是第一个数而得答案．【解答】解：根据题意，已知差为8有832+2，又有公差为8，则这个3，1，19；则这三数中就有中一能被3整除，而被3除的数只，其中一个数为3，且是第一个数，所以是3，1，9．【点评】本题考查等差的，涉及质数整除性质，有一定难度．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：sxs123老师　难度：0.80真题：1组卷：328
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sin(x*t^2)对t求导答案为什么是2*t*x*cos(t^2*x)?
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sin(x*t^2)对t求导就把x当成常数,先对sin(xt^2)整体求导为cos(xt^2)再对xt^2求导得2xt所以结果为2xtcos(xt^2)
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第二章：一元函数微分学(上)
第二章： 第二章：一元函数微分学本章重点是掌握导数与微分的概念， 用定义确定函数在某点的可导性， 掌握导数与微分 的计算方法，掌握中值定理的条件、结论及应用，用导数研究函数的性态．本篇难点是中值 定理的应用．§2.1 导数与微分本节重点是掌握导数和微分的概念， 能用定义确定函数在某点的可导性、 掌握导数与连 续之间的关系、 掌握导数
与微分的计算方法． 特别是复合函数、参数方程、隐函数、 反函数、 分段函数的求导方法．● 常考知识点精讲一、导数概念1．导数 定义：设函数 y = f ( x ) 在 x0 点的某个邻域内有定义，若极限?x → 0limf ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim ?x → 0 ?x ?xx = x0并称该极限值为 f ( x ) 在 x0 点的导数， 记作 f ′( x0 ) ， y ′ 或 存在， 则称 f ( x ) 在 x0 点可导，，dy dxx = x0等．2．右导数 定义：设函数 y = f ( x ) 在 x0 点的某个右邻域内有定义，若极限?x → 0lim+f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?y = lim+ ?x ?x →0 ?x存在，则称该极限值为 f ( x ) 在 x0 点的右导数，记作 f +′( x0 ) ． 3．左导数 定义：设函数 y = f ( x ) 在 x0 点的某个左邻域内有定义，若极限?x → 0lim?f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?y = lim? ?x ?x →0 ?x存在，则称该极限值为 f ( x ) 在 x0 点的左导数，记作 f ?′( x0 ) ． 评注：左、右导数常用于判定分段函数在分段点的可导性． 4．函数在区间上的可导性 定义 ：若函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内的任意点 x 处导数 f ′( x ) 都存在，则称 f ( x ) 在区间( a, b) 内可导，又若 f +′(a ), f ?′(b) 都存在，则称 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上可导．[例 1.1] 设 f ′( x0 ) 存在，求 limh →0f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) ． h56解：limh →0f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) h [ f ( x0 + h) ? f ( x0 )] ? [ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] = lim h →0 h [ f ( x0 + h) ? f ( x0 )] [ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] = lim + lim h→0 h →0 h ?h= 2 f ′( x0 ) ． 二、函数可导的条件命题 1： f ( x ) 在 x0 可导的必要（非充分）条件是 f ( x ) 在 x0 处连续． 命题 2： f ( x ) 在 x0 可导的充分与必要条件是 f +′( x0 ), f ?′( x0 ) 都存在且相等．? x2 , x ≤ 1 ，为了使函数在 x = 1 处可导， a , b 应取什么值？ [例 1.2] 设函数 f ( x) = ? ?ax + b, x & 1解： f ( x ) 在 x = 1 处可导，必有 f ( x ) 在 x = 1 处连续 由于x →1+lim f ( x ) = lim( ax + b) = a + b ， +x →1x →1?lim f ( x) = lim x 2 = 1 ?x →1而 f ( x ) 在 x = 1 处连续的充要条件为x →1+lim f ( x) = lim f ( x ) = f (1) ，故 a + b = 1 ?x →1 x →1又f +′(1) = lim + f ?′(1) = lim ?x →1f ( x) ? f (1) ax + b ? 1 ax ? a = lim = lim =a + + x →1 x →1 x ?1 x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) x2 ?1 = lim = lim( x + 1) = 2 x →1? x ? 1 x →1? x ?1而 f ( x ) 在 x = 1 处可导充分必要条件为 f ?′(1) = f +′(1) ，即 a = 2 故当 a = 2 ， b = ?1 时， f ( x ) 在 x = 1 处可导．三、导数的几何意义与物理意义1．几何意义 函数 y = f ( x ) 在 x = x0 处的导数 f ′( x0 ) 是曲线 y = f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜 率． 2．物理意义 质点作直线运动， t 时刻质点的坐标为 x = x (t ) ， x′(t0 ) 是质点在 t = t0 时刻的瞬时速度．四、导数的计算1．基本初等函数的导数公式 （1） (c )′ = 0 （常数）57（2） ( xα )′ = α xα ?1 （ α 为实数）（3） (a )′ = a ln a ( a & 0, a ≠ 1)x xx （5） (log a )′ =（4） (e )′ = exx1 (a & 0, a ≠ 1) x ln a（6） (ln x )′ =1 x（7） (sin x )′ = cos x （9） (tan x )′ =（8） (cos x )′ = ? sin x （10） (cot x )′ = ?1 cos 2 x1 sin 2 x（11） (sec x )′ = sec x tan x （13） (arcsin x )′ = （15） (arctan x )′ =（12） (csc x )′ = ? csc x cot x （14） (arccos x )′ = ? （16） (arc cot x )′ = ?1 1? x 1 1 + x221 1 ? x2 1 1 + x22．导数的四则运算法则 设 u ( x), v( x) 都可导，则 (1) (u ± v )′ = u ′ ± v′ ； (2) (uv )′ = u ′v + uv′ ,特别 (cu )′ = cu ′ （ c 为常数） ； (3) ( )′ =u vu ′v ? uv′ ( v ≠ 0 ). v23.复合函数求导 设 u = ? ( x ) 在 x 处可导, y = f (u ) 在对应的 u = ? ( x ) 处可导,则复合函数 y = f [? ( x)] 在 x 处可导,且[ f [? ( x )]]′ = f ′(u )? ′( x ) ,即4.反函数求导dy dy du = ? dx du dx若 x = ? ( y ) 在某区间内单调、可导,且 ? ′( y ) ≠ 0 ,则其反函数 y = f ( x ) 在对应的区间 内也可导,且f ′( x ) =[例 1.3] 填空 ⑴ 设y=etan 1 x1 ? ′( y )? sin1 ，则 y ′ = _____________ ； x 1 x⑵ 设 f (t ) = lim t (1 + ) 2tx ，则 f ′(t ) = _________ ；x →∞58⑶设ψ (x) 是单调函数 ? (x) 的反函数，且都可导，如果 ? (1) = 2, ? ′(1) = ?3 , 3则ψ ′(2) =_________解：⑴y′ = etan1 x1 1 1 tan 1 1 1 ? cos ? (? 2 ) + sin ? e x ? sec 2 ? (? 2 ) x x x x x1 tan 1 1 1 1 = ? 2 e x (cos + sin ? sec2 ) ； x x x x⑵ 由于这是极限函数，应先求出 f (t ) 的表达式再求导数1 f (t ) = lim t (1 + ) 2tx = te 2 t x →∞ x所以f ′(t ) = (1 + 2t )e 2 t ；⑶ 由于若 x = ? ( y ) 是函数 y = f ( x ) 的反函数， y0 = f ( x0 ) ，而 f ′( x0 ) 存在，且f ′( x0 ) ≠ 0 ，则 ? ′( y0 ) =1 ． f ′( x0 )故ψ ′(2) =1 =? 3． ? ′(1)五、高阶导数的概念1．高阶导数 定义:如果 y′ = f ′( x ) 作为 x 的函数在点 x 可导,则 y′ 的导数称为 y = f ( x ) 的二阶导数记为y ′′, f ′′( x) 或d 2 y (2) ,y . dx 2(n)一般地,函数 y = f ( x ) 的 n 阶导数为 y ( n ) = [ y ( n ?1) ]′ ,也可写作 f 2. 高阶导数运算法则 设 u = u ( x ), v = v ( x ) 在 x 处 n 阶可导,则 (1) (u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (2) (cu ) ( n ) = cu ( n ) ( c 为常数)0 1 n n (3) (uv ) ( n ) = Cn u ( n ) v + Cn u ( n ?1) v′ + ? + Cn ?1u ′v ( n ?1) + Cn uv ( n )( x) 或dny dx n593．几个常见的初等函数的 n 阶导数公式 （1） ( a )x (n)= a x ? ln n anπ ) 2 nπ = a n cos( ax + b + ) 2（2） (sin( ax + b)) ( n ) = a n sin( ax + b + （3） (cos( ax + b)) ( n )1 ( n ) (?1) n a n n ! ) = （4） ( ax + b (ax + b) n+1（5） (ln(ax + b)) [例 1.4] 填空题 ⑴ 已知 f 为二阶可导函数，且 y = f [ln(1 + x )] ，则 y ′′ = ______ ； ⑵ 已知函数 y = y ( x ) 由方程 e y + 6 xy + x 2 ? 1 = 0 ，则 y′′(0) = ____ ； ⑶ 设函数 y =(n)=(?1) n?1 a n (n ? 1)! (ax + b) n1 ，则 y ( n ) (0) = ___ ． 2x + 3 f ′′[ln(1 + x )] ? f ′[ln(1 + x )] 1 ，所以 y′′ = ． 1+ x (1 + x) 2解：⑴由于 y ′ = f ′[ln(1 + x )] ×⑵ 由方程 e y + 6 xy + x 2 ? 1 = 0 可得，当 x = 0 时， y = 0 方程两端对 x 求导得e y y ′ + 6 y + 6 xy ′ + 2 x = 0将 x = 0 代入得， y′(0) = 0 方程两端对 x 继续求导得e y ? ( y ′) 2 + e y ? y′′ + 12 y ′ + 6 xy ′′ + 2 = 0将 x = 0 代入得， y′′(0) = ?2 ，(n )⑶ 由于 y2n (?1) n n ! = ， (2 x + 3) n+1于是 y(n )(0) =2 n ( ?1) n n ! ． 3n +1六、微分的概念1．微分 定义：设函数 y = f ( x ) 在 x0 点的某个邻域内有定义，当自变量 x = x0 有增量 ?x 时，若存 在与 ?x 无关的常数 A( x0 ) 使得函数的增量 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) 可表为：60?y = A( x0 )?x + o(?x)（ ?x → 0)则称 y = f ( x ) 在 x = x0 点可微， A( x0 ) ?x 称为 y = f ( x ) 在 x = x0 点的微分． 评注： y = f ( x ) 在 x = x0 点的微分就是该函数在 x = x0 点函数增量的线性主要部分． 2．微分的几何意义 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的微分 dy = f ( x0 ) ?x ，在几何上表示曲线 y = f ( x ) 在点( x0 , f ( x0 )) 的切线当自变量 x 在点 x0 处有增量 ?x 时，切线纵坐标的增量．3．可微与导数关系 定理： f ( x ) 在点 x0 可导 ? f ( x ) 在点 x0 可微． [例 1.5] 填空题 ⑴ 若函数 y = [ f ( x )] x ，其中 f 是可微的正值函数，则 dy = _______ ；2 1⑵ 设函数 y = y ( x ) 由方程 2 xy = x + y 确定，则 dy 解：⑴ 由于函数可写为 y = e1x =0= ______ ．1 x1 ln f ( x 2 ) x，所以 dy = [ f ( x )] d [ ln f ( x )] ，2 21 x2 2 故 dy = [2 f ′( x ) f ( x ) x ??11 1 2 x [ f ( x )] ln f ( x 2 )]dx ． 2 x⑵ 这是一个求隐函数微分的问题．由方程 2 xy = x + y 可得，当 x = 0 时， y = 1 ． 在方程两端同时求微分，有2 xy ? ln 2 ? ( ydx + xdy ) = dx + dy代入 x = 0 ， y = 1 得ln 2 ? dx = dx + dy故x=0dyx =0= (ln 2 ? 1)dx ．●● 常考题型及其解法与技巧一、导数与微分概念的理解[例 2.1.1] 选择题 ⑴设 f ( x ) 在 x = 0 的一个邻域内有定义，且 f (0) = 0 ，则 f ( x ) 在 x = 0 可导等价于611 f( ) n 存在 （A） lim n →+∞ 1 n 1 1 f ( ) ? f (? ) n n 存在 （C） lim n →+∞ 1 n⑵设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，下列命题错误的是（B） lim?x →0f ( ?x ) 存在 ?x（D） lim?x →0f (n?x ) ? f (? n?x) 存在 ?xf ( x) 存在，则 f (0) = 0 x →0 x f ( x) （C） lim 若 存在， f ′(0) = 0 则 x →0 x（A）若 lim（B）若 limf ( x) + f (? x) 存在，则 f (0) = 0 x →0 x f ( x) + f (? x) （D） lim 若 存在， f ′(0) = 0 则 x →0 x（C）（D）仅是 f ( x ) 在 x = 0 处导 、 解：⑴（A）是 f ( x ) 在 x = 0 处右导数存在的充要条件， 数存在的必要条件． 对于 （B） 由于 lim ，?x → 0f ( ?x ) f (0 + ?x ) ? f (0) 所以 是 = lim = f ′(0) ， （B） f ( x ) 在 x = 0 ?x → 0 ?x ?x可导的充要条件，故应选（B） ． ⑵ 如 limx →0x →0f ( x) 存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又 f ( x ) 在 x = 0 处连续， x故 f (0) = lim f ( x ) = 0 ，进而 f ′(0) 存在，从而选项（A）（C）正确； 、 若 limx →0f ( x) + f (? x) 存在，而分母极限为零，所以分子极限为零，又 f ( x ) 在 x = 0 处 xx →0连续，故 0 = lim[ f ( x ) + f ( ? x)] = 2 f (0) ，即选项（B）正确；由排除法可得应选选项（D） ． [例 2.1.2] 设 f ( x ) 在 x0 处存在左、右导数，则 f ( x ) 在 x0 点 （A）可导 （B）连续 （C）不可导 （D）不一定连续解： f ( x ) 在 x0 点左、右导数存在并相等时， f ( x ) 在 x0 点可导；如左、右导数存在并不相 等时， f ( x ) 在 x0 点不可导，题设中只有 f ( x ) 在 x0 点左、右导数存在，并没有指明它们是 否相等，因此（A）（C）不正确； 、 由左、右导数的定义及题设f ?′( x0 ) = lim??x → 0f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?x和f +′( x0 ) = lim+?x → 0f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ?x都存在，因此?x → 0 ?lim [ f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 )] = 0和?x → 0 +lim [ f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 )] = 0所以函数 f ( x ) 在 x0 点连续．故应选（B） ． [例 2.1.3] 函数 f ( x ) 在可导点 x 处有增量 ?x = 0.2 ，对应的函数值增量的线性主部等于620.8 ，则 f ′( x ) = ______ ．（A） 0.4 （B） 0.16 （C） 4 （D） 1.6解：因为 f ( x ) 在 x 处可导，从而在 x 处可微，此时函数值增量的线性主部为 f ′( x ) ? ?x ，因 此可得 f ′( x ) × 0.2 = 0.8 ，所以 f ′( x ) = 4，故应选（C） ．二、利用定义求导数Ⅰ 求分段函数在分段点的导数 求分段函数在分段点的导数时必须用导数的定义， 特别若在分段点的左、 右两侧函数表 达式不一样一定用左、右导数的定义来完成． [例 2.1.4] 设 f ( x) = [1 + x ? 1]sin( x ? 1) ，求 f ′(1) ． 解：由于 lim +f ( x ) ? f (1) [1 + ( x ? 1)]sin( x ? 1) = lim = 1； + x →1 x →1 x ?1 x ?1 f ( x ) ? f (1) [1 ? ( x ? 1)]sin( x ? 1) lim = lim =1， ? ? x →1 x →1 x ?1 x ?1所以 f ′(1) =1 [例 2.1.5] 设 f ( x ) 连续，且 limx →0f ( x) = 1 ，令 x? ? f ( x), x & 0 ? ? F ( x) = ?0, x = 0 ? ln(1 + x 2 ) ? ,x &0 ? x ?求 F ′(0) ． 解：由于，F+′(0) = lim +x →0F ( x ) ? F (0) f ( x) = lim+ =1 x →0 x?0 xF?′(0) = lim ?x →0F ( x) ? F (0) ln(1 + x 2 ) = lim =1 x → 0? x?0 x2所以 F ′(0) = 1 ． [例 2.1.6] 若二次曲线 y = ax 2 + bx + c(0 & x & 1) ，将两条曲线 l1 : y = e x ( ?∞ & x ≤ 0);l2 : y =1 (1 ≤ x & +∞) 连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为 y = ______ ． x63? ?e x , ?∞ & x ≤ 0 ? 2 解：由题设函数 F ( x) = ?ax + bx + c, 0 & x & 1 ，处处可导． ?1 ? , x ≥1 ?x根据可导的必要条件可得x → 0+lim F ( x ) = lim F ( x ) = F (0) ， lim F ( x ) = lim F ( x ) = F (1) ? ? +x→0 x →1 x →1所以c = 1， a + b + c = 1又因为函数 F ( x ) 在点 x = 0, x = 1 可导，由可导的充要条件可得：1 ?1 e ?1 ax + bx + 1 ? 1 ax + bx + 1 ? 1 x lim = lim lim = lim ； x →1? x →1+ x ? 1 x → 0?1 x ? 0 x → 0+ x?0 x ?1 b = 1 ， 2a + 1 = ?1 所以x 2 2从而a = ?1, b = 1, c = 1 ，该二次曲线为 y = ? x 2 + x + 1 ．Ⅱ 求函数在具体点的导数 [例 2.1.7] 设 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 2) ? ( x + n) ,则 f ′(0) = ______ ． 分析：对于形如 f ( x ) = ( x ? x1 ) m1 ( x ? x2 ) m2 ? ( x ? xn ) 数的定义来求． 解： f ′(0) = limx→0mn的函数，求 f ′( xi ) 最佳方法使用导f ( x ) ? f (0) = lim( x + 1)( x + 2) ? ( x + n) = n ! ． x→0 x[例 2.1.8] 设任意 x 恒有 f ( x + 1) = f 2 ( x ) 且 f (0) = f ′(0) = 1 ，求 f ′(1) ． 分析：函数表达式中含有抽象函数，且仅知该抽象函数连续，并不知是否可导，求具体点处 导数时，必须用导数的定义来完成． 解： f ′(1) = lim?x → 0f (1 + ?x ) ? f (1) ，而对任意 x 恒有 f ( x + 1) = f 2 ( x ) ?x f (1 + ?x ) ? f (1) f 2 ( ?x ) ? f 2 (0) = lim ?x → 0 ?x ?x f 2 ( ?x ) ? 1 ( f (?x ) ? 1)( f ( ?x) + 1) = lim ?x → 0 ?x ?x?x → 0所以 f ′(1) = lim?x → 0= lim?x → 0= (1 + f (0)) lim( f ( ?x ) ? f (0)) ?x= (1 + f (0)) f ′(0) = 2 ．判断或证明函数是否可导 Ⅲ 判断或证明函数是否可导641 ? ? x sin 2 , x ≠ 0 [例 2.1.9] 设函数 f ( x ) = ? ，则 f ( x ) 在点 x = 0 处 x ?0, x = 0 ?（A）极限不存在 （C）连续但不可导 解：因为 lim f ( x ) = limx →0 x →0（B）极限存在但不连续 （D）可导limx →0f ( x) ? f (0) = lim x →0 x1 = 0 = f (0) ，所以 f ( x ) 在 x = 0 处连续，但 x2 1 x sin 2 x 不存在，即 f ( x ) 在 x = 0 处不可导．因此应选（C） ． x x sin[例 2.1.10] 对任意的两个实数 x1 , x2 都有 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) ，且 f ′(0) = 1 ，证明，f ( x ) 处处可导．分析：已知函数在一点可导，且满足某些条件，求导函数，一定用导数定义完成． 证明：由 f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) ，可得 f (0) = 1 或 f (0) = 0 ，因为如果 f (0) = 0 ，则对 任意的 x ，都有 f ( x ) = f ( x + 0) = f (0) f ( x) = 0 ，这与 f ′(0) = 1 矛盾，从而有 f (0) = 1 ． 对任意的 x ，有?x → 0limf ( x + ?x) ? f ( x) f ( x)[ f (?x) ? 1] = lim ?x → 0 ?x ?x f (?x) ? f (0) = f ( x) lim ?x → 0 ?x= f ( x) f ′(0) = f ( x ) ．所以 f ( x ) 处处可导．三、求各类函数的导数和微分Ⅰ 求复合函数的导数 复合函数求导数关键是搞清楚复合关系,由表及里一层层地求导． [例 2.1.11] 求下列函数的导数 ⑴y=esin 2 ( x 2 +1)⑵ y = x[cos(ln x ) + sin(ln x)] .解：⑴ y′ = esin 2 ( x 2 +1)? [sin 2 ( x 2 + 1)]′ = esin2( x 2 +1)? 2sin( x 2 + 1) ? [sin( x 2 + 1)]′= esin2( x 2 +1)? 2sin( x 2 + 1) ? cos( x 2 + 1) ? ( x 2 + 1)′ ? 2sin( x 2 + 1) ? cos( x 2 + 1) = 2 x ? esin2= 2 x ? esin2( x 2 +1)( x 2 +1)? sin 2( x 2 + 1)⑵ y′ = [cos(ln x ) + sin(ln x)] + x[cos(ln x ) + sin(ln x )]′= [cos(ln x ) + sin(ln x )] + x[? sin(ln x ) + cos(ln x)] ? (ln x )′65= [cos(ln x ) + sin(ln x )] + [ ? sin(ln x) + cos(ln x )] = 2 cos(ln x ) .Ⅱ 求隐函数的导数与微分 求由方程 F ( x, y ) = 0 所确定的可导函数 y 的一阶导数dy ,一般有以下三种方法: dx法一：在方程的两边同时对 x 求导,可得到一个含有 y′ 的方程,从中解出 y′ 即是. 利用此法时注意， x 是自变量, y 是 x 的函数, y 的函数是 x 的复合函数. 法二：由多元函数微分法的隐函数求导公式 别表示对 x 和 y 的偏导数. 法三：利用一阶微分形式的不变性，在方程两端求微分,然后解出 求由方程 F ( x, y ) = 0 所确定的可导函数 y 的微分 dy 一般用微分的法则、微分的公式及一阶微分形式的不变性求解. [例 2.1.12] 求下列隐函数的导数或微分 ⑴函数 y = y ( x ) 由方程 sin( x 2 + y 2 ) + e x ? xy 2 = 0 所确定，求 ⑵设 xy 2 + e y = cos( x + y 2 ) ，求 dy . 解：⑴法一：方程两端对 x 求导得：F ′( x, y ) dy =? x 求,其中 Fx′( x, y ) , Fy′ ( x, y ) 分 dx Fy′ ( x, y )dy . dxdy dxcos( x 2 + y 2 ) ? (2 x + 2 y所以dy dy ) + e x ? y 2 ? 2 xy =0 dx dxdy 2 x cos( x 2 + y 2 ) + e x ? y 2 = dx 2 xy ? 2 y cos( x 2 + y 2 )法二：令 F ( x, y ) = sin( x 2 + y 2 ) + e x ? xy 2 ，则Fx′( x, y ) = 2 x cos( x 2 + y 2 ) + e x ? y 2 ， Fy′( x, y ) = 2 y cos( x 2 + y 2 ) ? 2 xy所以F ′( x, y ) 2 x cos( x 2 + y 2 ) + e x ? y 2 dy =? x = dx Fy′ ( x, y ) 2 xy ? 2 y cos( x 2 + y 2 )法三：方程两端求微分得cos( x 2 + y 2 )(2 xdx + 2 ydy ) + e x dx ? y 2 dx ? 2 xydy = 0所以dy 2 x cos( x 2 + y 2 ) + e x ? y 2 = dx 2 xy ? 2 y cos( x 2 + y 2 )y 2 dx + 2 xydy + e y dy = ? sin( x + y 2 ) ? (dx + 2 ydy )⑵方程两端求微分得66所以dy = ?y 2 + sin( x + y 2 ) dx ． 2 xy + e y + 2 y sin( x + y 2 )Ⅲ 求参数方程确定函数的导数 求参数方程 ?? x = ? (t ) 确定函数 y = y ( x ) 的导数的方法， ? y = ψ (t )dy d dy ( ) dy dt d 2 y dt dx 法一：可直接利用 = 来求．如果要求二阶导数，可使用 2 = 来求． dx dx dx dx dt dt法二：利用下列公式完成d 2 y ψ ′(t ) 1 ? ′(t )ψ ′′(t ) ? ? ′′(t )ψ ′(t ) dy ψ ′(t ) = ]′ ? = ， 2 =[ ． t ? ′(t ) ? ′(t ) ? ′3 (t ) dx ? ′(t ) dx? x = et sin t d2y ? ，求 2 ． [例 2.1.13] ⑴设 ? ?t dx ? y = e cos t ?⑵?? x = f ′(t ) dy d 2 y ，其中 f (t ) 二阶可导，且 f ′′(t ) ≠ 0 ，求 ， ． dx dx 2 ? y = tf ′(t ) ? f (t )dy dy dt e ? t (? cos t ? sin t ) 解：⑴由于 = = t = ?e ?2t dx dx e (cos t + sin t ) dt de ?2 t ? 2 2e ?3t d y 2e ? 2 t dt = 所以 = = dx dx 2 et (cos t + sin t ) cos t + sin t dt dy dy dt f ′(t ) + tf ′′(t ) ? f ′(t ) ⑵ = = =t dx dx f ′′(t ) dtd 2 y d dy dt 1 1 = ( )= = = ． 2 dx dx dx dx dx f ′′(t ) dtⅣ 求幂指函数和几个因式幂连乘积的函数的导数 幂指函数求导数一般应利用公式 a b = eb ln a 转化为复合函数再求导；几个因式幂连乘积 的函数求导数一般应利用公式 abc = e ln a + ln b + ln c 转化为复合函数再求导． [例 2.1.14] 求下列函数的导数dy dx67⑴y=2+ x x2 3 + sin x 1 ? x (2 ? x) 2⑵y=xtan x+ xxx⑶设方程 x y = y x 确定函数 y = y ( x ) 解：⑴ y = e 所以 y′ =1 2ln x ? ln(1? x ) + [ln(2 + x ) ? 2ln(2 ? x )] 3+ sin xx2 2+ x 2 1 1 1 2 3 [ + + ( + )] + cos x 2 1 ? x (2 ? x) x 1 ? x 3 2 + x 2 ? xtan x?ln x⑵y=e 所以 y′ = x+ exx?ln x= e tan x?ln x + eex ln x?ln xtan x(x ln x x e tan x + sec2 x ? ln x) + x x [ + e x ln x ? ln x ? (1 + ln x)] x x= x tan x (x tan x 1 + sec 2 x ? ln x ) + x x ? x x ( + ln x + ln 2 x ) x x⑶方程变形为 e y ln x = e x ln y ，两边同时对 x 求导得：y x x y ( y′ ln x + ) = y x (ln y + ? y′) x yy y y x ? x ? y x ln y dy x y yx y ? xy x ln y x = y y y ? x ln y = = ? = ? 所以 ． dx x ? y x ? x y ln x x xy x ? yx y ln x x x ? y ln x yⅤ 求反函数的导数 [例 2.1.15] 已知 x = ? ( y ) 是 y = f ( x ) 的反函数， f ′( x ) ≠ 0 ， 试用 f ′( x), f ′′( x ), f ′′′( x ) 表示? ′′′( y ) ．解：由反函数求导公式知? ′( y ) =1 f ′( x )所以1 ′( x) d 1 f ′′( x) f ； ? ′′( y ) = [ ]= =? dy f ′( x) df ( x) [ f ′( x)]3 d d [? f ′′( x) ] 3[ f ′′( x)]2 ? f ′( x) f ′′′( x) [ f ′( x)]3 ． = df ( x) [ f ′( x)]5? ′′′( y ) =d f ′′( x) [? ]= dy [ f ′( x)]3[例 2.1.16] 设 f ( x ) 为单调且二阶可导函数，其反函数为 x = g ( y ) ，且已知 f (1) = 2,68f ′(1) = ?1 , f ′′(1) = 1 ，则 g ′′(2) = ____ ． 3 dx 1 = g ′( y ) = ， dy f ′( x)d 1 ? f ′′( x) dx ? f ′′( x) f ′( x) [ f ′( x)]2 = = dy dy [ f ′( x)]3解：d x d 1 = ( )= 2 dy dy f ′( x)所以 g ′′(2) = = ?2f ′′( x) [ f ′( x)]3x =1=? f ′′(1) =3 3． [ f ′(1)]3Ⅵ 分段函数求导数 分段函数求导数的思路： ①在函数定义域内的各个开区间上利用求导公式和求导法则求 导；②在分段点处利用导数的定义来完成． [例 2.1.17] 设 f ( x ) = 2a? x，求 f ′( x ) ．?2 x ?a x & a ? 解：原式可写成 f ( x ) = ?1 x = a ?2a ? x x & a ?．?2 x ? a ln 2 x & a ? ； 当 x & a 和 x & a 时， f ′( x ) = ? a?x ??2 ln 2 x & a ?当 x = a 时，f +′(a ) = lim+x →af ( x) ? f (a) 2 x?a ? 1 = lim+ = ln 2 x→a x?a x?a f ( x) ? f (a) 2? x + a ? 1 = lim? = ? ln 2 ． x →a x?a x?af ?′(a ) = lim?x→a所以 f ( x ) 在 x = a 处不可导．从而?2 x ? a ln 2 x & a ? ． f ′( x) = ? a ? x ??2 ln 2 x & a ?[例 2.1.18] 设 F ( x) = max { f1 ( x), f 2 ( x)} 的定义域为 ( ?1,1) ，其中f1 ( x) = x + 1, f 2 ( x) = ( x + 1) 2 ，在定义域内，求dF ( x ) ． dx69解： F ( x) = ?? x + 1, ?1 & x ≤ 02 ?( x + 1) , 0 & x & 1，所以当 ?1 & x & 0 时， 当 0 & x & 1 时， 当 x = 0 时，由于x → 0?F ′( x) = 1 ； F ′( x ) = 2( x + 1) ；limF ( x ) ? F (0) ( x + 1) ? 1 = lim =1， x →0? x?0 xx →0lim +F ( x) ? F (0) ( x + 1)2 ? 1 = lim = 2， x → 0+ x?0 x所以 F ′(0) 不存在，从而dF ( x) ?1, ?1 & x & 0 =? ． dx ?2( x + 1), 0 & x & 1四、求变限积分的导数Ⅰ 仅积分限含参变量的变限积分求导数 仅积分限含参变量的变限积分求导数一般应利用下面公式完成．d ψ ( x) f (t )dt = f [ψ ( x)] ?ψ ′( x) ? f [? ( x)] ? ? ′( x) dx ∫? ( x )[例 2.1.19] 求下列函数的导数 ⑴ F ( x) =∫x32dt 1+ t 14x⑵ F ( x) =∫cos xsin xcos t 2 dt解：⑴ F ′( x ) =1 + ( x3 ) 4? ( x 3 )′ ?1 1 + ( x2 )4? ( x 2 )′ =3x 2 1 + x12?2x 1 + x8．⑵ F ′( x ) = cos(cos x ) 2 ? (cos x )′ ? cos(sin x ) 2 ? (sin x )′= ? cos(cos x ) 2 ? sin x ? cos(sin x ) 2 ? cos x ．[例 2.1.20] 设 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上连续且满足 解：方程∫x 2 (1+ x )0f (t ) dt = x ，求 f (2) ．∫x 2 (1+ x )0f (t ) dt = x 两端对 x 求导得：f ( x 2 + x 3 ) ? (2 x + 3 x 2 ) = 1上式中令 x = 1 得： f (2) =1 ． 5Ⅱ 积分限及被积函数中含参变量的变限积分求导数 对此种类型的的定积分表示的函数求导数的思路为： ①首先应利用定积分的性质或者变70量代换将被积函数中的参变量去掉；②然后按上面类型函数的求导方法完成． [例 2.1.21] ⑴d 0 ( x cos t 2 dt ) = _______ ， dx ∫x2 d x ⑵设函数 f ( x ) 连续，则 tf ( x 2 ? t 2 ) dt = _______ ． dx ∫02 2 ∫ 2 x cos t dt = ? x ∫ cos t dt x 0 0 0 x2解：⑴由于 所以x2 d ( ∫ 2 x cos t 2 dt ) = ? ∫ cos t 2 dt ? 2 x 2 cos x 2 ， 0 dx x x 1 x ⑵由于 ∫ tf ( x 2 ? t 2 ) dt = ? ∫ f ( x 2 ? t 2 ) d ( x 2 ? t 2 ) 0 2 0x 2 ?t 2 = u= ?1 0 1 x2 f (u )du = ∫ f (u )du 2 ∫x2 2 0所以d x tf ( x 2 ? t 2 ) dt = xf ( x 2 ) ． dx ∫0[例 2.1.22] 设函数 f ( x ) 连续，且 f (0) ≠ 0 ，求极限 limx →0∫x0( x ? t ) f (t )dtx 0x ∫ f ( x ? t )dt．∫ 解： limx →0x0( x ? t ) f (t )dtx 0x ∫ f ( x ? t )dt= limx →0x ∫ f (t )dt ? ∫ tf (t )dt0 0xxx ∫ f (u )du0x= limx →0∫x0f (t )dtx 0∫= limx →0x0f (t )dt xxxf ( x) + ∫ f (t )dt∫ f ( x) +0f (t )dt x=x →0limx →0∫x0f (t )dt xlim f ( x) + limx →0∫x= f (t )dt xf (0) 1 = ． f (0) + f (0) 20五、求高阶导数求高阶导数的基本方法有： 法一：先求出 y ′, y ′′, y′′′ 甚至 y (4) 后，总结出规律性，从而写出 y ( n ) 的表达式，然后用数学 归纳法证明． 法二：将所给的函数利用适当的运算分解成已有高阶导数公式的几个函数的和、差，然后利 用高阶导数公式完成． Ⅰ 求三角函数的高阶导数71求 此 类 函 数 高 阶 导 数 的一 般 思 路 是 ： ① 利 用 三角 公 式 将 所 给 的 三 角 函数 表 示 成sin( ax + b) 与 cos(cx + d ) 和、差的形式；②利用 sin ( n ) (ax + b) 和 cos ( n ) (cx + d ) 的公式完成． [例 2.1.23] 设 y = sin x + cos x ，则 y4 4 (n)( x) = _____ ．1 2 1 ? cos 4 x sin 2 x = 1 ? 2 4解：由于 y = sin 4 x + cos 4 x = 1 ? 2 cos 2 x sin 2 x = 1 ? 所以n y ( n ) ( x ) = 4n ?1 cos(4 x + π ) ． 2Ⅱ 求有理分式函数的高阶导数 求此类函数高阶导数的一般思路是： ①把所给的有理分式函数表示成多项式与有理真分 式的和； ②把第一步中得到的有理真分式分解成部分分式的和； ③利用高阶导数的运算法则 和(1 (n ) ) 公式完成． ax + b x3 ，求 y ( n ) ( n & 1) ． x 2 ? 3x + 2[例 2.1.24] 设 y =x3 7x ? 6 解： y = 2 = x + 3+ 2 x ? 3x + 2 x ? 3x + 2又设7x ? 6 A B ，则 A = 8, B = ?1 = + x ? 3x + 2 x ? 2 x ? 12于是 y =x3 8 1 = x + 3+ ? 2 x ? 3x + 2 x ? 2 x ?1所以y(n )1 (n) 1 (n) (?1) n n ! (?1) n n ! = 8( ) ?( ) = 8? ? ． ( x ? 2) n+1 ( x ? 1) n +1 x?2 x ?1Ⅲ 两个函数乘积的高阶导数 求此类函数高阶导数的一般可利用莱布尼兹公式来处理或用数学归纳法解决． [例 2.1.25] ⑴设 y = e x sin x ，求 y ( n ) ． ⑵设 y = x 2 ln(1 + x ) ，求 y ( n ) ． 解：⑴ y ′ = e x (sin x + cos x ) =y′′ = [ 2e x sin( x + )]′ = 2e x [sin( x + ) + cos( x + )] = ( 2) 2 e x sin( x + 2 × ) 4 4 4 4 y′′′ = [( 2) 2 e x sin( x + 2 × )]′ = ( 2)3 e x sin( x + 3 × ) 4 4观察其规律可得： y ( n ) = ( 2) n e x sin( x + n × 用数学归纳法证明（*）式成立：π2e x sin( x + ) 4πππππππ4)（*）72当 n = 1 时， （*）式显然成立， 设 n = k 时， （*）式成立，则y ( k +1) = [( 2) k e x sin( x + k × )]′ = ( 2) k +1 e x sin[ x + ( k + 1) × ] 4 4 （*）式成立． 即 n = k + 1 时（*）式成立，因此对任意自然数 n ，⑵利用莱布尼兹公式有：0 1 y ( n ) = Cn x 2 [ln(1 + x)]( n ) + 2Cn x[ln(1 + x )]( n ?1) + 2Cn2 [ln(1 + x )]( n ? 2)ππ0 = Cn x 2n?2 (?1) n?1 (n ? 1)! (n ? 2)! (?1) n ?3 (n ? 3)! 1 ( ?1) + 2Cn x + 2Cn2 (1 + x) n (1 + x) n ?1 (1 + x)n ? 2=[n ?3 (n ? 1)(n ? 2) x 2 0 2(n ? 2) x 1 (n ? 3)! 2 ( ?1) Cn ? Cn + 2Cn ] ． 2 (1 + x) (1 + x) (1 + x) n ?2Ⅳ 求具体函数在具体点的高阶导数 给定的函数 f ( x ) ，求 f ( k ) ( x0 ) 的一般方法：若能求出 f(n)( x) ，自然就可以求出f ( k ) ( x0 ) ；若求不出 f ( n ) ( x) ，此时将 f ( x ) 在 x = x0 点展开为幂级数，不妨记为f ( x ) = ∑ an ( x ? x0 ) n ，n =0∞则 f ( k ) ( x0 ) = k !× ak ． [例 2.1.26] ⑴已知 f ( x ) = x arctan x ，求 f (100) (0) ． ⑵已知 f ( x ) = x 2 e x ，求 f (99) (0) ． 解：⑴由于 (arctan x )′ =∞ 1 = ∑ ( ?1) n x 2 n 1 + x 2 n =0所以arctan x ? arc tan 0 = ∑ (?1) nn =0∞x 2 n +1 ， 2n + 1从而f ( x) = x arctan x = ∑ (?1)nn=0∞x 2 n+ 2 2n + 1故f (100) (0) = 100!× ( ?1) 491 = ?100 ? (98!) ． 990 1 2 ⑵由于 f ( n ) ( x ) = Cn x 2 e x + Cn 2 xe x + Cn 2e x 2 f (99) (0) = 2C99 ．所以六、导数几何意义的应用73导数几何意义的应用就是求平面曲线的切线及法线方程． 曲线 y = f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线与法线方程分别是：y ? f ( x0 ) = f ′( x0 )( x ? x0 )和y ? f ( x0 ) = ?1 ( x ? x0 ) ． [ f ′( x0 ) ≠ 0 ] f ′( x0 )[例 2.1.27] ⑴曲线 sin( xy ) ? e 2 x + y 3 = 0 在 x = 0 处的切线方程是 _____ ；法线方程是____ ；⑵设函数 f ( x ) 在 x = 2 处连续，且 lim 点 (2, f (2)) 处的切线方程为 ______ ；2 f (3 ? x ) ? 3 = ?1 ，则曲线 y = f ( x ) 在 x →1 x ?1? x = cos t + cos 2 t π ⑶曲线 ? 上对应于 t = 的点处的法线斜率为 _____ ． 4 ? y = 1 + sin t解：⑴ sin( xy ) ? e 2 x + y 3 = 0 两端求微分得cos( xy )( ydx + xdy ) ? 2e 2 x dx + 3 y 2 dy = 0所以dy 2e 2 x ? y cos( xy ) = dx 3 y 2 + x cos( xy )由 x = 0 ，从方程 sin( xy ) ? e 2 x + y 3 = 0 可得 y = 1 ．所以在 x = 0 处的切线的斜率k=从而所求切线方程为 y =dy dxx =0 y =1=2e 2 x ? y cos( xy ) 3 y 2 + x cos( xy )x =0 y =1=1 31 x + 1 ；法线方程为 y = ?3 x + 1 ． 3 2 f (3 ? x) ? 3 3 ⑵由于 lim = ?1 ，而函数 f ( x ) 在 x = 2 处连续，所以 f (2) = x →1 x ?1 2 x ?1=t 2 f (3 ? x) ? 3 f (2 ? t ) ? f (2) 1 又因为 lim = 2 lim = ?2 f ′(2) ，所以 f ′(2) = ． x →1 t →0 x ?1 t 2因此该点的切线方程为y?⑶由于3 1 1 1 = ( x ? 2) ，即 y = x + ． 2 2 2 2x=dy dy cos t = ，所以 dx ? sin t ? sin 2t dxπ4=?2 2+ 274从而曲线上对应于 t =π4的点处的法线斜率为2+ 2 ． 2[例 2.1.28] 求曲线 ρ = a sin 2θ 在 θ =π4处的切线方程和法线方程．分析 将极坐标化为参数方程（以 θ 为参数）? x = ρ cos θ = a sin 2θ cos θ ? ? y = ρ sin θ = a sin 2θ sin θ再按参数方程求导方法求出dy dxθ=π4从而写出切线方程和法线方程．解：dy dy dθ 2a cos 2θ sin θ + a sin 2θ cos θ = = ， dx dx 2a cos 2θ cos θ ? a sin 2θ sin θ dθ在θ =π4处曲线切线斜率为dy dxθ=π4= ?1 ．法线斜率为 1 ，又 xπ4=yπ4=2 a． 2故所求切线方程为y?2 2 a = ?( x ? a ) ，即 y + x ? 2a = 0 ． 2 2法线方程为 y ?2 2 a = (x ? a ) ，即 y ? x = 0 ． 2 2七、其它[例 2.1.29] 注水入深 8m ，上顶直径 8m 的正圆锥形容器中，其速率为每分钟 4m 2 ，当水深 为 5m 时，其表面上升的速率为多少？ 解：设 t 时刻容器中水深为 h(t ) ，此时水的容积为 V (t ) （如图）r h 1 = 得 r= h 4 8 2 1 1 故 V = π r 2h = π h3 3 12 1 由题设 π h3 = 4t 12 上式两端对 t 求导得 1 2 16 π h ? h′(t ) = 4 ，即 v(t ) = 2 4 πh 16 于是当水深为 5m 时，其表面上升的速率为 v (5) = ( m / min) ． 25π由75[例 2.1.30] 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数，它在 x = 0 的某邻域内满足关系式f (1 + sin x ) ? 3 f (1 ? sin x ) = 8 x + α ( x )其中 α ( x ) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小， f ( x ) 在 x = 1 处可导， 且 求曲线 y = f ( x ) 在点(6, f (6)) 处的切线方程．分析： f ( x ) 是周期为 5 的函数，求曲线 y = f ( x ) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程，只需求出f ( x ) 在 x = 1 处的函数值及导数值．解：已知关系式两边取极限 x → 0 得：f (1) ? 3 f (1) = 0 ，故 f (1) = 0由于 所以 即f (1 + sin x ) ? 3 f (1 ? sin x ) = 8 x + α ( x )limx →0令 sin x = t ，可得：f (1 + sin x ) ? 3 f (1 ? sin x ) ? 8 x =0 x f (1 + sin x ) ? 3 f (1 ? sin x ) lim =8 x →0 sin x8 = limf (1 + t ) ? 3 f (1 ? t ) [ f (1 + t ) ? f (1)] ? 3[ f (1 ? t ) ? f (1)] = lim t →0 t →0 t t [ f (1 + t ) ? f (1)] [ f (1 ? t ) ? f (1)] = lim + 3lim = 4 f ′(1) t →0 t →0 t ?t所以 f ′(1) = 2 ． 由周期性知f (6) = 0, f ′(6) = 2 ． y = 2( x ? 6) ．因此曲线 y = f ( x ) 在点 (6, f (6)) 处的切线方程为 [例 2.1.31] 设函数 f ( x ) 连续，且 limx →01 f ( x ) ? sin x ，又 = a ( a 为常数） F ( x) = ∫ f ( xy )dy 0 x求 F ′( x ) 并讨论 F ′( x ) 的连续性． 解：由于 limx →0f ( x) ? sin x = a ? f (0) = 0 ，所以 x?1 x ? ∫0 f (t )dt , x ≠ 0 F ( x) = ? x ?0, x = 0 ?76当 x ≠ 0 时， F ′( x ) = 当 x = 0 时，xf ( x) ? ∫ f (t )dt x0 2xF ( x) ? F (0) ∫ f (t )dt = lim f ( x) F ′(0) = lim = lim 0 2 x →0 x →0 x →0 2 x x x 1 f ( x ) ? sin x + sin x 1 = lim = ( a + 1) x →0 2 x 2x所以? xf ( x) ? x f (t )dt ∫0 ? ,x ≠ 0 ? x2 F ′( x) = ? ； ? a +1 ? 2 ,x =0 ?易知 x = 0 是 F ′( x ) 的分段点．先讨论 F ′( x ) 在 x = 0 的连续性，由于limx →0xf ( x) ? ∫ f (t ) dt0xx2f ( x) ∫ f (t )dt = lim ? lim 0 2 x →0 x →0 x x f ( x) ? sin x + sin x 1 = lim ? (a + 1) x →0 x 2 1 = (a + 1) = F ′(0) ， 21所以 F ′( x ) 在 x = 0 连续； 当 x ≠ 0 时，因为 f ( x ) 连续，所以变上限的积分 是 F ′( x ) 是连续的． 综上： F ′( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内连续．∫x0f (t )dt 可微，从而也是连续的，于§2.2 微分中值定理及导数应用本节重点是用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理及泰勒中值定理证明有关命题， 利用导数研究函数的性态．● 常考知识点精讲一、罗尔定理定理：设 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，在开区间 ( a, b) 内可导，又设 f ( a ) = f (b ) ，则至少 存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使得 f ′(ξ ) = 0 ．77评注：罗尔定理可用来证明方程在某范围内至少有一个实根． [例 2.1] 设 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内可导，方程 f ′( x ) = 0 有 n 个互不相等的实根 x1 , x2 ? , xn 试 证在 f ′( x ) 的任意两个相邻实根之间至多只能有方程 f ( x ) = 0 的一个实根． 分析：题目要求证明 f ′( x ) 的任意两个相邻实根 xi , xi +1 之间至多只能有方程 f ( x ) = 0 的一 个实根，本题似乎与罗尔定理无关．可是，不难设想，若在 xi , xi +1 之间有 f ( x ) = 0 的两个 实根，那么由罗尔定理可知 f ( x ) = 0 的这两个实根之间必定还有一点满足 f ′( x ) = 0 ，这与xi , xi +1 是 f ′( x ) = 0 相邻实根矛盾．证明：不妨设方程 f ′( x ) = 0 的 n 个互不相等的实根 x1 , x2 ? , xn 满足 x1 & x2 & ? & xn ． 假设 f ( x ) = 0 在 f ′( x ) = 0 的两个相邻实根 xi , xi +1 (1 ≤ i ≤ n ? 1) 之间至少有两个不相 同的实根 c, d (c & d ) ． 则 f ( x ) 在区间 [c, d ] 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理可得，至少存在η ∈ (c, d ) ， 使得 f ′(η ) = 0 ．即在 f ′( x ) = 0 的两个相邻实根 xi , xi +1 之间仍有它的一个实根．矛盾 故原命题成立．二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理1．拉格朗日中值定理 定理： f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续， 设 在开区间 ( a, b) 内可导， 则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使 得 f (b ) ? f ( a ) = f ′(ξ )(b ? a ) ． 评注：⑴拉格朗日中值定理常用的是下述形式： 设 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，在开区间 ( a, b) 内可导，又 x, x0 是 [ a , b ] 上的任意两点， 则至少存在一点 ξ 介于 x 于 x0 之间，使得f ( x) = f ( x0 ) + f ′(ξ )( x ? x0 )命θ =ξ ? x0x ? x0，则 0 & θ & 1 ，拉格朗日中值公式又可以写成f ( x ) = f ( x0 ) + f ′[ x0 + θ ( x ? x0 )]( x ? x0 )⑵涉及一个函数的函数改变量与其某点导数关系的一切命题一般是用拉格朗日中值定 理来完成的．782．拉格朗日中值定理的推论 推论：如果在 ( a, b) 内恒有 f ′( x ) = 0 ，则在 ( a, b) 内 f ( x ) 为常数． 评注：此推论主要用来证明函数恒等式． [例 2.2] 已知 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 内可导，且lim f ′( x) = e, lim(x →∞ x →∞x+c x ) = lim[ f ( x) ? f ( x ? 1)] ，求 c 的值． x →∞ x?cx →∞ x →∞分析：要想求出 c 的值，关键是求出 lim[ f ( x ) ? f ( x ? 1)] ，而已知条件是 lim f ′( x ) = e 因此需将函数的改变量 f ( x ) ? f ( x ? 1) 与函数 f ( x ) 的导数联系在一起，这就需用拉格朗日 中值定理来完成． 解：由拉格朗日中值定理可得：f ( x) ? f ( x ? 1) = f ′(ξ ),所以 又 故x →∞ x →∞x ?1 & ξ & x ，ξ →∞lim[ f ( x) ? f ( x ? 1)] = lim f ′(ξ ) = lim f ′(ξ ) = elim(x →∞x+c ) = e2c x?c1 ． 2 1 2x [例 2.3] 证明函数恒等式 arctan x = arctan , x &1． 2 1 ? x2 1 2x 证明：令 f ( x ) = arctan x ? arctan 2 1 ? x2 e2c = e ，于是 c = 则 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 内可导，且f ′( x) =1 1 1 2(1 ? x 2 ) + 4 x 2 ? ? =0 1 + x 2 2 1 + ( 2 x )2 (1 ? x 2 )2 1 ? x2所以由拉格朗日中值定理的推论可得 f ( x ) = c 又 c = f (0) = 0 ，所以 arctan x =1 2x arctan , x &1． 2 1 ? x2三、柯西中值定理定理：设 f ( x ) 、 g ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，在开区间 ( a, b) 内可导，且g ′( x ) ≠ 0, x ∈ ( a, b) ，则至少存在一点 ξ ∈ ( a, b) ，使得f (b) ? f (a ) f ′(ξ ) = ． g (b) ? g (a ) g ′(ξ )评注： 涉及两个不同函数的函数改变量与其在某点导数关系的命题一般需用柯西中值定理来 解决．79[例 2.4] 设 ? ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上可导，且 x1 x2 & 0 ，试证至少存在一点 ξ ∈ ( x1 , x2 ) ，使得x1? ( x2 ) ? x2? ( x1 ) = ? (ξ ) ? ξ? ′(ξ ) ． x1 ? x2 x ? ( x2 ) ? x2? ( x1 ) 分析： 由于 1 = x1 ? x2? ( x2 ) ? ( x1 )x2 ? x1 1 1 ? x2 x11 x，从而所证命题的一端变为“f (b) ? f (a ) ” g (b) ? g (a )因此可考虑使用柯西中值定理来完成． 证明：令f ( x) =? ( x)x，g ( x) =显然它们在 [ x1 , x2 ] 上满足柯西中值定理的条件，因此至少存在一点 ξ ∈ ( x1 , x2 ) ，使得? ( x2 ) ? ( x1 )x2 ? x1 1 1 ? x2 x1 =ξ? ′(ξ ) ? ? (ξ ) ξ2? 1= ? (ξ ) ? ξ? ′(ξ ) ．ξ2四、泰勒中值定理1．带拉格朗日余项的泰勒中值定理 定理：设 f ( x ) 在点 x0 的某一邻域 ∪ 内有直到 n + 1 阶的导数，则对该邻域内的任意点 x 都 有f ( x) = f ( x0 ) +f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ( x ? x0 ) + ( x ? x0 )2 + ? 1! 2! f ( n ) ( x0 ) f ( n+1) (ξ ) n + ( x ? x0 ) + ( x ? x0 ) n+1 n! (n + 1)!其中 ξ 介于 x, x0 之间． 2．带皮亚诺余项的泰勒定理 定理：设 f ( x ) 在点 x0 的某一邻域 ∪ 内有直到 n 阶的导数，则对该邻域内的任意点 x 都有f ( x) = f ( x0 ) +f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ( x ? x0 ) + ( x ? x0 )2 + ? 1! 2! (n) f ( x0 ) + ( x ? x0 ) n + o( x ? x0 ) n n!评注：⑴如果泰勒公式中的 x0 = 0 ，则称该公式为马克劳林公式； ⑵利用泰勒中值定理解决证明题一般用带拉格朗日余项的泰勒中值定 理；80⑶利用泰勒中值定理求极限，一般用带皮亚诺余项的泰勒定理． 3．几个常用函数的带皮亚诺余项的马克劳林展开式x2 xn e = 1 + x + + ? + + o( x n ) 2! n!xsin x = x ?1 3 (?1)n 2 n +1 + o( x 2 n+1 ) x +? + x 3! (2n + 1)!x2 x2n + o( x 2 n ) cos x = 1 ? + ? + 2! (2n)!n x 2 x3 n ?1 x ln(1 + x) = x ? + ? ? + (?1) + o( x n ) 2 3 n(1 + x) m = 1 + mx +m( m ? 1) 2 m( m ? 1) ? ( m ? n + 1) n x +? + x + o( x n ) 2! n!五、函数的单调性1．单调的概念 定义：若函数 y = f ( x ) 在区间 ( a, b) 内有定义， x1 , x2 为 ( a, b) 内任意两点，当 x1 & x2 时， 恒有 f ( x1 ) & ( &) f ( x2 ) ，则称函数 y = f ( x ) 在区间 ( a, b) 内为单调增加（减少）的． 2．判定定理 定理：设 f ( x ) 在区间 I 上 f ′( x ) ≥ 0(≤ 0) ，且不在任意子区间上取等号，则 f ( x ) 在区间 I 上单调增加（减少） ． 评注：利用导数判定函数 f ( x ) 单调性的一般步骤：①求出 f ( x ) 的定义域和 f ′( x ) ；②在定 义域内求出 f ′( x ) 为零和不存在的点，不妨设为 x1 , x2 ,? xn ；③用上述点将定义域划分成若 干个部分区间，在每一个部分区间上利用判定定理得到 f ( x ) 的单调性．六、极值1．极值的概念 定义： 设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内有定义． 若果对于该邻域内任何异于 x0 的点 x ， 恒有 f ( x ) & ( &) f ( x0 ) ， 则称 x0 为 f ( x ) 的一个极大 （小） 值点； f ( x0 ) 为 f ( x ) 的极大 称 （小） 值 2．可导点处极值的必要条件 定理：设 f ( x ) 在 x0 点取极值，且 f ′( x0 ) 存在，则 f ′( x0 ) = 0 ． 评注：导数为零的点称为函数的驻点． 3．极值的充分条件81（1）极值的第一充分条件： 定理：设 f ( x ) 在 x0 处连续，在 x = x0 的去心邻域内可导，则 （）若在 x0 左侧邻域内 f ′( x ) & 0 ，右侧邻域内 f ′( x ) & 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值； （）若在 x0 左侧邻域内 f ′( x ) & 0 ，右侧邻域内 f ′( x ) & 0 ，则 f ( x0 ) 为极小值； （）若在 x = x0 左、右邻域内 f ′( x ) 同号，则 f ( x0 ) 必不是极值． （2）极值的第二充分条件 定理：设 f ( x ) 在 x0 处有二阶导数， f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ，则 （）当 f ′′( x0 ) & 0 时，函数 f ( x ) 在点 x0 取得极小值； （）当 f ′′( x0 ) & 0 时，函数 f ( x ) 在点 x0 取得极大值． 4．关于极值的几个补充结论 命题 1：若 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有三阶连续导数，则点 x0 不是 f ( x ) 的极值点，而点( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点．命题 2：若 f ( x ) 在 x0 的某邻域内有直到 n + 1 阶的导数，且f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) = ? = f ( n ) ( x0 ) = 0 ，而 f ( n +1) ( x0 ) ≠ 0 ，则（）当 n 为偶数时， f ( x0 ) 不是极值； （）当 n 是奇数时， f ( x0 ) 是极值，且 f ( n +1) ( x0 ) & 0 时，是极小值； f ( n +1) ( x0 ) & 0 时， 是极大值． [例 2.5] 求函数 y = 2 x3 ? 6 x 2 ? 18 x + 7 的单调区间和极值． 解：函数的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，y′ = 6 x 2 ? 12 x ? 18 = 6( x + 1)( x ? 3)从而定义域内导数为零和不存在的点为 x = ?1, x = 3 列表讨论如下：x y′ y由表可见：( ?∞, ?1) +??1 0( ?1,3)?3 0(3, +∞) +??函数在区间 ( ?∞, ?1) 、 (3, +∞ ) 内单调增加，在 ( ?1,3) 内单调减少； f ( ?1) = 17 是极大值，82f (3) = ?47 是极限值．七、最大值、最小值问题 最大值、1．闭区间上连续函数最大值、最小值求法 （1）求出函数 f ( x ) 在该区间内部的一切驻点及不可导的点，并计算相应的函数值； （2）求出函数 f ( x ) 在区间的两个端点的函数值； （3）比较（1）（2）中求出的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值． ， 2．应用问题的最值求法 （1）建立目标函数 y = f ( x ) ，确定其定义区间 I ； （2）若 f ( x ) 可导，求出 f ( x ) 在区间 I 内的一切驻点； （3）如果 I 内只有一个驻点，并且经检验，是极大（小）值点，则在此唯一驻点处函数必 取最大（小）值．八、凹向与拐点1．凹、凸概念 定义：设函数 y = f ( x ) 在 ( a, b) 内可导， x0 是 ( a, b) 内任一点．若曲线弧上点 ( x0 , f ( x0 )) 处 的切线总位于曲线弧的下方，则称此曲线弧在 ( a, b) 内是凹的；曲线弧上点 ( x0 , f ( x0 )) 处的 切线总位于曲线弧的上方，则称此曲线弧在 ( a, b) 内是凸的． 2．凹、凸判定定理 则曲线 y = f ( x ) 在 定理： f ( x ) 在区间 I 上 f ′′( x) ≥ 0 (≤ 0) 且不在任一子区间上取等号， 设 区间 I 上是凹（凸）的 3．拐点的概念 定义：连续曲线弧上凹、凸部分的分界点称为曲线弧的拐点． 4．二阶可导点处拐点的必要条件 定理：设点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y = f ( x ) 的拐点，且 f ′′( x0 ) 存在，则 f ′′( x0 ) = 0 ． 5．拐点的充分条件 定理：设 f ( x ) 在 x0 点的某邻域内二阶可导，并且在 x0 的左、右邻域 f ′′( x) 反号，则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点评注：判定曲线的凹凸和拐点的一般步骤：①求出 f ( x ) 的定义域和 f ′′( x ) ；②在定义域内 求出 f ′′( x ) 为零或不存在的点，不妨设为 x1 , x2 ,? xn ；③判定 f ′′( x ) 在上述点的左、右两 侧符号，若在所给点 xi 两侧 f ′′( x ) 异号，则点 ( xi , f ( xi )) 为曲线的拐点；④用上述点把定83义域划分成若干个部分区间，在每一个部分区间上判定 f ′′( x ) 的符号，得出曲线弧在该区 间上的凹凸性． [例 2.6] 求曲线 y = ln( x 2 + 1) 的凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为 ( ?∞, +∞ ) ，y′ =2x ， 1 + x2y′′ =( x 2 + 1) ? 2 ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x)(1 + x) = (1 + x 2 ) 2 (1 + x 2 ) 2所以定义域内 y′′ 为零和不存在的点为 x = ?1, x = 1 列表讨论如下：x y′′y由表可见：( ?∞, ?1)??1 0 ln 2( ?1,1) +∪1 0 ln 2(1, +∞ )?∩∩曲线在 ( ?∞, ?1) 、 (1, +∞ ) 上是凸的，在 ( ?1,1) 内是凹的；点 ( ?1, ln 2) 、 (1, ln 2) 是拐点．九、渐近线的定义及其求法1．渐近线的概念 （1）水平渐近线 定义：若 lim f ( x ) = c [或 lim f ( x ) = c ] ，则直线 y = c 叫曲线 y = f ( x ) 的一条水平渐近x →+∞ x →?∞线． （2）垂直渐近线（铅直渐近线） 定义： lim f ( x ) = ∞ [或 lim f ( x ) = ∞ ] ，则直线 x = x0 叫曲线 y = f ( x ) 的一条垂直渐近 若 ? +x → x0 x → x0线． （3）斜渐近线 定义： lim [ f ( x ) ? ax ? b] = 0 [或 lim [ f ( x ) ? ax ? b ] = 0], ( a ≠ 0) ， 若 则直线 y = ax + b 叫x →+∞ x →?∞曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线． 2．求斜渐近线 （1）先求 limx →+∞f ( x) ，如该极限值是非零的常数 a ，再求 lim [ f ( x ) ? ax ] ，若此极限存在 x →+∞ x且极限值为 b ，则直线 y = ax + b 是曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线； （2）求 limx →?∞f ( x) ，如该极限值是非零的常数 c ，再求 lim [ f ( x ) ? cx ] ，若此极限存在且 x →?∞ x极限值为 d ，则直线 y = cx + d 是曲线 y = f ( x ) 的一条斜渐近线．84
第二部分 一元函数微分学 第 1 页共 28 页 高数第二章 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1―39,中等题 40―106,难题 107―135。 1.设函数 y ? f (...成考专起点升本数学(二)第二章 一元函数微分学_理学_高等教育_教育专区。第...分别是函数在[a, b]上的最大值和最小值, 它有可能在区间中的驻点或一阶...成考专起点升本数学(二)第二章+一元函数微分学_理学_高等教育_教育专区。第...分别是函数在[a, b]上的最大值和最小值, 它有可能在区间中的驻点或一阶...02第二章一元函数微分学专题2(学生版)_理学_高等教育_教育专区。题型十一 ...的端点(3)其他 1.设 f ( x) 在 [ ?1,1] 上三阶连续可导, f (?1...第二章考试内容: 一元函数微分学 导数和微分的概念/导数的几何意义/函数的可...4、会求分段函数在分段点上的一阶导数值。 5、理解微分的概念,导数与微分之间...第二章一元函数微分学一、常见的考试知识点 1.导数与微分 (1)导数的概念及几何意义,用定义求函数在一点处的导数值. (2)曲线上一点的切线方程和法线方程. (...一元函数微分学知识点_理学_高等教育_教育专区。第一章 函数与极限 1. 函数 ...导数的几何意义:曲线上某点的切线的斜率 (2)导数的计算: 基本初等函数求导公式...第二章:一元函数微分学(上... 29页 免费 第二章 一元函数的微分学 55页 1财富值 第二章:一元函数微分学(下... 38页 免费 第二章一元函数微分学(三...一元函数微分学练习题_理学_高等教育_教育专区。厦门理工一元函数微分学练习答案 高等数学(Ⅰ)练习 系一.填空题 1.若 f ?( x0 ) 存在,则 lim 第二章 一...第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 (一)导数的定义与几何意义...(四)函数的区间上的可导性,导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性 若 ...
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