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求南开中学2015级九年级下阶段测试18题详细解答过程
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长宽高都为正整数，且所有棱长和与体积的值相等的长方体，我们成为完美长方体，这样的完美长方体有多少个？有答案是5请教解题过程
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求解啊求解
4条长，4条宽，4条高：长宽高为x,y,z有：4(x+y+z)=xyz解有：(1, 5, 24)(1, 6, 14)(1, 8, 9)(2, 3, 10)(2, 4, 6)所以5个！！
以上解法显然不够严密。（一）如果x=y=z，则有：12x=x&#x00B3;，即x&#x00B2;=12，x无整数解。（二）如果x=y≠z，则有：8x+4z=x&#x00B2;z，z=8x/(x&#x00B2;-4)，显然x≥3；当x&#65310;9时，x&#x00B2;-4&#65310;8x，因此x≤8试算可知，x在3~8之间取任何值，z均无整数解。因此，x、y、z两两互不相等，不妨设x&#65308;y&#65308;z当x≥3时，4(x+y+z)&#65308;12z，xyz≥12z，∴4(x+y+z)≠xyz∴x仅能取1或2当x=1时，有4+4y+4z=yz，整理可得：z=(4y+4)/(y-4)=4+20/(y-4)∴y-4必为20的约数，结合x&#65308;y&#65308;z可得：y=5，z=24；y=6，z=14；y=8，z=9当x=2时，有8+4y+4z=2yz，整理可得：z=(2y+4)/(y-2)=2+8/(y-2)∴y-2必为8的约数，结合x&#65308;y&#65308;z可得：y=3，z=10；y=4，z=6综上，共有五组解：(1,5,24)、(1,6,14)、(1,8,9)、(2,3,10)、(2,4,6)
问题：x、y、z是正整数，它们有关系：4(x+y+z)=xyz。求x、y、z。分析 ：这是一个特殊形式的三元三次不定方程，可模仿三元一次不定方程去解，基本思路是对其中一个取值，化为二元二次不定方程，进而模仿二元一次不定方程去解。解：这是一个对称式的方程，不妨设x≤y≤z。一 取x=1，原方程为 4（1+y+z)=yz。解得z=(4+4y)/(y-4)=[4+(4y-16)+16]/(y-4)=4+20/(y-4)。由此可得y=5时，z=24；y=6时，z=14；y=8时，z=9。即得到三组解：（x，y，z.）=(1，5，24）、（1，6，14）、（1，8，9）。二 取x=2，原方程为4（2+y+z)=2yz。类似解得z=2+8/(y-2)。由此可得y=3时，z=10；y=4时，z=6；y=8。即得到两组解：（x，y，z.）=(2，3，10）、（2，4，6）。三 下面证明x≥3时，原方程无正整数解。（1）x=3、y=3时，原方程是：4（3+3+z)=3×3z，即5z=24。无正整数解；（2）x=3、y=4时，原方程是：4（3+4+z)=3×4z，即8z=28。无正整数解；（3）x≥3、y&#65310;4时，4(x+y+z)≤4（z+z+z)≤12z，而xyz&#z=12z。也就是说，这种情况下，4(x+y+z)&#65308;xyz，即原方程无解。综上可知，4(x+y+z)=xyz的解（x、y、z)有下列五组：(1，5，24）、（1，6，14）、（1，8，9）、(2，3，10）、（2，4，6）。
原问题已有答案：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“体积的值”相等的长方体有5个。新问题：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“表面积的值”相等的长方体有几个？
前面已有答案：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“体积的值”相等的长方体有5个。具体地说是：(1，5，24）、（1，6，14）、（1，8，9）、(2，3，10）、（2，4，6）。8楼新问题：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“表面积的值”相等的长方体有几个？用7楼的方法我得到的答案是2个，具体地说是（1，2，4）和（2，2，2）。很自然地可以再提出一个新问题：长、宽、高都为正整数，且“表面积的值”与“体积的值”相等的长方体有几个？
原问题：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“体积的值”相等的长方体有几个。7楼给出了答案，是5个。具体地说是：(1，5，24）、（1，6，14）、（1，8，9）、(2，3，10）、（2，4，6）。8楼新问题：长、宽、高都为正整数，且“所有棱长的和”与“表面积的值”相等的长方体有几个？用7楼的方法我得到的答案是2个，具体地说是（1，2，4）和（2，2，2）。9楼又提出一个新问题：长、宽、高都为正整数，且“表面积的值”与“体积的值”相等的长方体有几个？用7楼的方法我得到的答案是8个，具体地说是：（3，7，42）、……、（6，6，6）。其它略。
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