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第一章晶体的结构答案(共道题)（精品）
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第一章晶体的结构答案(共道题)（精品）
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【第一章 晶体结构】
来源：互联网 更新时间： 12:38:46 责任编辑：李志喜字体：
本文由lengsenlinnuli贡献
在自然界的固态物质中，具有规则几何外形的晶体很早就引起了人们的关注，尽管目前 对非晶态物质的研究日趋活跃，但迄今为止，人们对固体的了解大部分来自对晶体的研究。 本章主要讨论晶体中原子排列的几何特征，并简要地介绍 X 射线衍射的原理和方法。
§1．1 晶体的共性
如果将大量的原子聚集到一起构成固体，那么显然原子会有无限多种不同的排列方式。 而在相应于平衡状态下的最低能量状态，则要求原子在固体中有规则地排列。若把原子看作 刚性小球，按物理学定律，原子小球应整齐地排列成平面，又由各平面重叠成规则的三维形 状的固体。 人们很早就注意一些具有规则几何外形的固体，如岩盐、石英等，并将其称为晶体。显 然，这是不严格的，它不能反映出晶体内部结构本质。事实上，晶体在形成过程中，由于受 到外界条件的限制和干扰，往往并不是所有晶体都能表现出规则外形；一些非晶体，在某些 情况下也能呈现规则的多面体外形。因此，晶体和非晶体的本质区别主要并不在于外形，而 在于内部结构的规律性。迄今为止，已经对五千多种晶体进行了详细的 X 射线研究，实验表 明：组成晶体的粒子（原子、离子或分子）在空间的排列都是周期性的有规则的，称之为长 程有序；而非晶体内部的分布规律则是长程无序。 各种晶体由于其组分和结构不同，因而不仅在外形上各不相同，而且在性质上也有很大 的差异，尽管如此，在不同晶体之间，仍存在着某些共同的特征，主要表现在下面几个方面。 1． 自范性 晶体物质在适当的结晶条件下，都能自发地成长为单晶体，发育良好的单晶体均以平面 作为它与周围物质的界面，而呈现出凸多面体。这一特征称之为晶体的自范性。 2． 晶面角守恒定律 由于外界条件和偶然情况不同，同一类型的晶体，其外形不尽相同。图 1-1-1 给出理想
图 1-1-1 理想石英晶体
图 1-1-2 一种人造石英 1
石英晶体的外形，图 1-1-2 是一种人造的石英晶体，表明由于外界条件的差异，晶体中某组 晶面可以相对地变小、甚至消失。所以，晶体中晶面的大小和形状并不是表征晶体类型的固 有特征。 那么，由晶体内在结构所决定的晶体外形的 固有特征是什么呢？实验表明：对于一定类型的 晶体来说，不论其外形如何，总存在一组特定的 夹角，如石英晶体的 m 与 m 两面夹角为 60°0′，m 与 R 面之间的夹角为 38°13′，m 与 r 面的夹角为 38°13′。对于其它品种晶体，晶面间则有另一组特 征夹角。这一普遍规律称为晶面角守恒定律，即 同一种晶体在相同的温度和压力下，其对应晶面
之间的夹角恒定不变。 3． 解理性 当晶体受到敲打、剪切、撞击等外界作用时，可有沿某一个或几个具有确定方位的晶面 劈裂开来的性质。如固体云母（一种硅酸盐矿物）很容易沿自然层状结构平行的方向劈为薄 片，晶体的这一性质称为解理性，这些劈裂面则称为解理面。自然界的晶体显露于外表的往 往就是一些解理面。 4． 各向异性 晶体的物理性质随观测方向而变化的现象称为各向异性。晶体的很多性质表现为各向异 性，如压电性质、光学性质、磁学性质及热学性质等。例如：石墨的电导率，当我们沿晶体 不同方向测其电导率时，得到方向不同而石墨的电导率数值也不同的结果。 5． 对称性 晶体的宏观性质一般说来是各向异性的，但并不排斥晶体在某几个特定的方向可以是异 向同性的。晶体的宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象称为晶体的对称性。 晶体的对称性反映在晶体的几何外形和物理性质两个方面。实验表明，晶体的许多物理 性质都与其几何外形的对称性相关。 6． 最低内能与固定熔点 实验表明：从气态、液态或非晶态过渡到晶体时都要放热，反之，从晶态转变为非晶态、 液态或气态时都有要吸热。表明：在相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液体或 非晶体相比，晶体的内能最小。即在相同的热力学条件下，以具有相同化学成分的晶体与非 晶体相比，晶体是稳定的，非晶体是不稳定的，后者有自发转变为晶体的趋势。 晶体具有固定的熔点。当加热晶体到某一特定的温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程 中保持温度不变，直至晶体全部熔化后，温度才又开始上升。如图 1-1-3 所示：石英的熔点 是 1470℃，硅单晶的熔点是 1420℃。反之，玻璃等非晶体在加热过程中，先出现整个固体变 软，然后逐渐熔化为液体，也就是说，他们没有固定的熔点，而只是在某一温度范围内发生 软化，这个范围称为软化区。
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京ICP备号-1 京公网安备02号关于固体物理能带论中布里渊区的注记-五星文库
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关于固体物理能带论中布里渊区的注记
导读：关于固体物理能带论中布里渊区的注记，摘要I布里渊区是固体物理学能带论中的一个非常重要的概念C比较抽像C本文主要从布里，关键词I薛定谔方程K布里渊区K原胞K正格子K倒格子，布里渊区及其图示D&，两端被截掉C电子只允许在中间运动C从而形成了能带C这是周期性势场下粒子运动的特征，BB万方数据收稿日期IDGGQPGOPDG作者简介I易明芳&女C安徽宣城，第一布里渊区-121/0/0，第二
年$月!&&#$
第$$卷第%期安庆师范学院学报&自然科学版’’()*+,-.)/0,12,345-675+89)..535&:-;*+-.&625,65&!&&#:)=&%&$$:?).@AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
关于固体物理能带论中布里渊区的注记
安庆师范学院学报编辑部C安徽安庆&DEFGHH’
摘要I布里渊区是固体物理学能带论中的一个非常重要的概念C比较抽像C本文主要从布里
渊区的描述及其特征等几个方面进行了讨论J
关键词I薛定谔方程K布里渊区K原胞K正格子K倒格子
中图分类号IMH&HLE文献标识码IN文章编号IHGGOPEDFG&DGGQ’GGPGGOQPGR
晶体中薛定谔方程及其解H&
我们在讨论晶体的电子运动状态时C采取单电子近似C即假设晶体中的某个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场C以及其它大量电子的平均势场中运动C这个势场也是周期性变化的C而且它的周期与晶格周期相同C设晶体的晶格常数为S则有T&式中X为整数J在这种周C’VT&WXS’CUU
YHZ期性势场的作用下C晶体电子所满足的薛定谔方程为I
DDP’&H’&’WT&’&’V‘&’C&&’VT&’Vb_UU_U_UTUaWXSGDD\^U
在单电子近似下Ccdefg定理给出了以上方程解的形式为I
ijk&UWS’Pijk&U’ijk&UWS’b&U’jk&WS’Vh&’Vh&D’_Uh_U
PijkUijkU其中b&’C&’Vh&’Vh&’_U_UbUUjkjk
式意为I为与晶格同周期的周期性函数C&D’&’&’bU_Ujk
为随U作周期性变化的平均波C即调幅平为其振幅C&’Ubjk
面波J晶体中某一电子是在周期性排列的原子核势场及其
它电子平均势场中运动C该等效势场具有与晶格相同的周图H电子在一维周期势场中的运动模型
DD期特性C一维周期性势场中电子的运动模型如图H这样给定b解方程&得nC&’&’WoCH’glonpqmrsGDml
令j&’&’VfYk&Wo’ZVt&’kVDCYk&Wo’ZVf&k’Vf&D’&R’lofenmrenjr‘ujfenjrenjSenujS
式中mVDCVD&P‘’lbG[[
布里渊区及其图示D&
由于m所以&式是能量必须满足的一个超越函数方程J由它决定粒子的能vR’l都是能量‘的函数C
量许可值C由&式可得到如图D所示的曲线C由图可以看出C由于w所以tR’DwxHC&’P‘曲线的fenjuS‘
两端被截掉C电子只允许在中间运动C从而形成了能带C这是周期性势场下粒子运动的特征J通过y&’‘
可得到‘从图中容易看出由于w则在D时C能量‘出Vf&D’&’Pj曲线C&D’wxHCVr&’enjumjfenjumjSj
而允现不连续C它成为允带和禁带的边界J因此C允v禁带边界的j必须满足jV&VGC{HCWDC|’CzDS
BB万方数据收稿日期IDGGQPGOPDG作者简介I易明芳&女C安徽宣城人C编辑C专业方向为物理学和电子科学技术JH}OGP’C
@LK@安庆师范学院学报!自然科学版+/??M年带出现在以下几个区域!称为&之内,+#$%%$&’$()&(*
第一布里渊区-121/0/0
第二布里渊区-121-
第三布里渊区-121-121/000/0
禁带出现在2即在布里渊区边界上,567/0处3
每一个布里渊区对应一个能带,
从图中可以看到8也是2的周期性函数3周期!+2
即8为3!+58!9+39表示相同的状222和2000
态3所以可以只取-.图/7/121.7/00中的2值来描述电
子的能量状态3而将其它区域移动6只需考虑-.77/121.7/0合并到第一区,在考虑能带结构时300的区域就够了3就是说只需考虑第一布里渊区3如图/箭头+所示,这个区域内8为2的多值函数3因此!
用8表示第几个能带3常称这一区域为简约的布里渊区3这一区域内的波矢为简约波矢,!+26
将所有的能带8绘于第.布里渊区内的图示方法称为简约布里渊区图示3第.布里渊区也常!+26
的周期性3也可允许2的取值遍及全2空间3有时这样做使问题的处称为简约布里渊区,由于8!;+:6
理更方便些3这种图示方式称为周期布里渊区图式3当然也可将不同的能带绘于2空间中不同的布里渊区中3这种做法称为扩展布里渊区图示,
布里渊区边界方程4&
设正格基矢为=以=33333====./4./4为边矢量的平
行六面体的晶体中最小的周期性重复单元3称为原胞3
其体积为&那么定义倒格矢B5=@!A=+333=BB?./4./4
它们3与=的关系为33==./4
/44../5533BB/4=@!=A=+=@!=A=+=@!=A=+./4/4.4./
则以B33BB./4为边矢量的平行六面体是倒格子中
最小的周期性重复单元3称之为倒格子原胞3体积为5B.
于是有C5B@!AB+35CB./4D?
对三维晶格3首先作出晶体的倒格子3任选一倒格
点为原点3由原点到最近及次近的倒格点引倒格矢3然
后作倒格矢的垂直平分面3这些面就是布里渊区的边
界3在这些边界上能量发生不连续3这些面所围成的最
小多面体就是第.布里渊区,
在倒格子中作出的中垂面围成区域的边界由方程
@!9::6式中:为波矢3+5?描述3::66为倒格矢,/图4
例如E设有一平面六角晶格!如图4基矢为=式中E+39
35F5-IH0H0为六角./////
形平行对边的距离3试画出此晶格的第一J二J三布里渊区,
/解E由B5535I9
HBH./C0C0式中将:于是倒格矢为:9!I.B./B/././
./为整数36代入布里渊0万方数据
区边界方程,
第0期易明芳;关于固体物理能带论中布里渊区的注记#&
&#&&+&+&,&’%&’(,$%5--&&+&.
+&12&4得6-若&*+*)’*$+*)’*$)*+’*$)*+’*6-($7’&+&取$.102
得若&*+*+’*$+*+’6-$8’&+&分别取$1
由$两式决定的六条边界线围成的最小闭合区域为第一布里渊区*紧邻第一区*由上述六条7’9$8’
边界线围成的六个分立的闭合区域为第二布里渊区:&得#$%’()*!!&&
得若&*+*+’*$+*+’*&+&取$6-(.2$4’若&则得;*+*&’*$&*+’$+*&’*$&*+’
*6-6(&+&取$.12
由$两式决定的六条边界线和前面边界线构成第0布里4’$&’
渊区*如图0所示:
布里渊区体积等于倒格子原胞体积7=
以体心立方晶格为例*正格子原胞体积为;(?#$@?’&?)+&0
($&’00其倒格子原胞体积为;图7#$@B’(&C$D’*(BB2A+&0&
式中2是体心立方晶格正格子中典型立方单元的边长:体心立方晶格的倒格子是面心立方晶格*由最近邻倒格矢中垂面围成的区域是菱形十二面体*即第+布里渊区*如图7所示:
因正格子中典型立方单元边长为2则倒格子中典型立方单元边长为E不难看出*菱形十*(&C*F2二面体是由面积相等的十二个菱形面为底9顶点均在G点的十二个四角锥组成:从H999IJK四个点为底的四角锥的体积计算如下;
H($))+’*I($+++’*J($+))’*K($+
++’2&22&2
由此得HJ所以L
((*IC*#IHJK(2K(+2MHIJK(G,HI
&27&从而菱形十二面体的体积0故AC0(0*(+&CMAN2=HIJK(LHIJK(&42
与$式相比*得出体心立方晶体第+布里渊区体积与倒格子原胞体积相等:D’
用类似的方法可以证明*对于高阶布里渊区*第&布里渊区所属的外边界所围的总的体积*扣除第
均等于其倒格子原胞的体积:,+区所属的外边界面所围的体积就是第&布里渊区的体积*&
参考文献53
固体物理基础3北京;高等教育出版社*3+5阎守胜==&))0=O5
半导体物理导论3西安*西安电子科技大学*3&5刘恩科==&)))=O5
布里渊区内能带P的对称性3大学物理*305奚定平=$’(P$,Q’5=+SS&*+4$+)’;&S,0)=QR
TUVWXUYZ[\]]U^\Y_UYWU‘aYW[bcZdYefgWU[c\YhU]\eXVdVWigcX\jX
pklOmnoqrno
$=*R*|n74)++*$’Psmtuvmrwxyztu{vnrwuq|n}mno~yr!&yv#$uwwyoyomno&&mnr
;%&XV[djV’vmwwu{mn(unym#rnm)zuvtrntr*#tvr!t!un!yztmunuqynyvo+*rnst&yuv+mn#uwms#trty=~=z&+#m!#&yzrzyv)rmnw+sm#!{##y#t&ysy#!vmztmunrns!&rvr!tyvmtm!#uq’vmwwmu{mn(uny
/’/z/s/v;smnoyvy}{rtmunvmwwu{mn(unyvm)mtm0y!ywwmvy!twrttm!yy!mzvu!rwwrttm!y,Wc-U[eX.!&vu
关于固体物理能带论中布里渊区的注记
作者单位：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：易明芳， YI Ming-fang安庆师范学院,学报编辑部,安徽,安庆,246011安庆师范学院学报（自然科学版）JOURNAL OF ANQING TEACHERS COLLEGE(NATURAL SCIENCE))1次
1.奚定平 布里渊区内能带E(k)=E(-k)的对称性 1997(10)
2.刘恩科 半导体物理导论 2000
3.阎守胜 固体物理基础 2003
1.学位论文 何山 基于半导体异质结THz激光器的辐射机理研究 2006
近十年THz领域主要的研究目标是研制出小型化、高功率、并能在室温下工作的THz器件。实现这一目标的最佳途径是利用纳米结构各种独特的光学和电学性能，目前已经实现THz辐射的器件有量子级联激光器、非对称耦合量子阱、Bloch振荡器等。但有很多因素制约这些器件的实际应用，其中最根本的原因迄今为止尚没有一种能够准确计算THz纳米器件中量子态的理论方法，准确计算纳米器件中量子态的同时能给THz纳米激光器的制备提供理论判据。
为了获得纳米结构的解析解，本文首先研究了最基本的情况：一维有限品格。利用无限晶格Bloch函数以及晶格势场的傅立叶变换特性，我们导出了一维晶格量子态的解析解。理论研究表明，量子态的波矢不再是连续的，而是分立的，它们均匀分布在布里渊区上，其数目由晶格所拥有的周期数决定。根据量子数的不同，量子态的解析解对应着具有相同波矢Bloch函数的实部或虚部，并且具有不同的奇偶对称性。由解析解的具体形式，我们发现有限晶格的本征值都落在具有相同波矢能带的位置上。虽然所有的晶格解析解都属于驻波，但它们还是分为带问态与带缘态两大类，带缘态只能出现在布里渊区的边界，每个禁带上只能有一个带缘态。
在THz纳米器件中按照维度的区分有：量子阱，量子线，量子点。这些纳米结构可以利用分离变量法将其薛定谔方程分解为独立的一维有限品格的情况。利用在一维有限晶格中得到的结果，我们计算了简单的纳米结构量子态的解析解。这些量子结构的解析解揭示表明因为尺寸效应，原来无限晶格中的能带将分裂为子能带。子能带的数目有纳米结构中出现尺寸效应方向上的周期数来决定，子能带的位置由波矢以及原无限晶格的能带决定。通过具体分析子能带，发现能产生光子的带间跃迁只能出现在具有相同量子数的子能带之间，从而进一步发现了简单纳米结构中辐射出来的电磁波的能量是由原无限晶格的禁带能量决定的，其能带结果表明在单量子阱结构中是无法产生THz辐射的。因为所有已知半导体的禁带能量量级都在leV附近，已经远远超出了THz电磁波的能量范围(0.41～41meV)。利用在量子阱中得到的能带结构，我们计算了Si量子阱介电常数的虚部，因为介电常数的虚部决定了晶体大多数的光学性能。在计算中我们发现随着量子阱厚度的减少，介电常数出现了明显的分立峰，说明量子阱中出现了尺寸效应。
最有可能实现THz领域研究目标的结构是半导体异质结。利用一维有限晶格的结果，我们研究了一维非对称量子阱结构中量子态的解析解。解析解中非对称量子阱的波矢由两边量子阱的晶格常数共同决定。量子态的波函数呈现出类似驻波的特性：在系统边界以及晶体的交界处均为零。系统薛定谔方程的本征值由两边量子阱的能带以及归一化系数决定。由于量子耦合作用，非对称量子阱中晶体能带将分裂成更细的子能带。在计算中我们发现，由禁带能量都在leV以上的材料组成的非对称量子阱，子能带之间的能量差在10meV的量级。因此纳米结构量子态的解析解为判研THz纳米器件提供了理论依据。
前面所研究的量子态都是在全束缚条件下的，在实际应用中更能代表实际情况的模型是一维非全束缚有限晶格。在一维有限晶格全束缚量子态解析解的基础上，我们得到了一维非全束缚量子态的解析解。这些解析解表明，晶格边界势垒对晶格中量子态有很大的影响。当晶格中电子的能量远小于边界势垒时，电子的行为必须用全束缚量子态的模型来求解；当电子能量接近或大于系统边界势垒时，电子行为将接近于自由电子，此时采用有效质量模型也可取得较好的结果。
2.学位论文 徐海清 一维非线性晶格中孤子的研究 2006
孤子是一种非常普遍和重要的非线性现象。大多数有关孤子的早期研究工作集中于连续介质，然而近年来离散非线性晶格体系中孤子的研究越来越受到人们的关注。1988 年，Sievers 等人首次在完整晶格中发现了一种由于离散和非线性相互作用而导致的内禀局域模，其性质类似于线性晶格中杂质导致的局域模式，但可以存在于晶格中的任意位置。此后，非线性晶格体系中的孤子成为一个活跃的研究领域。一维原子链模型是最简单的晶格模型。由于它的模型简单，包含的物理意义清晰且存在多种非线性元激发而备受青睐。在参量驱动和耗散的耦合摆链的研究中，Denardo 等人在1990 年从实验上观测到当驱动和耗散相平衡时能形成参量激发驻孤波。此后，国内外学者对这种非传播孤子进行了大量的理论和实验研究。我们也注意到，近年来有关孤子和杂质相互作用的研究工作被多次报道，其中最卓越的发现是在一个参量激发非线性振子列中引进单个杂质后，杂质能够钉扎驻孤波并且抑制时空混沌。然而，这方面的解析研究还是比较少。本文中我们采用主要基于多重尺度基础上的方法对一维原子链和非线性耦合摆链中的孤子作了一些解析研究，得出了一些有意义的结果，这些研究结果不仅丰富了一维体系的孤子理论，而且能为有关的理论和实验工作提供了一些理论依据。
全文共分四章：在第一章中，我们简要介绍孤子的基本理论，孤子研究的历史、现状和意义。第二章致力于描述一维离散晶格体系中孤子的基本原理和处理方法，特别介绍了几种广泛采用的解析方法和相关的实验技巧。第三章我们发展了一种新的解析方法研究了双原子链的在布里渊区边界的晶格动力学，导出了非线性薛定谔方程，得到了传播的带隙孤子解；此外，我们采用准离散多重尺度方法研究了带阻尼单原子链，得到了阻尼作用下的包络暗孤子的解析解。第四章我们研究了一维非线性耦合摆链的局域缺陷对孤子动力学的影响。我们将我们的方法扩展到推导参量耗散非线性薛定谔方程，并得到了一些被杂质钉扎的孤子解，然后用四阶龙格-库塔方法模拟了孤子的演化，显示当驱动强度超过一个临界值时，均匀链中的孤子不稳定而引发时空混沌，而非均匀链中杂质钉扎的孤子却可以稳定地存在。最后，我们对本文进行了总结和对本领域今后的工作进行了展望。
3.期刊论文 李庆芳.黄桂芹.Li Qingfang.HUANG Guiqin 新型超导体MGaSi(M=Ca,Sr,Ba)中声子的非谐性 -南京师大学报（自然科学版）)
应用冻结声子的方法研究新型超导材料三元镓硅化物MGaSi(M=Ca,Sr,Ba)中B1g软模在布里渊区中心Γ点的特征,结果表明B1g软模具有很强
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