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线性代数（20）
原文链接不可考。
& & & & 线性代数几乎是每个学理工科的大学生都会学的一门课，然而我感觉大家对这门课的感觉都不怎么好，很多人都觉得不知道线性代数是做什么的，或者为了应付考试学会了一些计算和解题的方法。但在其他课程学习中却常常看到那些矩阵、向量等等，便头疼万分，对线性代数更是深恶痛绝。最后一个大学学下来，还是没明白线性代数是什么东西，更别说去用其中的方法了。所以我一直想写一些关于线性代数的东西，说说自己的理解，一者给自己整理整理思路，二者或许能给一些恰好看到的朋友们一些启发。学疏才浅，自己也只是一知半解，大家多多包涵。
& & & & 说了那么多废话，到底什么是线性代数呢？实际上我们在中学里就早已经学过了。只是我们没用那些神秘的符号，而很多大学的老师只照着课本讲了一遍，反倒让大家把线性代数里最最原始和简单的东西给丢掉了，以至于觉得线性代数很难，不知所云。
& & & & 相信大家在中学里一定会解方程吧？还记得多元一次方程吗？会解这些方程，就一定能很快学会线性代数。因为这两者描述的原本就是同一个事物，只是用了不同的语言而已。
& & & & 让我们从最简单的方程看起：ax=b
其中x是变量，a和b是常量。这个方程人人会解，大家都知道x=b/a，当然，前提条件是a不等于0。
如果要总结一下这个方程的解，应该是这个样子：
& & & & & & & & 无解 &| a=0并且b≠0
& & & & & & & 任意解| a=0并且b=0
& & & & & & & & &b/a & | a≠0
& & & & 这个是一元一次方程，也就是线性代数最简单的原型，这个和我们的矩阵似乎是风马牛不相及的东西，然而这却是是最简单的形式，那些复杂的情况我们也希望能变成这样的形式，一切就将是统一、简单和漂亮的。
& & & & 让我们增加一些未知数。我们还是秉承简单的原则，来看一个二元一次方程组。
& & & & & & & & & & &2*x1+3*x2=7
& & & & & & & & & & &4*x1+5*x2=13
& & & & 如果你还记得怎么求解二元一次方程组的话（还记得加减消元法和代入消元法吗？），很容易可以求出x1=2,x2=1
& & & & 对于三元一次方程组，甚至于更多元的方程组，估计求解起来就要复杂一些。其实，加减消元法和代入消元法这两招就足够解决它们，只是，如果我们能有一个标准的算法来求解就可以少走很多冤枉路，很快得到结果。后面，我们会有机会去使用这个解法，一个用一位伟大数学家名字命名的解法。
& & & & 说了那么久的解方程，还是没有看到线性代数在哪里。那好，我们现在要变一个魔术。刚才，对于不同的未知数个数，我们分别有一个名字：一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组……现在我们给他们统一一个名字：线性方程组。看到一点线性代数的影子了吗？很好，就在于“线性”两个字，这里的未知数都是一次的。事实上，线性方程组里就包含了线性代数大部分的内容。线性代数就是那么简单，再重复一下，线性代数——线性方程组。
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线性代数计算方法
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真正理解线性代数
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&&让​线​性​代​数​变​得​简​单​,​让​你​爱​上​线​性​代​数
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线性代数解法与技巧
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你可能喜欢如何直观理解矩阵和线性代数？
想从直觉上理解矩阵的定义，运算规则和属性，比如特征向量什么的。网上有流传甚广的《理解矩阵》老三篇 。非常欣赏这样的教程的思路、文笔，也很赞同作者关于学习的方法论，可惜这三篇只是开了个头，大约只讲到了矩阵的定义的直观理解，没有讲到秩、特征值、奇异值之类的。
来试着回答一下这个问题吧。首先讲线性代数。既然是代数，无非都是研究量与量之间的关系。在高中代数里面：基本量是实数集里的标量，量与量的关系可以是线性的（y=ax），也可以是非线性的（指数、幂、多项式等等）。而线性代数呢：基本量是 线性空间里的向量（一个数组），基本关系是严格的线性关系。会在最后一章“二次型”里面简单讲述二次关系。然后就是矩阵。矩阵就是描述这种线性关系的参数。我们来比较：初等代数中，表示的是的一种映射关系，是描述这个关系的参数。线性代数中呢， （）表示什么呢？首先与初等代数一样，这个等式表示的是的一种映射（关系），同理此处矩阵就是描述这种关系的参数。换句话说和的本质是一样的。那一定会有人问，为什么定义这么复杂呢？（远没有实数相乘这么简单）那我想说的是，其实这是在无损信息下最简单的关系了！且看：我们得考虑到input是个n维向量，那么就得把这n个值都考虑一遍吧。。。。而且考虑到output是个m维向量，那总得把上面这个n维向量考虑m次吧……这就决定了的信息量一定至少得……当然一定有人问，那为什么要用加权求和（而不用加权求积，先求和再求积等）的方式定义矩阵乘法？首先这是个线性算法（去翻线性的定义）。其次，我认为最重要的是，在非线性问题线性化后，求一阶近似的时候，一元函数：即其中是多元函数：即其中是的Jacobian。换句话说，加权求和可以表达一种边际增加的概念，这是非常有用的。最后讲特征值和奇异值。首先说明的是，特征值奇异值是为了简化矩阵运算的一种方式，一种技巧，也是描述矩阵特征的一些参数。特征值是矩阵特有的值。说其为特征值，根据定义也好理解：，则说是一个特征值，是一个特征向量。换句话说，在这个方向上，做的事情无非是把沿其的方向拉长/缩短了一点（而不是毫无规律的多维变换）。就是描述沿着这个方向上拉伸的比例。那么这样，给定任意的一个向量，我们如何求呢？ 很简单，把沿着分解，然后分别按照各自的比例伸缩 最后再求和即可。有人一定问，这不是折腾么！那么当你运算的时候就发现好处了！沿着各个的伸缩正好是！所以，特征值在动态系统分析中是描述系统性质的非常重要的量，它决定了系统在空间内某个方向上的变化趋势（是无限扩张？还是收缩？还是保持不变？），这是判断离散线性系统的重要特征。特征值分解也就很好定义。 一个可对角化的方阵分解为：，的列向量为特征向量（）。理解为：以为基的坐标分解变换+伸缩变换+以为基坐标还原变换。奇异值是当不是方形矩阵时候提取的一种伪特征值，也具有某些计算上的优势。 （这句话回头看看不准确）奇异值变换也是为了简化矩阵运算的一种方式。它和特征值变换的基本理念不同，看似繁琐一点，却能道出线性变换的本质。定义：任何的矩阵都可以如下分解：其中和是正交矩阵（复数域里面是酉矩阵），是由对角阵和零矩阵合成的矩阵。它的含义是 任何的变换可以理解为 一个正交变换+伸缩变换+另一个正交变换。（正交变换可以暂时理解为 不改变大小以及正交性的旋转/反射 等变换）这是对线性变换的本质的阐释！特征值变换的条件很苛刻，必须是1方阵2可对角化。而奇异值变换却对没有任何要求！它阐明的是一般线性变化的本质！-----------------------------分割线----------------------------------才疏学浅，疏漏众多，还望达人提供意见。 Ver1 Ver2 扩展SVD（奇异值分解）部分。
线性代数主要研究的是（有限维）和，矩阵不是线性代数主要研究的。-------向量空间-------什么是向量空间呢？数域上向量空间就是一个集合，里面的元素叫作向量，并且上面定义了两个运算，向量加法和数量乘法，加法和数乘要满足向量空间的八个公理。详细请见：。定义了向量空间后，就可以定义生成(span)空间、线性相关和基。向量空间的子集的生成空间就是包含作为子集的最小向量空间：的子集说是线性相关的，如果存在各不相同的元素以及不全零的数使得。说是线性无关的，如果它不是线性相关的。向量空间的一个基就是的一个生成集合（即），并且是线性无关的。前面说过线性代数主要研究的是有限维向量空间，那么什么是维数呢？在定义维数之前，有一点细节要处理，花一点力气论证一下，就可以得到向量空间的每个基包含的元素个数是相同的。因此我们说向量空间有维数如果它有一个基含有个元素，我们说是有限维的如果它的维数是有限的，否则我们说是无限维的。-------线性变换-------线性变换就是从向量空间到向量空间的函数，并且保持向量空间的运算。设是向量空间，一个从到的线性变换是一个函数，并且满足下面性质：（保持向量加法）对任意，。（保持数量乘法）对于任何和数，。线性变换可以用矩阵来表示，为此，我们需要有序基的概念，设是有线性维向量空间，一个有序基是中的有限向量序列使得集合是的一个基。设是的一个有序基，是中的向量，我们知道有唯一的表示形式，我们把叫做相对于的坐标，记作。-------线性变换的矩阵表示-------设是有限维向量空间，是线性变换，中的向量相对于基有坐标表示，因为在中，它相对于基也有坐标表示。我们很自然地要问和有怎样的关系？这依赖于相对于和的矩阵表示。我们先求向量在基下坐标表示：定义线性变换相对于基和的矩阵表示为矩阵稍微计算一下就可以得到和的关系：。线性变换的和、数乘和复合也可以用矩阵来表示，因为我们有下面的命题：命题. 设是有限维向量空间有有序基，设和是线性变换，设是数，那么。命题.
设是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，是维向量空间有有序基，那么。可以看到，矩形的加法表示线性变换的和，矩阵的乘法表示线性变换的复合。我们可以表这一点说的更明白。设是的实矩阵，我们定义线性变换为，这里我们认为和中的向量是列向量。根据上面的定义，计算一下就可以得到设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。设是的实矩阵，是的实矩阵，那么。
矩阵不是线性代数最重要的课题，是次重要的。线性代数研究的东西，可以统一地说成是线性空间。研究向量——向量的全体是一个线性空间。研究线性映射——线性映射的全体是一个线性空间。我们用8A(八个公理)定义了什么是线性空间：要素：数域K，集合V不是空集，两个映射+: VxV-&V和*: KxV-&V公理：（我把量词集中到前面了）\exists 0 in V\forall a, b, c in V, p, q in K(1) a + b = b + a(2) (a + b) + c = a + (b + c)(3) a + 0 = a(4) \exists d in V, a + d = 0(5) p(a + b) = pa + pb(6) (p + q)a = pa + qa(7) p(qa) = (pq)a(8) 1a = a好了现在V是一个线性空间了。依此我们可以定义线性空间的基、维数等等等。线性空间的几何化例子：坐标系里面的原点、过原点的直线、过原点的平面、全空间等等等。但是代数不是几何，代数需要研究的是结构。线性代数呢，就是研究线性空间这种结构的。线性空间是一个很好的结构，我们可以研究线性空间到线性空间的映射，而且对这种映射加一点限制——线性。这是正比例函数的自然延拓。如果U, V都是K上的线性空间，f: U-&V，符合下面的条件：\forall x, y in U, k in Kf(x + y) = f(x) + f(y)f(kx) = kf(x)那么f就是一个从U到V的线性映射。（这里特别强调一件事情：两个性质里面，左右虽然都是加法或数乘，但是由于U、V可以是不同的线性空间，所以等式左右的加法和数乘其实不同，不要混淆）现在来点具体的例子舒服舒服：R-&R、C-&C之类的正比例函数是线性映射。又例如，投影映射，绕原点的旋转映射等等。说了这么多，好像没有什么具象化的东西嘛，好像和矩阵没什么关系嘛。不然。矩阵该登场了。对于f: U-&V是K上有限维线性空间U到有限维线性空间V的线性映射，选定U、V各自的一组基u1...um, v1...vn，我们可以用m*n个K里面的数决定这个线性映射。具体地说，就是令f(ui) = \sum(a(i, j)v(j), j=1...n), i=1...m知道了a(i, j)，用线性映射的线性性和基的性质，可以得到任意U中元素在f作用下的像，所以说这m*n个数决定了这个线性映射。把这m*n个数如此排列：a(1, 1) ... a(1, n)...a(m, 1) ... a(m, n)这就是一个矩阵。说白了，选定基，就可以用矩阵描述线性映射。矩阵的乘法的意义极其显然——就是映射的乘法（复合）。（说到这个，最近某次考试我还因为这件事出了点洋相，不过因为保密协定，暂时不能说）相似矩阵是什么呢？是同一个线性变换在不同基下的矩阵。所以说，对角化、化为Jordan标准形就是要寻找一组基，让这组基下这个线性变换简单一点。方阵的特征值是什么呢？就是这种“简单”的一种表现，也很自然，因为一旦有了特征值和特征向量，这个线性变换看起来就像是正比例函数了！矩阵的合同，则是出于二次型的研究，二次型则可以用双线性形式表示。二次型看似和线性代数无关，其实骨子里还是线性的。那矩阵的相抵（等价）呢？如果是相似，我们已经知道了。注意谈到相似的时候，矩阵是方阵，而且所描述的线性映射必须是线性变换（同一个线性空间），而且所用的基必须是同一组。去掉这两个性质，U到V的线性映射，选定U不同的基、V不同的基，都会导致这个线性映射的矩阵不同。这些矩阵是相抵的。还有很多，在此不赘述。
这么说吧，如果有人能给你写一个很好的答案，那他一定是花很大功夫学习了线性代数，写出来让你觉得很有道理。但你看完这些貌似很直观的理解之后，其实对你的认识和理解没有任何帮助。先认认真真学吧，没有捷径，只有学懂了才会觉得有一些直观的理解。没有深入学习的直观都是错觉。。
I trust that the answer is hidden in this book.
《理解矩阵》老三篇以矩阵为线代的中心，是错误的和业余的（作者孟岩本来也就不是数学专业人士）。可以参考蓝以中的《高等代数简明教程》前言。1、代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系（态射），对于线性代数，其核心是线性映射（变换）。扩展出来的关系有：线性变换和双线性函数的关系，双线性函数和内积空间的关系，线性空间的应用（向量空间、多项式空间、线性方程组）2、对有限维线性空间，取定一组基后，可以把问题转换为具体的矩阵论课题。但对无限维线性空间以至一般代数系统（群、环、模等），则不可能。所以矩阵论不能全面反映代数学的基本思想、方法，它不是线性代数（高等代数）的主线，不应占太大分量，冲击主线3、处理矩阵论的核心课题，对于抽象代数很熟练的读者，无疑会看清其捷径的。（N.Jacobson《抽象代数学第二卷线性代数》）
读完Linear Algebra Done Right就行
好好看一遍这本书。真正做到每一个重要概念都有对应的来由，每一章都有相关领域的应用范例。学过线性代数、甚至用过好多年了再回头来翻也可，直接拿来入门也可。
线性代数研究的是线性空间问题，只要这个问题域和解在线性空间中，就能使用线性代数。从图形学角度说，线性代数强大的地方有很多：1.齐次空间的丰富含义，仿射矩阵，升降维度等等2.矩阵变换在算法推导中的应用，很多数学推导回归线性空间时，采用矩阵表达式3.向量是数据，矩阵封装了对向量的变换。通过矩阵乘法，你可以把数据和操作看成一类东西，编程中也有这种思想4.强大的计算工具，同时计算所有维度的解，跟程序中的POD配合很好还有很多很多……
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