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高三数学概率一轮复习
概率（一）事件与概率1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。2．了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式（二）古典概型①1.理解古典概型及其概率计算公式②2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。（三）随机数与几何概型①1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率②2.了解几何概型的意义概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。第1课时
随机事件的概率1．随机事件及其概率(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件．(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件．(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．2．等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率是．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率：例1．1) 一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品a个正品，b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（
D．(3) 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：（1）从袋内8个球中任取两个球共有种不同结果，从5个白球中取出2个白球有种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为（2）
（3）变式训练1. 盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为P1，第10人摸出是黑球的概率为P10，则
B．C．P10＝0
D．P10＝P1解：D例2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，两甲、乙两袋中各任取2个球.(1) 若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2) 若取到4个球中至少有2个红球的概率为，求n.解：（1）记"取到的4个球全是红球"为事件.（2）记"取到的4个球至多有1个红球"为事件B，"取到的4个球只有1个红球"为事件B1，"取到的4个球全是白球"为事件B2，由题意，得所以，化简，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.变式训练2：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于
D．解：A例3. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1) 取出3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）"一次取出的3个小球上的数字互不相同"的事件记为A，则（2）"一次取球所得计分介于20分到40分之间"的事件记为C，则P(C)＝P("＝3"或"＝4")＝P("＝3")＋P("＝4")＝变式训练3：从数字1，2，3，4，5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：① 这个三位数字是5的倍数的概率；②这个三位数是奇数的概率；③这个三位数大于400的概率.解：⑴ ⑵ ⑶例4. 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？（2）他获得及格与及格以上的概率有多大？解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数．由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等．(1)记"他答对5道题"为事件，由分析过程已知在这种结果中，他答对5题的结果有种，故事件的概率为(2)记"他至少答对4道题"为事件，由分析知他答对4道题的可能结果为种，故事件的概率为：答：他获得优秀的概率为，获得及格以上的概率为变式训练4：有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.(1) 求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2) 若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？解：（1）（2）由于3人坐在指定位置的概率<，故可考虑2人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人坐在指定位置上为事件B，则，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上．1．实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件．随机事件在现实世界中是广泛存在的．在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率．2．如果一次试验中共有种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一个集合I，其中事件A包含的结果组成I的一个子集A，因此从排列、组合的角度看，m、n实际上是某些事件的排列数或组合数．因此这种"古典概率"的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事．3．利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数．第2课时
互斥事件有一个发生的概率1．
的两个事件叫做互斥事件．2．
的互斥事件叫做对立事件．3．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此
．事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．4．由于集合是可以进行运算的，故可用集合表示的事件也能进行某些运算．设A、B是两个事件，那么A+B表示这样一个事件：在同一试验中，A或B中
就表示A+B发生．我们称事件A+B为事件A、B的和．它可以推广如下：""表示这样一个事件，在同一试验中，中
即表示发生，事实上，也只有其中的某一个会发生．5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于
．即P(A+B)＝
．6.由于是一个必然事件，再加上，故，于是
，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率．例1. 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21, 0.23, 0.25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：①射中10环或7环的概率；②不够7环的概率.解：① 0.49；② 0.03．变式训练1. 一个口袋内有9张大小相同的票，其号数分别是1，2，3，，9，从中任取2张，其号数至少有1个为偶数的概率等于
D．解：D例2. 袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率．（2）3只颜色全相同的概率．（3）3只颜色不全相同的概率．（4）3只颜色全不相同的概率．解：(1)记"3只全是红球"为事件A．从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A的概率为．(2) "3只颜色全相同"只可能是这样三种情况："3只全是红球"(事件A)；"3只全是黄球"(设为事件B)；"3只全是白球"(设为事件C)．故"3只颜色全相同"这个事件为A+B+C，由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件．再由于红、黄、白球个数一样，故不难得，故．(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记"3只颜色不全相同"为事件D，则事件为"3只颜色全相同"，显然事件D与是对立事件．(4) 要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有种，故3只颜色全不相同的概率为．变式训练2. 从装有２个红球和２个黑球的口袋内任取２个球，那么互斥而不对立的两个事件是
）A．至少有1个黑球与都是黑球B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．恰有1个黑球与恰有2个黑球D．至少有1个黑球与都是红球解：C例3. 设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：①1个孩子有显性决定特征的概率是多少？②2个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？解：①；②变式训练3. 盒中有6只灯泡，其中2只是次品，4只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率：① 取到两只都是次品；② 取到两只中正品、次品各1只；③ 取到两只中至少有1只正品．解：⑴ ⑵ ⑶例4. 从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于，求男女相差几名？解: 设男生有名，则女生有36-名，选得2名委员都是男生的概率为：选得2名委员都是女生的概率为以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是得：解得：或即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．总之，男、女生相差6名．变式训练4. 学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为，求该小组男生的人数？解：6人1．互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用．2．要搞清两个重要公式：的运用前提．3．在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率．第3课时
相互独立事件同时发生的概率1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率
，这样的两个事件叫独立事件．2．设A，B是两个事件，则A?B表示这样一个事件：它的发生，表示事件A，B
，类似地可以定义事件A1?A2*......An.3．两个相互独立事件A，B同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A?B)＝
一般地，如果事件相互独立，那么：P(A1?A2......An)＝
.4．n次独立重复试验中恰好发生次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是．例1. 如图所示，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统、正常工作时的概率．解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由已知条件(Ⅰ)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统正常工作的概率故系统正常工作的概率为0.648.(Ⅱ)系统正常工作的概率故系统正常工作的概率为0.792．变式训练1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于
D．0.8%解：C例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：①求事件A："第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球"的概率；②求事件B："三次中恰有一次取出红球"的概率.解：（① ；②变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1 个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则等于
）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率解：C例3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：（1）甲、乙两雷达均未发现目标；（2）至少有一台雷达发现目标；（3）至多有一台雷达发现目标解：①0.015; ②0.985; ③0.235变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为，甲、乙、丙三人都做对的概率是，甲、乙、丙三人全做错的概率是．（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．解： ①,或,；②例4. 有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各取一件进行检验．（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A、B和C(Ⅰ)因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为答：恰有一件不合格的概率为0.176.(Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件都合格的概率为：由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为答：至少有两件不合格的概率为0.012.变式训练4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：①,,；②1．当且仅当事件与事件互相独立时，才有 ，故首先要搞清两个事件的独立性．2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n次独立重复试验中某事件发生k次的概率：，其中P是1 次试验中某事件发生的概率，其实正好是二项式的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．第4课时
离散型随机变量的分布列1．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做
，随机变量通常用希腊字母，等表示．2．如果随机变量可能取的值
，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．从函数的观点来看，P(＝xk)＝Pk，k＝1， 2， ...，n，...称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用
表示，这个
叫做离散型随机变量的分布列．4．离散型随机变量分布列的性质(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即
．(2) 所有这些概率值的总和为
．(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率
，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作例1. 袋子中有1个白球和2个红球．⑴ 每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．⑵ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．⑶ 每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．⑷ 每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．解： ⑴＝＝所求的分布列是123⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是123......P......⑶12345P⑷∴ P＝(＝k)＝C5k()k?()5－k，其中∴所求的分布列是012345P变式训练1. 是一个离散型随机变量，其分布列为-101则q ＝
D．解：D例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件""包含的基本事件总数为，事件""包含的基本事件总数为；事件""包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有∴随机变量的分布列为：3456变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是
.解：012P0.490.420.09例3. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.解：012340.090.30.370.20.04变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布. 解：0124P1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，"若互斥，则一定不相互独立"、"若相互独立，则一定不互斥"等体现了不同概念、公式之间的内在联系．2．运用 P(A?B)＝P(A)?P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错．3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有"恰好"字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有"至少"或"至多"字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．4．解决概率问题要注意"三个步骤，一个结合"：（1）求概率的步骤是：第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式求得．（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．第4课时
离散型随机变量的期望与方差1．若离散型随机变量的分布列为.则称
为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．对于随机变量，称为的方差．的算术平方根
叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的
．3．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．平均数：＝＋＋...样本方差：＝以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．4．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则
．5．服从二项分布的随机变量的期望与方差：若, 则例1． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．①求的分布列；②求的数学期望；③求"所选3人中女生人数≤1"的概率.解：①012P②E＝1③变式训练1：如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望＝
D．解：B例2 抛掷两个骰子,当至少有一个5点或6点出现时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数的期望和方差.解:,其中.所以变式训练2：布袋中有大小相同的4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，试求得分的概率分布和数学期望．解：例3
甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲击中环数8910概率0.60.2射手乙击中环数8910概率0.40.4用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平．解：∴甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定．变式训练3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益12万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失5万元，4月30号气象台预报五一节当地有雨的概率是40%，问商场应该采取哪种促销方式？解：采用场外促销方式例4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，可造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后，此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.解：联合甲、乙，总费用最少为81万元变式训练4：假设1部机器在1天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若1周的5个工作日里无故障，可获得利润10万元，发生1次故障仍可获得利润5万元；发生2次故障所获利润为0；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求1周的期望利润是多少？（精确到0.001）.解：用随机变量表示1周5天内发生故障的天数，则服从地一项分布~B(5,0.2)，从而，，P(＝2)＝0.205P(≥3)＝0.057设为所获得利润，则E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057＝5.215（万元）1．数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：一般地，若离散型随机变量的分布列为..................则期望，方差，标准差若，则，这里概率章节测试题一、选择题1．已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件其中正确的个数是(
)A、1 B、2 C、3 D、42．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为（
D.3．设是离散型随机变量，，，且，现已知：，，则的值为（
）(A)　　　　　(B)　　　　　　(C)
３　　(D)　　4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由"贝贝"、"晶晶"、"欢欢"、"迎迎"和"妮妮"这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，"贝贝"和"晶晶"恰好只有一个被选中的概率为（
D．5．（汉沽一中届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为
D.6．（汉沽一中届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为
D.7．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是（
D.8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为
）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（
）A．　　　　B．　　　　　 C．　　　　　　D．10．从集合中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为的概率是A.
D.二、填空题11．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则
．12．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为
。13．6位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排3人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________14．从分别写有的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是
.三、解答题15．将、两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？16．甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。；（3）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量的概率分布与期望17．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率．18．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.（1）求小球落入袋中的概率;（2）在容器入口处依次放入4个小球,记为落入袋中小球的个数,试求的概率和的数学期望.19．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率.20．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(1) 求文娱队的人数；(2) 写出的概率分布列并计算．21．有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为0.8，0.8和0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。（1）求恰有两件合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率。22．有一批数量很大的产品，其次品率是10%。（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。概率章节测试题答案一、选择题1．解析：①③④正确，②错误.答案：C2．答案：B3．答案：C4．答案：C
.选C5．B6．B7．答案：C8．答案：C9．答案：B10．答案：B二、填空题11．【解析】由题知，，，解得，.12．解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是14．答案：15．解：（1）共有种结果；（2）共有12种结果；（3）．16．解: (1)
甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。。。（2）。。。。。。(3)
设的分布是0123PE= 。。。。。。17．解: 设"中三等奖"的事件为A，"中奖"的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法。（1）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）.........故
.........（2）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种。两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）, ......由互斥事件的加法公式得18．解: （1）解法一：记小球落入袋中的概率，则，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以.
...解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.，（2）由题意，所以有，.19．【解析】记这个射手在一次射击中"命中10环或9环"为事件A，"命中10环、9环、8环、不够8环"分别记为B、C、D、E.则，，∵C、D、E彼此互斥，∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.又∵B与C∪D∪E为对立事件，∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.B与C互斥，且A=B∪C，∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C） =0.24+0.28=0.52.
...答：某射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52.20．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人．(I)∵，∴．.........即．∴．∴x=2．
......故文娱队共有5人．..................(II) 的概率分布列为012P，......，............∴ =1．21．解：（1）设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6则恰有两件产品合格的概率为（（2）三件产品均测试合格的概率为由（1）知，恰有一件测试不合格的概率为所以至少有两件不合格的概率为22．解：（1）两件产品均为正品的概率为（2）可能取值为1，2，3，4；；所以次数的分布列如下∴五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.（09山东11）在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率　　为
D．【解析】在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.答案
A2.(09山东文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概　　率为
D.【解析】在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.答案
A3.（09安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
D．【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这　6个点中任意选两个点连成直线，共有　种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有　　　共12对，所以所求概率为，选D　　答案　　D４.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
D. 0【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。答案
A5、（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
D．【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.答案
D6.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（
D．【解析】故选D　答案
D7.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：　甲批次：0.598
0.639　乙批次：0.618
0.620　根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论　　是
）A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613　　答案
A8.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为
D．　【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝取到的点到O的距离大于1的概率为答案
B９.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于
D．　【解析】＝＝答案
B二、填空题10.（2009广东卷理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则
．【解析】由题知，，，解得，.答案11.（2009安徽卷理）若随机变量，则=________.答案12.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75.答案
0.7513.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为
.　【解析】 考查等可能事件的概率知识。从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。答案
0.214.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679　则以上两组数据的方差中较小的一个为=
.【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。　甲班的方差较小，数据的平均值为7，　故方差　答案15.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、　0.5，则三人都达标的概率是
，三人中至少有一人达标的概率是
。【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76　答案
0.7616.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为
。【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。答案17．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125
127则该样本标准差
（克）（用数字作答）．【解析】因为样本平均数，则样本方差所以　答案
2三、解答题18、（2009浙江卷理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．（I）求这个数中恰有个是偶数的概率；（II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．　解（I）记"这3个数恰有一个是偶数"为事件A，则；（II）随机变量的取值为的分布列为012P所以的数学期望为19、（2009北京卷文）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.解（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件"这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯"，所以事件A的概率为.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.则由题意，得，　　　.　　　由于事件B等价于"这名学生在上学路上至多遇到两次红灯"，　　　∴事件B的概率为.　20、（2009北京卷理）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.　　（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；　　（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件"这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯"，所以事件A的概率为.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.　　事件""等价于事件"该学生在路上遇到次红灯"（0，1，2，3，4），　　∴，　　∴即的分布列是　　　　0　　2　　4　　6　　8　　　　　　　　　　　　　　∴的期望是.　　21、(2009山东卷理)(本小题满分12分)　　在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3　　分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第　　三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A　　处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列　　为02345p　0.03P1P2P3P4（1）求q的值；（2）求随机变量的数学期望E;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。解 （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.（2）当=2时, P1==0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24当=3时, P2
==0.01,当=4时, P3==0.48,当=5时, P4==0.24所以随机变量的分布列为02345p　0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.22、（2009安徽卷理）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。　解
随机变量X的分布列是X123P　X的均值为　附：X的分布列的一种求法　共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：①②③④⑤⑥A-B-C-DA-B-C└DA-B-C└DA-B-D└CA-C-D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。23、（2009江西卷理）（本小题满分12分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为"支持"或"不支持"的概率都是.若某人获得两个"支持"，则给予10万元的创业资助；若只获得一个"支持"，则给予5万元的资助；若未获得"支持"，则不予资助，令表示该公司的资助总额．(1) 写出的分布列； (2) 求数学期望．　解（1）的所有取值为（2）.24、(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。解
依题意，可分别取、6、11取，则有　　的分布列为　　5　　6　　7　　8　　91011　　　　　　　.25、（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。　（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件"第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次"，求P（A）解（Ⅰ）依题意X的分列为　　（Ⅱ）设A1表示事件"第一次击中目标时，击中第i部分"，i=1，2.B1表示事件"第二次击中目标时，击中第i部分"，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,所求的概率为　　......26、（2009湖南卷文）（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.解
记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率　　P=（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P=27、（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。　　解
记"第局甲获胜"为事件，"第局甲获胜"为事件。　　（Ⅰ）设"再赛2局结束这次比赛"为事件A，则　　，由于各局比赛结果相互独立，故。（Ⅱ）记"甲获得这次比赛胜利"为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而　　，由于各局比赛结果相互独立，故　　　　28、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）　　椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1　　(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。解
解答1（Ⅰ）设事件A表示"一个月内被投诉的次数为0"事件B表示"一个月内被投诉的次数为1"所以（Ⅱ）设事件表示"第个月被投诉的次数为0"事件表示"第个月被投诉的次数为1"事件表示"第个月被投诉的次数为2"事件D表示"两个月内被投诉2次"　　所以　　所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为一、二月份均被投诉1次的概率为所以由事件的独立性的解答2（Ⅰ）设事件A表示"一个月内被投诉2次"设事件B表示"一个月内被投诉的次数不超过1次"所以(Ⅱ)同解答1（Ⅱ）29、(2009湖南卷理)（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。　（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率　P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2) 解法1
设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）==，P（=1）=P（=2）=
=P（=2）=P（=1）==P（=3）=P（=0）=
=故的分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3 ，由此已知，?D，相互独立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以--,既，故的分布列是12330、（2009四川卷理）（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。
在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为"采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人"，事件为"采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡"，事件为"采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡"。所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。　　　　　　　　　　　　　　..................................................................6分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3,，，　所以的分布列为0123所以，
........................12分31、（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：　　（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；　　（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．解 设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有　　
.　　 据此算得,
.　　 (Ⅰ) 所求概率为　.　　 (Ⅱ) 解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且　　
,　　 = ,　　
.综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9　从而，的期望为　（株）　解法二：　分布列的求法同上　令分别表示甲乙两种树成活的株数，则　　故有　从而知32、（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．　解
设表示第株甲种大树成活, 设表示第株乙种大树成活,　则独立,且（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:　年高考题一、选择题1．(2008年全国Ⅱ理6)从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（
D．【解析】答案
D2、（2007年辽宁理）一个坛子里有编号为1，2，...，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（
D3、(2007年湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（
C4、（2007年浙江理5）已知随机变量服从正态分布，，则（
A5、（2007年安徽理）以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（A）-
（B）（C）
B６、（2006江苏）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为
）A．1　　　
B．2　　　
C．3　　　
D．4【解析】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, ，选D答案
D二、填空题7、（2007天津文15）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是
．答案8、（2007年湖北理）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率
．（用数值作答）答案9、（2007年全国Ⅱ理14）在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）内取值的概率为0.4，则x在（0，2）内取值的概率为答案
0.8【解析】在某项测量中，测量结果x服从正态分布N（1，s2）（s>0），正态分布图象的对称轴为x=1，x在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于x在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。10、（2005年全国Ⅱ理15）设为平面上过点的直线，的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望答案【解析】随机变量可能的取值为x1=,x2=,x3=,x4=1,它们的概率分别为p1=,p2=,p3=,p4=,∴随机变量ζ的数学期望Eζ==三、解答题11、（2008年全国Ⅱ理理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分，又，故． 5分（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出
，盈利的期望为
， 9分由知，，．（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．...................................................... 12分12、（2008年全国Ⅱ理18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，，又，故．（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出
，盈利的期望为
，由知，，．（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．13、（2007年福建文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记"甲第次试跳成功"为事件，"乙第次试跳成功"为事件，依题意得，，且，（）相互独立．（Ⅰ）"甲第三次试跳才成功"为事件，且三次试跳相互独立，．答：甲第三次试跳才成功的概率为．（Ⅱ）"甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功"为事件．解法一：，且，，彼此互斥，．解法二：．答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为．（Ⅲ）设"甲在两次试跳中成功次"为事件，"乙在两次试跳中成功次"为事件，事件"甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次"可表示为，且，为互斥事件，所求的概率为答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为．14、（2007年全国Ⅱ文19）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件："取出的2件产品中至多有1件是二等品"的概率．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件："取出的2件产品中至少有一件二等品"的概率．（1）记表示事件"取出的2件产品中无二等品"， 表示事件"取出的2件产品中恰有1件二等品"． 则互斥，且，故于是． 解得（舍去）．（2）记表示事件"取出的2件产品中无二等品"， 则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有件，故．15、（2007重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．（18）（本小题13分）解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，且，，．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为．（Ⅱ）的所有可能值为，，，．，，，．综上知，的分布列为求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）．解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，则有分布列故．同理得，．综上有（元）．16、（2006北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.　　方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；　　方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：　　(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；　　(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，　则P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.　(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(A?B?)+P(?B?C)+P(A??C)+P(A?B?C)=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.(Ⅱ) 应聘者用方案二考试通过的概率p2=P(A?B)+P(B?C)+ P(A?C)=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)=×1.29=0.4317、（2006年全国Ⅱ理18）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．　解(1.)　　　所以的分布列为0123P　的数学期望E()=　(2)P()=}