流体通用微分方程中的对流项和扩散项在格式上的区别的物理意义是什么？对CFD中有什么影响？
问题描述如下：流体通用微分方程中的对流项和扩散项的格式分别为：这种数学上的区别对应的物理意义是什么？这种格式的区别对CFD中的离散化方法和离散格式(插值格式)会带来什么影响？我是做材料加工类研究的，第一次接触计算，第一次接触流体力学的问题，先是学了商用软件，做出了与实验接近的结果，但是深入琢磨发现模型有问题、材料数据不可靠、算法不了解等等一系列问题。按照知乎推荐的书，刚把Frank M White的流体力学和Anderson的计算流体力学看了，还有有限体积法，王福军老师的书，看书产生了一些疑问，或者说一些东西知其然而不知所以然。 另一个问题：扩散项离散：非常感谢！
谢邀，这个问题其实挺复杂的，你两个问题我都看了下，其实你问了为什么，坦率地说我没有能力回答这个为什么，我也不认为普通水平的，能够很好地回答你的这个。CFD以及流体、湍流这块就书本上介绍的字面的知识掌握起来都很难，更别说你问的是为什么。非常抱歉。
首先，变量的通用微分方程可以写为从左到右各项依次是transient (unsteady), advection (convection), diffusion 和 source项。其中可以是速度，焓，温度和化学组分等变量， 只需相应地改变和。公式里的第二和第三项即题中的对流项和扩散项。数学上直观的来看，其中一个与流场速度有关，另一个与梯度有关。物理上的含义可以用一个简单的例子说明。对一个稳态的河流，假设是河流里污染物的浓度，对流项描述的是污染物随河流本身流动的传播（上游到下游），与河流各个位置的速度（流场）有关。相对的，污染物浓度在不同位置存在差异，这导致了其由高浓度向低浓度自发传播（扩散），这就是扩散项。从公式中可以看到，对流项和扩散项都含有散度，把两项合并以后看作为污染物在空间上的总流量（对流+扩散）。在这要指出，并不是所有的扩散流都由变量的梯度控制，但我们通常可以把非梯度控制的扩散项都放到公式里的 source term 中。 所以公式中的扩散项仅代表由梯度控制的变量的扩散。接下来需要把这两项离散化。大部分商业代码采用的是有限体积法，与之前的有限差分法相比，它天然地符合了流体分析的基本思路（即 control volume）。离散的步骤可以在大部分CFD教材中查到。主要包括： 1. 在控制体积内对上述两项积分 （这是有限体积法和其他离散方法的一个重要区别）。2. 积分后的各项需要变量（对流项产生）和它的一阶导数（扩散项产生）在控制面上的信息，而这些信息并不能直接获得，因为变量的值存放在各控制体积中心。这就需要我们通过插值的方式来表达控制面上的变量值。3. 整理各项后得到离散之后的总表达式。虽然对流项和扩散项在物理上有所差别，但它们都是流体流量的一部分。只是一个由流体速度控制，另一个由相关变量的梯度控制。这也是一些插值发区别的主要依据。例如，Hybrid scheme 考虑到流体流动的本质（上游到下游）并对网格每一点对流和扩散的强度（Peclect number）进行比较，以此来对控制面的变量插值。对流效应强的点只吸收上游点的信息（也就是Upwind，但只是一阶准确），扩散效应强的点综合左右两点的信息（中点差分，二阶准确）。从这一方面来看 Hybrid scheme 符合物理本质并且经济。当然选择哪一种scheme都不是绝对的，它和边界条件和网格密度等因素有很大关系。Anderson的书是一本很好的入门教材，但其中并不包含有限体积法的内容，我推荐阅读W.Malalasekera 或者 Suhas Patanka 的教材。
看Anderson的书只能知其然，想要知其所以然建议找一本微分方程和数值方法的书来看，Spinger和Cambridge的应用数学丛书都有对应的单本。
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