11.u??x?2y?3z?，求；2?u?u?u,,.?x?y?z解：；?u??2?x?2y?3z???x?2y?3z?；?u??2?x?2y?3z???x?2y?3z?；第三节；全微分；思考题:；1.偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何？；偏导数存在偏导数连续；2.一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分；3.利用全微分进行近似计算的主要理论依据
11. u??x?2y?3z?，求2?u?u?u,,. ?x?y?z解：?u??2?x?2y?3z???x?2y?3z?x?2?x?2y?3z?, ?x
?u??2?x?2y?3z???x?2y?3z?y?4?x?2y?3z?, ?y?u??2?x?2y?3z???x?2y?3z?z?6?x?2y?3z?. ?z
思考题 : 1. 偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何？ 答：三者关系如下图. 偏导数
存在 偏导数 连续
2. 一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分？ 答：能. 3. 利用全微分进行近似计算的主要理论依据是什么？ 答：主要理论依据是函数的全增量与全微分之差是一个比?高阶的无穷小，从而各自变量的改变量都较小时，全增量可近似地用全微分代替. 4. 利用全微分进行近似计算的主要步骤有哪些？ 答：主要步骤有：建立函数模型，求函数的微分，代入各自变量的值及其改变量的值,所得微分的值即为近似值.
1．设z?xylny，试用两种方法求dz. 全微分 存在 解法一： ??z?z1?ylny,?xlny?xy??x?lny?1?, ?x?yy?z?zdx?dy?ylny?dx?x?lny?1?dy. ?x?y?dz?解法二：dz?d?xylny? ?ylnydx?xd?ylny? ?ylny?dx?x?lny?dy?y?dlny? ?ylnydx?x?lny?1?dy. 2. 设z?y,当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2, 求?z及dz. x解：?zx?2?y??yy?????y?1?x??xx??x?2y?1?x?0.1?y??0.21?0?215?????0.119. 2?0.1242?x?0.1?y??0.2?dz??y1dx?dy, 2xx11?dzx?2,y?1??2?0.1????0.2???0.125. ?x?0.1,?y??0.2223. z?xyexy?x3y4，求dz. 解：dz?dxyexy?dx3y4 ?????exyd?xy??xydexy?y4dx3?x3dy4 ?exy?1?xy?dxy?3y4x2dx?4x3y3dy ?exy?1?xy??xdy?ydx??3x2y4dx?4x3y3dy ?3x2y4?y?xy2exydx?4x3y3?x?x2yexydy. 4. 求u?ln2x?3y?4z?????????2?的全微分. 2解: du?dln2x?3y?4z?d?2x?3y?4z? ?=2x?31y?4z22
=238zdx?dy?dz. 2x?3y?4z22x?3y?4z22x?3y?4z22.992. 利用全微分求?1.01?y的近似值. y?1解：令f?x,y??x，则fx?x,y??yx,fy?x,y??xylnx ,y?3,?y??0.01,
则 取x?1,?x?0.01?1.01?2.99?f?x??x,y??y??f?1?0.01,3?0.01?
?f?1,3??fx?1,3???0.01??fy?1,3????0.01?
=13?3?13?1??0.01??13ln1???0.01?=1.003.
多元复合函数微分法及偏导数的几何应用 思考题: 1. 求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数z?f?x,u?， u???x,y?复合而得的复合函数z?f?x,??x,y??的偏导数，并说明其符号的含义. 答：在求复合函数的偏导数时，要注意复合函数变量间的依赖关系及函数结构. 函数z?f?x,??x,y??中变量间的依赖关系如图: x z x u y
?z?f?z?u???, ?x?x?u?x?z?z?u??, ?y?u?y其中?f?z?z,表示复合函数z?f?x,??x,y??关于x，y的偏导数，表示函数z?f?x,u??x?x?y?z?u?u表示z?f?x,u?关于u的偏导数，,分别表示函数u???x,y??u?x?y关于x的偏导数，关于x，y的偏导数. 2. 求隐函数偏导数常用方法有几种？举例说明. 答：求隐函数偏导数常用方法有三种，例： 设方程ez?xyz确定函数z?z?x,y?，求?z?z,. ?x?y解法一（公式法）:
令F?x,y,z??ez?xyz, 则 Fx??yz,Fy??xz,Fz?ez?xy, FyFx?zyz?zxz,
. ????z???z?xFze?xy?yFze?xy解法二（求导法）：
方程两边对x求导得：
z?z?z?yz?xy ?x?x?zyz. ?z?xe?xyz方程两边对y求导得
e?z?z?xz?xy, ?y?y所以
?zxz. ?z?ye?xy解法三（全微分）:
方程两边求全微分，得
edz?yzdx?xzdy?xydz, 从而
dz?zyzxzdx?dy, ez?xyez?xy所以
?zyz, ?z?xe?xy?zxz?z.?ye?xy
3. 在对什么样的函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行？ 答：在对抽象函数, 即未给出具体解析式的函数构成的复合函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行. 4. 如何求空间曲面上某点的切平面方程，主要步骤与关键点是什么？ 答：求空间曲面上某点的切平面方程的关键点是求切点坐标，主要步骤是：（1）将曲面方程写为F?x,y,z??0的形式，（2）求Fx,Fy,Fz,（3）取切平面的法向量为，写出切平面n??Fx?x0,y0,z0?,Fy?x0,y0,z0?,Fz?x0,y0,z0??（其中?x0,y0,z0?为切点）方程.
习作题: 1. 若z?f?x?y?z?，求?z?z,. ?x?y解：设F(x,y,z)?f?x?y?z??z, 则
Fx?f??x?y?z?,
Fy?f??x?y?z?,
Fz?f??x?y?z???1??1, FyFx?zf??x?y?z??zf??x?y?z?,
. ????????xFz1?f??x?y?z??yFz1?f??x?y?z?2. 求曲面 z?xy的平行于平面x?3y?z?9?0的切平面方程. 解：设,F?x,y,z??xy?z 则Fx?y,Fy?x,Fz??1, 设切点坐标为?x0,y0,x0y0?, 则切平面法向量n1??y0,x0,?1?, 依题意n1平行于n2??1,3,1?, 从而y0x0?1??, 解得x0??3,y0??1, 则z0?x0y0?3, 131所以切平面方程为??x?3??3?y?1???z?3??0, 即x?3y?z?3?0. ?x?t,?23. 求空间曲线?y?t,?1?t?2?在点?1,1,1?处的切线方程与法平面方程. ?z?t3?解：切点对应的参变量t0?1, 又
dxdydz?1,?2t,?3t2, dtdtdtx?1y?1z?1??, ?, 于是切线方程为所以切向量T??法平面方程为
?x?1??2?y?1??3?z?1??0, 即
x?2y?3z?6?0. 三亿文库包含各类专业文献、行业资料、幼儿教育、小学教育、生活休闲娱乐、各类资格考试、高等教育、文学作品欣赏、中学教育、高等数学测试题981等内容。　
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08-09(2)微积分(下)试卷
导读：杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，杭州商学院学年第二学期考试试卷(A)，课程名称：微积分(下)考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：姓名：.，016、交换积分次序后?dx?0??1xxf(x,y)dy?，杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业杭州商学院学年第二学期考试试卷(A)课程名称：微积分(下)考试方式：闭卷完成时杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业 杭州商学院学年第二学期考试试卷(A) 课程名称：
微积分(下)
考试方式： 闭卷
完成时限： 120分钟 班级名称：
. 题号 分值 得分 阅卷人
一、填空题（每小题2分，共20分） 1、lim2?xy?4xy?
。 x?0y?02、若f(x,y)?ln1?x2?y2，则dfddxsinx0(1,1)?
。 3、?edt?t
。 134、设曲线y?xk(k?0,x?0)与直线y?1及 y 轴围成的图形面积为2，则k?
。 5、若e?x是f(x)的一个原函数，则?f?(x)dx?
。 016、交换积分次序后 ?dx?0??1xxf(x,y)dy?
7、若?un?4，则?(un?n?1n?1112n2)?
。 ?8、当k满足
时，级数 ?(?1)n?1n?1n1?nk 条件收敛。 9、y???5y??7y?0的通解是y?
10、z?4(x?y)?x2?y2的极值点为
。 第 1 页 共 9页 杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、?101?xdx?2（
）。 ?2（A）?
（D）?4 2、若D:x2?y2?1,x,y?0，则I???ln(1?x?y)dxdy?（
） D（A）?4(ln4?1)
（C）ln4?1
3、下列级数中，发散的级数是（
）。 ??（A）?(2?)2nn?1e
（B）?cos1n?1n2
（C）?sin1
n?1n24、设f(x?y,x?y)?x2?y2，则?f(x,y)?f(x,y)?x??y?（
（A）2x?2y
（B）2x?2y
5、设ddx?e?xf(t)dt?exf(x)?0，则（
）。 （A）1?2xx2
三、计算题(一)（每小题5分，共20分） 1、设z?exy?lnx2?y2，求dz.
第 2 页 共 9页 （D）ln2?12 ?（D）?(nnn?12n?1)）。 （D）x?y （D）?e?2x
杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业 12、计算 I??20arcsinxdx。
463、求1?x2?x?x??248的和函数。
4、求方程 4y???4y??y?0的通解。 第 3 页 共 9页
杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业 四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求 ?
2、设f(x)在(0,??)上具有连续导数，且满足?f(t)dt??tf(t)dt?x2f(x),f(1)?1，求f(x)。 00xx2ln2ln21e?1tdt。
3、I???Dxe2?y2dxdy，其中D:0?x?1,x?y?1。 第 4 页 共 9页 杭州商学院《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：文科各专业 ?4、求幂级数?n?1(2x?1)nn的收敛半径及收敛域。
五、应用题（每小题8分，共16分） 1、求y?e?x，y?e和x?0所围成的图形的面积A及绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。
第 5 页 共 9页 包含总结汇报、教学研究、外语学习、自然科学、农林牧渔、人文社科、表格模板、初中教育、行业论文、高中教育、出国留学以及08-09(2)微积分(下)试卷等内容。本文共2页
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高数,1设Z＝cos（xy2）+3x/x2+y2,计算δz/δy2、设Z=f（x2-y2,exy）,其中f（u,v）为可微函数,求dz备注：是e的xy次方.3、求二元函数z=x3-4x2+2xy-y2的极值.备注：z等于x的3次方减4x的平方加2xy减y的平方的极值
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1设Z＝cos（xy2）+3x/x2+y2,计算δz/δy δz/δy =-2xy*sin(xy2)-(3x*2y)/(x2+y2)22、设Z=f（x2-y2,exy）,其中f（u,v）为可微函数,求dz δz/δx=f1*2x+f2*exy*yδz/δy =f1*(-2y)+f2*exy*xdz =(δz/δx)dx+(δz/δy)dy 3、求二元函数z=x3-4x2+2xy-y2的极值δz/δx=3x2-8x+2yδz/δy =2x-2y再次求z的二次偏导,令二次偏导为0得到间点,根据间点来划分区域可得到极大值和极小值点从而得到极大值和极小值
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R=x^2z Rz=x^2 由高斯公式：I=∫∫x2zdxdy=∫∫∫x^2dxdydz (xoy平面的投影D：x^2+y^2
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dS=√(1+4x^2+4y^2)dxdy,投影：x^2+y^2《1I=∫∫1/(x^2+y^2+(x^2+y^2)^2)*√(1+4x^2+4y^2)dxdy+∫∫1/(x^2+y^2+1)*dxdy用极坐标：=∫(0,2π)dθ∫(0,1)r√(1+4r^2)dr/(r^2+r^4)+∫(0,2π)dθ∫(0,1)
z=1与z=x^2+y^2联立：x^2+y^2=1,z=1.这个曲线为以（0,0,1）圆,其中半径为1.所以面积S=π r^2 =π
椭圆与椭圆所在平面是不同的概念.椭圆是平面上的一曲线,不同于椭圆所在平面.求原点到这椭圆的最长与最短距离.就是 求原点到椭圆曲线上的最长与最短距离.
这个题目有很强的对称性,可先求出原点到椭圆所在平面的距离S和垂足E,由于 x+y+z=1在三个座标轴上的截距都是1,所以可以很快写出垂足的坐标E(1/3,1/3,1/3) S=sqrt(3)/3 sqrt表示根号,做图还可以看出椭圆中心点F(0,0,3) 根据对称性还可以得出D点在椭圆的对称轴上,椭圆的顶点可以用三个式
∫∫x^2√zdxdy=∫dθ∫(rcosθ)^2*r*rdr (作极坐标变换)=∫(cosθ)^2dθ∫r^4dr=(1/2)∫[1+cos(2θ)]dθ∫r^4dr (应用倍角公式)=(1/2)(2π)(R^5/5)=πR^5/5.
在电脑上画这种图确很困难,就免了吧!此类二重积分最好用极坐标进行计算.积分域D:由x²+y²=2ax,得(x-a)²+y²=a²,这是一个园心在(a,0,0),以a为半径的园(取a＞0).基于积分域和被积函数的对称性,可取位于第一挂限内的半个园作积分域,此时θ由0积到π
图老是传不上,传得上的话就好,传不上追问我 再问： 答案对了，我想问下为什么积分区间是0到4？那个图形不是一个椭圆抛物面么，那x和y的负半轴应该也要积分啊 再答： 看到我画的积分区域没，是根据坐标轴是0且x=4，y=4来的再问： 那为什么负半轴那边不用呢？ 再答： 。。。这还叫我怎么解释，题目就说区域由x=0，y=0，
再问： 有些地方还是看不大清楚 能传一份清楚一些的吗 谢谢 非常感谢 再答：
S=∫∫(x2+y2)dxdy在x2+y2=1上积分,然后用极坐标代换,可计算出 再问： 我要答案 再答： 答案为π
∑在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤R^2.∑的方程是z=√(R^2-x^2-y^2),偏导数αz/αx=-x/z,αz/αy=-y/z,所以dS=a/z dxdy=a/√(R^2-x^2-y^2) dxdy.所以∫∫(∑) xyzdS＝∫∫(D) xy√(R^2-x^2-y^2)×a/√(R^2-x^2-y
由于曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所的交线是x2+y2=1，因此Ω在xOy面上的投影区域为D：x2+y2≤1∴Ω的体积为&V＝?Ωdv＝∫2π0dθ∫10ρdρ∫2-ρ2ρ2dz=∫&2π&0dθ∫&1&0(2-2ρ2)ρdρ=2π[ρ2-ρ42]&1
双曲抛物面（俗称鞍形面）、旋转抛物面、公共顶点在原点且关于xy平面对称的两个锥面似乎没法贴图,回去用Mathematica自画之（不会的话可以告诉你代码）
怎么画?你是问思路是吧! 这个分开想!z=x^2 就是抛物线 z=y^2也是抛物线 把x轴和y轴合在一块就是一个抛物面了! 把抛物线绕z轴转一圈就得到了 再问： 那要是z=2x+3y这种类型的呢？
证明：因为x2+y2≥2xy≥0（2分）所以x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）≥xy（x+y）（4分）同理y3+z3≥yz（y+z），z3+x3≥zx（z+x）（8分）三式相加即可得2（x3+y3+z3）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）又因为xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x2（
img alt="作业帮" src="/zhidao/pic/item/beca80d564bdda144831a.jpg" style="vertical-align:FLOAT:" /> 已知不等式组为
画图 2X-Y=3 Y=-X+3 Z=X的平方+Y的平方=41 联立
dz=2xdx+2ydy, 2xdx+2ydy-ydx-xdy=0 dy=[(y-2x)/(2y-x)]dx dz=[2x+(2y^2-4xy)/(2y-x)]dx=[(2y^2-2x^2)/(2y-x)]dx
∫∫√(1+4z)dS为第一类曲面积分,Z对x,y求导Z`x=2x Z`y=2y1+Z`x^2+ Z`y^2=1+4x^2+4y^2dS=√1+4x^2+4y^2dxdy∫∫(√1+4（x2+y2）√1+4x^2+4y^2dxdy=∫∫(1+4x^2+4y^2)dxdyz=x2+y2,z小于等于1在XOY面上的投影为x君，已阅读到文档的结尾了呢~~
成人高考高等数学复习题及参考答案(二)一,选择题 (5×10分=50分) 1.(1+)-N=( ) A. 0 B E-2 C E2 D 2E-2 2. 下列函数在(-∞,+∞)内单调...
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成人高考高等数学复习题及参考答案(二)
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