线性相关和秩的物理意义
线性相关和秩的物理意义来源：CSDN编辑：Gemini什么是线性相关? 这两个矢量(计算机里面用数组表示)v1和v2，如果v2可以从v1的某种乘除运算(幅度拉伸，方向转换)，得到v2 K*v1=0，那么我们认为v2和 v1线性相关。例如，两个直线方程，x 2y=0和2x 4y=0，他们的系数向量是(1,2)和(2,4)，显然，他们是同一条直线。也就是说 (1,2)和(2,4)是线性相关的。同理，对于3维的情况，x=0,y=0,x=y这3个平面相交于Z轴，我们称这3个平面关于Z轴线性相关，3个平面 方程的系数向量之间可以从其中的任意两个得到另外一个(1,0,0) (0,1,0)=(1,1,0)。说的抽象一点，线性相关就是，对于N个m维向量v1-vN，存在不全为0的一个系数向量K使得 v1*k1 v2*k2 v3*k3 ... vN*kN=0。换句话说，其中的某些向量，可以通过其他向量，对于其系数的四则运算和组合得到。如果3个 向量v1,v2,v3是线性无关的(显然，v1,v2,v3都不是全0向量)，那么v1 v2,v2 v3,v1 v3这三个向量之间是什么关系? 其中的任何一个不能通过其他的两个进行4则运算得到，所以仍然是一组线性无关的向量。Ax=b的解总是不多于Ax=0的解。这个很好理解: 例如，Ax=0如果是对应3维方程组的话，就是3个平面在3维空间的交点。如果不是交与一条线，也不重合，那么就交与原点(0,0,0)。好了，对于 Ax=b的情况怎么理解呢? 也就是这3个平面都做了一定的平移。那么如果平移的当，交点和原来一样，只是平移到了(a,b,c)，但是也有可能这3个面平移的不正好相交，变成无解 了。这个分析的过程对应于矩阵的增广矩阵分析。如果矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，那么相当于高斯消元法的过程出现了0=x(x非0)这样的谬，也就是方程 组无解(没有交点)。如果两个秩相等，就相当于解的数量和原来一样。那么，怎么理解秩，通解和特解呢? 还是拿3维平面举例子(3维方程组)，如果系数矩阵的行列式为0，说明可以通过消元法去掉至少一个方程，就像上面说的x=0,y=0,x-y=0三个平面 的情况一样，x=y可以通过前面两个方程相减得到。系数矩阵的非相关向量个数=2，我们称秩(rank)=2。好了，这个方程组的解有无数个(整个Z 轴)，写成通解形式就是(x,y,z)=k(0,0,1)，k是任意实数。如果方程组是Ax=b呢，那么交点相当于平移到了(a,b,c)，通解形式就是 k(0,0,1) (a,b,c)，这里(a,b,c)是特解，表示平移的基点。怎么求这个特解? 随便代入一个x的值x0，求出y和z的对应值，但是结果(x0,y0,z0)不等于(a,b,c)，不要紧，k(0,0,1)填补了(x0,y0,z0) 和(a,b,c)之间的差。继续推广，前面说的Ax=b都是齐次线性方程组，如果A是非齐次的(m*n)呢，例如，有4个变量? 那么如果r(A)=2，说明只有两个线性无关的矩阵向量，通解基的个数=max(m,n)-r(A)。这里，通解基个数=4-2=2。所以得到两个方程的 时候，代入(x1,x2)=(1,0),(0,1)两个向量，求出通解k1(x0,y0,1,0) k2(x1,y1,0,1)。当然，代如 (x3,x4)=某个向量组合，效果一样，因为线性相关性是对称的。最后，求特解，代入一个任意的(x1,x2)组合求出特解(x,y,z,L)。再次推 广，Ax=B，B也是一个矩阵，有解吗? 只要保证r(系数矩阵)=r(增广矩阵)就可以了，也就是保证高斯消元的过程，方程两边不出现0=非0的悖论。好了，为了说明线性相关，秩，通解之间的关系，我举个例子。这个例子是线性代数的常见证明题：&&& 题目：已知A是m*n的矩阵，秩r(A)=m，存在矩阵使得AB=0有解，通解矢量个数为n-m。求证，对于任何矢量a使得Aa=0，那么必然有一个矢量b使得a=Bb。怎么证明呢? 要求证的东西其实就是，a可以表示为B的列向量的某种线性组合-&也就是求证a总是可以由B的列向量线性表示。那么既然a是Ax=0的一个解，那么 就要求B的列向量必然是Ax=0的通解向量组成的矩阵，那么必然有AB=0的解的个数=n-r(A)=n-m，符合题设。倒过来写就是证明的过程。求线性方程组通解的缺点: 求秩的过程依然用到了高斯消元法，没有对应的计算机方法，全靠人为观察。而且很多实际应用的情况下，方程组是没有精确解的，根本求不出秩，为了求得近似解，要引入奇异值分解的方法，而这个方法又引出了：特征矩阵，特征值，特征向量。
TA的最新馆藏君，已阅读到文档的结尾了呢~~
已知向量组A与向量组B有相同的秩,且向量组A可由向量组B线性表示....3.31设A为秩是r的m×n矩阵,证明:(1)存在m阶可逆矩阵...
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向量的线性相关性与矩阵的秩
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3秒自动关闭窗口?xi1????xi?X1??2?；????xi??r?；故对于线性方程组B1X1?PA1X1=0，因为P；xi1?i1?xi2?i2???xir?ir=0；B1X1=0，即为；xi1?i1?xi2?i2???xir?ir=0；由于上述两等式是同解方程，所以?i1,?i2,?；例1求向量组?1?(1,3,0,5),?2?(1；?5?(1,?3,0,?7)的秩
?xi1????xi?X1??2?
????xi??r?
故对于线性方程组B1X1?PA1X1=0，因为P为可逆矩阵，所以，B1X1?0与A1X1=0是同解的齐次线性方程组。
A1X1=0，即为
xi1?i1?xi2?i2???xir?ir=0
B1X1=0，即为
xi1?i1?xi2?i2???xir?ir=0
由于上述两等式是同解方程，所以?i1,?i2,?,?ir与?i1,?i2,?,?ir有相同的线性相关性。
定理2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法。
求向量组?1?(1,3,0,5),?2?(1,2,1,4),?3?(1,1,2,3),?4?(0,1,2,4),
?5?(1,?3,0,?7)的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无
关组的线性组合。
?,?2?,?3?,?4?,?5?为列作矩阵A，并对A作初等行变换 解
1?1?11?r2?3r1?
211?3??0?1?2
??????r4?5r1?
?0?1?2434?7???
r4?r2??000??1r2?r3?
1?r?r?1?43?1?6??????03?6?(?1)r?0
2???0?3?6?1
?????0001?2?????0?3?
?B ?001?2?
记B=(?1,?2,?3,?4,?5)。
容易看出B的列向量?1,?2,?4线性无关，而?3,?5可由?1,?2,?4线性表示
?3???1?2?2,
?5??3?1?4?2?2?4
因此，?1,?2,?4是向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组，且
?3???1?2?2,?5??3?1?4?2?2?4
显然，?1,?2,?3,?4,?5的秩为3。
由定理1和定理2知：初等行变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩，同样可证，初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩。总之，初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。由于矩阵总可以通过初等变换化为阶梯矩阵，而阶梯矩阵的行秩等于它的列秩，因此可以得到下面的定理
矩阵的行秩等于其列秩。
由于矩阵的行秩与列秩相等，所以我们给出下面的定义：
矩阵的行秩和列秩统称为矩阵A的秩，记作：r(A)或秩（A）。
由于n阶可逆矩阵总可以通过初等变换化为单位矩阵，因此n阶可逆矩阵的秩为n。所以，n阶矩阵A可逆的充要条件是：r(A)=n。
n阶矩阵A的秩等于n的充要条件是A为非奇异矩阵（即A?0）。
二．矩阵的非零子式与秩的关系
矩阵A=(aij)m?n的任意k行(i1,i2,?,ik行)和任意k列（j1,j2,?,jk列） 的交点的k个元素按原顺序排列成的k阶行列式
ai1j1ai2j1
ai1j2ai2j2?aikj2
?ai1jk?ai2jk?
称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式。当k阶子式为零（不等于零）时，称为k阶零子式（非零子式）。当i1?j1,i2?j2,?,ik?jk时，称为A的k阶主子式。
如果矩阵A存在r阶非零子式，而所有的r+1阶子式（如果有r+1阶子式）都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r，因为由所有的r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零。
矩阵A的非零子式的最高阶数等于矩阵A的秩r(A)。
设 r(A)= r，即A的行秩为r，不妨设A的前r个行向量线性无关，把A的前r行作成的矩阵记作A1，则A1的列秩=A1的行秩=r。不妨再设A1的前r个列向量线性无关，则由定理4可知，A的左上角的r阶主子式为非零子式，又因为A的任意r+1个行向量线性相
关，因此，在A的任意r+1个行中作成的任一个r+1阶子式都是零子式。故A的非零子式的最高阶数等于r。
综上所述，关于矩阵的秩的基本结论是：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零子式的最高阶数；初等变换不改变矩阵秩。
三．矩阵秩的常用性质
关于矩阵的秩，有下面几个常用的性质： 性质1
r(A+B)?r(A)+r(B)
设A、B均是m?n矩阵，r(A)=s， r(B)=t， 将A、B按列分块为
A=(?1,?2,?,?n)，
B=(?1,?2,?,?n) 则
A?B?(?1??1,?2??2,?,?n??n)
不妨设A和B的列向量组的极大线性无关组分别为?1,?2,?,?s和?1,?2,?,?t，于是A+B的列向量可以由?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t线性表示，所以
r(A+B)=A+B的列秩?秩（?1,?2,?,?s,?1,?2,?,?t）?s+t
r(AB)?min(r(A),r(B))
设A、B分别是m?n,n?s矩阵。
将A按列分块
A???1,?2,?,?n? 则
B??bjk?n?s
AB=??1,?2,?,?n??
?n1bn2?b1s?
故AB的列向量可由A的列向量?1,?2,?,?n线性表示，故
r(AB) =A B的列秩?A的列秩=r(A)
类似地，将B按行分块，可得
r(AB)? r(B)。
设A是m?n矩阵，P、Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
由于可逆矩阵P、Q可以表示为若干个初等矩阵的乘积，而初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立。
四．矩阵的相抵标准形
最后我们讨论，一个秩为r的矩阵通过初等变换化为怎样的最简单的矩阵，也就是矩阵
的相抵标准形（或说等价标准形）。
若存在可逆矩阵P、Q使 PAQ=B，就称A相抵于B。记作A?B。 根据定义，容易证明矩阵的相抵关系有以下性质： （1） 反身性：即A?A
（2） 对称性：即若A?B,则B?A（由于有对称性，A?B一般就说A与B相抵）。 （3） 传递性：即若A?B,B?C,则A?C。
所以相抵是一种等价关系。
若A为m?n矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），使得
其中Er为r阶单位矩阵。
对A作初等行变换，将A化为有r个非零行的阶梯矩阵。
Ps?P2P1A??0
???U1 0?????0?
其中P1,P2,?,Ps为初等矩阵。再对U1作倍加初等列变换和列对换，可将U1化为
??01?00?0??????????????Er
U1Q1Q2?Qt??00?10?0????
?00?00?0??0?????????????00?00?0??
其中Q1,Q2,?,Qt为初等矩阵。 所以，存在可逆矩阵P?Ps?P2P1,
Q?Q1Q2?Qt，使 0?
我们把上式右端??
?00??称为A的相抵标准形（或等价标准形）。容易知道，秩相?0?m?n
同的同型矩阵必相抵于同一相抵标准形。因此，任意两个秩相同的同型矩阵是相抵的。
n维向量空间
在本章§1中，我们定义了n维向量，并且对它规定了加法和数乘两种运算。在向量的线性运算基础上，我们进一步引进向量空间的概念。
设V为n维向量的非空集合，R是实数域。若V对加法和数乘运算封闭，即
（1）??,??V,有????V；
（2）???V，??R，有???V。 则称集合V为向量空间。
3维实向量的全体R3，就是一个向量空间。因为任意两个3维向量之和仍为3向量，数?乘3维向量也仍为3维向量，它们都属于R3。我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空间。不过当n?3时，它没有直观的几何意义。
例2 集合V??X|X??0,x2,?,xn?,x2,?,xn?R?是一个向量空间。因为若
???0,a2,?,an??V,???0,b2,?,bn??V，则?????0,a2?b2,?,an?bn??V，
????0,?2?2,?,?n?n??B。
集合V??X|X??1,x2,?,xn?,
x2,?,xn?R?不是向量空间，因为
???1,a2,?,an??V,而2???2,2a2,?,2an??V。
设?,?为两个已知的n维向量，集合
V??X|X??????,是一个向量空间。因为若X1??1???1?,
X2??2???2?，则有
X1?X2?(?1??2)??(?1??2)??V kX1?(k?1)??(k?1)??V
三亿文库包含各类专业文献、中学教育、专业论文、生活休闲娱乐、文学作品欣赏、各类资格考试、15第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩等内容。　
　第三章 向量组的线性相关性姓名: 姓名 1.向量 (1,1,2) T , (1,2,1)...组的通解; ② 求相应导出组(齐次方程组)的 基础解系,并求增广矩阵的秩 ? ... 　实验3 矩阵的秩与向量组的线性相关性一、实验目的学会使用 Matlab 软件构作已知矩阵对应的行(列)向量组、求矩阵的秩, 对矩阵进行初等行变换, 求向量组的的秩与... 　东北大学线性代数_第三章课后答案详解 向量组的线性相关性_理学_高等教育_教育专区...5. 理解矩阵的秩的概念,掌握求秩的方法. 一、向量及其运算 1. 向量的概念 ... 　线性代数练习题系 专业 第四章 向量组的线性相关性班 姓名 学号 第三节 向量组的秩一.选择题: 1.已知向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性无关... 　线性代数第三章 向量组的线性相关性最后一节答案 线性代数线性代数隐藏&& 线性代数练习题一.选择题: 1.已知向量组 [ 第三章 向量 第三节 向量组的秩 α1 ... 　第三章 向量组的线性相关性姓名: T T T 班级: T 学号: 1. (1)向量 (...求解下列非齐次方程组,用向量形式表示它的通解,并求增广矩阵的秩 ?2 x1 ? ... 　第五章 矩阵的特征值和特征...1/2 相关文档推荐...n维向量、向量组的秩及其线... 暂无评价 8页 免费...线性相关性 教学目标: 教学目标:掌握 n 维向量及其... 　第三讲 向量组的线性关系和秩本讲内容特点:抽象、复杂、系统性强,是理论至高点。 线性表示 → 线性相关性 → 极大无关组与秩 → 矩阵的秩 一、线性表示问题... 　第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题 1.向量组 α 1 , ...9. 设矩阵 Am×n 的秩为 r ( A) = m & n, E m 为 m 阶单位阵,...矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系_中华文本库
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高等代数第二次大作业
矩阵的秩的性质
1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。 2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明 ：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，
为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?
第一个问题：
设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!
第二个问题 以一个具体例子来说明。
例：设矩阵 ，求A的列向量组的一个极大无关组，
并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
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