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高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
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高等数学学习指导与习题解答
本书是与21世纪高职高专新概念教材《高等数学》（何春江主编）配套的学习辅导书。本书按教材章节对应编写。全书共分12章，各章均由内容提要、典型例题分析、习题选解、同步练习及答案四部分构成。本书对主教材中的基本概念、基本理论进行了简要的归纳和提炼。根据高职高专工科类专业的特点，本书在选材和编排上着眼于基础训练的强化，突出解题的思路和方法指导，并对解题的步骤和思路进行适当的归纳以提高读者分析问题和解决问题的能力。
高等数学学习指导与习题解答基本信息
作者：翟秀娜/曾大友/张文治
出版社：中国水利水电出版社
出版日期：2005-08
页数：185页
开本：16开
包装：平装
高等数学学习指导与习题解答内容简介
本书可作为高等技术职业学校、高等专科学校、成人高校工科各专业学习高等数学课程的辅导用书
高等数学学习指导与习题解答目录
1.1　内容提要
1.1.1　函数的概念
1.1.2　函数的几种特性
1.1.3　基本初等函数
1.1.5　初等函数
1.1.6　反函数
1.2　典型例题分析
1.3　习题选解
1.4　同步练习及答案
第2章　极限与连续
2.1　内容提要
2.1.1　数列的极限
2.1.2　函数的极限
2.1.3　极限的性质
2.1.4　无穷小量与无穷大量
2.1.5　极限的运算法则
2.1.6　两个重要极限
2.1.7　无穷小的比较
2.1.8　函数的连续性概念
2.1.9　初等函数的连续性
2.1.10　闭区间上连续函数的性质
2.2　典型例题分析
2.3　习题选解
2.4　同步练习及答案
第3章　导数与微分
3.1　内容提要
3.1.1　的概念与几何意义
3.1.2　函数的和、差、积、商的求导法则
3.1.3　复合函数的导数
3.1.4　的求导法则
3.1.5　初等函数的导数
3.1.6　隐函数和由参数方程所确定的函数的导安数
3.1.7　高阶导数
3.1.8　的概念
3.1.9　微分的几何意义
3.1.10　微分的运算法则
3.1.11　微分在近似计算中的应用
3.2　典型例题分析
3.3　习题选解
3.4　同步练习及答案
第4章　导数的应用
4.1　内容提要
4.1.2　拉格朗曰中值定理
4.1.4　函数的单调性
4.1.5　函数的极值
4.1.6　函数的最大值和最小值
4.1.7　曲线的凹凸性
4.1.8　函数图形的描绘
4.1.9　的概念
4.1.11　曲率的计算公式
4.2　典型例题分析
4.3　习题选解
4.4　同步练习及答案
第5章　不定积分
5.1　内容提要
5.1.1　的概念
5.1.2　不定积分的积分方法
5.2　典型例题解析
5.3　习题选解
5.4　同步练习及
企业信用信息“高等数学”与“数学分析”的区别与联系有哪些？
数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么？我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异？为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊？囧... ...这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。
对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。
先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。
对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。
而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：含参变量积分与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等数学有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。
记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教过老师，但没想到会招来老师极度的不满：“你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和讨论sin(x)为什么不是ln(x)一模一样的无聊... ...”我正是在听完这句话之后才恍然大悟的。
高等数学给了你工具，数学分析给了你怎么样造工具的理论。也可以说，高等数学告诉你怎么算（应用），数学分析告诉你为什么会有这样的定理（理论） 已经给了完善的解释和介绍，但忍不住想多涂几笔，毕竟数学分析断断续续学完后自己又看了一段时间，所以也想大致再说一下数学分析和高等数学的内容。 1. 高等数学和数学分析的知识结构不完全一样，甚至可以说从学科的涉猎层面，高等数学的涉猎学科更多一些。曾经翻看过高数的一点教材，无一例外都介绍了ODE的理论（至少是求解算法）。但数学分析并不如此，数学分析是从头到尾给你解释了一遍数、数列与函数极限、微分、积分的内容（尽管归根到底其实都是极限2333）2. 数学分析、高等数学学了什么？数学分析提供了分析学的基本框架，也就是数，集与拓扑、数列与函数的极限、微分、积分（4个主要分支）p.s: 在我看来分析的唯一对象可以说就是极限。随后，从以上4个分支的逻辑关系大致谈论一下：1） 万物的开始：数、集、点集拓扑本节数学分析必修，而且往往是一堵高墙，而高等数学不学，把他默认的接受了看定理的时候，一般我们的结构是：设XXX是A类，当XXX满足AAA的条件的时候，有BBB。譬如，设f在I上定义，如果f = 0, a.e. 于I，则f∈L(I)且∫f=0
对于数、集、点集拓扑的讨论就是为了让我们讨论的一切拥有一个最基本的讨论范围，我们在这个范围中所讨论的才不是泛泛而谈的。为了讨论一切的问题数学家们要为实数先给一个身份并认清楚它的属性（连续性七等价定理）点集拓扑是为了更好地在多元情况下定义函数的极限、连续性等性质而定义的。2）主要研究内容：极限本节数学分析学，尤其重视定理；高等数学略微带过，不要求学，仅要求掌握求解一些简单的极限。2.1）重中之重：数列极限我曾经很纠结为什么要写了函数以后还要闲着没事儿搞个数列极限出来，不过对于我现在来看这和数学分析中的两类讨论有非常强的关系，离散与连续，数列是离散的情况，也是容易入手的地方。而且，在Heine定义/定理下，函数极限可以定义为数列的极限（Cauchy、Heine等价）并且数列还提供了一个叫做级数的分支。理解了数列的极限后续其实就会简单不少。2.2）主要分析对象：函数数学分析主要的分析对象是函数，因此在讨论完离散情况——数列后，立即将其推广到连续情况变就是函数的问题。事实上数学分析中的很多定理有连续情况和离散情况，尤其是有了积分运算后这两者的关系越发密切（比如坑的上天入地的Cauchy不等式）3）微分学（为了简单便不涉及多元情况）本节都学，但要求深度不完全相同。高等数学对于定义法要求比较低。微分学的最早构想出于两个，一个是求一个曲线的切线（由莱布尼茨给出）和求一个物理量（譬如速度，并由牛顿给出）。并且在前人的工作下给出了一阶微分的形式：然后后继的人们，就开始研究这个极限形式有什么特性，能给什么样的结果，什么时候是可以求的，等等等。以及他的逆运算——原函数（其实我并不喜欢叫做什么“不定积分”，积分的概念是黎曼和求极限得到的，这样做我认为在逻辑上会造成的一定的困扰）4）积分学（头疼的开始）本节都学，数学分析与高等数学的一大差别：可积性理论以及定义。最麻烦的可以说就是积分学的内容了，因为积分学的问题拖出来都是问题，一篇可积性的内容直接建立了一个新的数学分支实变函数\实分析。积分学讨论的同样也是一个求极限的问题，这个概念的来源类比微分正好是求解一个封闭图形的面积和求一个力做的功的问题。（ps事实上仔细看，积分问题可以说成是级数的一个分支，所以一般现在级数论最后都会和积分发生联系，包括用积分方法求级数和级数判定广义积分收敛）3、4）的思想浅说，关注莱布尼茨的论文的话就可以知道当年莱布尼茨怎么想做切线的问题的，当然现在所有的书上都会说求切线问题的构造方法，而求面积也是类似的，取一小块出来然后求总和（也就是黎曼和）。最后一个极限将近似变成了确切。5）大统一：牛顿莱布尼茨定理\Stokes公式关于本节，高等代数一般不讲外微分形式的曲线曲面积分。Stokes公式其实我很纠结是不是要写出来，但是由于在外微分的语言体系下积分都可以统一成所以我最终还是写下来（如果想更多了解可以看微分几何或者看看龚昇老师的“简明微积分”）微分、积分事实上在古代就有朴素思想，牛顿和莱布尼茨的伟大并不在于他们“重新”发明了微分积分，而是他们发明了微积分，也就是真正的把微分积分变成了一对互逆的矛盾体。 在这一刻，不定积分才真正有了成为不定积分的资格。6）数学分析没讲或者没深入的：微分方程一般来说，高等数学的最后几章是处理微分方程理论的算法求解，但数学系中这一章是拖出来作为两个学科常微分方程、偏微分方程进行学习的。
高等数学讲的是——怎么算数学分析讲的是——为什么所以，上数学分析的数学系的孩纸，上课只有两种想法：1、这tm也要证？（显然易见啊~）2、这tm也能证？（想出来就不容易还要证明啊~）
前者是python，后者是C++
就本科而言。内容上是这样的，等式左边是工科，等式右边是理科（数学）：高等数学 = 数学分析 + 空间解析几何 + 数理统计 + 常微分方程大概就是这样了。也就是说，高等数学是右边四个科目的精简版。
复习后者的看到复习前者的：“哈哈哈哈哈！智障！还学高等数学！弱爆了弱爆了，看我大数分”复习后者的：证明，证明，还是证明，TMD敢不敢来算一个？！复习前者的：计算，计算，还是计算，TMD算你妹啊？！前者，不说人话；后者，更不说人话。学高数的若干年后：“高数是什么呀？”“学微积分啊”学数分的若干年后：“数分是什么呀？”“不。知。道。”毕业回家唯一带了两本数学分析教材回来。祭奠我死去的本科数学系的生活。仅剩的回忆就是：证明没学会，微积分也没学好。
两个200斤的胖子，一个直接揍你了一拳，一个说了句 “下面将证明你傻逼”，然后揍你了一拳。我特尔法克！
数学分析是高等数学的一个分支，同样是高等数学分支的还有高等代数，概率论等。数学分析研究的主要对象是函数。但是《高等数学》这本书是根据大多数大学生所需要掌握并可以实际应用的来编写的教材。所以该书以微积分为主要内容的，其他内容为辅，而且编书时重在应用而不在理解。而《数学分析》是研究微积分的一门教材，于是更加看重定理的证明和逻辑的思维能力。
后者更不说人话。。。
看了不少答案，感觉都没答到点子上微积分是数学工具，数学分析是数学思想
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