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结合图片给大家说明操作步骤。
步骤一：打开图一，可以看到Eg1-dta,Eg1-ins这两个txt文档，然后将你的数据的文本格式复制到Eg1-dta文件，一定要将列对齐。
步骤二：打开图二所示，开始修改Eg1-ins这个文档，主要是第二行和第三行的修改，数据名和输出名一定要是，修改完后一定要记得保存,例如保存为xx-ins。（注意：xx是你自己设置的命名，最后为纯字母，而且切记字符不能太长，4-5位即可）其他行的设置参考中文说明。
步骤三：接下来就可以运行frontier4.1.exe文件，输入f后，提示你输入文件名，例如xx-ins.txt,切记一定要有后缀.txt。具体操作呈现效果见图三，最后一行英文是文件运行后出来的，不用理会它。
这时，你在软件解压后的文件夹就会出现你的输出文件xx-out，可以查看计算结果，并进行分析。
软件下载给大家发个链接，去下载。 链接: /s/1dDk0kNn 提取密码: wc6k。希望大家可以互相交流学习。
支持楼主：、
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xx-dta.txt和xx-out.txt
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Eg1-dta,Eg1-ins
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亲&&我现在运行不出结果，求指教，急急急&&扣扣
yccmec 发表于
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亲 1=PRODUCTION FUNCTION, 2=COST FUNCTION 这个怎么选择呀？
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楼主群号是多少啊
fengmi670 发表于
楼主群号是多少啊SFA学习交流群
muyuxiu5623 发表于
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高中数学课程标准的背景、理念、研制过程
普通高中新课程数学教学指导
第三章 选修 1 、 2 课程的定位与变化
第二节 选修 1 ― 2
2.1 统计案例
一、 知识要求
1 、整体定位
课程标准对统计案例内容的整体定位是：
学生 “ 在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策的作用。 ”
统计案例 是新增内容。学习 统计案例， 目的使 学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性 和对于 决策的作用 。案例 的学习， 只要求学生 通过 案例 分析、应用或 实践活动 ， 了解几种统计方法的基本思想 、 方法及其初步应用，对于案例 涉及的基础 理论不做要求 。
2 、课程标准的要求
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。
（ 1）、通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗？”等）的探究，了解独性立检验（只要求 2× 2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
（ 2）、通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
（ 3）、通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
（ 4）、 通过对典型案例（如“ 人 的体重与身高的关系”等）的探究， 进一步 案例 了解回归的基本思想、方法及其初步应用。
3 、课程标准要求的具体化和深广度要求
根据本部分内容的特点，以下仅对“独立性检验”、“ 回归 分析”两部分内容进行说明（以下同）。
(1) 、“了解独立性检验（只要求 2× 2列联表）的基本思想，方法及初步应用”的含义
通过对典型案例“肺癌与吸烟有关吗？”的探究：
认识分类变量。通过案例学习，认识性别、商品、吸烟、肺癌等都是分类变量。性别变量取男、女两个值，吸烟变量可取吸烟、不吸烟两个值，商品可取一级、二级、三级等值。
2 ）根据问题会列两个独立分类变量（只要求 2× 2）的列联表。
如例 1，为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了 9965人，不吸烟 7817人，患肺癌 42人，吸烟 2148人，患肺癌 49人，那么吸烟是否对患肺癌有影响？
根据题目所给数据会列如下列联表：
表 1吸烟与患肺癌列联表（单位：人）
３）根据列联表，会用三维柱形图或二维条形图粗略判断两个分类变量是否有关系。
４）会根据列联表数据计算 的观测值，并能根据观测值查表确定在多大程度上可以认为两个分类变量有关系。如例 1，
因为 56.632&6.635，
P(K 2 ≥ 6.635)≈ 0.01，
所以有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。
５）理解独立性检验的基本思想：要确认“两个分类变量有关系”成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立。在该假设下构造的随机变量 K 2应该很小，如果由观测数据计算得到的 K 2的观测值 k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量 K 2的含义，可以通过概率 的值查表评价该假设不合理的程度。
如例 1，想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”，先假设
H 0 ：吸烟与患肺癌没有关系。
为了方便，把表 1中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表（表 2）。
表 2吸烟与患肺癌列联表
如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例差不多，即
a(c+d) ≈ c(a+b)
ad-bc ≈ 0
因此 |ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，数学上构造了一个随机变量
其中 n=a+b+c+d为样本容量。
若 H 0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K 2应该很小。现在，根据表 1中的数据，利用公式（ 1）计算得到 K 2的观测值为
在 H 0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
P(K 2 ≥ 6.635)≈ 0.01 （ 2）
即在 H 0成立的情况下， K 2的值大于 6.635的概率非常小，近似于 0.01。也就是说，在 H 0成立的情况下对随机变量 K 2进行多次观测，观测值超过 6.635的频率约为 0.01。
现在观测值 k≈ 56.632太大了，在 H 0成立的情况下能够出现这样观测值的概率不值过 0.01，因此有 99%的把握认为 H 0不成立，即有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。
６）能用独立性检验的基本思想、方法 解决一些实际问题。
在统计学中， 独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。课标明确规定“只要求”学生学习、了解 2× 2列联表的独性立检验的基本思想，方法及初步应用。因此，学生学习中能用独立性检验的基本思想、方法 解决一些 （ 2 × 2列联表的）两个分类变量是否有关系的简单问题即可。如
例２ 在某医院，因为患心脏病而住院的 665名男性病人中，有 214人秃顶；而另外 772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。利用系独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
表 3 秃顶与患心脏病列联表
根据列联表 3中的数据，得到
因为 P(K 2≥ 6.635)≈ 0.01
所以有 99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”。
所推断结论对住院的病人群体有效。
实际解决问题时，可以用三维柱形图或条形图进行粗略判断。当用三维柱形图，如果底面主对角线上两个柱体高度的乘积与副对角线上两个柱体高度的乘积不等，那么可以在某种程度上认为两个分类变量有关。但是，只凭列联表的数据和图形下结论不够确切，原因是列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性。用列联表检验的方法确认所得结论，能够确切判断在多大程度上适用于总体。
运用独立性检验的基本思想、方法 解决实际问题 得出的结论往往是有条件的，不能不顾条件，扩大范围使用。如例 2的 数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其他的证据表明可以进行这种推广。
（ 4）、“ 通过对典型案例（如“ 人 的体重与身高的关系”等）的探究， 进一步 了解回归的基本思想、方法及其初步应用 ” 的含义
通过对典型案例（如“热的体重与身高的关系”等）的探究 ：
能根据问题给出的数据确定解释变量和预报变量。
如例 3：一只红铃虫的产卵数 y和温度 x有关，现收集了 7组观测数据列于表 4中，试建立 y与 x之间的回归方程。
产卵数 y/个
根据已给出的问题背景，经过分析，把温度 x作为解释变量，红铃虫的产卵数 y作为预报变量。
能根据问题给出的数据画出散点图，并能根据散点图判断解释变量和预报变量线性相关还是非线性相关。如例 3，根据表 4作出散点图 1.1-6。
从散点图中可以看到随着自变量 x的增加，因变量 y有增加的趋势，但它们明显不是线性关系。
3 ）根据散点分布情况，会确定回归模型的类型。如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选用线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，要先对变量作适当的变换，再利用线性回归模型来建模。在例 3中，散点似乎分布在指数函数 (即 )或二次函数曲线（即 y=c 3x 2+c 4）的周围，因此可以考虑对原始数据进行相应的变换（即对解释变量的对数变换或平方变换），把非线性问题转化为线性问题。
4 ）能根据问题给出的数据或问题转化的得到的数据求出 回归 方程。
如例 3，如果回归模型选择指数函数 ，则令 z=lny，变换后样本点应该分布在直线 z=bx+a (a=ln c 1, b=c 2)的周围。
由表 4的数据可以得到变换后的样本数据表。
根据表 5数据，作出散点图 1.1-7。从图 1.1-7中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合。
由表 5中的数据得到线性回归方程
因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
如果回归模型选择二次函数曲线 y=c 3x 2+c，则令 t=x 2。变换后样本点应该分布在直线 y=c 3t+c 4的周围。由表 4的数据可以得到变换后的样本数据表 6。
根据表 6数据，作出散点图 1.1-8。从图 1.1-8中可以看出， y与 t的散点图并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线 y=c 3x 2+c 4来拟合 y和 x之间的关系。
5 ）会对模型拟合效果作残差分析，会分析不同模型拟合效果。
如例 3，如果同时考虑了指数模型和二次模型，可以对两个模型拟合效果进行分析。先根据样本数据表 6，得到 y关于 t的线性回归方程
再得到 y关于 x的二次回归方程
如果用 表示表 3中第 1行（ i+1）列的数据，则回归方程（ 3）和（ 4）的残差计算公式分别为
表 7给出了原始数据及相应的两个回归方程的残差。从表中的数据可以看出模型（ 3）的残差的绝对值显然比模型（ 4）的残差的绝对值小，因此模型（ 3）的拟合效果比模型（ 4）的拟合效果好。
如果用比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好。由表 7容易算出模型（ 3）和（ 4）的残差平方和分别为 和 。因此模型（ 3）的拟合效果远远优于模型（ 4）。
还可用相关指数 R 2来比较两个模型的拟合效果， R 2越大，模型的拟合效果也越好。由表 7容易算出模型（ 3）和（ 4）为 R 2分别约为 0.98和 0.80，因此模型（ 3）的拟合效果好于模型（ 4）。
6 ）会用 回归的基本思想、方法解决一些实际问题。
如例 3，根据问题背景，确定解释变量和预报变量，出散点图，根据散点图判断解释变量和预报变量线性相关还是非线性相关；选择回归模型的类型，求出 回归 方程，会对模型进行拟合效果分析，根据 回归 方程预报结果。
应用回归模型解决实际问题进行预报时应注意模型的适用范围。这一点是十分重要的，否则可能会出现严重的错误，或十分可笑的结果。具体说应该注意一下四个方面：
①样本数据是来自哪个总体的，预报时也仅适用这个总体。例如用由女大学生身高数据所建立起的模型预测一名男大学生的身高是不恰当的，所得的分析结果存在很大误差。
②模型的时效性，利用不同时间段的样本数据建立的模型，只能用来对那段时间范围的数据进行预报。例如把 1900年建立的身高与体重的模型用于预测 2005年的情况是不恰当的，这样预测的结果可能产生很大的误差（原因是基因的进化，生活条件的变化引起身高与体重之间关系的变化）。
③建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太多。如果建立的是自变量在 [155， 175]范围内女大学生的身高与体重的模型，那么可以利用建立的模型预报身高为 176cm的女大学生的平均体重，但用该模型预报身高为 190cm的女大学生的平均体重显然不合适。
④在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。如某个女大学生的身高为 172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为 172cm的女大学生的平均体重的预测值。
4 、教学要求
统计案例是新增内容，课标只要求通过对典型案例的探究，“了解”几种统计方法的基本思想、方法及初步应用。我们知道，了解就是“对知识的含义有感性、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会）在有关的问题中识别它。”因此，统计案例的教学应该注意以下几点。
以典型案例为教学载体，通过对案例的探究，认识统计方法的基本思想、方法，避免为讲思想、方法把案例作为思想、方法的例题。就是说通过案例提出问题，研究案例寻求解决问题的方法，在探究案例、解决案例问题的过程中体会统计方法的基本思想与方法，而不是先讲一种统计方法的思想、方法，然后把案例作为应用的例题。
如回归分析，我们选择“女大学生身高与体重的关系”案例：从某大学中随机选取 8名女大学生其身高与体重数据如表 8所示。
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
案例要求解决的问题很明确。在《数学 3（必修）》的统计一章中，学生已学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图、求回归直线方程、利用求回归直线方程进行预报等内容，根据题目提供的数据，很容易画出散点图 1.1-1，求出回归直线方程
对于身高为 172cm的女大学生，由回归方程易预报出其体重为
当学生预报出女大学生的体重，我们提出：身高为 172cm的女大学生的体重一定是 60.316 kg吗？如果不是你能解释一下原因吗？引导学生思考探索。这时有学生开始在散点图坐标系里作方程（ 5）的直线，如图 1.1-3。当学生作出方程（ 5）的直线，他们惊奇地发现样本点散布在直线（ 5）的附近，而不是在直线上。这说明什么呢？说明线性回归模型与一次函数不同，说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响。把这种影响结果 e（残差变量）引入到线性函数模型中，就得到线性回归模型
y=bx+a+e （ 6）
其中 e是残差变量。比较回归方程（ 5）与模型（ 6），可以知道 60.316 kg是身高为 172cm的女大学生的平均体重的估计值，而不一定是某位身高为 172cm的女大学生的真实体重。… 这样就把案例作为学生获取回归分析基本思想、方法的载体，而不是练习。
在过程中体会思想、方法。
研究统计案例，不是为了记住案例或案例的结论。研究案例的目的，就是使学生经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点，体会统计方法应用的广泛性以及对于决策的作用；在分析探究案例的过程中体会、感悟案例所使用的统计的思想、方法，注意的问题。因此，统计案例的教学要展现案例解决问题的全过程，要让学生积极主动地参与到案例探究的全过程中，在过程中体会思想、方法。
如上文“女大学生身高与体重的关系”案例，让学生根据题目提供的数据，画散点图、求回归直线方程、预报结果，在同一坐标系作出散点图、回归直线。通过观察，发现数据散点不在回归直线上，从而认识到线性函数模型只能近似地刻画身高与体重的关系，利用回归方程（ 5）预报的结果与实际数值存在误差。引入残差变量 e，建立线性模型（ 6），将模型（ 6）与方程（ 5）比较，清楚地理解 60.316 kg是身高为 172cm的女大学生的平均体重的估计值，而不一是某位身高为 172cm的女大学生的真实体重。这样学生就明确了用回归方程预报结果的方法及预报结果的含义。
3 ）在实践活动中或解决实际问题的过程中体会几种统计方法的基本思想、方法、初步应用。
案例介绍的统计方法，学生容易理解掌握，但案例涉及的统计方法的基本思想、思想方法，学生不易理解。因此，在教学中，给学生提供一定的实践活动机会，结合数学建模的活动，选择几个案例，要求学生亲自实践，在实践活动过程中体会、感悟统计方法的基本思想、方法、初步应用效果会更好。
例如，要求学生从本年级学生中随机选取三分之一，分性别调查喜欢数学课程还是不喜欢数学课程，研究在多大程度上可以认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系。所得到的结论适用什么范围的人群？
再如，请学生将自己上高中以来各学期某科测试在班级的名次按测试顺序一一列出（最后一次不列），建立回归方程，预测最后一次测试自己该科成绩在班级的名次。将实际名次与预测结果比较，看是否吻合。如果有差距，分析产生差距的原因。
4 ）对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。同时，教学中应鼓励学生使用计算器、计算机等现代计数手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。
二、重点和难点
重点：建立回归方程的思想和方法，独立性检验的基本思想方法，
难点：对于回归方程的理解，独立性检验的思想
1 、重、难点分析
独立性检验的基本思想和方法
独立性检验是统计学中检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。要用独立性检验解决实际问题，就必须对独立性检验的基本思想和独立性检验的方法有较深刻认识。因此，独立性检验的基本思想和方法是案例探究的重点内容。
独立性检验的步骤相对固定，但独立性检验的统计思想，即独立性检验的基本思想对学生来说是比较难理解的，是教学的难点。
独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想，它与反证法类似。假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立。但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件的发生；而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生。小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，若在实际中这个事件发生了，说明保证这个事件为小概率事件的条件有问题，即结论应该在很大程度上成立。独立性检验的这一基本思想离开具体案例是比较难理解的。
判断刻画模型拟合效果的方法
在《数学 3（必修）》的统计一章中，学生已学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图、求回归直线方程、利用求回归直线方程进行预报等内容，预报结果的含义什么？如何提高预报结果的精度，服务于我们的决策，这就是回归分析要做的事情。搞清预报结果的含义就要搞清残差变量的含义；模型拟合效果越好，相应的分析预报结果的精度就越高。所以判断刻画模型拟合效果的方法是教学的重点内容。
2 、重、难点教学案例
案例 1 独立性检验的基本思想和方法教学片段
师：为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取 300名学生，得到如下列联表：
性别与是否喜欢数学课程 联表 9
喜欢数学课程
不 喜欢数学课程
作为课后作业，请同学回去根据表中数据作 三维柱形图或二维条形图 ，研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？在多大程度认为有关系？
师：（新课）上一节课我们要求同学们课后研究“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系”，你们有结果了吗？
生：有结果。在 122名男生中，有 69.67G的学生不喜欢数学课程；在 178女生中，有 80.34G的学生不喜欢数学课程。高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系。
生：条形图也显示女同学不喜欢数学课程的比例要大一些。
师：很好，同学们很认真，研究已经有结果，应当肯定。但是，“在多大程度认为有关系？” 同学们还没有给出结论。
生：（思考，显示无奈）
师：现在我和同学们一块研究这个问题。想要知道能够以多大的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系”，先假设
H 0 ：高中生的性别与是否喜欢数学课程之间没有关系。
为了方便，把表 9中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表（表 10）。
性别与是否喜欢数学课程 联表 （表 10）
喜欢数学课程
不 喜欢数学课程
请同学们想想，如果“ 高中生的性别与是否喜欢数学课程之间没有关系 ”，根据 表 10，我们能得出什么结论？
生： 男女生 喜欢数学课程 的比例应该差不多。
师：对。也就是 ，即
a(c+d) ≈ c(a+b)，
ad-bc ≈ 0，
因此 |ad-bc|越小，说明 性别与是否喜欢数学课程 之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明 性别与是否喜欢数学课程 之间关系越强。
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，统计学上构造了一个随机变量 (有兴趣的同学可以查阅统计学的有关书籍 )
其中 n=a+b+c+d为样本容量。
若 H 0成立，即“ 性别与是否喜欢数学课程之间没有关系 ”，则 K 2应该不大，现在，根据表 9中的数据，利用公式（ 7）计算得到 K 2的观测值为
在 H 0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 (查表，有兴趣的同学也可以查阅统计学的有关书籍 )
P(K 2 ≥ 3.841)≈ 0.05
即在 H 0成立的情况下， K 2的值大于 3.841的概率非常小，近似于 0.05。也就是说，在 H 0成立的情况下对随机变量 K 2进行多次观测，观测值超过 3.841的频率约为 0.05。
现在观测值 k≈ 4.513太大了，在 H 0成立的情况下能够出现这样观测值的概率不超过 0.05，因此有 95%的把握认为 H 0不成立，即有 95%的把握认为“ 高中生的性别与是否喜欢数学课程之间 有关系”。
师：请大家理一理，刚才的研究，是怎样的思路和想法？
生：（思考、总结、陈述）…
师：要确认“两个分类变量有关系”成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立。在该假设下构造的随机变量 K 2应该不大，如果由观测数据计算得到的 K 2的观测值 k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量 K 2的含义，可以通过概率 的值查表评价该假设不合理的程度。这就是独立性检验的基本思想和方法。
点评：是否每一个数学问题都应该让学生独立探索、研究得出结论，是值得讨论的问题。有些问题，学生不具备解决它的知识和能力；有些问题研究它需要花大量的精力和时间。因此，是否每一个数学问题都应该让学生独立探索研究得出结论，要根据问题、教学、学生情况而定。本例先让学生探索研究，得出学生能力能得出的结论；对于学生没有能力完成的内容，教师创设情景，引导学生分析思考，步步深入；对于有些课堂要用而又不易展开讨论的结论，直接告诉学生，给学有余力的学生留有自由发展的空间。教学轻松、简捷。
2.2 推理与证明
一、知识要求与变化
1 、整体定位
标准中对 推理与证明的整体定位如下：
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
(1) 归纳推理
归纳推理是针对一类事物而言的，如上图所示： A 和 B具有的共同的特性是否可以推广到整个 S？这就是一个从局部到整体的过程。
例如， 1）在统计学中，由一部分数据的特征数，推测出总体数据的特征数。
2 ）解线性方程组时，由二元线性方程组的解法，推广到多元线性方程组的解法。
3 ）平面向量推广到空间向量再推广到向量空间。
（ 2）类比推理
类比推理是针对的两类事物，如上图所示，在 A和 B两类事物中， A类中有性质 P成立， B类中也有性质 P成立， A类中还有性质 Q成立，那么 B类中是否也具有性质 Q成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。
例如， 1）平面几何与球面几何的类比。
2 ）指数函数和对数函数的类比。
3 ）等式和不等式的类比。
4 ）有理数与无理数的类比。
5 ）数的运算与符号的运算的类比。
6 ）平面上直角三角形三边的关系与直三棱锥三个平面的关系的类比。
《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现 ---猜想 ---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够 重视数学知识的产生和发展过程， 发展学生的探究和创新精神。
（ 2）对于 “合情推理 ”和 “演绎推理 ”，要 通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。 模 块中设置的证明问题应选材于学生已学过的数学内容，有助于对于基本证明方法的总结， 《标准》要求 仅限于 “结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义……，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理 ”，因此，应结合教材提供的具体实例组织教学，补充的实例也应以 “已经学过的数学实例和生活中的实例 ”为准， 对证明的问题的难度也要加以控制。
（ 3）结合已经学过的数学实例，让学生了解直接证明和间接证明的思考过程、特点 .
直接证明――综合法：
直接证明――分析法：
间接证明――反证法：
《 标准 》对“ 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解直接证明的两种基本方法和间接证明的一种方法；了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。”的要求是阶段性要求，“ 体会并认识合情推理在数学发现中的作用，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。”的要求 是终结性要求。
2 、课程标准的要求
（ 1）合情推理与演绎推理
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 .
② 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理 .
③ 了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别 .
（ 2）直接证明与间接证明
① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点 .②了解间接证明的一种基本方法 ――反证法；了解反证法的思考过程与特点 .
（ 3）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3 、 课程标准的要求的具体化和深广度分析
（ 1）如何认识“了解合情推理的含义”
对合情推理的含义的认识是指通过对具体实例的推理过程的分析、体会，概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法。
例如：哥德巴赫把在数学研究中观察到的 3+7=10， 3+17=20， 13+17=30式子在形式上改写成： 10=3+7， 20=3+17， 30=13=17，发现了规律：偶数 =奇质数 +奇质数，于是他产生了一个想法： 10， 20， 30都是偶数，那么其他的偶数是否也有类似的规律呢？他进行了特例的验证，概括出特例的规律特征，提出了猜想：任何一个不小于 6的偶数都等于两个奇质数之和。这个猜想的提出过程就是运用了经历由部分到整体、由个别到一般的归纳推理过程。
又如：在研究球体时， 类比 圆， 发现球存在一些与圆类似的特征（如都具有完美的对称性，都是到定点的距离为定长的点集），因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有。如由圆有切线推测球有切面等等。这种推理过程是由两类对象所具有的类似特征，由其中一类对象具有的某些已知特征推测另一类对象也具有这些特征，是由特殊到特殊的 类比推理过程。
（ 2）如何认识“能利用归纳和类比等进行简单的推理及体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义
“能利用归纳和类比等进行简单的推理”是指：对给定的具体问题，能够通过计算、分析、比较、概括、推广、归纳、观察、推测、类比等手段或方法完成简单的推理。
例如：已知数列 的第 1项 ，且 ，
试归纳出数列的通项公式。可以先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，观察数列的前几项和序号的关系，找出规律和共同特点，归纳出数列的通项公式。
“体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义是指体会并认识 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；例如欧拉公式的发现就是在探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系时，运用 合情推理 发现的。
（ 3）如何认识“体会演绎推理的重要性”的含义
演绎推理具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法，广泛应用于自然科学、社会科学领域。例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系。
（ 4）如何认识“掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理”的含义
演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。能够运用演绎推理的“三段论”的思维模式证明数学问题，获得数学结论。
例如：证明函数 在 上是增函数。大前提是增函数的定义，小前提是 ， 满足增函数的定义，于是根据演绎推理的“三段论”，得 在 上是增函数。
（ 5）如何认识“了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别”的含义
归纳和类比是常用的合情推理。从推理形式上看，归纳是 由部分到整体、由个别到一般的推理， 类比是由特殊到特殊的 推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。 从推理所得结论看，合情推理的结论仅是猜想，未必可靠，有待进一步证明； 演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。合情推理与演绎推理 都是认识世界的过程中需要的重要的思维方式，两者紧密联系、相辅相成。
（ 6）如何认识“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点 .”的含义
“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点”是指通过实例，对已学过的数学知识的证明方法的思考过程与特点进行分析与概括，即：综合法是“顺推证法或是由因导果法”，分析法是“逆推证法或执果索因法”；其流程框图见上图。
（ 7）如何认识“了解间接证明的一种基本方法 ――反证法；了解反证法的思考过程与特点 .”的含义
“了解间接证明的一种基本方法 ――反证法；了解反证法的思考过程与特点 .”是指要明白反证法的适用情形和使用的逻辑规则，特别是明确应用逆向思维，推出与已知条件或假设或定义、公理、定理、事实等矛盾是反证法的思考过程的特点。其流程框图见上图：
例如：在“求证 是无理数”的证明中，直接证明 是无理数较困难，可应用逆向思维：假设 不是无理数，那么它就是有理数，就可写成形如 的形式，从而 。怎样得出矛盾？考虑“ 是互质的正整数”，通过奇偶数分析，因此 ，所以 m为偶数，于是可设 是正整数），从而有 ，即 ，所以 n为偶数。这与 m， n互质矛盾。所以假设错误，从而 是无理数。
（ 8） 如何认识“ 体会公理化思想” 的含义
“ 体会公理化思想” 的含义是指 通过介绍实例（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律）， 使学生了解 数学知识的产生和发展过程， 体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用，进而 发展学生的探究和创新精神。
4 、教学要求
① 恰当创设情境， 促进学生的自主探索。
合情推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想，它是以数学中某些已知事实为基础，通过选择恰当的复习结构材料创设情境，引导学生观察。 体现知识的发生发展过程，促进学生的自主探索。 并尽量将学生所熟悉的知识，通过归纳、类比的思想，逐步推广到未知的的知识领域。在 中学 数学教学实践中，通过恰当创设情境，引导学生观察；精心设计实验，激发学生思维；仔细设计问题，激发学生猜想；利用类比探讨，加深知识理解；利用数学归纳，巩固特殊到一般思维；利用演绎证题，揭露蕴涵性质等渐进地培养学生的数学思维意识和合情推理能力。
例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
考虑到直角三角形的两边互相垂直，所以我们选取有三个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。如上图：
让学生分析比较：
再用综合法证明。体现出由推理到证明探究的完整过程。
②教学中要让学生感受探究的过程
通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程，让学生真实地感受到数学的创造过程与任何其它学科的创造过程是一样的，它同样需要经历观察、试验、归纳结论，最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理的思维过程
例如：关于凸多面体的 “欧拉公式 ”：任意凸多面体的顶点（ V）、面（ F）、棱（ E）、之间有关系式： V+F-E=2的探究思路。
　　 数学家欧拉通过观察一些特殊的多面体，在 1750年发现了关于凸多面体的欧拉公式，后来又给出了证明。约在 1635年数学家笛卡尔也早已发现了它，但由于笛卡尔的研究到 1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式。
归纳推理过程：
　　 （ 1）若将立方体、三棱柱、五棱柱、四棱锥、三棱锥、五棱锥、八面体、塔顶体（正方体上放一个四棱锥、截角立方体），将每个多面体的面数（ F）顶点数（ V）棱数（ E）数出来，并列成表
面数（ F）
顶点数（ V）
棱数（ E）
截角立方体
根据上表中的数据运用合情推理就可得出猜想： 任意凸多面体的面、顶、棱数满足 V+F-E=2
根据实际情况，再选择是否和学生一起证明。
③重视数学文化，让学生感受 演绎推理，初步体会公理化方法
中学数学教材基本是以演绎推理作为主要推理形式，运用最普遍的是“三段论”式的结构，它由两个前提（分别称之为大前提、小前提）和一个结论构成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定义、性质等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；结论是根据两个前提推出的判断。其模式为：
大前提： M是 P
小前提： S是 M
结 论 : S是 P
尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。
为了让学生 初步体会公理化方法，，在教学中一定要重视 实例（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律）的作用， 使学生了解 数学知识的产生和发展过程， 体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用。
二、重点和难点：
1 、重点、难点的分析
①推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，它的系统学习是新课标教材的一个亮点，是
对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。
②合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推
理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。两者紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。因此准确把握概念，理解合情推理、演绎推理的联系与区别，理解直接证明与间接证明的方法和步骤是重点。
③如何通过对命题进行观察、比较、分析、类比、归纳，运用适当的证明方法对命题
给予证明是难点。
2 、重点、难点的教学案例
为了说明我们在教学中突出重点，突破难点，我们收集了下列典型案例作说明（以人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著的教材《数学选修 2― 2》作为下列案例的说明对象）：
《合情推理》课堂教学片段案例：
问题设计意图
1 、引例：回顾著名的哥德巴赫提出猜想的过程。
2 、问题 1哥德巴赫提出猜想的推理过程怎样概述？
3 、得出归纳推理（简称归纳）的概念。
让学生体会推理活动不仅存在于日常活动，而且数学问题的解决更离不开推理。
生：阅读课本，思考老师所提出的问题，并用自己的语言表述。
师：在生活中你是否有过类似的体会？结合例子说明。
4 、用归纳推理分析例 1
让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。
生：自己阅读解决例 1，注意体会归纳推理过程中的思维活动。
师：巡视释疑。
5 、问题 2思考在人们的创造发明活动时常应用的类比思想中含有怎样的推理过程？
让学生体会类比推理思想是创造发明活动的火花，是创新思维的灵感。
生：阅读课本，思考老师所提出的问题。
师：你是否有过类似的体会？结合例子说明
6 、问题 3探究怎样类比圆的特征得出球的相关特征？
使学生加深体会类比推理思想。
生：思考老师所提出的问题，尝试解决。
师：巡视释疑，引导学生体会类比推理与归纳推理的不同思路特征。
7 、例 2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
使学生对两类类比对象的相似的性质进行比较。
师：引导学生从运算结果及运算率的角度分析实数的加法和乘法的运算性质的实质。
8 、探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
9 、例 3类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
使学生感知如何根据事物的特征确定类比对象，培养学生的创新思维能力。
师：引导学生从围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等不同的角度确定类比对象。
生：尝试解决例 3，并思考在问题解决中的类比的基本原则。
10 、师生一起总结概括前面所进行的推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想
11 、概括合情推理的概念
使学生明确合情 推理进行的一般环节。
生：结合前面例子和自我体会概括合情推理的过程。
师：补充完善合情推理的概念及其步骤。
12 、合情推理的应用：
学生阅读例 4
使学生理解合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，但由合情推理所获得的结论仅是猜想，未必可靠。
生：阅读例 4
师：巡视释疑
师：由合情推理所获得的结论是否一定可靠？
　案例 2《归纳，猜想，证明》教学案例
( 一 ) 复习引入
　　师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？
　　生：与连续自然数 n 有关的命题．
　　师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？
　　生：共有两个步骤：
(1) 证明当 n 取第一个值 n0 时结论正确；
(2) 假设当 n=k(k ∈ N ，且 k ≥ n0) 时结论正确，证明当 n=k ＋ 1 时，结论也正确．
　　师：这两个步骤的作用是什么？
　　生：第 (1) 步是一次验证，第 (2) 步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．
　　师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第 (1) 步是递推的始点；第 (2) 步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？
　　生：两个步骤缺一不可．证第 (2) 步时，必须用归纳假设．即在 n=k 成立的前提下推出 n=k ＋ 1 成立．
　　师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．
　　今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例 1 ．
( 二 ) 归纳、猜想、证明
1 ．问题的提出　　
　　师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．
( 学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上 )
　　师：正确．怎么推测 an 的计算公式呢？可以相互讨论一下．
2 ．归纳与猜想
　　生：我猜出了一个 an 的计算公式． ( 许多学生在偷笑 )
　　师：大家在笑什么？是笑他的“猜”吗？“猜”有什么不好．人们对事物的认识很多都是以“猜”开始的，探索新领域就需要大胆，敢猜敢想，当然还要有严谨的思维做后盾．我想他的“猜”，也一定不是胡蒙乱猜，一定会有他的道理的，说说你是怎么“猜”的．
　　师：大家也一定觉得他说的有道理，但为什么用“猜想”呢？
　　生：我只是通过对 a1 ， a2 ， a3 ， a4 的观察，就去归纳 an 的计算公式，这个公式不一定对，所以还只能是“猜想”．
　　师：他是经观察有限个特例从中获取一定信息、分析它们共同具有的特征后，归纳出对一切自然数的一般结论．他用的是不完全归纳法．他的结论虽不一定正确，但这却是探索新知识，发现新规律的重要途径，归纳法是可以用于猜测与发现的．
　　我们一起把他的“猜想”记录下来．
( 教师板书 )
　　师：这个“猜想”的正确性怎么能保证？
　　生：用数学归纳法证明．
( 学生口述，教师板书 )
　　师：证得非常好．在证明 n=k ＋ 1 时，每一步的依据是什么？
　　生：因为在这里，能否用上归纳假设是关键．因此先根据定义用 ak 表示 ak ＋ 1 ，然后就可代入归纳假设，再化简整理，即可证出 n=k ＋ 1 的相应结论．
　　师：这才能体现出递推性．必须注意要由归纳假设 (n=k 时 ) 的正确性来推 n=k ＋ 1 时的正确性，这是用数学归纳法证题的核心与关键．
　　回顾我们的解题过程，光用不完全归纳法对事物的一部分特例，通过观察，加以归纳，得到猜想，再用数学归纳法对猜想加以证明．这种从观察到归纳到猜想到证明的过程，是一种科学的思维模式，也正是我们今天要研究的课题．
( 板书课题：归纳、猜想、证明 )
4 ．不完全归纳法中的“猜测”二法
　　师：高斯说过：“发现和创新比命题论证更重要，因为一旦抓住真理之后，补行证明往往是时间问题．”
　　在“归纳、猜想、证明”的过程中，猜想准确是关键．我们再看一个例题，在解题过程中重点思考：如何猜想．
( 学生们在笔记本上解答，教师巡视完成情况，请两位同学把自己的解法写到黑板上 )
( 学生甲书写如下 )
　　则 f(n)=f(n － 1) ＋ lg2n - 1(n ≥ 2) ．
f(3)=f(2) ＋ lg23 - 1=0 ＋ 2lg2=2lg2 ，
f(4)=f(3) ＋ lg24 - 1=2lg2 ＋ 3 lg 2=5lg2 ．
　　猜想：……
( 学生乙书写如下 )
　　得 f(n)=f(n － 1) ＋ lg2n - 1(n ≥ 2) ．
　　则 f(2)=f(1) ＋ lg22 - 1= － lg2 ＋ (2 － 1)lg2=( － 1 ＋ 2 － 1)lg2 ，
f(3)=f(2) ＋ lg23 - 1=( － 1 ＋ 2 － 1 ＋ 3 － 1)lg2 ，
f(4) ＝ f(3) ＋ lg24 - 1
=( － 1 ＋ 2 － 1 ＋ 3 － 1)lg2 ＋ (4 － 1)lg2
=( － 1 ＋ 2 － 1 ＋ 3 － 1 ＋ 4 － 1)lg2 ．
　　由此可以推测：
f(n)=[ － 1 ＋ (2 － 1) ＋ (3 － 1) ＋…＋ (n － 1)]lg2
=[ － 1 ＋ 1 ＋ 2 ＋…＋ (n － 1)]lg2
　　师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出 f(2) ， f(3) ， f(4) 的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．
　　生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了 f(2) ， f(3) ， f(4) 的值，但从－ lg2 ， 0 ， 2lg2 ， 5lg2 我除发现了应是多少倍的 lg2 就再无收获了，这“多少倍的”从－ 1 ， 0 ， 2 ， 5 实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．
　　师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？
　　生乙：我是看 f(2) ， f(3) ， f(4) 每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上 (n － 1)lg2 ，也就是从 n=2 ， 3 ， 4 ，…分别代入递推关系式 f(n)=f(n － 1) ＋ (n － 1)lg2 的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．
　　师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例 1 那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．
　　其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．
　　学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．
　　归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．
( 三 ) 练习
　　已知数列｛ an ｝和｛ bn ｝，其中
an ＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋…＋ (2n ＋ 1) ， bn ＝ 1 ＋ 2 ＋ 22 ＋…＋ 2n - 1 ， (n ∈ N ＋ )
　　当 n ∈ N ＋时，试比较 an 与 bn 的大小，并证明你的结论．
( 教师巡视学生的解题情况，适时点评 )
　　师：有的同学面对问题无从下手，一下子就想得到一个一般性的结论是不太容易，但我们可以从特殊的 n=1 ， n=2 ，……入手，通过观察归纳，猜想出一个一般的结论，这应是可以做到的吧．
　　有的同学结论下得太草率，只看了 a1 与 b1 ， a2 与 b2 ， a3 与 b3 就下结论了，急于去证明，证的时候就有困难了．这种时候该怎么办？①看证法是否正确；②回过头来多试几个，甚至还应看看 an ， bn 的结构，再慎重下结论．
( 待大部分学生都解出后，教师将课前准备好的写在投影片上的解答在投影机上打出来并讲评． )
　　当 n=1 时， a1=4 ， b1=1 ，则 a1 ＞ b1 ；
　　当 n=2 时， a2=9 ， b2=3 ，则 a2 ＞ b2 ；
　　当 n=3 时， a3=16 ， b3=7 ，则 a3 ＞ b3 ；
　　当 n=4 时， a4=25 ， b4=15 ，则 a4 ＞ b4 ；
　　当 n=5 时， a5=36 ， b5=31 ，则 a5 ＞ b5 ；
　　当 n=6 时， a6=49 ， b6=63 ，则 a6 ＜ b6 ；
　　当 n=7 时， a7=64 ， b7=127 ，则 a7 ＜ b7 ；
　　由此得到：当 n ≤ 5(n ∈ R ) 时， an ＞ bn ；
　　猜想：当 n ≥ 6(n ∈ R ) 时， an ＜ bn ．
　　前一结论在推导时已用穷举法得到证明，后一猜想我们用数学归纳法加以证明．
　　证明： (1) 当 n=6 时，上面已证得 a6 ＜ b6 ，命题成立．
(2) 假设当 n=k(k ≥ 6) 时命题成立，即 k ≥ 6 时， (k ＋ 1)2 ＜ 2k － 1 ．
则当 n=k ＋ 1 时， bk ＋ 1=2k ＋ 1 － 1=2 ? 2k － 1=2(2k － 1) ＋ 1 ＞ 2(k ＋ 1)2 ＋ 1=2k2 ＋ 4k ＋ 3=k2 ＋ 4k ＋ 4 ＋ (k2 － 1) ．
因 k ≥ 6 ，则 k2 － 1 ＞ 0 ．所以 k2 ＋ 4k ＋ 4 ＋ (k2 － 1) ＞ k2 ＋ 4k ＋ 4 ．
即 bk ＋ 1 ＞ k2 ＋ 4k ＋ 4=(k ＋ 2)2=[(k ＋ 1) ＋ 1]2=ak ＋ 1 ．故 ak ＋ 1 ＜ bk ＋ 1 ，所以当 n=k ＋ 1 时，命题也成立．
　　由 (1) ， (2) 得 an ＜ bn 对任意 n ≥ 6 且 n ∈ N ＋都成立．
　　第 (2) 步亦可由分析法证得．
(2) 假设当 n=k(k ≥ 6) 时命题成立，即 k ≥ 6 时， (k ＋ 1)2 ＜ 2k － 1 ，则当 n=k ＋ 1 时，要证 ak ＋ 1 ＜ bk ＋ 1 ，即证： (k ＋ 2)2 ＜ 2k ＋ 1 － 1 ．
　　这只要证 (k ＋ 2)2 ＜ 2 ? 2k － 1 ．
　　由归纳假设 2k ＞ (k ＋ 1)2 ＋ 1 ，
　　只要证 (k ＋ 2)2 ＜ [(k ＋ 1)2 ＋ 1] × 2 － 1 ，
　　只要证 k2 ＋ 4k ＋ 4 ＜ 2k2 ＋ 4k ＋ 3 ，
　　只要证 1 ＜ k2 ．
　　这由 k ≥ 6 是显然成立的，所以当 n=k ＋ 1 时命题也成立．
　　师：本题不能只对 n=1 ， 2 ， 3 ， 4 做出检验，就冒然断定当 n ∈ N ＋时， an ＞ bn 成立．如果仓促做出此推测，在后面证明受阻时，也应重新检查猜想是否准确．
　　其实，仔细看看式子 an=(n ＋ 1)2 ， bn=2n － 1 的结构，就不难发现：随着 n 的不断增大， bn 的增长速度明显快于 an ．想想这些，对结论的猜测会是大有好处的．
( 四 ) 小结
( 引导学生一起归纳小结 )
1 ．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．
2 ．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．
利用 “ 归纳、猜想、证明 ” 这一思维方法解题，在课本中虽具体提及，但它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大，故选择这一内容做一教学案例．在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此本案例把重点放在了如何猜想．此外，本案例始终以问题为主线，让学生在问题的中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．
2.3 数系扩充与复数的引入
一、知识要求及变化
1. 整体定位
根据课程标准的设计思路 ,对每一部分都有一个整体定位。为了更好的把握数系的扩充和复数的引入的要求 ,首先需要明确整体定位。标准对数系的扩充和复数的引入这部分内容的整体定位如下：
“数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。”
为了更好的理解整体定位，需要明确下面几方面的问题：
⑴“数系的扩充和复数的引入” 在情感、态度、价值观以及过程与方法上的定位上，关注的是以问题为载体，激发学生对于数系扩充原动力的认识，初步体会数学的文化价值，促进学生科学观的形成。“数系的扩充和复数的引入”不能认同为“数的发展史”，二者内容和目标都不相同，这一点需要老师注意。
⑵“数系的扩充和复数的引入”在知识的定位上，限定了这部分内容是复数最为基础性的知识。对于高中学生来说，学习一些复数的基本概念、复数的几何表示、复数代数形式的四则运算及加减法的几何意义十分必要的，可以使高中毕业的学生对复数的概念与运算初步地有一个较为完整的认识。
⑶“数系的扩充和复数的引入”在技能的定位上，值得指出的是对复数的概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧的训练。这一点需要老师特别注意。
2. 课程标准的要求
⑴ 数系的扩充
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
⑶复数的表示法
了解复数的代数表示法及其几何意义。
⑷复数的运算
能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 《标准》对“数系的扩充和复数的引入”的要求，既是阶段性要求也是终结性要求，在这部分知识的学习中，只要求掌握基本内容，基本思想和解题的基本方法即可。对于感兴趣的学生，可安排一些引申内容，如：求 x 3=1的根，介绍代数学基本定理等。
3. 课程标准的具体化和深广度分析
⑴如何认识 “数系的扩充”的意义
一般来说，在中、小学课程中，我们对数系的扩充是不会用代数结构的思想来处理传统的数学内容的，即把数集作为群、环、域、体等基本结构的具体内容，从结构的观点介绍它的概念和性质。而是采用把新元素加到已建立的数系之中，是之扩充为新数系，不去追求像科学数系那样严谨 ,目的是既要考虑学生的可接受性，也不能偏离教学任务的主体，毕竟这部分知识不是在讲数学史。
⑵如何认识“ 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 ” 的意义
从自然数集到实数集的扩充，是为了解决人类在生产生活过程中所遇到的实际问题，大多都与对量的度量问题相关联而逐步产生的。
从实数集到复数集的扩充，则完全是出于数学本身、解方程的需要而产生的。
数系扩充的这两条主线，体现了人类思维在认识数与现实世界上的主观能动性，可以说历经艰辛、充满智慧的扩充过程。让学生感受到对数系每一次扩充，都是因为旧数集与所需解决的问题之间的矛盾引起的，一般采取在原数集中添加新元素的方法使得原数集得到扩充；虚数单位 i的引入，产生了复数集，其中蕴含了创新精神和实践能力，对培养学生的情感、养成科学的态度 、形成正确的价值观有积极意义。
⑶如何认识“ 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 ” 的含义
“ 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 ”是指：
能描述复数的代数形式，会辨认复数的实部和虚部；初步应用复数的分类，对一个具有代数形式的复数成为实数、虚数、纯虚数的判定。初步应用复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题。
复数－ 2i+3.14的实部和虚部是什么？
实数 m取什么数值时，复数 z=m+1+(m－ 1)i是①实数？ ②虚数？ ③纯虚数？
答： 实部是 3.14，虚部是－ 2. 易错为：实部是－ 2，虚部是 3.14
解：①当 m－ 1=0，即 m=1时，复数 z是实数；
②当 m－ 1≠ 0，即 m≠ 1时，复数 z是虚数；
③当 m+1=0，且 m－ 1≠ 0时，即 m=－ 1时，复数 z 是纯虚数
例如 已知 (2x－ 1)+i=y－ (3－ y)i，其中 x， y∈ R，求 x与 y.
解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以 x= ， y=4
⑶如何认识“ 了解复数的代数表示法及其几何意义” 的含义
“ 了解复数的代数表示法及其几何意义”是指：
可以说出复数 与复平面内的点 以及与复平面内从坐标原点出发的向量 是一一对应的 ，并会在复平面内画出它们相应的图示位置。
⑷如何认识“ 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 ”的含义
能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 ”是指：
复数的加法、减法，乘法运算，可类比与多项式的运算法则来进行；在实际进行除法运算时，我们不是按照复数除法的法则来套公式的，而是通过把复数的分母“实数化”再转化成乘法来完成的，最终运算结果和法则的结论是一致的，减轻学生的记忆负担！
复数的加减法运算的几何意义只要求类比向量加、减法的运算法则。加法遵循平行四边形法则；减法遵循三角形法则即可。
①计算 (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
②计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解① (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝ ( 5-2-3)+(-6-1-4) i=－ 11 i
解②　 (1-2i)(3+4i)(-2+i)＝ (11-2i) (-2+i)= -20+15i.
⑤已知复数 z 1=2+i, z 2=1+2i,则复数 z=z 2－ z 1在复平面内所表示的点位于（ ）
A. 第一象限 B.第二象限　　　 C.第三象限 D.第四象限
⑥在复平面上复数－ 3－ 2i,－ 4+5i,2+i所对应的点分别是 A、 B、 C，则平行四边形 ABCD的对角线 BD所对应的复数是（ ）
A.5 － 9i B.－ 5－ 3i C.7－ 11i D.－ 7+11i
答案：⑤ B； ⑥ C
4. 教学要求
⑴标准与大纲要求的对比
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
数系的扩充
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
了解引进复数的必要性；
了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想。
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
理解复数的有关概念。
复数的表示法
了解复数的代数表示法及其几何意义。
掌握复数代数表示与几何意义。
复数的运算
能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
能进行复数代数形式的加减乘除运算，掌握复数代数形式的运算法则。
在具体内容的要求上，标准与大纲有明显区别。
①标准中这部分内容是选修内容，对文理科要求相同。
大纲要求理科为选修内容；大纲对文科则删去了这部分内容，不作任何要求，可见，这部分内容对文科来说是新增内容。
②大纲与标准要求有差异的内容：
大纲中要求的“掌握”变为标准“了解”的内容是：复数的代数表示及其几何意义；
大纲中要求的“掌握”变为标准“不作要求的”内容是：复数代数形式的运算法则；
大纲中“不作要求”变为标准“了解”的内容是 : 复数代数形式的加、减运算的几何意义 ；
大纲要求 从 泛指“理解” 复数的有关概念 , 到标准特指“理解”的内容是： 复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
③大纲与标准要求相同的内容有：了解数系的扩充过程； 能进行复数代数形式的四则运算。
从知识的要求上来看，标准较大纲有升有降，升少降多， 教学中要切实关注上述变化 ,具体的要求参照前面的论述。
⑵教学要求
1 ）基本要求
①注重知识的发生、发展过程
我们知道，学生的数学学习，是在教师指导下对数学知识的一种特殊认识过程 这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识又从理性认识到实践的过程，这个过程反映到对具体知识的编排上，那就是要从实际事例的分析中，或者对已有知识的分析、推理中，引入新的概念、原理 特别注意知识的发生、发展过程，对概念、法则、公式等的处理，不是首先呈现教学活动的结果，而是先从学生已有的知识出来，通过观察、比较、分析、抽象、概括，得出结论
②突出概念和运算之间的类比
本章所介绍的复数内容是学生以前没有接触过的全新的内容，但复数的概念是实数概念的扩展，复数的运算遵循实数运算的运算律和运算顺序，为了使学生顺利地掌握本章的内容，教学中要突出了复数的概念、运算与实数的概念、运算之间的类比，即类比实数的概念和性质讲复数的有关概念和性质，类比平面直角坐标系讲复平面，类比实数的运算讲复数的运算。
③注意与初、高中数学知识内容的联系
这部分知识内容，与初中、高中所学过的平面直角坐标系、一次方程（组）和一元二次方程、平面向量、平面几何等知识均有密切的联系。教学时，应注意联系有关的知识。
④重在应用
例如：求满足满足 的复数 的值。
解法一：（化归思想）设 ， ，
由原式得：
由复数除法的定义得到：
由复数相等的充要条件得：
∴所求复数
解法二：（整体思想）
由已知得：
2 ）某些具体内容的教学要求
①“数系的扩充”和“复数”的教学
――要突出概念的形成过程。
例如： “ 数系的扩充 ” 过程和 “ 复数的基本概念 ” 的形成过程，是本部分所有知识内容的起点，学生对它理解的程度，直接影响学生对这部分知识的后续学习，所以要引起足够的重视。 教师可以一方面以求方程 x 2=-1 的根为问题情境载体 , 让学生经历体验 、感知、确信从实数到复数的扩充是由数学内部的矛盾，即解方程的需要引起的 , 同时要遵循数系要扩充 , 必须在原数集中要添如性元素的一般规律；另一方面在复数概念引入时，要分清对 i 是定义的 (i 2=-1) ，并且 i 对实数的加、乘法的运算率保持不变，可推出有这样形如
）的数的存在，再定义它是复数，经过这样的过程来定义复数，就使得这种定义是合理的。有了这样的基础，再定义复数的实部、虚部、两个复数相等的充要条件、乃至复数的分类就比较自如了。
―― 要正确认识复数的实部与虚部
　　　例如：对于复数
），实部是
，注意在说复数
时，一定有
，否则，不能说实部是
, 复数的实部和虚部都是实数。
　　　说明：对于复数的定义，特别要抓住
这一标准形式以及
是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
―― 要 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。
―― 不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：化为复数的标准形式 实部、虚部中的字母为实数。
②“复数的表示法”的教学
在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
――任何一个复数
都可以由一个有序实数对 唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对。
――复数 用复平面内的点 表示．复平面内的点 的坐标是 ，而不是 ，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是 1，而不是 。
――当 时，对任何， 是纯虚数，但当
时， 是实数。
　――复数 中的 ，书写时小写，复平面内点 中的 ，书写时大写，要学生注意。
③《复数的运算》教学
　―― 在复数代数形式的乘除运算中的关系式： ， ，会给运算带来方便 ,运用这些关系式就是一种运算技巧。
　――关于共轭复数的概念
设 ，则 ，即
的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或者 与 是共轭复数）。可以向学生介绍复数 共轭复数的记号： ，但不要求利用 进行因式分解。
④关于复数能否比较大小
教材最后指出：“一般地说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小”可以进一步阐述为 “两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小 ”，不必向学生讲解。
二、重点和难点
重点：复数的概念和运算
1. 重、难点的分析
⑴复数的概念及表示方法是全章内容的出发点，复数的代数形式的四则运算法则是中心内容，两个复数相等的充要条件是实现复数问题向实数问题转化的重要性质，有许多问题通过此性质加以解决；由此决定了它们都是本部分内容的重点。
⑵实数集是复数集的真子集，从实数集扩充到复数集后，与代数中的实数运算、多项式、向量运算等有联系也有区别，它毕竟是一个新的数的概念，因此，复数的概念、复数的几何表示等概念与以前学过的实数概念中的内容不同，这些内容学生不易接受和掌握；由此决定了它们都是本部分内容的难点。
重、难点的教学案例（略）
知识要求及变化
1 ．整体定位
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好地把握框图的要求，首先需要明确整体定位。标准对框图这部分内容的整体定位如下：
“框图是表示一个系统各部分和环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工程流程的表述、设计方案的比较、项目管理等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。为了提高学生思维的条理性、清晰性，养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯，《标准》在选修 1-2中设计了框图的内容，供希望在人文、社会科学方面发展的学生学习 ”。
为了更好的理解整体定位，需要明确以下几方面的问题：
（ 1）程序框图是算法步骤的直观图示，在必修 3中已经学习过。
（ 2）流程图可以用于描述工业生产、建筑施工、工程计划等的流程，这种流程图通常称为工序流程图。流程图一般描述一个过程性的活动，活动的每一个具体步骤构成流程图的一个基本单元，按时间等顺序将基本单元联系起来构成流程图。基本单元的内容应根据实际来确定。
(3) 描述系统结构的图示――结构图。流程图描述动态过程，而结构图刻画系统结构，结构图一般表现为“树”形（或环形）结构，其基本要素之间是概念上的从属关系或逻辑上的先后关系。用结构图能够清晰地表达系统的逻辑结构。有时也用它来表示知识的结构。
2. 课程标准的要求
（ 1）流程图
① 通过具体实例，进一步认识程序框图。
② 通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）。
③ 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。
（ 2）结构图
① 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理一学过的知识、整理收集到的资料信息。
② 结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
对框图的学习，可以分为两部分，一部分是了解框图的基本知识，另一部分是正确使用框图，在学习过程中，体验用框图表示解决数学问题的过程，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，清晰地表达和交流思想。
3 ．课程标准要求的具体化和深广度分析
（ 1）通过具体实例，“进一步 ”认识程序框图。
我们已经学习了程序框图的有关知识 ,把用自然语言描述的算法转化为程序框图，一般需要将算法分解为若干输入、输出、条件分支结构、循环结构等基本步骤，然后根据它们的逻辑关系，用流程线连接起来。
例 1 画出用二分法求方程 的近似根的程序框图。
分析：可以先用自然语言描述算法，再逐步“细化”算法步骤，然后画出相应的程序框图。
解：算法步骤为：
第一步 令 ，误差为 。因为 &0， &0，所以设 。
第二步 令 ，判断 是否为 0。若是，则 为方程的根；若否，则判断 的符号。
第三步 若 &0，则令 ；否则，令 。
第四步 判断 & 是否成立？若是，则 为方程的近似根；若否，则返回第二步。
用程序框图表示上述算法步骤，“第一步”可以细化为：
“第二步”“第三步”可以细化为一个循环结构：
“第四步”可以细化为：
（学生自己可以画出完整的程序框图）
① 程序框图是算法步骤的直观图示。
② 算法的输入、输出、条件分支、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建立。
③ 用程序框图表示的算法，比用自然语言描述的算法更加明确、流向清楚，而且更容易改写成计算机程序。
(2) 工序流程图
1 ）通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）
① 由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图。
② 流程图用来表示一些动态过程，通常有一个“起点”，一个或多个“终点”。显然，程序框图是流程图的一种。
③ 流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到广泛应用。如：
例 2 考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序：在考试之前咨询考试事宜，如果是新考生，需要填写考生注册表，领取考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书；如果不是新考生，则需出示考生编号，明确考试的科目和时间，然后缴纳考试费，按规定时间参加考试，领取成绩单，领取证书，设计一个流程图，表示这个考试流程。
分析：在画流程图之前，先将上述流程分解为若干比较明确的步骤，并确定这些步骤之间的关系。
显然，“咨询考试事宜”是每一个考生都要做的事情，接着，新考生和老考生执行不同的步骤，新考生“填写考生注册表，领取考生编号”，老考生“出示考生编号”，然后都执行以下相同的步骤：“明确考试的科目和时间”、“缴纳考试费”、“领取成绩单”、“领取证书”
解：用流程图表示流程以下：
2 ）能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。
① 画工序流程图，要弄清整个工序应划分多少道工序。
② 考虑各道工序的先后顺序及相互联系， 要考虑哪些工序可以平行进行，哪些工序可以交叉进行。
例 3 工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工、和精加工，每道工序完成时，都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工合格品为成品，不合格品为废品。请用流程图表示这个零件的加工过程。
（ 3）通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。
1 ）结构图是一种描述系统结构的图示。结构图一般有构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成。连线通常按照从上到下、从左到右的方向（方向箭头按照箭头所指的方向）表示要素的从属关系或逻辑的先后关系。
例如，实数的分类结构图
2 ）结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
① 《标准》要求学生在运用框图的过程中理解结构图的特征，掌握框图的用法，体验用结构图表示所学知识的优越性。
例如，我们可以从多种不同联系的角度来理解数列，用结构图表示为：
点评：该教案紧密结合生活实例，重点培养锻炼 ” 读图 ” 和“画图”的思维能力，突出了本章内容编入教材的本意，充分体现“学习有用的数学”的教学理念。针对文科，本教案的特点还在于教学问题设置浅显易懂，但又能与《算法》内容相结合，成功实现了算法框图的拓展。
这里提供了一定数量的框图，教师可以在教学中进行选择使
② 结构图经常用来表示一个组织或部门的构成。
例如 :某个公司的组织结构图
③ 除了表达知识结构图和组织结构图，结构图还广泛应用于其他情形，使人们有条理地思考和交流思想的工具。
4 、教学要求
（ 1）总体要求
《标准》要求：“框图教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性 ”。
框图是新增内容，通过框图的学习过程能够提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，能帮助学生清晰地表达和交流思想。尤其对希望在人文、社会科学方面发展的学生是十分必要的。
（ 2)基本要求
① 算法流程图参见必修 3中的《算法》内容。
例如 根据已有的学习经验，设计数学建模过程的流程图。
② 工序流程图
首先，根据工程实际的需要确定工程中的工序。
其次，要确定工序之间的顺序关系。
最后，用流程图的方式连接这些工序，构成工序流程图。
根据问题的需要结合流程图进行分析。
例如：沏茶的流程图（参见重难点案例 1）
　　　　参看以下两个例子：
　　　　实数的分类结构图
某公司的组织结构图
结构图应用比较广泛，它的基本要求需要根据具体的情况决定，其目的是为了说明某种事物的内在联系，同一个事物可以用不同的结构图来表示。在这部分不要求给出严格定义和分析。
在框图这部分内容中，我们没有必要讨论算法程序框图、工序流程图和结构图之间的区别和联系。
二 .重点和难点
1 ．重点、难点的分析
“通过具体实例，进一步认识程序框图；通过具体实例，了解工序流程图”和“通过具体实例，了解结构图；运用结构图梳理所学知识，整理收集到的资料信息”是教学中的重点内容。
这部分内容的目的是让学生初步的了解框图的作用，教学中一定要从具体的实例出发，实例的选择要简单、清晰。
关于框图知识的拓展现在已经形成了专门的研究分支，但这不是我们这部分课程要求的内容，在这里仅仅是初步的了解框图的作用，选择实例不要给学生造成困难，更不要求抽象的讨论相关的概念。
2 ．重点、难点教学案例
案例 1《流程图》教学设计
例：联邦快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下面的方法计算：
其中 f （单位：元）为托运费，ω为托
运物品的重量（单位：千克），试用自然语言描述计算费用 f 的步骤，并转化为程序框图。
自然语言是：
第一步：输入物品重量ω；
第二步：如果ωQ 50 ，那么 f=0.53 ω ,
否则 f=50 × 0.53+( ω -50) × 0.85;
第三步：输出托运费 f.
图书馆的图示
这是一个放置在图书馆内的图书借阅流程说明。
（ 2 ）诊病流程图：
这是一个放置在医院内的流程图。
结合上述两个图例，或是日常生活中你所见过的流程图，说说这些图的特点，作用和好处。
分小组讨论，可归纳得出以下几个结论：
流程图具体形象的表现出处理事情的方法或步骤；
有箭头，有框架
可以是“单线型”，也可以是“多线型”的。
使用广泛，方便。
由熟悉的生活实例引入发现流程图就常出现在我们身边。
流程图概念：
像这样由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图。
1. 流程图有哪几部分组成？
2. 流程图的作用是什么？
3. 流程图有哪些特征？
4. 使用流程图有哪些优越性
1. 图形符号和文字说明。
2. 表示一个动态过程或者描述一个过程性的活动。
3. 通常会有一个 “ 起点 ” ，一个或多个 “ 终点 ” 。
4. 可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤，在日常生活和工作的很多领域都得到广泛的应用。
学习阅读流程图
某银行推出了 95599 电话银行代缴费业务，具体业务流程如下：
1 ．交纳电费的操作步骤
2 ．手机充值的操作步骤
交纳电费的操作步骤如下：
第一步：拨通 95599 电话
第二步：按 1
第三步：按 5
第四步：按 1
第五步：按 2
手机充值的操作步骤如下：
第一步：拨通 95599 电话
第二步：按 1
第三步：按 5
第四步：按 2
第五步：按 1
学会读图，紧密结合于现实生活的操作。
学习绘制流程图
1. 用自然语言描述考试流程如下：
第一步：咨询考试事宜
第二步：新生填写考生注册表，
并领取考生号；老生出示考号。
第三步：明确考试科目和时间
第四步：交纳考试费
第五步：按规定时间参加考试
第六步：领取成绩单
第七步：领取证书
请按照上述流程画出考试流程图
某 “ 儿童之家 ” 开展亲子活动，计划活动步骤如下：
首先，儿童与家长按事先约定时间来到 “ 儿童之家 ” 。
然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前准备；同时，另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周表现。
第三步，按照亲子活动方案进行活动。
第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时，家长填写亲子活动反馈卡。
最后，启导员填写服务跟踪表。
你能为 “ 儿童之家 ” 的这项活动设计一个活动流程图吗？
学会画图，进一步提高逻辑思维能力，使问题解决条理化。
3 ． 1+2+3+ … .+100=?
第一步 : i=1
第二步 : Sum=0
若满足 i&=100,
则执行下一步（进入循环）， i 超过 100 转到第六步，即退出循环。
第四步 : Sum=sum+i
第五步 : i =i+1 (i 增加 1), 转到第三
第六步：输出 sum
请画出框图
与算法结合，提高逻辑思维能力。
了解你所在学校入学和毕业离校的程序，
并用流程图表示。
点评：该教案紧密结合生活实例，重点培养锻炼 ” 读图 ” 和“画图”的思维能力，突出了本章内容编入教材的本意，充分体现“学习有用的数学”的教学理念。针对文科，本教案的特点还在于教学问题设置浅显易懂，但又能与《算法》内容相结合，成功实现了算法框图的拓展。
这里提供了一定数量的框图，教师可以在教学中进行选择使用。
案例２《结构图》的教学设计案例（第一课时）
一、学习目标
知识与技能
通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。
过程与方法
结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。
情感、态度与价值观
使学生在运用框图的过程中理解结构图的特征，掌握结构图的画法，用结构图去掌握知识，从中体验用结构图的优越性。
二、重点、难点的分析
前面学习的流程图，可以用来描述具有时间特征的动态过程。本节我们将学习一种描述系统结构的图示―结构图。（明确学习任务，了解结构图以及结构图与流程图的区别。）
用结构图来描述《数学 1》“指数函数和对数函数”的知识结构图
五、教学过程
回顾旧知，理清知识层
① 学习了指数的概念
② 研究了（整数、有理数、无理数）的指数幂运算
③ 研究讨论了指数函数（定义、性质）
按知识脉络分解，进行归纳与提炼
第 ①部分是大范围，后面 ②③两部分是小范围；其中整数、有理数、无理数的指数幂运算又是第二部分的小范围，定义、性质是第三部分的小范围。从大范围到小范围，逐步细化。
提炼语言，填写入框
这部分工作有师生共同来完成。
4 ．明确从属关系（或逻辑先后关系）。
学生：模仿老师写出对数部分相应的知识层次。
5 ．连线成图。
６．课堂小结
在教师的引导下，学生自己归纳绘制结构图的具体过程：
从头到尾抓住主要脉络分解成若干步。
将每一部提炼成简洁语言放在矩形框内。
各步按逻辑顺序排列并用线段相连。
７．课后练习：设计《数学 2》第 1章“空间几何体”的知识结构图。
点评：这个案例还值得进一步思考：
我们是先引入指数，再根据指数引入对数，如何在框图中得到体现？
指数运算在研究指数函数中的作用，如何在框图中得到体现？
对数运算的性质，是从指数运算性质得到的，如何在框图中得到体现？
对数函数和指数函数是互为反函数的，如何在框图中得到体现？
为了得到一个好的结构框图，首先需要对于结构框图所涉及的内容进行深入的分析，挖掘它们内在的联系，在这个基础上才能画出有价值的框图。还需要指出的是，很多情况下，需要通过几张框图表示同一件事情，更好的帮助我们从不同的角度认识这件事情的结构。}