如何证明数学公式 1 + 1 = 2 的成立？
请根据&a href=&///?target=http%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%259A%25AE%25E4%25BA%259A%25E8%25AF%25BA%25E5%2585%25AC%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&皮亚诺公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&/ &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Peano axioms&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 以及加法的定义由1+1推导出2？&br&&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Peano axioms&i class=&icon-external&&&/i&&/a&:&br&&ol&&li&1是自然数；&/li&&li&每一个确定的自然数&i&a&/i&，都有一个确定的后继数&i&a'&/i& ，&i&a'&/i& 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；&/li&&li&如果自然数&i&b&/i&、&i&c&/i&的后继数都是自然数&i&a&/i&，那么&i&b = c&/i&；&/li&&li&1不是任何自然数的后继数；&/li&&li&任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数&i&n&/i&为真时，可以证明它对&i&n'&/i& 也真，那么，命题对所有自然数都真。&/li&&/ol&&br&加法定义：&br&1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；&br&2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。&br&谢谢！&br&&br&关于这问的意义：&br&&a href=&///?target=http%3A///article/6556/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何证明一加一等于二？&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&blockquote&特斯拉的信徒 13:27&br&&p&以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。与算术有关的命题是否也是由更基本的东西推导过来的呢？&/p&&img src=&/77cdd3cb0ba8_b.jpg& data-rawwidth=&135& data-rawheight=&91& class=&content_image& width=&135&&&h2&有这个必要吗？&/h2&&p&如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。&/p&&br&&h2&什么是 1，什么是 2？&/h2&&p&在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。&/p&&/blockquote&
以及加法的定义由1+1推导出2？:1是自然数；每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b = c；1不是任何自然数的后继数；任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。加法定义：1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。谢谢！关于这问的意义：如何证明一加一等于二？…
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這裡對陳浩的答案作補充，在定義完加法後要證明一個定理，即下文截圖的定理3，說明加法是well-defined,well-defined的含義是指確實存在一個函數＋滿足（＊）式，若沒有此定理，1＋1這樣的式子的含義就會不明確，所以在證1＋1＝2以前必須先證此定理，很明顯這個定理的證明要比1＋1＝2的證明要難一點。截圖來自於一本名數學基礎的書籍作者汪芳庭，第22至23葉。
我只提两点：请题主先定义「1」和「2」。然后我跪求题主在自己定义的基础上自答，但不准回答 by definition 。本人从事数学研究，但虚心向题主请教。=======题主不错，至少还知道去查查皮亚诺公理……不过好像只会查中文的？然后题目就改成了「根据证明」，哭笑不得……只怪我忘了让你定义「＋」是不是？？！！那我认真回答一下：皮亚诺公理说（版本稍有不同）0 属于自然数 N，自然数 n 的后继数 S(n) 是自然数。定义 1=S(0)，2=S(1)=S(S(0))＋是一个函数：N x N -& N。定义为：a+0=a，a+S(b)=S(a+b)。根据以上定义（by definition），1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=2「QED」（如果你称之为一个证明的话……）======好像曾经有个答案说，现在的题目是「用皮亚诺公理证明皮亚诺公理」，怎么删了？这个说法太对了，因为我可以采用下面这个版本的皮亚诺公理，更接近题主引用的版本：1 属于自然数 N，自然数 n 的后继数 S(n) 是自然数。定义 2=S(1)＋是一个函数：N x N -& N。定义为：a+1=S(a)，a+S(b)=S(a+b)也就是说，by definition，1+1=S(1)=2这下我真是不好意思写 QED 了，这完全是定义。
似乎还没人提到罗素和怀特海的《数学原理》用了三十页的篇幅证明1+1=2啊，这是最后的结论：不打算科普，自行谷歌维基
定义 2 = S(1), 1 = S(0)则 1 + 1 = S(0) + 1 = S(0 + 1) = S(1) = 2.QED.
1+1当然不等于2了。2根本是不重要的。1+1等于几并不重要。关键是1+1这个运算是可行的。所以1+1是有固定的结果的，结果是A你把A叫做什么也并不重要。我们姑且把这个A叫做2而已。╮(╯_╰)╭
果壳的如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。什么是 1，什么是 2？在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：公理 1. 0 是一个自然数。
公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。
在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ??，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：公理 3. 0 不是任何一个数的后继。
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。
也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，
且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。
有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。什么是加法？我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；
2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。如何证明一加一等于二？至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了：
= S(0) + 1
（根据自然数的公理）
= S(0 + 1)
（根据加法定义 2）
（根据加法定义 1）
（根据自然数的公理）
事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以看看参考文献[1].看到这里，不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来，我们所知道的关于数学的一切，关于人类认识世界的一切，都不是建立在直觉之上，而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉：正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样，你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话，至少从目前的角度看，现有的这套还是更好一些。一些历史背景上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。参考文献[1] Analysis [M]. Terence Tao[2] 数学史概论（第二版）[M]. 李文林[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz本文版权属于果壳网（），转载请注明出处。商业使用请
这是定义。
我觉得题主真的是脑残了。。。要使用 10 进制数字，就得先定义10个数字，也就是0~9都得定义，用一个符号来表示；要使用 16 进制，在10进制基础上多定义6个符号，用A，B，。。。F 表示。好了，你问的问题有一个前提，先定义 0， 1， 2，。。。， 9；画一个图，一个物体 定义成1，两个物体定义成2， 。。。 以此类推；然后定义加法，a + b 就是把 a 和 b 放在一起。好了，有了上面两个根据定义得到的，10 以内的加法全都是定义，ok，证毛线啊证！不明白？自己画个图，看图说话。==还有前面有个答案给的证明很简单容易理解，我已经点赞；（1）定义0的后继自然数是1, 1的后继自然数是2；即 successor(0)=1;successor(1)=2;（2）加法定义，successor( n ) + m = successor ( n + m );因此 1 + 1 = s(0) + 1 = s ( 0 + 1） = s（1） = 2；好了，你有没有发现上面的式子里，是加法定义内含有加法定义，也就是说，（1）和（2）中间还得插入一条定义：我们还定义了 0 + a = a；如果楼主又问 0 + 1 = 1 怎么证明。好吧，这是 0 的定义。。
呃，提问者是弄错了定义和证明的区别了吧？就如同陈浩说的一样，1+1=2是定义出来的，当然这个定义从古到今一直在完善，但是即使是皮亚诺公理，也不是证明，而是更严谨的定义。这就好比有定义说圆是平面上到定点距离为定值的点的集合，然后你问“怎么证明圆是平面上到定点距离为定值的点的集合”……估计就只能再详细描述一遍圆的定义，心情好的话上一下历史课，但是是没法证明的。
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绝对震惊：硕士生不知道1+1为什么等于2
从小学到高中，一直有一个遗憾：那就是不论是简单的还是复杂的，几乎所有的定理和公式，都冠以类似于“牛顿”或者“阿基米德”等等这些没有一点点意义和一点点含义的老外的名字。拿着放大镜，把“走遍天下都不怕”的数理化课本从头至尾搜了无数遍，硬是找不到国人的影子（毛主席语录除外），课本上国人的名字真的比动物园里的大熊猫还要稀少！更让人郁闷的是，居然像“0、1、2、3、4、5”等等，这些连穿开裆裤的小孩都不待玩的，简单得简直就是一根棍棍、一个圈圈的玩意儿居然也有个洋名，叫什么“阿拉伯数字”！最要命的是，这次绝对不是巩汉林的“玛丽鸡丝”，这次真的是“阿拉伯数字”！
读到大学的时候，又遗憾地“发现”：几乎所有的学科，其生身父母都是老外！不是这个老外奠基就是那个老外创始，满眼都是老外们“生儿育女”的忙碌身影！俺就纳闷儿：能生养出十几亿子孙的勤劳勇敢的中华民族，怎么就生养不出一门新的学科呢？
及至后来才逐渐明白，原来这个问题并不简单，并不是我们中华民族的遗传基因出了问题。
这些年来，人们一直在讨论“中国为什么没有大师？”、“诺贝尔奖离中国还有多远？”等等此类的话题，最后大家得出的结论是：问题多多！比如，在政治体制方面，近代的统治者们都实行愚民教育和奴化教育，他们不允许老百姓有自己的思想，他们要求人民的是绝对的听话和服从，其结果便是人们都失去了个性，丧失了创造能力；还有就是经济、战乱等等问题，处于水深火热之中的人们生养小孩都成了大问题，哪里还能顾得上生养什么新学科呢！近几十年来，这些问题又变成了科技腐败和教育体制等等问题。
在这里，我们不讨论这些原因，只谈谈应试教育给我们带来的一个让人震惊和恐怖的结果：上幼儿园时就知道了1+1=2，但是读到硕士也不知道1+1为什么等于2！之所以说是读到硕士也不知道，那是因为我还没有向博士们提出过这个问题。问过大学生，也问过硕士生，但结果是绝大多数人都不知道1+1为什么等于2。
如果不信，你可以问问周围的人：
1+1为什么等于2？可能是类似于脑筋急转弯的题作的太多了，人们对自己的答案都很不确定：“怎么证明？”、“太难了，这是歌德巴赫猜想！”、“实在不知道”等等。在这里，我可以明确地告诉大家：这绝对不是脑筋急转弯，也不是什么歌德巴赫猜想，这就是1+1为什么等于2的问题。
也许有人要说：这是个无聊的话题，你知道了能怎样？不知道又能怎样？我说：错，这就是中国为什么没有大师、为什么没有诺贝尔奖的原因！
1+1为什么等于2？这个问题其实很简单，就连幼儿园里的小朋友们都知道：书本上画着一个苹果就叫1，画两个苹果就叫2。它的含义就是“1”代表一个事物，“2”代表两个事物，“+”代表增加的意思。这是人们用符号来表示事物之间关系的一种方法，是一种人为的规定，并不需要我们去做什么特别的证明，就像我们不需要去证明“狗”为什么叫“狗”而不叫“老虎”一样。
这样的表示不是绝对的，它只是人们之间的一种约定，问题的关键并不在于它的表示形式，而在于它所要表示的内容，比如在我国，“狗”不仅可以叫“狗”，而且还可以叫“犬”，而在英语中，单词“dog”也具有同样的意思。如果当初印度人（阿拉伯数字其实是印度人的发明）用“2”来表示一个苹果，用“3”来表示两个苹果，用符号“—”来表示增加的关系，那么现在就不是1+1=2，而是2-2=3了。
人们规定了1+1=2所代表的含义之后，这个关系式就被当作一种固定的形式沿用了下来，随后，人们也就都按照它所规定的含义来理解它了。现在有人说：1+1不等于2，它也有可能等于3，因为一个男人加上一个女人后变成了一家3口人。其实这种说法是不对的，并不是说1+1=3这个算式不能表示这种数量关系，在特定的情况下你也可以这样表示，而且你还可以说1+1=N，这些都没有问题。比如，在计算机中就是用二进制的“1+1=10”来表示1+1=2的。关键的问题是，这种带有歧义的定义不能过多，也不能无限制地随意使用，如果你一定要这样用，那就必须要对这个关系式的含义重新做出说明，因为当初人们规定的1+1并不是用来表示这种数量关系的，现在你说1+1=3只能引起人们认识上的混乱。如果乐意，你可以把“狗”叫做“大象”，也可以把“人”叫做“狗”，但是这样一来，世界上就必然是混乱一片了。
可能还有人说：还是无聊，知道这个你也成不了大师，不知道这个人们照样能够解出比这复杂得多的难题！这句话没错，不知道1+1为什么等于2并不妨碍人们能够算出=20000，也不妨碍人们能够成为亿万富翁，就像建筑工人不知道怎样设计楼房但仍能盖起高楼大厦一样，但是，我们也必须要清楚，不知道1+1为什么等于2肯定成不了大师，就像不会画设计图的建筑工人永远也成不了设计大师一样。
我们的教育存在着一个很大的问题，那就是太过于看重前人们创造出来的东西，误把它们当成了自然界本身的规律，误以为它们就是自然界自身的真理，殊不知，这些知识其实也都只是人们的一种约定而已！如果我们当初约定1+1这个关系式就是用来表示1个男人和1个女人结婚的，那么现在1+1=3或者1+1=4就都有可能是成立的。
知道1+1=2，但是不知道1+1为什么2，这样的教育能培养出哪方面的杰出人才呢？那就是考试高手和解题能手！不管我们所面对的问题有多么的偏、多么的难，我们都坚信一定能够用所学的知识把它解出来，而且，我们也的确能够把它解出来。那么，这样的人算不算是大师呢？可以肯定地说：不是！不管我们能够解出多么偏、多么怪、多么难的题，我们都不是大师！因为，不论这些题是多么的偏、多么的怪、多么的难，说到底它们也都只是人们发明出来的一种智力游戏而已！如果我们把“大师”的荣誉称号送给这些解题的人，那我们岂不是还要再发明一个更唬人的称号送给那些编题的人？在一个知识体系中，各种具体的知识都是有着明确规定的，在这个体系之内，各种问题不但可以解出来，而且肯定还会有“标准答案”！考试高手和解题能手所要作的工作是什么呢？那就是学习！只要能够学到足够多的知识、有足够多的经验、又有足够大的耐心来玩这种游戏就可以了。
知道1+1=2，但是不知道1+1为什么2，这样的教育能够培养出优秀的工程师和熟练的技工，但是却绝对培养不出大师来！所以出现现在这样的现象也就不足为奇了：我们的小学奥数能让世界上著名的数学家犯难，但是我们的孩子读到硕士却依然不知道1+1为什么等于2！
不知道1+1为什么等于2，当然也就别想发明出1+1=2了，乘法、除法当然也就更不用说了，至于要发明像微积分这样的东东那简直就是白日做梦！试想一下，如果我们连1+1=2都创造不出来，那我们还能创造出什么呢？除了“山寨”别人的东西，我们还能用什么东西去拿诺贝尔奖？
大师之所以是大师，是因为他们不只是应用知识，更主要的是他们能够创造知识！在征服自然的过程中人们也会遇到各种各样的难题，但是，具有讽刺意义的是，我们从小培养出来的熟练的解题能力在这里却派不上用场了，绝然不同于我们以往受到的教育，大自然从来都不给人们准备标准答案，更让人受不了的是，它居然根本就不考虑人们究竟掌握了哪些知识，尽是瞎出题、乱出题，出了许多我们用现有的知识根本解决不了的问题！怎么办？这就是大师的工作，在现有的知识不能解决问题的时候，大师们就会创造出一些方法来，用创造出来的东西去表示、解释、解决它！我们可以想象一下，当时世界上并没有“1”、“2”、“+”、“=”这些东东，有一个古人遇到了一个苹果再加上一个苹果的问题，他苦思良久，终于写出了“1+1=2”这个著名的式子。这个人是谁？这个人就是大师！
看到这儿，可能有人要说：这也算大师啊？那我也可以当大师了！当然了，这就是大师，你也能够成为大师！在近代，中华民族之所以没有大师，并不是因为我们的智力出了问题，而是因为我们的传统文化和教育模式带来的思维方式的问题。
我们的思维方式与大师背道而驰！当我们遇到问题的时候，我们只是想到了书本上学到的那些方法------用学过的知识去解。如果解决不了，我们就会说：这是因为我们的知识不够，我们应该去继续学习。于是读完小学读高中，读完高中读大学，读完大学还要准备硕士、博士的学费……。在这无休无止的学习过程中，我们渐渐地培养出了书本上一定有答案的思维模式，于是，我们总是低着头，拼命地学习、学习、再学习，作题、作题、再做题；在这无休无止的学习过程中，我们渐渐地忘记了学习的根本目的——解决现实中的实际问题，教育异化为升学教育，学习异化为应试学习。我们忘记了自然界出题的时候从来都不会给我们准备标准答案，我们忘记了更多的问题是书本上的知识根本解决不了的，我们也忘记了知识只是前人们总结出来的一种经验，而更多的经验则还需要靠我们自己！
大自然给过我们成为大师的机会，但是我们却做错了选择，把自己的脑袋埋进了书本里。
知识是创造出来的不是学出来的！
读到博士会用微积分解题的人不是大师！但是发明出1+1=2的人肯定是大师！
有谁会说1+1=2太难了？有谁会认为阿基米德定律太深奥了？但是人家创造出来了，人家发现了，而我们没有！这，就是我们与大师之间的区别！这，就是我们与大师之间的距离！
也许，作个大师并不难，只要我们转过身来，走对方向就行了！
《赶着地球旋转》《整体论》目录
第一章困惑
第二章毁灭
第三章 人是怎样认识世界的
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。1+1为什么等于2？？因为什么??大神们帮帮忙_百度知道
1+1为什么等于2？？因为什么??大神们帮帮忙
提问者采纳
因为两个1要结婚，后面的1要向前面的1求婚，2就是一个跪地低头求婚的1。所以说1+1=2
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出门在外也不愁幂函数为什么一定经过(1,1)点?不要说什么1的任何次方都等于1,为什么x=1呢,不是自变量吗,当x=2的时候不就不经过（1,1）了吗
喜洋洋AY71MZ
“幂函数为一定经过(1,1)点”的意思是：幂函数在x=1时均有意义,且在x=1时,函数值为1
还是不大懂，不是说过定点吗，你怎么知道x=1啊
是在x=1时函数都有意义，而不是x一定要等于1
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