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第1章 状态空间表达式
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第1章 状态空间表达式
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1-3由传递函数求状态空间表达式
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控制系统的状态空间表达式
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状态空间表达式
状态空间表达式(state一space representation)由和输出方程构成，在状态空间中对控制系统作完整表述的公式。
状态空间表达式科学解析
在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。实际上系统除了输出量这个变量之外，还包含有其它相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些内容的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来说，用微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统有其不足之处。
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有力的工具。加之可利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。
状态空间表达式方程式
状态方程和输出方程总和起来，构成一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。
同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实践上，仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变量作为反馈量。
设单输入—单输出定常系统，其状态变量为
，用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
对于多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
连续系统的表达式状态方程是由的和构成的一阶方程组。 输出方程是该系统输出变量与状态变量和控制变量的关系式。它们一般表示为 状态方程 输出方程 无二f(x，u，t) y~g(x，u，t) (1) 式中f，g为向量函数;x为n维状态向量;u为P维控 制向量;t为时间变量;戈为状态变量关于t的一阶微 分向量;y为q维输出向量。 如果所描述的控制系统是的，则状态空间表 达式为 毖=A(t)x十B(t)u y=C(t)x+D(t)u (2) 式中x任尺”;夕〔Rq;u〔尺p。通常，，《n，P簇n，A(t)为， xn维系统，B(t)为n只P维输人矩阵，c(t)为qx n维输出矩阵，D(t)为q火p维前馈矩阵。 如果式(1)中的函数f、g或式(2)中的A、B、 C、D不依赖于时间变量t，则该控制系统是定常的。线 性定常控制系统的状态空间表达式为 x一Ax+方“ y~Cx十Du 式中矩阵A、B、C和D均为常数矩阵。图为式 示的状态空间表达式表述的控制系统的框图。 (3) (2)所 D(t) B(，)卜吠终 C(，)卜~落 A(I) 状态空间表达式的系统框图 线性的状态空间表达式线性离散 时间系统的状态空间表达式为 x(kT十T)一G(kT)x(kT)+H(kT)u(kT) y(kT)一C(kT)x(kT)+D(kT)u(kT) (4) 式中k一O，1，2，…;T为;x任R”;“任R“; 夕任尺p;G，万，e，D为适当的维数。 如果控制系统又是定常的，则其状态空间表达式 为 x(kT+T)~Gx(kT)+Hu(kT) y(kT)=C工(kT)十Du(kT) 状态空间表达式的非唯一性及其变换 (5) 描述一个 给定控制系统的状态向量不是唯一的，即可以选择不 同的状态向量。因此，其状态空间表达式也不是唯一 的。以线性定常连续控制系统为例，对其状态向量x 作线性变换，使得x一T芜，其中T为任何非奇异n又n 维矩阵。若以牙为状态向量，则该系统的状态空间表 达式为 x一Ax+B“) __卜(6) y~Cx十刀“) 式中又一T一‘AT;石一r一‘B;亡~cT;万一D。上述变换 一乃91- 也称为坐标变换或基底变换。一个控制系统的状态空 间表达式可以有许多不同的形式，但所有表达式的系 统矩阵的特征值是不变的。一个n维的控制系统(即系 统矩阵A为二xn维矩阵)有且仅有n个特征值。对实 常数矩阵A而言，其。个特征值或为实数，或为 共扼对。如果A是实对称阵，则其特征值必为实数。为 了分析和综合的简便，规定了称为规范型的几种状态 空间表达式。 状态空间表达式的求解对于线性定常控制系 统，如果假定它的初始状态x(0)一。，那么进行拉普拉 斯变换后其状态空间表达式可以表示为 X(s)=(51一A)一‘BU(s) Y(s)=仁C(51一A)一’B+D〕U(s) (7) 式中I为nxn维单位矩阵;，为复变数;(sI一A)一’B一 Wx(s)，称为输人一状态传递函数矩阵;C(sI一A)一‘B +D一w(s)，称为输人一输出传递函数矩阵〔不少文献 中记作G(:)〕。一个线性定常控制系统的输人一输出传 递函数矩阵是不随状态空间表达式的不同而改变的。 对状态空间表达式求解就是解一阶微分方程组。 假定状态空间表达式有解且有唯一的解，则式(2)所 示线性时变控制系统状态空间表达式的解为x(t) 一，(才，!。，·(!。，+丈。，(才，·，B(·，·(·，d一式中前面- 部分是初始时刻状态x(t。)的转移，后面一部分是由控 料作用激励的转移。女口式(3)所示的线性定常控制索 统状态空间表达式的解为x(t)一山(t一t。)x(t。)十 {:。，(卜·，B·(·，d一，(才，才。，和，‘卜·，称为毗转 移矩阵。 连续系统状态空间表达式的在利用计算 机求解连续时间控制系统的状态空间表达式时，或者 对连续受控对象实行计算机控制时，可以把连续时间 控制系统变换为离散时间控制系统。这时两个状态空 间表达式之间满足如下条件 、|||﹄||IJ G(kT)~中仁(k+1)T，kT口 H(‘T，一{ (k+l)T 山[(k+1)T，二]召(:)d: (8) c(无了’)~[e(t)j，_是二 D(kT)一〔D(t)〕，_二 如式(4)所示的初始时刻为hT的线性离散时变控制 系统状态空间表达式的解为x(kT)一。(kT，hT)火 k一1 x(hT)斗、三必〔kT，(‘+1)T〕H(汀)u(iT)·如式(5)所 示的初始时刻为hT的线性离散定常控制系统状态空 间表达式的解为 Hu(乞T)。 k一1 x(kT)=G厄x(hT)+艺G〔k一(‘+’)〕又 菌~h 控制系统的实现对于结构和参数已知的控制系 统，可以根据系统运动的规律(物理的、化学的、生物 的或社会的等)直接建立其状态空间表达式。例如，根 据框图或高阶微分方程式建立系统的状态空间表达 式。但如果系统内部结构不知道或不完全知道，也得不 到它的高阶微分方程式，则需要用其他的方法建立。可 行的办法是由实验确定系统的输人一输出特性，例如传 递函数矩阵或函数阵，然后导出相应的状态 空间表达式。这样的方法称为实现问题。 对于线性定常控制系统，实现问题的基本属性 为: (1)如果对给定的一个传递函数矩阵W(、)，找到 一个状态空间表达式 x一Ax+Bu y一Cx+刀“ 简写为(‘，“，c，”，{(9， 使W(s)宝c(sI一A)一‘B十D成立，则称(A，B，C，D)为 具有传递特性w(s)的系统的一个实现。它本质上是一 个状态空间领域内的假想结构，与真实系统具有相同 的传递特性。 (2)并不是任意给定的w(s)都可以找到其对应的 状态空间表达式的。要满足可实现性条件:w(s)的元 素(传递函数)w:凡(s)，i一1，2，…，妇泛一1，2，…， p。其分子多项式的次数必须低于或等于分母多项式 的次数。对于定常系统，w茂(:)中分子、分母多项式的 系数均为实常数，-一----一----------一一-一 招)实现不是唯一的，即状态空间表达式不是唯一 的。它们可以是代数等价的或代数不等价的。 (4)对于给定的w(s)，一定存在一类维数最低的 实现，称去最小实现。它反映了W(:)的假想结构的最 简形式。最小实现的充要条件是怀，万，c，D)为完 全可控和完全可观测的。最小实现也不是唯一的。不同 的最小实现其维数相同且代数等价。如果真实系统不 是完全可控和可观测的，最小实现在结构上只是代数 等价于真实系统中可控且可观测的那一部分。
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第二章 控制系统状态空间表达式的解
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