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“高观点”数学试题的编制研究
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一树花开满园春——漫谈导数思想在解题中的应用
2012年第61期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　本文根据作者面对刚学完《导数》的同学的讲座稿整理，为节省篇幅，部分问题的解答从简。中国论文网 /9/view-3710066.htm　　一、导数的本质是变化率　　【思维启示】　　1、导数的几何意义是函数的切线斜率，物理意义是瞬时速度。它们都是某一函数关系中，因变量关于自变量的变化率。　　2、从导数定义可以知道，切线是割线的极限状态。相切是一种很重要的临界状态。　　【解题示例】　　例1—1、（2004年湖北高考）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是km/h.　　分析解答： ，计算得 。　　例1—2、（2006湖北高考）半径为r的圆的面积S（r）= r2，周长C（r）=2 r，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（ r2）/=2 r ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于○1的式子 ○2；○2式可以用语言叙述为 。　　分析解答： ，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；　　二、导数是研究函数图象的有力工具　　【思维启示】　　1、切线斜率（导数）显示了函数的变化趋势。考虑函数在区间上的单调性与极值，结合端点值（或其极限值），则可画出函数的大致图像。　　2、图像的凹凸性由切线的变化率决定。导数的导数（称为二阶导数） 时，称为凸函数； 称为凹函数。　　【解题示例】　　例2—1、（改编自08年昆明二模）设函数 ， ，若 与 的图像在 上恰有两个交点，求实数a的取值范围。　　分析解答：由 ，得 。只需保证 与x轴恰有两个交点。分析图像可得， 。　　例2—2、（2005湖北高考）在 这四个函数中，当 时，使 恒成立的函数的个数是（ ）　　A.0 B.1 C.2 D.3　　分析解答：由图像特征可知，只需找出凹函数。只有 符合，答案B。　　三、求最值是导数的最常见应用　　【思维启示】　　1、导数是求可导函数的一般方法（当然，不一定是最佳的）。　　2、实际问题经常要求最优解，可先建立函数关系式，再利用导数求最值。　　【解题示例】　　例3、（2005全国卷Ⅰ）当 时，函数 的最小值为　　（A）2 （B） （C）4 （D）　　分析解答：整理得 ，令 ， ，由 得 ，分析驻点左右符号并代入得最小值为4.　　四、证明不等式可以构造函数关系　　【思维启示】　　1、讲不等式求最值时，有形如 “已知 ， ，求 的最小值” 一类题目，方法是将 乘以1，得 ，展开后利用均值不等式。现在。我们也可以利用导数求 在 上的最值。用此法可解决一大类条件最值问题。　　2、实际上，我们可以利用导数证明最基本的不等式 （ ）。将a看成主元，b为参数，构造函数 ，对a求导得 ，当 时取到最小值。　　【解题示例】　　例4、（改编自08年东北三校模拟）已知　　（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）当 时，求证： 。　　分析解答：（Ⅰ）求得 的最大值为0，即得证。　　（Ⅱ）将a看成主元（不妨换成x），研究 。当 时， ，所以，　　【补充说明】利用导数也可以证明等式。原理是：若 ，则 ；再代入一个特值，求的c=0即可。例如，证明等式 ，将x看成主元，y为参数，将 与 分别对x求导，得 ，于是， ，再代入x=1，解得c=0.　　五、函数图象是特殊的曲线　　【思维启示】　　1、利用导数，可以求一般曲线的切线。例如为求 在P 处的切线斜率，可利用复合函数求导法则，将 两边对x求导，得 ，代入 即得 。切线方程为 。　　2、我们遇到过类似“点P在椭圆 上，求点P到直线 的距离的最大值”的题目。由几何特征容易观察出，若P 处的切线与已知直线平行，则P恰为最值点。　　【解题示例】　　例5、证明抛物线的光学性质。从抛物线焦点出发的光线经抛物线反射后，反射光线与对称轴平行。　　分析解答：以x2=2py为例，则焦点F的坐标为（0， ），在点P（x，y）处的切线 的斜率y′= ， 。设 到y轴的角为 ，则 ；设PF到 轴的角为 ，则 。　　类似的可以证明椭圆的光学性质（从椭圆一个焦点出发的光线经椭圆反射后，反射光线过另一焦点）与双曲线的光学性质（从双曲线一个焦点出发的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一焦点）。　　参考文献：　　【1】《高等数学在中学数学中的应用1000例》，吕凤 等　　【2】《函数图象交点个数的确定》，张建强，张秀梅
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