分析：（Ⅰ）由a1=1，Sn=n+23an可求得a2，a3，进一步可求得anan-1=n+1n-1，利用累乘法即可求得{an}的通项公式；（Ⅱ）由裂项法得bn=1an=2n2+n=2（1n-1n+1），从而可求得数列{bn}的前n项和Tn．解答：解：（Ⅰ）由a1=1，Sn=n+23an可得：S2=2+23a2=a1+a2&#a1=3，同理可得，23a3=a1+a2=4，∴a3=6；∵Sn=n+23an，①当n≥2时，Sn-1=n+23an-1 ②①-②得：an=n+23an-n+23an-1，整理得：n-13an=n+13an-1，∴anan-1=n+1n-1，∴an=anan-1•an-1an-2…a2a1•a1=n+1n-1•nn-2…31&#+n2（n≥2），而12+12=1=a1，∴an=n2+n2．（Ⅱ）∵bn=1an=2n2+n=2（1n-1n+1），∴Tn=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2（1-1n+1）=2nn+1．点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的递推关系式的应用，突出累乘法求通项与裂项法求和，属于中档题．
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科目：高中数学
已知数列{an}中，1=1，an+1-an=13n+1(n∈N*)，则n=．
科目：高中数学
已知数列{an}中，a1=1，an+1=an1+2an，则{an}的通项公式an=12n-1．
科目：高中数学
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=n+12an+1(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2nan}的前n项和Tn．
科目：高中数学
已知数列{an}中，a1=12，Sn为数列的前n项和，且Sn与1an的一个等比中项为n(n∈N*），则limn→∞Sn=1．
科目：高中数学
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）A、n2nB、n2n-1C、n2n-1D、n+12n
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在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），则该数列的通项an=______．
题型：填空题难度：中档来源：重庆
由an+1=an+2（n≥1）可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a1=1，所以an=2n-1故答案为2n-1
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），则该数列的通项an=_____..”主要考查你对&&等差数列的通项公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的通项公式
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
发现相似题
与“在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），则该数列的通项an=_____..”考查相似的试题有：
394165518479249629269708523063490405当前位置：
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（14分）（2011o广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1．
题型：解答题难度：偏难来源：不详
（1）（2）见解析试题分析：（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列an的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即an=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即an=，∴数列{an}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，an=，要证对于一切正整数n，2an≤bn+1+1，只需证2×≤bn+1+1，即证∵==（bn+1+1）×（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+bn+2+bn+1）+（bn﹣1+bn﹣2+…+b+1）=bn[（bn+bn﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥bn（2+2+…+2）=2nbn所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2an≤bn+1+1，点评：本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．
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等差数列的定义及性质等比数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
与“（14分）（2011o广东）设b＞0，数列{an}满足a1=b，an=（n≥2）（1）求数列{..”考查相似的试题有：
402112760404795016750996478688874710a1=2,an+1=1/2(an+1/an)求通项公式
a[n+1]=1/2(an+1/an)=【an^2+1】/【2 *an】[ ]表示下脚标.我只说一下过程：【a[n+1]-1】/【a[n+1]+1】是一个规则数列,带入a[n+1]=an^2+1】/【2 *an】化简之后=【an ^2-2an+1】/【an^2+2an+1】=【(an-1) /
(an+1)】&...
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求高手解答：已知数列an中a1=1，a（n+1）=3an+2，求数列an的通项公式
an=n/﹙n＋1﹚×a﹙n-1﹚=[n&#47用类似于这样的方法﹙把a（n-1）不停地往下拆﹚;﹙n-1﹚]×[﹙n-1﹚／﹙n-2﹚]×[﹙n-2﹚／﹙n-3﹚]×a﹙n-3﹚=……=[n/﹙n-1﹚]×[﹙n-1﹚／﹙n-2﹚]×a﹙n-2﹚=[n&#47，如
提问者采纳
因为a(n+1)和an不是用n+1和n表达的关系式这道题不能套用你说的这个方法。an +1=2×3^(n-1)an=2×3^(n-1) -1n=1时。数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1) -1。a1+1=1+1=2数列{an +1}是以2为首项：a(n+1)=3an+2a(n+1)+1=3an +3=3(an +1)[a(n+1)+1]&#47，为定值;(an +1)=3。这道题这样解，an=2×3^0 -1=2-1=1，同样满足，3为公比的等比数列
没错，我的确是用你这个方法解的，但是老师讲刚刚那道拆an+1的题后就要求我们也用类似的方法解……
我明白你老师的意思了，老师想要你们做的是直接递推，可以这样写：a(n+1)=3an+2an=3a(n-1)+2=3[3a(n-2)+2]+2=3²×a(n-2)+2×3+2=3²×[3a(n-3)+2]+2×3+2=3³×a(n-3)+2+2×3+2×3²=…………=3^(n-1) ×a1 +2+2×3+2×3²+...+2×3^(n-2)=3^(n-1) +2[1+3+3²+...+3^(n-2)]=3^(n-1)+2[3^(n-1) -1]/(3-1)=3^(n-1)+3^(n-1) -1=2×3^(n-1) -1n=1时，a1=1，同样满足。数列{an}的通项公式为an=2×3^(n-1) -1。看到了吧，直接递推的结果是一样的，老师想让你们做的就是这个，直接递推。
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