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　　　 数学游戏﹝Mathematical
recreations﹞是一种运用数学知识的大众化智力娱乐活动。通常流传在日常生活中或出现在报章杂志或小册子等出版物上，一般来说，参加的人只需具备初等的数学便可参予这些游戏，但为了增加参加者的兴趣，这些游戏往往表达得比较复杂。
数学游戏遍布世界各地，许多数学名题亦是由数学游戏演变而成的。例如韩信点兵孙子问题、九连环、斐波那契兔子问题、哥尼斯堡七桥问题、迷宫等等，此外，围棋、象棋、朴克、桥牌等也可引申出不同的数学游戏问题。如在这些数学游戏的众多理论上加以研究，不但为许多古老及新兴的数学学科提供了不同的素材，而且更促进了这些数学学科的诞生及发展。
　　　　 基本上，数学游戏可分为九类，包括：
　　　 ﹝1﹞ 代数游戏：一般用代数方程或代数方程组来求解的问题都可纳为代数游戏。例如在公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德提出「群牛问题」：涉及8个未知数不定方程组。及五至六世纪《张丘建算经》记载的「百鸡问题」涉及的三元不定方程式组。这些问题对促进代数的发展有很大的帮助。
　　　 ﹝2﹞ 算术游戏：算术游戏可分为两种问题，一种是算数，另一种是运用算术知识解决的问题。常见的算术问题包括数字间的有趣关系及各种不同的数学逸事等。例如对数码以不改变它的排列次序，只加上运算符号和必要的括号的方法，使它运算结果等于某数。而另一种算术游戏，往往配合文字来表达问题。例如：3世纪古希腊数学家丢番图逝世后，相传他的墓碑上刻着猜他年龄的诗歌碑文，参加者便可透过碑文的提示计算他的年龄。许多的算术问题也可以用代数的方法求解的，这便可使问题更简化。
　　　 ﹝3﹞ 几何游戏：由勾股定理设计出来的问题在许多国家都出现过，如莲花问题等。而古希腊亦提出了几何作图三大问题，及后人提出的直尺作图问题，图规作图问题以至定角圆规作图问题，以及用相同形状的图形铺满整个平面问题等都是典形的几何游戏。
　　　 ﹝4﹞ 组合游戏：13世纪杨辉曾系统的阐述过幻方，中国古代称为纵横图，使它在理论上得到很大的发展，另外，「抽屉原理」亦可构造出大量的有趣问题。至于，19世纪中提出的柯克曼女生问题，人们对它的求解使集合论得以不断发展。
　　　 ﹝5﹞ 数论游戏：数论游戏是由数论中的基本定理构造出来的游戏问题，能激发起人们学习数学的兴趣。公元3世纪成书的《孙子算经》中记载了著名的「孙子问题」，实际上，这是一次余式问题。由于题解的理论十分深奥而为后人所研究。在13世纪由秦九韶成大衍求一术，这问题就被多种数学的专着改头换面地采用。
　　　 ﹝6﹞ 图论游戏：18世纪提出的柯尼斯堡七桥问题，被后人改为邮递员问题或周游世界问题等式。这些直接地引起了图论的创立，并促进了网络理论及拓扑学的建立。
　　　 ﹝7﹞ 概率游戏：在15世纪末提出，并在17
世纪中叶引起了人们对「合理分配赌注问题」的广泛讨论，其影响甚为深远，成为概率论始创的基本问题之一。而在18世纪出现的「比丰投针问题」也开创了几何概率的先河，这亦是最早用随机数处理确定性数学的例证。
　　　 ﹝8﹞ 分割游戏：中国古代流行的七巧板便是分割游戏的典范。在18世纪末已有了专着的论述，并在20世纪后，严格的在数学理论上进行探究，例如：在1942年，证明了七巧板最多可拼成13个不同的凸多边形等。而在公元3世纪，刘徽证明勾股定理所用的「出入相补」原理也是分割游戏的一种。
　　　 ﹝9﹞ 博奕游戏：例如中国的「翻摊」游戏，便是博奕游戏的一种，而翻摊游戏可以引出深奥的组合数学理论。还有各种的棋类游戏等也属于博奕游博。此外，博奕游戏还为对策论提供了素材，也对人工智能的发展有莫大的影响。
　　　 此外，还有许多智力游戏，如逻辑推理等。数学游戏不但对新数学分支的创立有一定的作用，并对数学知识的普及和传播作出独特的贡献，为数学教育提供了有效的方法。近年来美国数学科普作马丁．加德纳出版及发表了一系列有关数学游戏的论着。例如《数学游戏和娱乐》、《数学故事》等。而翻译成中文的有《啊哈！灵机一动》等
&常见的几何题，也是典型题，分散在教材、参考书等上，应做到步骤清晰，逻辑关系紧凑，条理简洁，而难度较大的几何题，重在分析，试难度大小不同分析时间不同，一般的也得与分析后的做题时间相同，不过这是在解决了如上常见的几何题基础上的情况，
&聪明矣、糊涂矣
一个平时学的不慢的孩子，答题速度也可，等到其他孩子都赶上来的时候，他还是那个速度，就会显得被人赶上后，学习又吃力啦，做题速度又显得相对慢于其他孩子啦。
等到这个孩子成绩不好的时候，十有八九是家长怪老师、老师怪家长，其理由都惊人的相似，没看住，都埋怨对方，如果看住这样的孩子，他是会好的。
对此，我一直报怀疑态度。虽然，我无法拿出确凿的证据，说明这样的孩子会好，但我有很多反面的例子。
首先，经过完全看管的孩子，很少有突出转化的，即便是能最终转化的孩子，大多也是学习态度比较好，也就是通常我们说的乖孩子。
其次，这样的孩子是手懒于嘴，好动者。倒不是全都是多动，但绝对是好动。
是不是我们对此类，令家长老师都感头痛的顽劣孩子，我们都不如老毛（毛泽东）有道，因为他说过，小孩子不好玩（或动，我记不住啦），长大一定没出息，言外之意，好动的孩子长大后十有八九会是个好孩子。可比尔、盖兹却说过这样的话：不要瞧不起书呆子，说不定你将来会在他手下工作。
老毛是英明，教育学上却未必。只不过凡是领导，都是通才而已。
那么怎么办哪？依我说，早期教育太重要啦。这时，面对这样的问题，我无法选择别的答案，因为教育没有灵丹妙药，有的只是艺术化科学、或者科学化的艺术的教育科学，但是从这里你无法找到，解决此类问题的办法，要想让这样的科学在一个虽者天真却有人的灵性的孩子身上起作用，只有在孩子懵懂无知之时施以你的现在认识到的有埋怨感到的，那种“看住”
&数学的无限与有限或无穷与有穷&
&&&&&&无限只可以是认识的对象，却不可以是计算的对象。如对无限进行计算，那么就是对于无限这个概念进行破坏，而失去无限的本来意义。也应该定义有限的范围，即进行归一化处理，因为在自然真实中总是存在有限范围，人们的认识可以达到无限，可是实际的接触范围总是有限的。即在自然真实中只存在有限自然整数集合的连续统，不存在无限自然整数集合的连续统。
从严格的概念定义上来说，无限是不属于集合的。众所周知，凡是集合则属于封闭有限范围，情况无限属于无限开放情况，封闭性无穷属于人为性规定，开放性无限属于真实自然。从语义上来讲，无限集合违背了语言规则规定，又不符合逻辑演绎规则，集合是属于有极限意义，而不是具有无极限意义。我们所谓的无穷并不是真正意义上的无穷，而是具有人为任意性的无穷。是代数逻辑符号掩盖了算术上的有限性界限，使有限与无限混合起来。人的认识已知的能力是可以能够达到无限的，但是所能够接触具体的事物的范围却是有限的。知无止境，为有止境。
无限小量并不是等于零，而是永远接近零，零就是没有，准确的说是不存在无限小量，而是有限小量，与无限小量是两回事。如果在有限时可以存在最，无限时不存在最，这是首先应该明确的。虽然都是无限，可内容上却存在很大区别，如无限大是真正意义上，而无限小却是有极限的，即为零，有些所谓的无限大不是真正意义上的，而是有极限内的无限大。真无限是为无限大，假无限是永远接近而又永远达不到的极限的无限小。最小是无限小，最大却不是无限大，因为物体不存在无限大，所以粒子也不存在无限小，只是有限小，而这个有限小，目前还无法准确定义。终极没有最小只有更小，否则就不会存在无限这个概念定义了。什么叫做最？根本就没有一个限制性的约束，完全是人为任意性的规定。
古人曾经说过：至大无外，至小无内，是指空间范围。一日之棰，日取其半，万世不竭，在认识上是可行的，可是在实际中却是行不通的，因为永远肯定做不到。不存在最大却存在空间延展无限大，存在最小却不存在无限小，因为必然会存在大于零或接近零，却永远不等于零。无穷小量是人们原则灵活性的机智，不是精确的，是近似的，却达到了类精确的效果。微积分充其量也不过是个具有近似值的经验公式。自然存在有些本来就不是精确的，我们也没有办法，也只能而已。用半衰期计算，不管是什么物质总是存在岂不荒谬？无限，无论是在人的想象或现实中都是存在着的，证实或证明当达到时还又没有达到时的以此类推。
无限大可以是自然真实存在着的，可是无限小在真实自然中却是不存在的，完全是人为理想化的结果，至于小到什么程度只能由自然事实来决定，可以认识但却无法操作，这是人们的能力所不能及的地方，但对人类活动毫无影响。无究与有限概念的产生首先是选择类不同结果，首先在逻辑上就不一致，直接挑战逻辑使逻辑失效，严重违反逻辑规则，也更是逻辑所无法解决的。就是数学恒等式中的那个等号也是不精确相等的，也只不过是个近似值而已，因为自然界不存在完全精确大小或完全一样的两个1。
整体大于部分的本义应该是指整体是无限的，部分是有限的。有限的与有限的相加也永远还是有限的，但如果是无限的相加那么就也是无限的了。大数进行无限的相加并不比小数进行无限的相加大，因为一旦纳入被无限的相加时那么即完全相等，其不同是大数先接近无限的范围，而小数则后接近无限的范围。即使在有限的前提下也存在着无限的可分性，但这个无限是建立产生在有限的前提上的，目前我们人类的认识就是属于这种认识无限，而是在有限性前提下的。别说是超出太阳系，就是在太阳系本身体系内还没有认识清楚。无限只能在人的想象或理想中存在，在现实存在中存在是我们无法验证和能够达到的，因为我们的生命或活动能力是有限的，但是并不妨碍我们对无限的思考与认识。理想或认识可以达到无限，而实际性操作却是有限，无论不管什么先进技术都是存在有限的极限。
连续统假设&
&&&&&连续统假设：在可数集基数和实数集基数之间再没有别的基数。
所有的数或表示几何的数都可以在连续统序列中存在，用整体观念来看数学体系则是相容的。虽然集合与集合之间存在一定一致的对应或序列关系，都是属于连续统假设，然而其中的子集合基数却不相同，在不同的集合中是不相容的，是各个不同部分领域具有各自不同的特征特点罢了。混淆了子集合与自然整数集合之间的基数不同的区别，导致有限与无限之间没有明显的界限，二者的任意某一阶段或定域是并不相等，成了一个令人模糊的连续统，连续统假设已经失去真实意义。（超穷数理论只是康托尔本人的误会。）
连续统假设建立在比较集合元素个数的基础上。但是要比较集合元素个数，首先要明确集合元素的意义和集合之间的关系是否相容。同样的连续统在时间、空间、几何、数量的表示关系上是不一样的。例如{长度：1*1，2*2…}和{面积：1*1，2*2…}表示的实际意义是不一样的，虽然它们在数字上的结果相同。同样，对于复杂的问题之间，若存在着某种不可比较性，数量上的一一对应关系也就失去了意义。
如果两个有限定性实际意义的集合，它们之间的意义相同，可以相容，那么我们可以构造建立对应法则，讨论基数问题。如果两个有限定性条件实际意义的集合，它们各有各的意义，其关系不能相容，那么我们不能建立数量上的一一对应关系，讨论基数问题。
数学一方面要考虑形式上的构造，另一方面也要考虑实际意义，因为数学最终还要应用于自然。那么对于连续统假设，我们看到它提出了研究集合基数关系的问题，但是对于是否两个集合之间能相互比较基数，以及集合的实际意义问题没有给出解释。
那么连续统假设需要另外补充条件，即集合的实际意义，以及集合之间的关系，根据实际情况，我们可以判断其基数的大小，而对于没有现实意义的集合，这样做没有意义。
数学连续统假设的独立性存在任意性，有限与无限之间应该设定一个界限，绝不可以任意无原则的等同。（哥德尔曾经指出：）集合永远不能属于自身，全集合是不存在的，但概念也许适用于自身，全概念是存在的。哥德尔认为：集合是外延，概念则是内涵。类只有一个主题，但大类有交叉迭代复合性，许多分类的小主题。连续性或与整体性的关系，被任意割裂成许多零碎的关系。希尔伯特关于建立不同公理系统的相容性问题是最基本的想法是不存在的，特征与具体事实是对立着而存在的，所谓的公理只是特征，特征与特征根本就不相容。我们应该充分发现特征而不应该在规定特征。
连续统任意性的将自然语言中的概念定义给破坏了，在人们的思想中造成严重的影响，无穷再也不具有无穷的准确意义了。n到底属于那个数，是+1以前还是以后的呢？还要看怎么数，若以大数为数一下子就到头了，是一个封闭的大1，因为只有一个无限。无限可分与无限整合的关系是不一样，是以整体前提，还是以部分为前提？
一个数可以用作被计算的数，还可以被用作计算后的数，整个数连续序列中的其中任意的一个也都是可以的，我们可以根据应用的实际情况进行无穷性的选择方法，各种数学结构都被包含在连续的数列之中。
超越数是改变了实数概念的结果，这里的自然数列是人为性规定划定的一个数列。把实数轴与自然数轴作了一次混合，构造了一个新数列，仍叫做自然数列。否则自然数列后怎么可能有大于无穷大的第一个数W。&
&&&&&&&无穷套根在自然中是不存在的，因为平直空间最多是三维。无穷连分数或无穷小数也是只可认识无法操作的，极限是人们所能满足的需要为止。
集合连续统是关于以什么基数为标准单位关系。中国古人对于无限的认识是非常明确的，用不着反复讨论，否则无论基数多大都是不可数的。就是小1，如果具有可分性，那么也就微分，那样也可以无限的分下去。用老话讲叫不着边不靠谱，过分讨论无限性是无意义的，是以满足实用为目的的。
总之微积分的有效作用是类似最小的近似量，然后再求总的近似量，永远也不会有精确量，来达到实际应用计算的目的。知道某些初始，知道结果，然后通过计算过程来达到结果。
微积分的实质就是相似的比率关系。函数的目的是求不变量，然后再用不变量来代入，由于变量而引起总量的变化。函数的目的无非是想要建立起一种对应关系，这种对应关系也可以称为比例关系或线性关系。将一个数看作是由若干函数组成，是由若干因素的关系所组成的现代微积分关系。函数所定义的恰恰是总数其中的常量系数的不变量，也可以当作类比求1的问题处理，即可以将100看作是由100个1所组成的。物质最小的不变量就是基本粒子所具有的虚设的量，如普朗克常量，类似微积分的求最小的近似量。微积分将分立的差异，用数学手段把它们变成具有连续性的一个过程。
本来有些图形属于不可展开体，所以永远也没有精确的展开解，只有求近似解，如球面等双曲线，圆周率的精确度是永远没有尽头的。微积分在有些应用上具有不完备的任意性，在有些地方适用，有些地方不适用。由微积分的近似性可以看出现代数学并不是一门精确准确确定性的学科，自我标榜严密清晰精确等，实则存在许多方面的疏漏，本身是不完善的。微积分有很多不能自圆其说的地方，后来人们为了补充完善，被弄出了实变函数。
分析数学的偏微分方程并没有对于运动的原因给予解释，而只是相似近似地描述了运动的状态和类比相似几何图形的关系，那个等号应该是约等于号，无论怎么近似但都不是精确的，并且永远不会有精确解，而只能如此永远是近似解。&
&&&&&&非线性偏微分方程是否不可解，有多少解？关键是它的未知的是太多，无法确定，只是揭示了关系。本来就应该用物质的观念去对待湍流现象就会简单多了，就不会混乱了，然后再用数学，否则为什么会是非线性呢？为什么不稳定。现在数学界流行非线性，混沌说明数学遭遇存在挑战。不论怎么说用非线性偏微分方程来描述宇宙引力状态是不准确的，因为非线性方程各项中的未知量的具有物理意义的原因是不清楚的。
偏微分方程的求解还存在一定困难，那么它表示的物理意义不得而知？惯性系的非线性为什么不遵守惯性系自身的限定？混沌模糊不清的非线性，存在非常真切不明的原因。引力场非线性偏微分方程的解要满足是初始或边界条件之后的唯一性，在数学上还没有得到证明，理论上无法实现而实验上更无法实现。&
&&&&&&&变分法的最小作用原理虽然接近事实，但还是没有或不能将自然作用关系揭示出来，还是在人为作用下的惯性运动前提基础上来对待问题。引力场方程是如何解释两极处问题的？无法考虑，因为不遵守方程规则。
&&&&& 非线性方程
非线性因为是代数方程，高次方程或多元未知数它们之间必然存在着相互制约的条件联系关系。即如果一个未知数一旦确定，那么其它也与之对应，完全可以根据实际情况或需要而进行试商，存在有限解。如果是算术式，则不会有这个麻烦了，都是代数惹的祸，没有具体的数字怎么计算。各种求解四次以上的高次方程，如果是算术则可解，即化乘法为加法，然后再求平均数；可以采用两头试商的方法，即通过试商的大小可选择再试的方法。实际上并没有太大的实用意义，并不是不可行，也还可以通过列表方便可查。
这样的代数方程是没有实际计算意义的，即没有计算功能，只有表示或揭示关系的功能。如果按照现在的非线性处理只能得到近似解，即按照微积分或偏微分的函数法求最小子集，将一个本来具有精确解的算术式强制性的整成一个具有近似性的方程关系，改变确定性为不确定性。与其说是具有非线性还不如说是具有任意性。这种方法是很灵活，即是一个没有办法的办法，可是现在却被当作对物理等现象无法解释的有效描述，把一些不理解的因素变化归结为非线性。
有些事物出现因果不相同的情况，那一定是又增加了新的原因因素我们还不知道，如孤波是受到冲击运动的水又与在空气的作用下形成的。而不是什么非线性本质，或什么对称性破缺，其实也并不是什么复杂，所谓的复杂只是有些情况还不清楚而已。如什么不确定性、混沌、蝴蝶效应、吸引子、分叉、分形、随机涨落、粗粒化细粒化等。
为什么非线性成为现代数学的思潮，因为为性理想化规定规则在真实自然中只是某些特殊情况。如水面、笔直的植物主干、各种球体、蜂窝、雪花、某些矿物结晶体等线面规则体，在真实自然中不规则线面体才是普遍存在着的，以试图满足所有方面的需要。&
概念翻译不准确问题，几何本来就是具有多少的意思，非要加上图形的意思，拓扑等于变形，这样更加直观说明问题和更符合简单性原则，这些命名应该不应该修正。
欧几里得《原本》几何的原始定义存在问题，如果非欧几何是对欧几里得几何的否定，那么非欧几何所面临的将是同样的命运。三维绝对平直空间并没有错，它是约定最简单的说明问题的，而是怎么用的问题，黎曼几何也同样面临适用范围问题。
黎曼几何是空间立体几何，欧几里得几何是平面几何，是分属于两个不同的概念范畴的，是不能互换与等同的，作为数学是可以的，但是作为物理却是不可以的。数学只能知道几何图形，但是为什么形成几何图形的物理过程和原因却不清楚。物体球形结构说明物体是处于在周围均衡相等的压迫作用之中而形成的。自然几何是在自然力的作用下的一种结果，作为技术反推是有效的，作为认识，无论如何我们也不能把结果当作原因来对待。图形特征与人为规定应该区别，某种图形具有某种特征是事物自身所具有的，与我们的人为性规定完全是两回事。
滥用维度数的概念其结果必然导致错误认识，空间概念只能为三维，这是约定俗成，难道不去证明一下就不可以了吗？三维以上的维数是有悖于常识的。动态图像并非不能用图像来描述，如动画的图像。四维准确地说是什么样的图像？不能用图像描述的图像有什么作用？算不算作图像？维度是不是应该统一下认识？多维空间是有限的空间，绝对空间却是无限广延的。
不应该混淆三维和投影的关系，它们是不一样的，三维是按绝对比例，投影是按相对实际投影比例，前者接近绝对空间，后接近自然相对空间。活动的标架，可以将各种不同的多维空间嵌入到三维平直空间，否则是无法嵌入的。如当一个小球嵌入大球的某一位置时我们不知道小球还能否成为球状，因为在大球不同位置的空间里的曲率不同的，那么势必会对小球曲率形成影响。在大球中因为曲率关系直线变成曲线，那么说小球的直径也可以弯曲了？如果在某一方向小球的直径弯曲，那么这个小球还是标准的球吗？违背球的定义，任何位置的直径都相等。三维是可兼容，多维是无法相容或兼容的，如兼容其真实性的形体会被破坏。有人说拓扑学家像蚂蚁一样趴在圆周上，看到的只是局部结构，却没有认识到整个圆周被嵌入到三维空间中。黎曼空间是能被三维立体空间所包容，拓扑的整体背景是三维的。
拓扑规则是有限性其中的一种情况或几种情况，而在真实世界中则是具有很多种情况。拓扑为几何代数化。拓扑犹如能够变形的面团，具有相当大的灵活性与任意性，以满足各种需要。用拓扑数学方法也可以用一根线把所有不同形态的物质按开启化顺序或相互作用关系，将它们一一地穿起来而连成一个完整无限循环的整体，拓扑就是关联。在这方面宇宙是有限的，可是在别的方面也还是存在无限的。
几体问题的解最终不是数学问题而是机理问题，机理问题解决其数学问题是也有解了。数学只是对某些现象的形式做了描述，而不是对形成机理进行描述内容原因解释。大自然中物体有它自身构成数学几何的原因，这是数学几何自身无法解释清楚的，它可以量化自然，却无法解释产生自身的原因。
衡量代数几何化或几何代数化的关键原则是方便简单性，而且能直观容易说明或解决应用问题。例如把运动几何化的某些微积分，但也容易造成误会，把不是这么回事硬解释成了这么回事。几何的物理基础是物质存在，固态刚体流体空间也是，不要忘记这才是它存在的前提条件，即它不是完全抽象的脱离实际的与现实无关；数学也是如此，它有它的实在意义，不是毫无关系。几何图形的函数关系是本身固有的关系，然后将运动的轨迹流形也类比作几何图形，或也用函数关系来解决却是不合适的。竟然将时间也空间化或几何化成为了流形。常微分或偏微分方程彻底将物理学几何化了，大家不去追求物理运动原因或变化原因内容，而是去关心运动或变化的数学几何形式方面去了。难道几何空间就不可以描述物理空间的内容了吗？是数学几何的思想影响了我们的观念，由公设公理推出定理定律。任何极端孤立的几何是无任何内容意义的，在现实中也是不存在的，只在数学领域存在。
微积分或变分法或泛函分析将某些不规则形线段和图形或空间被看作为点和线的任意性的连续性集合或函数空间。由于抽象空间或泛函分析的兴起，更增加了把点集作为空间来进行研究，进而在泛函分析中起作用的性质又被归结为拓扑性质。主要因为点集序列的极限居重要位置，完全脱离了物理作用的空间成为纯数学的几何空间。即泛函分析的算子就是从一个空间到另一个空间的变换。我们不应该以没有物理内容的人为性数学几何空间中的同胚或拓扑变换来取代真实自然具有物质内容变化的空间。
如果有些人为性的规定恰好近似接近某些自然现象，那只能是一种偶然巧合。例如数学张量分析和微分几何不是依据自然现象去进行认识解释，而是利用数学建模的方法而对自然进行任意性处理：什么任意维任意阶任意张量任意分量等解释。Ricci在爱因斯坦之前有关张量分析就早已存在应用这一物理目的了。如果恰好近似接近或满足了某些自然现象就是正确的，如果不近似接近还可以再任意性的加上各种规定，直到满意为止，但是这个坐标系与另外坐标系并不是完全相等，如地球月亮太阳或各种星体之间。
理论数学是人类思维游戏活动的陷阱。如果作为游戏活动，对于启发智力是具有极大的帮助，但也难免具有一些负面影响；如果作为混饭吃的职业也是可以的，但也容易误人子弟；如果作为事业，那将是对人们的极大误导。现在仍然有大批的数学家们在津津乐道的从事这种游戏活动，岂不知宝贵的生命时间被残酷的牺牲。
&数学中的互逆命题
互逆命题指的是：每一个命题的题设或一部分是另一个命题的结论，这样的两个命题就叫互逆命题。如果两个互逆命题都是真命题，那么他们也叫互逆定理。
几何语言分如下几类：
图形语言、符号语言、文字语言。
黄金分割最初指的这样的一种分割：线段上有一个点，将线段分割成两部分，其中较大部分是较小部分与整个线段的比例中项。这个点叫做这个线段的黄金分割点。其中较小线段与较大线段或较大线段与整个线段的比值叫做黄金比，为0.618.
黄金三角形：顶角为36度的等腰三角形为黄金三角形。
黄金矩形：两邻边的比为黄金比的矩形为黄金矩形。
黄金分割的应用：
丢番图的《算术》
《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。
《算术》事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、Kr、△r△、△Kr、KrK等符号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。
直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪，费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。《算术》中的不定分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢番图方程”或“丢番图分析”。
《几何原本》
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。
公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材料。希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底（Hippocrates），其后经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础。
欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的《几何原本》。
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理，感到十分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的。”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明，直到公理和公设，他终于完全信服了。
第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。
第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。据说，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（Bolzano，），在布拉格度假时，恰好生病，为了分散注意力，他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容。他说，这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛中完全解脱出来。此后，每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐。
第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。
第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《几何原本》中找到。
《几何原本》按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。《几何原本》成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。
诚然，正如一些现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远．使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。
唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。}