分析：根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．解答：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（-1，1），∴f'（x）＞0的解集为（-1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（-1，1），∴a＜0，且x=-1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即-1+1=-2b3a=0，-1×1=c3a=-1，解得b=0，c=-3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3-3ax=ax（x2-3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2-3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，即f（x）=±1．各有2个不同的根，即函数f（x）的极值等于±1，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3-3ax=ax（x2-3），∴f'（x）=3ax2-3a=3a（x2-1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜-1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=-2a，当x=-1时，函数取得极小值f（-1）=2a，由f（1）=-2a=1且f（-1）=2a=-1得，a=-12，故选：B．点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．
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科目：高中数学
定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为
科目：高中数学
20、已知定义在R上的函数f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x2是奇函数，函数f（x）在x=-1处取极值．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论f（x）在区间[-3，3]上的单调性．
科目：高中数学
定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，当x∈（0，4）时，f（x）=x2-1，则f（2010）=．
科目：高中数学
已知定义在R上的函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2），最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数y=sin（2x+π3）图象所有对称中心都在f（x）图象的对称轴上．（1）求f（x）的表达式；&&&&（2）若f（x02）=32（x0∈[-π2，π2]），求cos（x0-π3）的值．
科目：高中数学
已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
-3那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
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＞＞＞函数f(x)=2cosx(sinx+3cosx)的单调递增区间是______．-数学-魔方格
函数f(x)=2cosx(sinx+3cosx)的单调递增区间是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
因为函数f(x)=2cosx(sinx+3cosx)=sin2x+23cos2x=2sin（2x+π3）-3．因为2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，所以x∈[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈Z，函数的单调增区间为：[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈Z．故答案为：[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈Z．
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据魔方格专家权威分析，试题“函数f(x)=2cosx(sinx+3cosx)的单调递增区间是______．-数学-魔方格”主要考查你对&&正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等），两角和与差的三角函数及三角恒等变换&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）两角和与差的三角函数及三角恒等变换
正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。两角和与差的公式：
倍角公式：
半角公式：
万能公式：
三角函数的积化和差与和差化积：
三角恒等变换：
寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点。三角函数式化简要遵循的"三看"原则:
(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.
(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.(2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.
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885985887286861172758212810327433692知识点梳理
【函数单调性的证明】函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率&\left({{\frac{△y}{△x}}={\frac{f\left({{{x}_{1}}}\right)-f\left({{{x}_{2}}}\right)}{{{x}_{1}}{{-x}_{2}}}}}\right)&进行．
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
y=ax2+bx+c，在定区间[m，n]上，[1]当m≥-b2a时，在区间左侧，f （x）在[m，n]上递增，则f （x）的最大值为f （n），最小值为f （m）；[2]当n≤-b2a时，对称轴在区间右侧，f （x） 在[m，n]上递减，，则f （x）的最大值为f （m），最小值为f（n）；[3]当-b2a∈（m，n）时，则f（x）的最小值为f （-b2a）；在[m，-b2a]上函数f （x）递减，则f （x）的最大值为f （m），在[-b2a，n]上函数f （x）递增，则f （x）的最大值为f （n），比较f （m）与f （n）的大小即得．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x+...”，相似的试题还有：
已知函数y=f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-4x+3(1)求f(-3)的值；(2)求f(x)的单调递增区间．
已知函数f(x)=|x-a|-\frac{9}{x}+a，x∈[1，6]，a∈R．(1)若a=6，写出函数f(x)的单调区间，并指出单调性；(2)若函数f(x)在[1，a]上单调，且存在x0∈[1，a]使f(x0)＞-2成立，求a的取值范围；(3)当a∈(1，6)时，求函数f(x)的最大值的表达式M(a)．
定义在R上的函数y=f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=-4x2+8x-3．(Ⅰ)当x＜0时，求f(x)的解析式；(Ⅱ)求y=f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．求函数f(x)=x2-3|x|-1的单调递增区间_百度知道
求函数f(x)=x2-3|x|-1的单调递增区间
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|x|也单调增.5 or x&lt,因此f(x)在x&gt，而x&lt.25t&gt.5时为单调增t&=0f=t^2-3t-1=(t-1.5)^2-3，而x&gt,|x|也单调减.5时为单调增;=0时也单调增故单调增区间有;=1，t=|x|&=0时;=0时;=1：x&1.5时为单调减，因此f(x)在 x&=1
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-1.5〈X〈0并X大于等于1.5
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出门在外也不愁（1）若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则实数a=______；（2）若函数f（x）=|2x+a|在区间[3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．
逯晓宁爹谥惫3
（1）∵f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），∴f（3）=|2×3+a|=0，解得a=-6；（2）∵f（x）=|2x+a|在区间[3，+∞）上单调递增，∴≤3，解得a≥-6故答案为：-6；a≥-6
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（1）由题意可得f（3）=|2×3+a|=0，解方程可得；（2）由题意可得≤3，解不等式可得．
本题考点：
带绝对值的函数．
考点点评：
本题考查绝对值函数的单调性，属基础题．
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