直线回归分析截距的标准误的计算方法
直线回归分析截距的标准误的计算方法
09-04-14 &匿名提问
回归是指由一个 ( 或几个 ) 变数的变化来预测另一个变数的变化。预测的方法是通过回归方程来实现的，回归分析的方法在园艺植物的生产和科学研究中有着广泛的应用，如利用温度或雨量的变化，预测某种园艺植物的主要物侯期 ( 萌芽、开花 ) 、产量、品质以及病虫害发生，应用实生苗的某些性状，预测成年树的某些性状等。? 一、直线回归方程式?
    将 x 与 y 两个变数的 n 对观察值 ( ) ， ( ) ，…… ( ) 分别以座标点的形式标记于同一直角座标平面上，作成散点图，如果这两个变数的 n 对观察值在散点图上呈线性，则说明两变数间的数量关系可用直线回归方程来表示。在解析几何上，表示一个平面上的任何直线方程的一般形式为：?
                                     (10.1) ? 上式称为“ y 依 x 的直线回归方程”， x 是自变数。 是和 x 的量相对应的依变数 y 的点估测值。 a 是 x=0 时的 值，也是回归直线在 y 轴上的截距，叫做回归截距。 b 是回归系数，表示 x 每增加一个单位， 平均将要增加 (b ＞ 0) 或减少 (b & 0) 的单位数。? 要使 成为实际资料的最佳线性配合，并满足预测要求，必须使离回归平方和 = 最小。? 为使 = 最小，需分别对 a 和 b 求偏导数，并令之为 0 ：? 则 :
   简化以上二式，得一组联立方程式：
                   由方程式 (1) 得 (10.2) ?
  将 (10.2) 式代入方程式 (2) ，并展开、合并、移项后，得：
      ? （ 10.3 ） （ 10.3 ）中的分子为 x 和 y 变数的离均差的乘积和 (sum of products) ，记作 SP 。 上述求解 a 和 b 的程序称为最小平方法。由此 a 和 b 构成的回归方程具有三个基本性质： 1 、 = 最小。 2 、 。 3 、当 时， ，回归直线必通过点 ( ) 。因为将 (10.2) 式代入 (10.1) 式后可得直线回归方程的另一常见形式为：? （ 10.4 ） 将 代如此式，得 。 由于 具有上述三个基本特征，所以该方程是实际资料的线性最佳配合。 二、直线回归方程式的计算及回归直线图? 例 10-1 ：表 10-1 为某砂梨品种 1983 年在江苏扬州盛花后天数与果实细胞数增长的关系，试建立回归方程：?
            表 10-1 盛花后天数与梨果实细胞数 盛花后天数（ X ）
果实细胞数（
       7
           0.56
      14
           1.25
      21
           2.07
      28
           2.66
      35
           2.83
? 将例 10-1 的 5 对观察值做成散点图 ( 图 10-1) ，呈现较明显的直线趋势，果实细胞数随着盛花后天数的增加而增加。在建立该资料回归方程时，首先需计算出 6 个一级数据： ? n=5 ? 由 6 个一级数据可算得 5 个 2 级数据：? ? 将上述二级数据分别代入公式 (10.3) 和 (10.2) 得： ? 表 (10-1) 资料的直线回归方程为：? 此方程表明，在盛花后 7 天至 35 天这段时期，每天梨果实的细胞数可平均增加 8.50 × 10 个，回归截距 a 在此没有专业意义。如将该直线方程作图表示时，可把观察值中 x 的最小和最大值代入该方程式：? 当 x=7 时， ，当 x=35 时， 将 (7 ， 0.6840) 和 (35 ， 3.0640) 两座标点在图上连成一条直线，如图 (10-1) 所示。为验证这一方程式是否正确，根据前述直线回归方程性质 3 ，可将 代入方程式，如果 ，则一定正确。本例将 代入得： ? 由此，也可核对作图是否正确。
   图 10-1 盛花后天数与梨果实细胞数增长的关系 在作回归直线图时，以 x 变数为横坐标， y 变数为纵坐标，并标明名称和单位。若不是以零起始的，要在近原点处划一折断号。划出直线图后，应将实际观察各点标明在图上，且将回归方程以及相关系数（或决定系数）分别标于直线的上方或下方。同时应注意，绘制的回归直线两端不要超出 x 变数的取值范围。 例 10-2 ：取粉皮冬瓜雌花谢花后7--11天的果实，测其果实纵径（ cm ），得结果于表 10-2 。试求直线回归方程。
        表 10-2 粉皮冬瓜雌花谢花后天数与果实纵径关系 谢花后天数    7     8     9    10    11 果实纵径（cm）
  14.3   16.8   17.2   17.6   18.5 按例 10-1 的计算方法可得： 得回归方程： b= 0.92cm 表示该冬瓜雌花谢花后 7--11天内，每增长一天，果实纵径平均增加 0.92cm ； a=8.60 在此资料中有专业意义，表示雌花还未谢时（即将谢花），果实纵径平均为 8.60cm 。 三、直线回归方程估计标准误? 图 10-1 可见，由回归方程所得到的理论值 ，通常并不能和实际观察值 (y) 相吻合，但回归方程满足 = 最小这一基本性质。因此， 是各个 上 y 总体平均数的最好估计，这就如同在一个变数的随机样本中， 的代表性要比任一观察值 更为合理。由于在回归模型中，各个 上都有一个 y 总体分布，为了衡量回归方程的预测精确度，必须了解这些 y 总体分布的标准差或变异度。这个标准差或变异度的统计数叫做直线回归的估计标准误，也称离回归标准差，记作 ，计算公式为：? （ 10.5 ） 的意义在于各观察值 (y) 与预测值 ( ) 愈接近，即各散点愈近于回归直线， 愈小，如果散点均落在直线上，则 = 0 ；反之，离开回归直线愈远，则 愈大。 公式 (10.5) 中， Q 称为离回归平方和或剩余平方和。因为各散点的 y 值与对应预测值 ( ) 的差异 ( ) ，其值有正有负， ，故须将各 ( ) 先平方，再累加起来，这与计算单变数样本平方和的道理是一样的。由于在建立直线回归方程时，用了 a 和 b 两个统计数，故 的自由度应为 =n-2 。? 由于用 直接计算 Q 时，步骤多而繁锁，加之如保留末位数不够，易产生较大计算误差，常采用以下恒等式计算： 因 故 （ 10.6 ） (10.7) (10.8) 上述三个公式中，以（ 10.6 ）式的计算结果最为精确，因为（ 10.6 ）式中均使用二级数据，而公式（ 10.7 ）和（ 10.8) 中，不仅使用了二级数据，也使用了三级数据，而三级数据往往因小数点后保留的末位数不足，影响到 Q 值的精确度，故实际计算 Q 值时，以使用公式（ 10.6 ）为好。? 例 10-3 ：试计算表 10-1 和表 10-2 资料的直线回归估计标准误? 由表 10-1 资料已计算出： =3.00 SP=41.6500 ? 代入公式（ 10.6 ）得：? Q=3.6861- 将 Q=0.1459 代入公式 (10.5) 得：? （ 个） 上述计算说明：用回归方程 =0.0X 表示盛花后天数与果实细胞数之间的回归关系，有一个 =0.2205 的估计标准误。 由表 10-1 资料已计算出： =9.908 =10 SP=9.200 ? Q=9.908 = (cm) =0.694 说明由 =8.60+0.92x 估测果实纵径 y 时，有一个 =0.694 的估测标准误。 的统计意义是：在 ± 区间内，可期望包括 68.27% 的 y 观察值；在 ± 2 区间内，可期望包括 95.45% 的 y 观察值；在 ± 3 区间内，可期望包括 99.73% 的 y 观察值；在 ± 1.96 区间内，可期望包括 95% 的 y 观察值；在 ± 2.58 区间内，可期望包括 99% 的 y 观察值。
 四、直线回归模型 在双变数资料中，观察值 的直线回归数学模型为： (10.9) ( ) 因 ，上述模型也可写为： (10.10) ? 且有： 上面式中， 为 y 在各 上正态分布的总体平均数，其样本估计值为 ； 和 分别为 y 和 x 两变数的总体平均数，样本估计值是 和 ，α和β是直线回归总体的回归截距和回归系数，样本估计值分别是 a 和 b 。
   本章所述直线回归分析，是建立在 (10.9) 式 (10.10) 基本之上的。了解建立回归模型的两个基本前提，有助于正确地进行回归分析。? 1. 在可能取值区间内，任一 x 值上都存在着一个 y 变数的正态分布总体， x 是没有误差或误差很小的固定变数， y 是随机变数。如果 x 和 y 都是随机变数，则为相关模型。? 2. 各 上的所有 y 总体都服从 的正态分布。即 y 变数有共同的方差 （ ），而总体平均数 ，则随 x 的不同而呈直线变化，变化关系为：? (10.11) ?
   在实际应用回归分析时，完全满足上述两个前提的资料并不多见。比如 x 是没有误差或误差很小的固定变数就不易满足；在每一固定的 x 上的 y 总体都属于等方差且平均数呈线性这个条件亦不易满足。因此，直线回归分析结果大多是近似的。一般情况下，当 x 的各个水平皆可控时 ( 这在经过设计的试验中是常遇的，例如肥料试验，各种施肥量是固定可控的 ) ； x 和 y 具有自变数和依变数的关系时；需要由 x 预测 y 时，可以选用回归模型， 五、直线回归的显著性测验?
   任何一个双变数资料，若其总体并不存在直线回归关系，但对所属的一个随机样本资料，利用上述方法，仍可建立一个直线回归方程。为了确定是否有真实的直线回归关系，一是需要有关专业知识提供理论基础，二是必须测定该样本来自无直线回归关系的总体的概率大小，当这种概率 P ＜ 0.05 时，我们才能冒较小的危险，确认其所属总体存在着真实的直线回归关系，这就是直线回归的显著性测验，其测验方法可利用 F 测验或 t 测验进行。? 1 、 F 测验? 已知公式 10.4 为： ? 则 等式两边平方，累加得：? 移项得：? (10.12) 恒等式 (10.12) 亦可写为：? （ 10.13 ） ? 上式中， 是方差分析中，经常使用的离均差平方和 ( ) ， df=n-1 ； 则是前述的离回归开方和 (Q) ，它与 b 和 X 的变化无关，实际上是回归方程估计误差平方和， = n-2, 离回归均方 ； 是由回归系数 b 的效应和 X 的变化而占有的平方和，故称之为回归平方和，记作 U ，具自由度 dfu=(n-1)-(n-2)=1 ，回归均方 为：? (10.14) （ 10.13) 式表明，在双变数资料中， y 变数的离均差平方和可分解为回归平方和 (U) 和离回归平方和 (Q) 两部分。因此，如果 y 的变化和 x 的变化无关，说明两变数间无直线回归关系， ，则 = ， 是 y 变数的最适合代表值，如果 y 的变化和 x 的变化有关，则 U 值必须显著大于离回归均方 ，表明用 表示 y 变数，要比用 表示更为合理。? 由于回归均方和离回归均方的比值遵循 的 F 分布，则由：? (10.15) ? 可测验直线回归的显著性? 例 10-4: 测验表 10-1 资料回归关系的显著性。? 在例 10-1 和 10-3 已算得， =3.6861 ， Q=0.1459 ? 则 U= - Q =3.9=3.5402 ：盛花后天数与梨果实细胞数的增长之间无直线回归关系， ：有直线回归关系方差分析于表 10-3 ? 表 10-3 例 10-1 资料回归关系显著性测验? 变异来源
    SS
    MS
    F
 回 归
 离回归
   1
  3.5402
 0.1459
  3.5402
 0.0486
10.13 34.12
 总变异
  3.6861
 因表 10-3 得到 F=72.844 ＞ =34.12 ，故否定 ，推断表 10-1 资料有极显著的直线回归关系。? 2 、 t 测验?
   这是测验样本回归系数 b 来自β =0 总体的概率大小，如果这种概率 P ＜ 0.05 ，我们则可以较小的风险，确认该样本所属总体存在着直线回归关系，反之，则认为该样本所属总体无直线回归关系。从统计意义上看，回归系数的显著性测验，实际上也是对回归关系的显著性测验。与样本平均数显著性测验时，需首先计算出平均数的标准误 一样，对回归系数进行 t 测验时，也需计算出回归系数的标准误 。即： ? (10.16) ? 则 或 (10.17) ? 遵循 df=n-2 的 t 分布。测验时的假设是 ：β =0 ， ：β≠ 0 ，如｜ t ｜＜ , 接受 ；｜ t ｜≥ ，则否定 ，接受 。? 例 10-5: 利用 t 测验，对表 10-1 资料进行直线回归显著性测验。? 假设 ：β =0 ， ：β≠ 0 ? 已知： b=0.0850 ， Q=0.1459 ， =490.0000 ? 由公式 (10.16) 和 (10.17) ，得： ? 查 t 值表， df =3 时， =3.183 ， , ｜ t ｜ =8.5341 ＞ ，则否定 ，接受 ，表 9-1 资料存在着极显著的直线回归关系。? 例 10-4 和例 10-5 的 F 测验和 t 测验结果均表明，表 10-1 资料存在极显著的直线回归关系，而且两种测验方法的结果具 F= 的关系。因为就直线回归而论，回归系数的显著性测定实际上就是对回归关系的显著性测定，只不过后者是用 F 测验，而前者是用 t 测验，两者所得结论相同。当处理均方（大均方）自由度 df 1 为 1 时，不论误差均方自由度 df 2 为何值， F 与 t 均有一定关系：即 F= 这一规律。其数学证明如下：? 六、直线回归的区间估计
   由于直线回归方程 皆由随机样本资料而得，必然存在着抽样误差。因此，由回归方程给出的点估计的精确性受到 和 a 、 b 误差大小的影响。合理的方法是考虑到抽样误差的影响，进行区间估计。 （一）、回归截距和回归系数的置信区间
   总体回归截距 是 x=0 时的 （ y 总体平均数），样本回归截距 a 则是 x=0 时的 的估计值 ，所以 a 的标准误 ，就是 x=0 时的 。 （ 10.24 ） 并且 是遵从 df=n-2 的 t 分布。因此对于截距 的 1- 置信区间为： （ 10.25 ） b 的标准误见公式（ 10.16 ），根据（ 10.17 ）可得 的 1- 置信区间为： [ ] （ 10.26 ） 上述对于 和 的置信区间可在两种情况下应用： ① 当 a 、 b 具有专业上的实际意义时； ② 当需要测验 a 或 b 与某一理论值的差异显著性时（若预定的理论值不包括在置信区间内，为差异显著，反之为不显著）。 例 10-7 ：计算表 10-1 资料所得的 b 的总体回归系数 的 95% 置信度的区间。 前面已算得： n=5 df=3 P=95% 时： （ ） （ ）
 所以 的 95% 置信度的区间为： 0.0533 ≤ ≤ 0.1167 此区间说明：该梨品种在盛花后 天内，其果实细胞数平均每天增长在 （ ）之间 , 这一推断的置信度为 95% 。 ( 二 ) 、各 上的总体平均数 的置信区间
   在直线回归模型中，任一 上均存在一个正态分布的 y 总体，而我们只能利用直线回归方程 ，由 估计各 y 正态总体的平均数 。如前所述，这一估计的精确度必然受到 和 b 的抽样误差的影响。 的标准误为： （ 10.27 ） 因为 服从 df=n-2 的 t 分布，则包含 的 置信区间为： [ ] （ 10.28 ） 例 10-8 ：用表 10-1 资料，计算盛花后天数 x=10 时，果实平均细胞数（ ）的 95% 的置信区间。 前面已算得： 直线回归方程： ，将 x=10 代入方程得： =0.9390 由公式（ 10.27 ）得： 当 df=3 时， ，根据（ 10.28 ）式算得： （ 个） 所以： 0.4698 ≤ ≤ 1.4082 此区间的意义是：盛花后 10 天，该梨品种果实细胞数的总体平均数的置信区间是 （ 个），此推论的置信度为 95% 。 （三）、各 上的总体观察值 的预测区间
   在园艺植物生产和科学研究实践中，常常不仅需要了解总体参数的置信区间，有时还希望知道总体观察值的存在区间。例如在研究某地春季雨量和梨锈病的侵染期的回归关系时，知道总体平均侵染时期固然重要，但从防治工作来看，了解其侵染期最早年份会在何时，最迟年份有多在何时？其价值将更大。双变数资料可利用直线回归模型，对 x 为某一值时， y 总体观察值的存在范围进行预测。 y 的标准误 为：
                             （ 10.29 ） 而 近似服从 df=n-2 的 t 分布，故保证概率为 的 y 的预测区间为：
           [ ]          （ 10.30 ） 例 10-9 ：用表 10-1 资料，计算盛花后天数 x=10 时，保证概率为 95% 的 y 的预测区间。 将例 10-8 中已知的的数据代入公式（ 10.29 ）得： 上面算得： x=10 时， =0.9390 当 df=3 时， ，根据（ 10.30 ）式算得： （ 个） 此区间说明：盛花后 10 天，该梨品种果实细胞数观察值 y 的预测区间是 （ 个），可靠度为 95% 。
   上述置信区间和预测区间的统计概念是不同的。置信区间是用于推断总体参数（常量），如 等的存在区间；预测区间则是 用于推断某一变量，如 的变化范围。
   由公式（ 10.27 ）和 (10.29) 可见， x 值越大， 和 也越大，推断区间的精确度越差；但 n 和 愈大， 和 愈小，推断区间的精确度提高。因此，增大观察值对数（ n ）和扩大 x 变数的范围（ 也增大）是提高回归估计精确度的重要手段。
请登录后再发表评论!函数Y=AX^2+BX+C的图象与X轴焦点坐标为(-3.0),(1.0)在Y轴上的截距为6.求1函数的解析式 2X为何植时Y>0?3函数的单调递增区间 4函数的最大值(或最小值).能不能顺便讲下解题思路
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