函数的极限x趋向于0时lim(x*sin1/x)为零,为什么?我知道是无穷小乘以有界变量,可是求极限是不是极限符号后面引导所有关系式(以乘的形式连接的)都要求极限么?为什么可以不把上式写为极限*极限,而把上式看成极限*有界变量?
如果x与sin1/x在x趋向于0时极限都存在,那么可以把上式写为极限*极限,但sin1/x在x趋向于0时极限不存在,所以不能写为极限*极限,而要把上式看成极限*有界变量
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码一个函数方程问题_数学吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：374,658贴子：
一个函数方程问题收藏
设函数f(x)定义域为全体实数, 对任意两个实数x,y,恒有f(x+y)*f(x-y)=[f(x)+f(y)]*[f(x)-f(y)],求这个函数的解析式
没有其他条件吗，那解不了，这个方程有阿列夫2个解。
如果真的无法给出通式 那么请列出几个线性不相关的特例
(阿列夫2)就是平面上点的个数, 4楼认为这个函数方程有这么多解, 是怎么证的 ?
我理论得出奇函数偶函数都可以，但是带了几个奇函数成立，偶函数不成立不知道为什么…
有理数范围也可以构造出一些奇怪的解:我们对于每个素数p可以定义一个整数数列a_{p,k}, 其中k&=0, 0&=a_{p,k}&p我们记A_{p,k}=\sum_{h=0,k} a_{p,h}*p^h对于任意有理数v/u,如果u=p1^s1p2^s2...pt^st那么我们取大整数B使得B=A_{pi,si}(mod pi^si)定义f(v/u)=C*sin(D*B*v/u),其中C,D是事先给定的实数。于是可以知道，这样定义的函数f对所有的有理数满足条件。另外Bruik说的f(2)/f(1)在小于-2是无解的，从而f(2)/f(1)如果大于1，那么给定f(2),f(1)就能在整个有理数范围确定函数的取值。而通常，取U_n(x)为第二类n阶切皮雪夫多项式，f(n)=U_n(f(2)/(2f(1)))
上面还有一个错误，应该是f(n)/f(1)=U_{n-1}(f(2)/(2f(1)))由此我们可以得出f(4)/f(1)=U_3(f(2)/(2f(1))),而U_3(x)=8x^3-4x由此得出f(4)/f(2)=4x^2-2|_{x=f(2)/(2f(1))}&=-2实际上，这里单位1可以任意选择，所以上面结论等价于f(2)/f(1)&=-2,这就是Bruik的分类中那个比例必须不小于-2的原因。
总结一下：1.我们先分析对于任意实数r!=0,f(rZ)的模式如果f(r)=0,那么我们知道对于任意整数n,f(nr)=0如果f(r)!=0,那么f(2r)/f(r)&=-2,于是f(nr)/f(r)=U_{n-1}(f(2r)/(2f(r))).
由此得出f(nr)=c*sin(w*nr)或f(nr)=c*sh(w*nr),其中还有特例f(nr)=c*nr也就是f(rZ)可以有四种模式: i) f(nr)=0 ii) f(nr)=c*sin(w*nr) (w&0) iii) f(nr)=c*sh(w*nr) (w&0) iv） f(nr)=c*nr2.现在可以分析对于任意实数r!=0,f(rQ)的模式首先，如果f(rZ)在模式i)，那么它也可以看成模式ii)的特例,所以可以归入模式ii)讨论，唯一例外就是它可以产生模式
i) f(qr)=0对于模式iii) f(nr)=c*sh(w*nr)，对于大整数m,我们查看f((r/m)Z)，由于f(mn*(r/m))无界，而且在m趋向无穷时以指数速度增加，所以得出f((r/m)Z)也只能属于模式iii),可以假设f(n(r/m))=c'*sh(w'n(r/m)),将n替换成mn，得出f(nr)=c'*sh(w'*nr)=c*sh(w*nr),由此只能w'=w,c'=c(让n趋向无穷，根据两边收敛速度只能w'=w).由此得出对于模式iii),只能
iii) f(qr)=c*sh(w*qr) (w&0)同样对于模式iv) f(nr)=c*nr,同样查看f((r/m)Z),根据f(mn*(r/m))的变换规律可以淘汰i),ii),iii)三种模式，得出f((r/m)Z)也是属于模式iv)然后可以得出系数c相同，所以
iv) f(qr)=c*qr 但是模式ii)相对比较复杂，如同12楼构造的序列a_{p,k}和记号A_{p,k},设u=p1^s1p2^s2...pt^st我们定义f(v/u*r)=c*sin(D*v/u*r+2*pi*B*v/u)得出的函数满足条件，额这也是模式ii)在有理数域中的所有解，而特别的如果对所有序列a_{p,k}都只有有限项非零，那么退化为普通的正弦函数。
此外，我们再次分析对于两个不同的实数r1,r2,其中r1/r2不是有理数。这时我们发现，如果f(r1Q)属于模式i),那么f(r2Q)取任何其它模式都不会有矛盾我们现在看看能否f(r1Q)属于模式ii),f(r2Q)属于模式iii)其中模式ii)表示至少有某个数的函数取值非0，不妨设f(r1)!=0为此，我们查看f(r1n)f(r2n)=f(n(r1+r2)/2)^2-f(n(r1-r2)/2)^2我们查看函数左边发现必然可以取到某些充分大的整数n,让左边关于n指数递增（可能只有部分n)由此我们得出其中f(n(r1+r2)/2)和f(n(r1-r2)/2)中至少有一个也是模式iii)不妨设f(n(r1+r2)/2)是模式iii)，通过两边同时除以exp(n*r2)并且让n趋向无穷我们可以得出对应的w的关系，但是左边是摆动有界的，右边必然有极限或无界，两边必然不同矛盾。同样类似利用极限行为我们可以分析出模式ii),iii),iv)互相不相容。由此我们可以知道对于满足条件的非零函数，对于任意r!=0,f(rQ)的模式要么相同，要么是模式i)(就是全0）
现在我们知道f的可能选择在整个实数集里面也同样是4中模式，模式i)函数为0，最简单，可以看成模式iv)的特例，而模式iv)就是函数是线性函数（将R看成Q上线性空间),而比较有意思的是模式iii)也挺简单的，首先我们可以证明对于所有r,对应的w相等假设有r1,r2,对应的w1,w2不相等，那么由于对于一切有理数p,qf(pr1+qr2)f(pr1-qr2)=f(pr1)^2-f(qr2)^2f(2pr1)f(2qr2)=f(pr1+qr2)^2-f(pr1-qr2)^2将p,q同比例趋向n,(比如p=q=n),为了保持相同的发散速度，容易得出四个不同方向r1,r2,pr1+qr2,pr1-qr2它们对应的w必须相等。
好强大的阵容 要我看了半天也没看懂 待我一笔一画写在本子上
发现如果函数在rQ上模式都是c*sin(w*rq),那么对于所有的r,c都应该相等，下面证明还差一点点，应该能够容易解决。首先我们知道对于0&x&2pi,有|cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)|=|(sin((n+1/2)x)-sin(x/2))/(2sin(x/2))|&=1/|sin(x/2)|有界所以对于0&x&pi|sin^2(x)+sin^2(2x)+...+sin^2(nx)|=1/2|n-cos(2x)-cos(4x)-...-cos(nx)|=n/2+e(n,x)其中e(n,x)有界，同n无关现在对于任意r1,r2,r1/r2不是有理数，假设f(r1*n)和f(r2*n)分别可以用c1*sin(w1*n),c2*sin(w2*n)表示，而且w1-w2不是2pi的倍数w1+w2也不是2pi的倍数，设f((r1+r2)/2*n)和f((r1-r2)/2*n)分别用c3*sin(w3*n),c4*sin(w4*n)表示，于是c1c2*sin(w1*n)sin(w2*n)=c3^2sin^2(w3n)-c4^2sin^2(w4n)c1c2(sin^2((w1+w2)/2*n)-sin^2((w1-w2)/2*n))=c3^2sin^2(w3n)-c4^2sin^2(w4n)对n求部分和再除以n然后让n趋向无穷，左边必然是0，而右边只有c3=c4才为0.
而上面w1-w2是2pi的倍数或w1+w2是2pi的倍数分别代表f(r1*n)=cf(r2*n)和f(r1*n)=-cf(r2*n)
阵容强大的帖。。
如同12楼的记号，我们如下定义一种新“数”，很像p-adic数，这个“数”构成集P这个“数”A由两部分组成i)实数r_A, 0&=r&1,我们称r_A为这个新“数”的小数部分ii)对于每个素数p,定义整数数列a_{p,k},k&=0,0&=a_{p,k}&p,我们称这个为新“数”整数部分关于素数p的分解形式，特别的我们定义 A(mod p^k ) = r_A + \sum_{h=0}^{k-1} a_{p,h} p^h首先，对于两个这样的“数”A,B我们可以定义其加法,A+B=C,要求r_C={r_A+r_B} (小数部分和的小数部分）C(mod p^k) = [r_A+r_B]+A(mod p^k)+B(mod p^k)容易知道这个定义是合法的，而且显然对加法满**换律和结合律。其次我们可以定义其整数乘法，也就是任意选择n in Z 和A in P B=n*A定义为r_B= { n*r_B}同样，对于任意素数pB(mod p^k) = [n*r_B] + A(mod p^k)然后我们可以定义其和整数的除法关系，为上面乘法的逆运算，也就是任意选择 n in Z 和A in P， 设 n = p1^h1*p2^h2*...*pt^ht根据中国剩余定理，存在整数X使得X(mod pi^hi) = A (mod pi^hi) 对于所有1&=i&=t成立我们选择最小的满足条件的正整数X (同样我们可以定义为 A=X(mod n))于是 B=A/n可以如下定义r_B = X/n + r_A/n而B(mod p^k) *n + X = A(mod p^k)然后这样定义的乘法应该满足分配律和结合律也就是对于整数m,n in Z,和A,B in P应该有(m*n)*A=m*(n*A)m*(A/n)=(m*A)/n(m+n)*A=m*A+n*Am*(A+B)=m*A+m*B(A+B)/m=A/m+B/m等等于是对于任意有理数m/n,我们可以定义(m/n)*A=(m*A)/n这样定义以后，P就构成了有理数集Q上的线性空间
然后我们可以定义P上的正弦函数sin(A)=sin(r_A*2*pi)由于R和P都是Q上线性空间，对于R到P上任意一个线性变换L那么函数f(r)=sin(L(r))满足题目的条件。而令一方面，应该有本题的所有解只有4种形式i) f(x)=0,（这个可以看成另外三种的特殊形式)ii) R在Q上的一个线性变换iii)L是R在Q上的一个线性变换，f(r)=c*sh(L(r))iv)L是R到P上的一个线性变换,f(r)=c*sin(L(r))
回复四元数,你说的: 如果f是连续函数, 情况会简单得多? 那么会有多简单呢?
至少结论很简单，就以下函数i) f(x)=0ii) f(x)=cxiii) f(x)=c*sin(dx)iv) f(x)= c*sh(dx)证明过程可以先假设f(x)不全零，然后简单得出性质i) f(x)是奇函数ii) f(c)=0,那么2c是周期。由于连续，任取t使得f(t)!=0,然后如同前面过程得出f(nt)的表达式的四种情况。然后如果存在c&0使得f(c)=0,必然存在最小的c,不妨设0&x&c时f(x)&0然后任意选择t&0,那么f(nt)的表达是只能是正弦函数形式,2c为周期。然后计算我们可以根据f(t),f(2t)计算f(t/2),有两个解，但是另外一个是负数，由此得知f(t/2)唯一确定，...然后可以唯一确定f(t/2^k),有连续性f唯一。而这个正弦函数本身显然满足条件。如果不存在c&0,函数递增，同样需要先确定在所有有理数点的取值然后唯一确定函数
感谢a! 原来函数的连续性是那么重要
找出了个方法可以相当容易证明22楼的结论。首先我们有sin^2(nx)可以写成sin^2(x)的n次多项式而且常数项为0
然后有如果r1*sin^2(nx1)+r2*sin^2(nx2)+r3*sin^2(nx3)+r4*sin(nx4)=0对所有整数n成立，必然要么所有ri*sin(xi)为零或两个为零余下正弦平方相等系数和为零或三个类似正弦相当系数和为零或四个分两组正弦平方相当系数和为零而sin换成sh结论也类似
这可如何是好 太模糊了 没办法
特殊函数论
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生，贴吧更懂你。或江西省九江第一中学学年高一数学下学期第二次月考试题 理_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
高中精品题库
最新高考模拟题
名校精品试卷
江西省九江第一中学学年高一数学下学期第二次月考试题 理
||暂无简介
本机构专门从事中小学在校学生课外辅导培训...|
总评分0.0|
阅读已结束，如果下载本文需要使用2下载券
想免费下载本文？
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩5页未读，继续阅读
你可能喜欢高中竞赛奥赛专题(一)_百度文库
高中竞赛奥赛专题(一)
高中数学竞赛资料
高中竞赛奥赛专题（一）
专题一 记忆能力与运算能力
一 记忆能力
记忆是系统化知识，形成方法,思想的先决条件，因而我们对记忆能力应引起足够的重视。 下面来试试你的记忆能力：
1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：
3．原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数 也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．
4． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
5. 你知道函数
上单调递增；在或的单调区间吗？（该函数在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
你知道判断对数logab符号的快捷方法吗？
“实系数一元二次方程注意到必须有实数解”转化为“”，你是否．若原题中没有指；当a=0时，“方程有解”不能转化为
出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
9. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
10. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换
有着广泛的应用．
你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异
角化同角，异名化同名，高次化低次）
12. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()
13. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？
第1 / 51页
贡献者：兴化星辰
喜欢此文档的还喜欢
1204人阅读}