第3章_甜梦文库
信号与系统引言信号与系统频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。信号与系统发展历史?1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,)在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 ?泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得 到广泛应用。 ?19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 ?进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 ?在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 具有很多的优点。 ?“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。信号与系统主要内容?本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出 傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 ?通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步 掌握傅里叶分析方法的应用。 ?对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅 里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于 傅里叶变换的一种特殊表达形式。 ?本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。信号与系统傅立叶分析－频域分析§ 3.1 周期信号的分解与合成信号与系统周期信号周期信号: 定义在区间 (??, ?) ，每隔一定时间 T ，按相同规律重 复变化的信号，如图所示 。它可表示为f (t)=f ( t+mT )其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。f ?t ?10 T/ 2?1Tt信号与系统周期信号周期信号的特点： （1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间 范围为 (??, ?) （2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 f 0 (t )，则周期信号 f (t ) 可以写成f (t ) ?n ?????f 0 (t ? nT )T 2（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有a ?T?ab ?Tf (t )dt ??bf (t )dt ? ? f (t )dt ?0T?f (t )dt?T 2信号与系统3.1周期信号的分解与合成三角函数集{1, cos ?0t, cos 2?0t, ?, cos n?0t, ?, sin ?0t, sin 2?0t, ?, sin n?0t, ?} 2? 在区间 (t 0 , t 0 ? T ) 内是一完备正交函数集。 T ? ?0正交性:（m 和 n 都是整数）?0 t0 ?T ?T ? cos m?0t cos n?0 tdt ? ? ? t0 ?2 ?T ?t0 ? Tm?n m?n?0 m?n?0t0 ? T? sin m?0t cos n? 0 tdt ? 0t0?0 ? sin m? 0 t sin n? 0 tdt ? ? T ? t0 ?2 ?m?n m?n?0信号与系统3.1 周期信号的分解与合成2?指数函数集{ejn ?0 t}(n ? 0, ? 1, ? 2, ?}T??0在区间 (t , t ? T ) 内也是一完备正交函数集。 0 0 正交性:（m 和 n 都是整数）t0 ?T?ej n?0tejm?0tdt ?t0 ?T?ej ( n ? m )?0tt0t0?0 dt ? ? ?Tm?n m=n信号与系统3.1 周期信号的分解与合成2? f (t )，周期为 T ，角频率 ? 0 ? 2?f 0 ? T1. 周期信号的三角形式表示 周期信号该信号满足狄足赫利条件时，可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。f (t ) ? a0 ? a1 cos ?0t ? a2 cos 2?0t ? ? ? b1 sin ?0t ? b2 sin 2?0t ? ? ? a0 ? ? ?an cos n?0t ? bn sin n?0t ?n ?1 ?式中各正、余弦函数的系数an , bn称为傅立叶系数。信号与系统3.1 周期信号的分解与合成根据正交函数展开理论，容易得到 傅立叶系数公式如下t ?T ? 1 0 ?a0 ? ? f (t )dt T t0 ? ? t ?T 2 0 ? ?an ? ? f (t ) cos n?0tdt T t0 ? ? t ?T 2 0 ?b ? f (t ) sin n?0tdt ? n T t? 0 ?n ? 1, 2,? n ? 1, 2,?式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取(0, T )或T T (? , ) 2 2信号与系统3.1 周期信号的分解与合成??an ?1 ?三角形式的傅立叶级数 还可以写成下面形式 f (t ) ? a0 ??ncos n?0t ? bn sin n?0t ?f (t ) ? A0 ? ? An cos?n?0 t ? ? n ?n ?1两种形式之间系数有如下关系:A0 ? a0 An ? an 2 ? bn 2 bn an?n ? ?arctg? ? n ? 1, 2, ? ? 或 ? ? ? ?a 0 ? A0 ? ? a n ? An cos? n n ? 1, 2, ? ? ? bn ? ? An sin ? n ?信号与系统3.1 周期信号的分解与合成直流分量：其中A0A1 cos(?0t ? ?1 )A2 cos(2?0t ? ?2 )基波：二次谐波：依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基 波分量以及各次谐波分量之和。。 根据前面的傅立叶系数公式知道：an An是 n 的偶函数， 是 n 的偶函数，bn是 n 的奇函数。 是 n 的奇函数。?n信号与系统3.1 周期信号的分解与合成例3-1：将图示的周期矩形波信号展成三角形式傅立叶级数f ?t ?10 T/ 2?1Tt解：直接代入公式有1 a0 ? TT? f (t )dt ? 00信号与系统3.1 周期信号的分解与合成T 2 T 2直接代入公式有an ?2 T??f (t ) cos n?0 tdt ?0T 22 T? (?1) cos n?0tdt ?? T 2 T 202 ? (1) cos n?0tdt T 0?2 1 2 1 ( ? sin n?0 t ) ? (sin n?0 t ) ? 0 T n?0 T n?0 T ? 02bn ?2 TT 2??f (t ) sin n?0 tdt ?T 22 1 2 1 cos n?0 t ? ( ? cos n?0 t ) T n?0 T n?0 T ?2 00T 2?0 2 ? ? (1 ? cos n? ) ? ? 4 n? ? n? ?n = 2, 4, 6, ? n = 1, 3, 5, ?信号与系统所以有?0 ? bn ? ? 4 ? n? ? n = 2, 4, 6, ? n = 1, 3, 5,?an ? 01 1 1 f (t ) ? [sin ? 0 t ? sin 3? 0 t ? sin 5? 0 t ??? sin n? 0 t ??] ? 3 5 n? 4 ? ? bn ? ? n? ?0 ? n ? 1,3,5? n ? 2, 4, 6?4An信号与系统bn ? ? n ? arctan( ) ? ? ? an 2 因此(n ? 1,3,5?)1 f (t ) ? ?? n sin n?0t ? n?1,3,5或4?1 1 ? (sin ?0t ? sin 3?0t ? sin 5?0 ? ?) ? 3 51 ? f (t ) ? ? ? n cos(n?0t ? 2 ) ? n ?1,3,5 4?4例－补充演示信号与系统3.1 周期信号的分解与合成e jx ? e? jx cos x ? 2?2 .周期信号的指数级数表示欧拉公式e jx ? e? jx sin x ? 2jf (t ) ? A0 ? ? An cos?n?0 t ? ? n ?周期信号2? f (t ) ，周期为 T ，角频率 ? 0 ? 2?f 0 ? T? jn? 0 tn ?1该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。f (t ) ?式中n ???? Fn e其中Fn ?1 TT 2??f (t )e - jn?0t dt ,n = 0, ? 1,?2, ?T 2Fn 称为傅立叶系数，是复数。信号与系统3.1 周期信号的分解与合成a n , bn 中的下标变量取值范围Fn中的下标变量取值范围是在三角形式的傅立叶级数中，系数 为 n ? 0，在复指数形式的傅立叶级数中，系数(??, ?)Fn ejn?0t分量的频率是n?0，而分量jn?0tF?n e-jn?0t 的频率是 ? n?0 。 e-jn?0t除了直流分量F0，单独一个Fn e jn?0t 不能构成物理上一个谐波分量，和F?n必须是对称的两个分量 量。Fn e才构成物理上的一个谐波分信号与系统两种形式傅立叶级数中系数的关系:? F0 ? a0 ? ? Fn ? 1 (an ? jbn ) ? 2 ? 1 ? F? n ? (an ? jbn ) ? 2n ? 1, 2,3,? n ? 1, 2,3,?信号与系统例3-1-1：将图示周期矩形信号展成指数形式傅立叶级数f ?t ?10 T/ 2?1Tt解：直接代入公式有? 2j b ?? 1 Fn ? (an ? jbn ) ? ? j n ? ? n? 2 2 ? ? 0 n ? ?1, ?3, ?5? n ? ?2, ?4, ?6?信号与系统f (t ) ? ?2j?ej?0t2 j j 3?0t 2 j ? j?0t 2 j ? j 3?0t ? e ?? ? e ? e ?? 3? ? 3?Fn ?2 (n ? ?1, ?3, ?5?) n?? ? ?? 2 (n ? 1,3,5?) ? ?n ? ? ? ? (n ? ?1, ?3, ?5?) ? 2 ?信号与系统 ? 4 ? An ? ? n? ?0 ?n ? 1,3,5? n ? 2, 4, 6?2 Fn ? n?(n ? ?1, ?3, ?5?)?n ? ? 2 An 4?4 3??(n ? 1,3,5?)? ? ?? 2 ? ?n ? ? ?? ? 2 ?(n ? 1,3,5?) (n ? ?1,?3,?5?)Fn 2?4 5?2 3?? ???5?0 ?3?0 ??0? n ? 3? 5? 0 0 0?0 ?0 03?0 5?0?n?0? 23?0? 5?0 ?2 5??? ?5?0 ?3?0 ??0?? 2??03?0 5?0? 2? ?信号与系统例3-2： 将图示周期矩形信号展成指数形式傅立叶级数解： 直接代入公式有1 Fn ? TT 2??T 2-jn? t 1 1 2? ? f (t )e-jn?0t dt ? ? 2e-jn?0t dt ? ? 2e 2 dt (?1 ? ? ) 40 40 T 2 1 1-jn? -jn? 1 1 -jn? jn? 2 -jn? ? n? ? ?? (e 2 ? 1) ? e 2 (e 4 ? e 4 ) ? e 2 sin ? ? jn? jn? n? ? 4 ?f (t ) ?所以n ?????Fn e jn?0t2 -jn? ? n? ?? e 4 sin ? ? 4 n =-? n??? jn?1t ?e ?信号与系统3.2 周期信号的频谱1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各 分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 Fn 或 的变化称为信号的幅度谱。An 随频率或角频率 n?0而把各个分量的相位 ? n 或 ? n 随频率或角频率 称为信号的相位谱。 幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。n?0的变化三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为单边谱， 指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称为双边谱。信号与系统3.2 周期信号的频谱- j?0t例f (t ) ? A0 ? A1 cos(?0t ? ?1 ) ? A2 cos(?0t ? ? 2 ) = F0 ? F?1eAnA1幅度谱? F1ej?0t? F?2 eFn- j2?0t? F2 ej2?0tF0 ? A0A1 j? 1 F1 ? e 2A1 -j? 1 F?1 ? e 2幅度谱A0A2F?1F?2F0F1F20?02?0n ?0? ?0 ? 2?0 0?02?0n?0?a ??n?1相位谱?c ??n? 2?0 ? ?00?1?0相位谱A2 j? 2 F2 ? e 2n?0?22?0?22?0F?2 ?0?0n?0? ?2A2 - j?2 e 2?b ?单边谱? ?1?d ?双边谱信号与系统例 将图示周期矩形信号展成指数形式傅立叶级数Af ?t ???T???2?2Tt解： 直接代入公式有1 Fn ? TT 2??T 2? n? ? sin ? 0 1 2 -jn?0t A? -jn?0t ? 2 f (t )e dt ? ? Ae dt ? n?0? T ? T ? 2 2?? ? A? ? n?0? ? ?= Sa ? ? T ? 2 ?f( 所以t ) ?n ? ??Fn e jn?0t ??A? ? Tn =- ?? Sa(?n? 0? jn?0t )e 2取样函数信号与系统取样函数的特点1sin x Sa ? x ? ? x （1）是偶函数? 4? ? 3? 2? ?Sa (t ) ?取样函数??sin t t?2? 3? 4?（2）可看作以1/x为振幅的“正弦函数” （3） （4）sin x x ? k? , ? Sa ? x ? ? 0; x ? 0, ? limSa ? x ? ? lim ?1 x ?0 x ?0 x??0Sa ? x ?dx ??2,????Sa ? x ?dx ? ?信号与系统3.2 周期信号的频谱A? ? n?0? ? Sa ? 周期矩形脉冲信号的傅立叶系数为 Fn ? ? T 2 ? ?频谱图： 幅度谱FnFn?a ??2?02???0?4??n?002??n?0?n?c ?若把相位为零的分量的幅度看作正值， 把相位为±π的分量的幅度看作负值，那 n?0 么幅度谱和相位谱可合二为一。相位谱?b???信号与系统3.2 周期信号的频谱Fn各条谱线顶点的联线称为谱线包络线。如 果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看 成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰 称为主峰。主峰高度 F0 ?包络主峰两侧第一个零点为 ?A? T02??n?02??c ?信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为? 2? 0~ 包含信号主要频谱分量的 这段频率范围称为矩形脉冲 ?Bf ?1?或B? ?2??信号与系统在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B? ? 或B f ? ，带宽与脉宽成反比。 ? ? 1 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F ?n?1 ? max 的 频率区间定义为频带宽度。系统的通频带&信号的带宽，才能不失真语音信号 频率大约为 300~3400Hz， 音乐信号 50~15,000Hz， 扩音器与扬声器 有效带宽约为15~20,000Hz。信号与系统3.2 周期信号的频谱周期信号频谱的特点： (1)离散性――谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； (2) 谐波性――谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍； (3) 收敛性――谱线幅度随n ? ? 而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱 线的高度也无限减小信号与系统3.2 周期信号的频谱典型周期信号的频谱f ?t ?T：脉冲周期A??T??A：脉冲幅度?t：脉冲宽度?2?2TT?2? ：三角函数公共周期 ?0第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数? f(t)是偶函数a0bn=02 ? T?T 2 T ? 22 ? 2 A? f (t )dt ? ? 2 Adt ? ? T ?2 T信号与系统3.2 周期信号的频谱T 2 T ? 2n?? 2 2 A n?? 2 A? T ? 2 A? Sa( n?? ) ? ? f (t ) cos n?1tdt ? sin ? ? an T n?? n? T T T T T ? 2? A ? 2 A? n?? T? : 公共周期 f (t ) ? ? ? Sa( T ) cos(n?1t ) ?1 T T n ?1 sin? A? T ? 2 A? T?n ?1?Sa(n?1 ? 2) c os n?1t ) (第二步：展成指数形式傅立叶级数f(t) 1Fn ?1 T??2 ??Ae?? jn?1tdt ?2n? ? A? Sa( 1 ) T 2?4? ?3? ?2?f (t ) ? S? (t ) ?2?sin t ttf (t ) ?A? Tn ????Sa(n?1? jn? t )e 1 2?? 0 ?3? 4?信号与系统3.2 周期信号的频谱n? ? 2 A? 2 A? n?? Sa( 1 ) ? Sa( ) T 2 T T第三步：频谱分析AnFn ?An?an?2?b n2?an??n? ? A? A? n?? Sa( 1 ) ? Sa( ) T 2 T T1 与 之比值有关，取 T ? 5 TAn 与 Fn 包络线均为 Sa ( n? 1? )当??22 ? ?? , ? 2? ,...... n? 时 ?2?n?1Sa( Sa(为离散频率)?0??2 2即 ? ???,?4??,...... ?2 n????)?0信号与系统3.2 周期信号的频谱计算第一个振幅为零的谐波次数nn?1? 2? n 2?? ? ? 将 ?1 ? ?? 令 代入得 2 T 2T T ? 1 n ? ? 5 （取 ? 即 ） ? T 52 A? TAn2?14?Sa (t ) ?sin t t?抽样函数?1 2?1 3?1 4?1 5?1?? ? 4?? 3? ? 2????2? 3? 4?幅度频谱图信号与系统3.2 周期信号的频谱? ? tg b a?1 n n n?n?? ?? ?0an & 0?05?1 6?1??jNan ? 0T 210?1? An???An e0n? ? 2 A? ? ?2 ? Sa ( 1 ) Fn相位频谱图Sa ( n?1? )?0即 2 n? ? Sa( 1 ) ? 0 即 2Fn&0n?Fn&0信号与系统3.2 周期信号的频谱第四步：讨论频谱结构与?、T 的关系A? ?0 T2? A? 1.当 ? 不变，T增大，谱线间隔 ? 1 ? T 减小，谱线逐渐密集，幅度 T 减 小当 T ???1 ? 0非周期信号连续频谱非周期信号n?1 连续频率2.当T不变， ? 减小时 T不变? ??A? ? T?0 ?2? 间隔不变 T振幅为0的谐波频率? 2? 4? ? , ,......? ? ? ?? ? ?信号与系统3.2 周期信号的频谱Fn?不改变A? TT ? 2?随着T的增大，各条谱线 高度减小、谱线变密。4?02?Fn?不改变A? T0A? T?T ? 4? 2??n?0?FnT ? 8?n?0当T→∞时，则各条谱线 高度→0 ，各谱线间隔也 →0 ，这时周期信号已转 化为非周期信号，离散 谱线变为连续谱线期信 号的频谱?不改变02??n?0信号与系统3.2 周期信号的频谱FnT不改变T ?? 2当τ增大到τ=T时，则02?Fn ? ASa(n? )n ?0?FnT不改变0??2?T 4n ?0?T不改变Fn??T 62? n ?00?信号与系统3.2 周期信号的频谱P?T 22. 周期信号的平均功率和功率谱 周期信号的平均功率为 根据傅立叶级数展开有 P ? 1 T?1 TT 2?f (t ) dtT 22?T 2T ? 2?1 f (t )dt ? T2 T 2?f (t ) ? Fn e jn?0t dtn ??? ? ???T 2即1 P? TT 21 ? ? Fn T n ????f (t ) dt ?2?T 2n ?????Fn2T ? 2?f (t )e-jn?0tdt ?n ????Fn Fn ?n ????Fn2称为周期信号的帕什瓦尔(Parseval)定理。表明周期信号的平 均功率等于各个复指数信号分量的平均功率之和，即总平均功 率是各个分量平均功率之和信号与系统3.2 周期信号的频谱帕什瓦尔公式还可以写成P?n ? ???F?2n1 ? 2 ? A ? ? An 2 n ?12 0周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波 分量的平均功率之和。各平均功率分量 简称功率谱。Fn2与频率的关系，称为周期信号的功率频谱，周期信号的功率谱也是离散谱。信号与系统3.2 周期信号的频谱例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 0 ~ 2? 内谐波分量所具 ?τ=0.05s。f ?t ?有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s,A??T???2?2Tt信号与系统3.2 周期信号的频谱解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为A? ? n?0? ? Fn ? Sa ? ? T ? 2 ?将A＝1，T＝0.25s， τ=0.05s，ω0 =2 π /T=8 π代入得信号总平均功率为1 ? n?0 ? Fn ? Sa ? ? 5 ? 40 ??2 1 401 P? TT 2?1 f 2 (t )dt ? ?T T2???2f 2 (t )dt ? 4 ? 12 dt ? 0.2000? 1 40信号与系统在有限带宽 0 ~ 2? 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。?有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为P' ? F0 2 ? 2? Fnn ?1421 2 2 2 ? 2 2? 2 3? 2 4? ? ( ) ? 2 [Sa ( ) ? Sa ( ) ? Sa ( ) ? Sa ( )] ? 0. 5 5 5 5P' 0.1806 ? ? 0.904 ? 90.4% P 0.2000信号与系统周期信号的对称性与傅立叶系数当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中，傅立叶系数 的计算大为简化。（1）偶对称f (t ) ? f (?t )f ?t ?A?bn ? 0 ? T ? 22 ?a0 ? ? f (t )dt ? T 0 ?T ? ? T ? 42 ?an ? ? f (t ) cos(tn?0 )dt , n ? 1, 2,3,? T 0 ? ?0T 2Tt信号与系统周期信号的对称性与傅立叶系数f ( t ) ? ? f ( ?t )f ?t ?（2）奇对称10 T/ 2?1Tt?an ? 0, n ? 0,1, 2,? ? T ? ? 42 ?bn ? ? f (t )sin(n?0t )dt , n ? 1, 2,3,? T 0 ? ?信号与系统周期信号的对称性与傅立叶系数f ?t ?1?T（3）偶半波对称T f (t ) ? f (t ? ) 20T/2Tn为奇数时 偶半对称信号的第二个半周波形与 ?an ? bn ? 0 ? T 第一个半周波形相同，其基波频率 ? 22 为2ω0，进行傅立叶级数展开时只含 ?a0 ? ? f (t )dt 有偶次谐波项，所以偶半波对称信 T 0 ? ? 号有时称为偶谐信号。 T ? ? 42 ?an ? ? f (t ) cos(n?0t )dt n为偶数时 T 0 ? ? T ? 42 ?bn ? ? f (t ) sin( n?0t )dt n为偶数时 T 0 ? ?t信号与系统（4）奇半波对称1f ?t ?T f (t ) ? ? f (t ? ) 2?a0 ? an ? bn ? 0 ? T ? 42 ?an ? ? f (t ) cos(n?0t )dt ? T 0 ? ? T ? 42 ?bn ? ? f (t ) sin(n?0t )dt T 0 ? ??T0T/ 2－1Ttn为偶数时 n为奇数时奇半对称信号的第二个半 周波形为第一个半周波的 负值。进行傅立叶级数展 开时只含有奇次谐波项， 所以奇半波对称信号有时 称为奇谐信号。n为奇数时信号与系统f (t ) 的对称条件f (t ) ? f (?t ) 纵轴对称（偶函数）f (t ) ? ? f (?t ) 原点对称（奇函数）T f (t ) ? f (t ? ) 半周重叠（偶谐函数） 2展开式中的的系数特点4 t0 ? T bn ? 0，an ? ? 2 f (t ) cos n?1tdt T t04 t0 ? T an ? 0，bn ? ? 2 f (t ) sin n?1tdt T t0无奇次谐波，只有直流偶次谐波T ? f (t ) ? f (t ? ) 半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次谐波 2信号与系统f (t )例：有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。??T? T 2ET 2?T解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式tf (t ) ?2E t T 2E ? t TT 0?t ? 2 T ? ?t ?0 2f(t) 是偶函数，故 bn ? 00 2E 2 T 2 T 2E 2 2 a0 ? ? T f (t )dt ? [? tdt ? ? T tdt ] ? E ? T ?2 T 0 T 2 T信号与系统AnE1?13?1?5?14E 25? 2?4 T 2E 2? 2 an ? ? t ? cos n?1tdt (?1 ? ) 0 T T T T T 8E t 1 2 ? 2 ? 2[ sin n?1t 0 ? sin ?1tdt] 0 n? T n?1 12E ? [(?1) n ? 1] ( n? ) 2 ?4E ? ( n? )2 0 ( n为奇数) ( n为偶数)0? 4E4E ? 2 9??2E 4E ? 1 2n? f (t ) ? ? 2 ? 2 cos t 2 ? n?1,3,5? n T信号与系统例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅f (t )1T t立叶展开式并画出其频谱图。解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式 2 T T f (t ) ? t ? ?t ? T 2 2 f(t) 是奇函数，故 an ? 0信号与系统An2?2 3?4 T bn ? ? 2 f (t ) sin n?1tdt T 0 4 T 2 ? ? 2 t sin n?1tdt T 0 T4?1? 1 2?2? (?1 ? ) T01?12?1? 13?1?8 t 1 ? 2 (? cos n?1t ? sin n?1t ) 2 T n?1 (n?1 ) 0 2 ? (?1) n ?1 n?T 2?f (t ) ?? (?1) ?n ?12?n ?11 2n? sin t n T信号与系统例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。f (t )解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式4 T T 2? t ?t ? T 4 2 4 T T t ? ?t ? T 4 4 4 T T ?2? t ? ?t ?? T 2 41T ? 2 T T 4 2Ttf (t ) ?2 T 2 ?T 4 2 4 an ? ? T f (t ) ? cos n?1tdt ? [ ? T (?2 ? t ) ? cos n?1tdt ? T ?2 T ?2 T?T 4 T ? 4T 4 4 2 t ? cos n?1tdt ? ?T (2 ? t ) ? cos n?1tdt] ? 0 T T 4信号与系统4 T 2? bn ? ? 2 f (t ) sin n?1tdt (?1 ? ) 0 T T T 4 T 4 4 ? [ ? 4 t sin n?1tdt ? ?T2 (2 ? t ) sin n?1tdt] T 0 T T 4? 16 t 1 [(? cos n?1t ? sin n?1t ) 2 2 T n?1 (n?1 ) 0 t 1T 44 ? (? cos n?1t ? sin n?1t ) ] ? cos n?1t 2 n?1 (n?1 ) Tn?1 T T4n ?1 8 (?1) 2 2 2 ? nT 2T 24n? ? 2 2 sin ? n? 2 8n为奇数0n为偶数信号与系统f (t ) ?An8 ?28?2n ? 2 j ?1??(?1)n ?11 2n? sin t 2 n Tj ? 1, , 2?3?108 25? 21?1－ 8 9? 25?1?信号与系统周期信号的对称性与傅立叶系数例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅立叶展开式并画出其频谱图。f (t )E解:3T 2 T an ? ( ? 4 E cos n?1tdt ? ?T 4 E cos n?1tdt) T 0 20T 4T 2Tt2E 1 T 1 3T ? ( sin n?1 ? ? sin n?1 ? T n?1 4 n?1 4 ? ? T sin n?1 ? ) n?1 2 1E n? 3n? (sin ? sin )?0 n? 2 2信号与系统AnE?E 2?3T 2 T bn ? ( ? 4 E sin n?1tdt ? ?T 4 E sin n?1tdt) T 0 2E 3?6?102?14?1?E n? 3n? ?? (cos ? 1 ? cos ? cos n? ) n? 2 2 0 n为奇数 E ? (1 ? cos n? ) ? n? 2E n为偶数 n?? f (t ) ?2E1 2n? sin ?j n T t ? n?2?j ? 1、 ? 2、信号与系统傅立叶级数的收敛性从数学上来讲，并不是任何周期信号都可以展开成傅立叶级数的。以 T 为周期的周期信号 f (t) ，在展成傅立叶级数时，必须满足下列三个条件： (1) 函数 f (t) 在一个周期内必须绝对可积，即?T 2 T ? 2f (t )dt ? ?(2) 在一个周期内 f (t) 只有有限个极大值和极小值。(3) 在一个周期内 f (t) 只有有限个不连续点，而且在不连续点处，f (t) 值是有限的。上述三个条件称为狄里赫利条件。信号与系统傅立叶级数的收敛性满足狄里赫利条件的信号 f (t) ，其傅立叶级数将在所有连续点收敛于f (t) ，而在不连续点上将收敛于的左极限和右极限的平均值。也即若在 t1点连续，则n ???Fn e jn? 0t1 ? f (t1 ) ??若 f (t) 在 t1 点处不连续，则n ????F en?jn? 0t11 ? ? ? [ f (t1 ) ? f (t1 )] 2狄里赫利条件表明，能够用傅立叶级数表示的函数不一定都是连续函数。 满足狄里赫利条件的不连续函数，在所有不连续点上，级数的总和等于左 右极限和的平均值。信号与系统有限项傅立叶级数周期信号用傅立叶级数表示时，理论上需要无限多项才能逼近原波形。如果用有限项来逼近，则称为部分和。如果截取 －N~N 项，此时函数 f (t) 用f N (t ) 表示，即f N ?t ? ?n ?? NFn e jn?0t1 ?N信号与系统有限项傅立叶级数T=1 时，N=1,3,5 。从图中可以看出，在不连 续点附近，部分和有起伏，其峰值几乎与N无 关。随着N的增加，部分和的起伏就向不连续 点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小 保持不变而趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。 这种现象叫吉伯斯(J. Gibbs)现象。为了消除Gibbs现象，在取有限项傅立 叶级数的时候可加平滑谱窗进行处理。信号与系统3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换信号与系统一、从傅立叶级数到傅立叶变换对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T ? ? 时，有f T ?t ?AT ??lim f T (t ) ? f (t )??T0?Tf T ?t ?A??TA?0Tf ?t ?T ??当 T 增加时，基波频率变小、离 t 散谱线变密，频谱幅度变小，但 频谱的形状保持不变。 在极限情况下，周期T为无穷大， 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷 小。这样，原来由许多谱线组成 t 的周期信号的离散频谱就会联成 一片，形成非周期信号的连续频 谱。t??0 ? 2 2信号与系统傅立叶变换2? ? ??0 ? T ? ?? ? d? ? ?n? ? n?? ? ? ? 0 ? Fn ? 0 ?T 2T?? 时TFn ?T 2??f T (t ) e ? jn?0t dtT 2TFn趋于有限值，记为 F(? ) ，即F (? ) ? lim TFn ? lim F ( jn?0 ) ? limT ?? T ??T ???fT (t )e ? jn?0t dt ??或者是2?Fn Fn F (? ) ? lim TFn ? lim ? lim T ?? ?? ?0 ?? ?f ?0 ?f?T 2???f (t )e? j ? t dt信号与系统傅立叶变换2?Fn Fn F (? ) ? lim TFn ? lim ? lim T ?? ?? ?0 ?? ?f ?0 ?f 可以看出，F(? ) 实际上表示了频率为 n? 0分量的复振幅 Fn 与频率增 量 ?f 的比值，因此可以理解为是一种密度频谱。即 F(? )表达了信号在ω处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对 信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义，所谓求信号 的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。信号与系统傅立叶变换F(? ) 一般为复函数，可以写为 F (? ) ? F (? ) e j? (? )F (? ) ~ ?曲线称为非周期信号的幅度频谱 曲线称为非周期信号的相位频谱? (? ) ~ ?幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。信号与系统傅立叶变换由信号的频谱 因为F(? ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式?? F ( jn? 0 ) jn? 0t F ( jn? 0 ) f T (t ) ? ? e ? ? ? 0 e jn? 0t T 2? n ??? n ???T→∞ 时，有F ( jn?0 ) f (t ) ? lim fT (t ) ? lim ? ?0 e jn?0t T ?? T ?? 2? n ???? ? 1 1 jn?0t ? lim ? F (? ) e ?? ? 2? T ?? n ??? 2? ? ???F (? ) e j? t d?这就是傅立叶反变换的公式。信号与系统傅立叶变换一般用符号F 表示取傅立叶变换 ，这样有? ??F (? ) ? F ? f ?t ?? ??f (t ) e ? j?t dt?傅立叶正变换1 -1 f (t ) ? F ?F (? )? ? 2???F (? ) e j? t d? ?傅立叶反变换上两式称为傅立叶变换对，其中第一式称为傅立叶正变换，简 称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换，简称傅氏反变换。 并采用下列记号：f (t ) ? F (? )信号与系统傅立叶变换1 f (t ) ? 2? 1 f (t ) ? 2? 1 ? 2?? ? ????? ??F ( j? )e j?t d ? 的三角函数形式 F ( j? ) e j[(?t ?? ( ? )]d ? F ( j? ) cos ??t ? ? (? ) ? d ????? ????1 ? j 2????F ( j? ) sin ??t ? ? (? ) ? d ?奇函数积分为零1 ?? ? ??? F ( j? ) cos ??t ? ? (? )?d? 2? 1 ?? ? ? F ( j? ) cos ??t ? ? (? ) ? d ??0信号与系统傅立叶变换 讨论：f (t ) ?从上式可以看出：1. 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分 量。??1??0F ( j? ) cos ??t ? ? (? )?d?2. 不同的是，由于非周期信号的 T ? ?, ? 1 ? 0, 于是它包含了从零到无 限高的所有频率分量。3. 同时，三角函数振幅 F ( j? ) d? ? 0，故用频谱不能直接画出，必须用 ? 它的密度函数作出。 4. 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。 即?? ??f (t ) dt ? ? 绝对可积，但是是充分条件，而非必要条件。信号与系统二、非周期信号的能量谱一般来说，非周期信号的能量是有限的，而平均功率等于零，所以 它只有能量频谱而无功率频谱，对非周期信号，有?????f 2 (t )dt ????1 f (t )[ 2????? ??F (? )e j?t d? ]dt1 ? 2? 1 ? 2? 1 ? 2??? ??F (? )[ ? f (t )e- j? t dt ]d????? ?? F (? )F (? )d? ?F ?? ? d?2?? 即F ?? ? 2 函数为非周期信号的能量密度谱，简称为能量谱 。 定义上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式，该式说明在 时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（1）矩形脉冲信号? ?A ? f (t ) ? ? ?0 ? ??t ? t ?? ?2 2?2 ?或? ? ? ? ? ? ?? G? (t ) ? A ?? ? t ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ??sin(F (? ) ????22Ae-j?t Ae dt ? ? j?-j?t?2A j? ?2 -j? ?2 ? (e -e ) ? A? j???2)??2? A? Sa(??2)幅度谱F (? ) ? A? sin(相位谱??2)??2? A? Sa(??2)? ?0 ? ? (? ) ? ? ?? ? ?A?Sa( A?Sa(?? ??2 2)?0 )?0信号与系统三、典型信号的傅立叶变换由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数，其大部 分能量集中在低频段。一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点 到第一个零点的宽度，即矩形脉冲信号的有效带宽是B? ?2??或 Bf ?1?即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的。G? ?t ?F (? )AA???20?2t?4??2 ??a ???02?4? 6??b ?????信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（2）单边指数信号f (t ) ? e? at ? (t ), a ? 0?傅立叶变换为F (? ) ????f (t )e-j?t dt ????e ? at u (t )e-j?t dt ?-(a+j? ) t ?? ? e? at e-j?t dt ?0?e 1 ? ? ( a ? j ? ) 0 a ? j?相位谱幅度谱F (? ) ?1 a2 ? ?2? ? (? ) ? ?arctg( ) a信号与系统三、典型信号的傅立叶变换一般认为幅度谱下降到 0.1 倍最大值时的宽度为信号的有效带宽， 所以单边指数信号的有效带宽是B? ? 10a同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。Af ( t ) ? e ? at u ( t )F (? )? (? )?21/ a0 ?2?0?a ?t? 10a0?b?10a???c ?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（3）双边指数信号傅立变换为f (t ) ? e??a t,a?00 ?F (? ) ? ???? 0 ??f (t )e-j?t dt ????e?a te-j?t dt ???e at e-j?t dt ? ? e ? at e -j?t dt ?0??e( a -j? )t dt ? ? e ? ( a ? j? ) t dt ? ?01 1 2a ? = 2 a ? j? a ? j? a ? ? 2相位谱幅度谱F (? ) ?2a a2 ? ?2? (? ) ? 0信号与系统三、典型信号的傅立叶变换沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到 0.1 倍最大值时 的宽度为信号的有效带宽，则双边指数信号的有效带宽是B? ? 3 a同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的。f ?t ?12 aF (? )0?a ?t? 3a0?b ?3a?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（4）符号函数??1 f (t ) = Sgn(t ) ? ? ??1t?0 t?0符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅立叶变换。可以借助 于符号函数与双边指数函数相乘所得函数的傅立叶变换，然后取极 限，从而得出符号函数的频谱，即f1 (t ) ? eF1 (? ) ?因为所以?a tSgn(t ) ? ?eat u(?t ) ? e? at u(t ), a ? 0??????f 1 (t )e -j?t dt ?(-e at )e -j?t dt ? ? e ? at e -j?t dt = ?00??2 j? a2 ? ? 2f (t ) = Sgn (t ) ? lim f1 (t )a?0F (? ) ? lim F1 (? ) ? lima ?0?2j? 2 ? a ?0 a 2 ? ? 2 j?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换符号函数很类似于直流信号，但符号函数的平均值为零，所以符 号函数不含直流成分。 符号函数只是在原点处有跳变，所以符号函数含有各种频率分量， 且大部分频谱集中在低频附近。 符号函数不是能量函数，所以在 ? ? 0 附近，符号函数的频谱幅 度趋于无穷大。f (t )1F (? )? (? )?20?1t?a ?0???0?2?b??c ?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（5）单位冲激信号? (t )F (? ) ??根据定义，单位冲激信号的频谱为上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。若 τ→0 ，且 Aτ＝1 ，这 时矩形脉冲就变成 ? (t了，其对应频谱必为常数1 。 ) 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1。? ?t ?F ?? ?1t??? (t )e-j?t dt ? 1 ??1?00物理意义：在时域中 变化异常剧烈的冲激 函数包含幅度相等的 所有频率分量。 因此这种频谱常称为 “均匀谱“或”白色 ? 谱“。信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（6）常数函数（直流信号） f (t ) = A 直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换。 当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的傅 立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。而矩形脉冲的傅立叶变换为F (? ) ? A?根据极限关系sin(??2)??2? (? ) ? limk ??sin k???sin(??2所以有 即? ??lim F (? ) ? lim A?? ??)1 ? 2?? (? )??2? 2?A ? lim2sin(??2)????? 2?A? (? )信号与系统三、典型信号的傅立叶变换1 ? 2?? (? ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 ? ? 0 的频率成分，而从频谱的角度理解傅立叶变换对不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，所以直流信号在 ??0f ?t ?处的谱密度是无穷大。F ?? ?2?? ?? ?t010?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（7）单位阶跃信号 因为? (t )1 1 ? (t ) ? ? Sgn(t ) 2 2所以容易求得单位阶跃信号的傅立叶变换为1 1 1 ? (t ) ? ? Sgn(t ) ? ?? (? ) ? 2 2 j?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换单位阶跃函数的频谱在 ? ? 0 点存在一个冲激函数，因单位阶跃函数含 有直流分量。此外，由于单位阶跃函数也不是纯直流信号，它在 ? ? 0 点有跳变，因此在频谱中还出现其它频率分量。f (t )10F (? )?? ?t?a ?0 ?b??信号与系统三、典型信号的傅立叶变换（8）三角形脉冲信号 傅立叶变换为?t ? ? A(1 ? ) f (t ) ? ? ? ?0 ?0t ?? t ???令 得t ? ?x0 ??t - j?t t - j?t - j?t F (? ) ? ? f (t )e dt ? A ? (1 ? )e dt ? A? (1 ? )e dt ? ? ?? ?? 0t-j?t 0A ? (1 ? )e dt ? ? A? (1 ? )e j? x dxx???? A? (1 ? )e dx ? A? (1 ? )e j?t dtj? x 0?x?t?0?信号与系统三、典型信号的傅立叶变换所以F (? ) ? A? (1 ? )e dt ? A? (1 ? )ej?t 0?t?t-j?t?0?dt ? A? (1 ? )(e j?t ? e -j?t )dt0?t?t 1 1 1 1 ? 2 A? (1 ? )cos?tdt ? 2 A[ sin ?t ? ( 2 cos?t ? t sin ?t )]0????? ??0=2A? ?2(1 ? cos?? ) ?f (t )4A? ?2sin 2 (??2) ? A?Sa 2 (F (? )??2)AA???0 ?a ??t?2??0 2? 4? ?b ? ? ??信号与系统3.4 傅立叶变换的性质与应用信号与系统一、线性性质若 则f1 (t ) ? F1 (? ),f 2 (t ) ? F2 (? )a f1 (t ) ? b f 2 (t ) ? a F1 (?) ? b F2 (?)其中，a, b 均为常数。 说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。例:1 1 1 ? (t ) ? ? sgn(t ) ? F (? ) ? π? (? ) ? 2 2 j?信号与系统二、时移性质，则若 f (t ) ? F (? )f (t ? t0 ) ? F (? )e-j?t0f (t )e? j? t 0f (t ? t0 )说明:信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应。 应用：要使信号 f (t) 经过系统传输之后延时 t0，则必须设计成 使系统的每一个频率分量都滞后相位ωt0，否则会引起失真。信号与系统二、时移性质f ?t ?例3-3：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。EO?T??2?2Tt(a)三脉冲信号的波形解： 令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱 函数为F0(ω)，则E?F0 ?? ?2π? ?? ? F0 (? ) ? E? ? Sa ? ? ? 2 ??O(b)?信号与系统二、时移性质E?F0 ?? ?因为f (t ) ? f 0 (t ) ? f0 (t ? T ) ? f 0 (t ? T )由时移性质可知三脉冲函数f (t)的频2π谱函数F(ω)为?OF ?? ?3 E?F (? ) ? F0 (? ) ?1 ? e j?T ? e ? j?T ? ? ?? ? ? E? ? Sa ? ? ?1 ? 2 cos(?T ) ? ? 2 ?脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。?2π2π 4π T T (c)三脉冲信号的频谱O??信号与系统三、频移性质，则若f (t ) ? F (? )f (t )e j?0t ? F (? ? ?0 )j? t说明:信号在时域中乘以 e 0 ，实际上是将信号在频域当中将 整个频谱沿频率轴右移ω0个单位。 频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解 调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。 频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选 取为正弦信号 sin ? 0 t 或 cos ? t 。1 f (t ) cos?c t ? ?F ? j? ? j?c ? ? F ? j? ? j?c ?? 2 j f (t ) sin ?c t ? ?F ? j? ? j?c ? ? F ? j? ? j?c ?? 20信号与系统三、频移性质F ( j? )f (t )A? ? 20? 2?tf (t ) cos?ct1 ?F ( j? ? j?c) ? F ( j? ? j?c)? 2?? 2? 2t?信号与系统四、尺度变换（展缩）性质，a若 则f (t ) ? F (? )? 0 为任意实常数，1 ? f (at ) ? F ( ) a a当 a=－1 时，有 f (?t ) ? F (?? ) 说明:信号在时域中压缩（a&1）等效于在频域中扩展信号在时域中扩展（a&1）等效于在频域中压缩。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。 物理意义:信号的波形压缩 a 倍，则信号随时间变化加快 a 倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。信号与系统四、尺度变换性质f1 (t )1F1 ( j? )?? 2?? 0 2t?4???2??2? ?4? ??f 2 (t )12?F2 ( j?)??0?t??2???? ? ? ?2? ?信号与系统四、尺度变换性质1 ? f (at ? t0 ) ? F ( )e a a延时t0 尺度变换a如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：- j? t0 af (t ) ? f (t ? t0 ) ? f (at ? t0 )即F (? ) ? F (? )e-j? t0延时t0尺度变换a1 ? -j? t0 ? F ( )e a a af (t ) ?或尺度变换af (at ) ? f (at ? t0 ) 1 ? 延时t0/a 1 ? -j? a0 F( ) ? F ( )e a a a at延时t0/aF (? ) ?尺度变换a信号与系统五、时域卷积性质f1 (t ) ? F1 (?),? ?若 则 证明：f 2 (t ) ? F2 (?)f 1 (t )? f 2 (t ) ? F1 (? ) F2 (? )f1 (t ) ? f 2 (t ) ?? ? ?? ??[ ? f1 (? ) f 2 (t ? ? )d? ]e-j?t dt ???? ??[ ? f1 (? ) f 2 (t ? ? )d? ]e-j?t dt ? ?????f1 (? )[ ? f 2 (t ? ? )e-j?t dt ]d????由时移性质得????f 2 (t ? ? )e - j?t dt ? F2 (? )e - j???所以 即???f1 (? )F2 (? )e-j?? d? ? F2 (? ) ? f1 (? )e-j?? d? ? F1 (? ) F2 (? )??f 1 (t )? f 2 (t ) ? F1 (? ) F2 (? )信号与系统六、频域卷积性质f1 (t ) ? F1 (?), f 2 (t ) ? F2 (?) 1 f 1 (t ) f 2 (t ) ? F1 (? )? F2 (? ) 2?? ?若 则 证明：1 1 2 j?t F1 (? ) ? F2 (? ) ? ( ) ? e [ ? F1 (u)F2 (? ? u)du]d? 2? 2? ?? ??令 所以 1 F1 (? ) ? F2 (? ) ? ( 1 )2 ? e j( x+u )t [ ? F1 (u)F2 ( x )du]dx 得 2? 2? ?? ??1 ? ( )2 ? e jxt e jut [ ? F1 (u )F2 ( x )du ]dx 2? ?? ?? 1 ? ( ) 2 ? F2 ( x )e jxt dx ? F1 (u )e jut du ? f1 (t ) f 2 (t ) 2? ?? ??频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。? ? ? ???信号与系统七、时域微分性质, 则若f (t ) ? F (? )df (t ) ? j?F (? ) dt1 f (t ) ? 2?? ??证明：由傅立叶反变换F (? )e j?t d? ??两边对时间变量 t 求导得df (t ) 1 ? dt 2????j?F (? )e j?t d?推广：对高阶导数情况，有d n f (t ) ? ( j? ) n F (? ) dt说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。信号与系统八、时域积分性质， 则若f (t ) ? F (? )???tf (? )d? ? ?F (0)? (? ) ?1 F (? ) j?证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时 域卷积性质有????tf (? )d? ? f (t ) ? u(t ) ? F (? )[?? (? ) ?1 1 ] ? ?F (0)? (? ) ? F (? ) j? j?则如果 f (t) 的积分为零，即t??? f (? )d? ? 0F (0) ? 0所以有1 ?? f (? )d? ? j? F (? ) ?信号与系统八、时域积分性质f ?t ?1例：已知三角脉冲信号如图所示， 求它的频谱 F(ω) 解： f (t) 可表示为t t??0?tf (t ) ? (1 ? ) ?u (t ? ? ) ? u (t ) ? ? (1 ? ) ?u (t ) ? u (t ? ? ) ???对其求一阶、二阶导数得df (t ) 1 1 ? ?u (t ? ? ) ? u (t )? ? ?u (t ) ? u (t ? ? ) ? dt ? ?d 2 f (t ) 1 ? [? (t ? ? ) ? ? (t ? ? ) ? 2? (t )] 2 dt ?信号与系统八、时域积分性质f (t )11???df (t ) dt1 ( )?d 2 f (t ) dt 2 1 ( ) ?0?? 10(b )t??0(a )??????tt?2 (? )?(c )d 2 f (t ) 1 j?? 4 2 ?? - j?? 2 2 ?? ? F1 (? ) ? [e ? e ? 2] ? ? sin ( ) ? ?? ? Sa ( ) 2 dt ? ? 2 2d 2 f (t ) ?? ? F1 (? ) ? ?? 2? Sa 2 ( ) dt 2 2图(a)可以看作是(c)积分两次得到，所以利用积分性质可得：F (? ) ? ? Sa (2??2)信号与系统八、时域积分性质例：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱 F(ω) 解： f (t) 可表示为f (t ) ? tf (t )1??u (t ) ? u (t ? ? )? ? u (t ? ? )对其求导数得01?f1 (t ) ? df (t ) dttdf (t ) 1 ? ?u (t ) ? u (t ? ? )? dt ?根据矩形脉冲频谱及时移性质知道 的频谱为df (t ) dt?0?? ? j ? ?2 F1 (? ) ? Sa ( ) e 2?t信号与系统八、时域积分性质?? ? j ? ?2 F1 (? ) ? Sa ( ) e 2因为F (0) ? 1 ? 0所以F1 (? ) 1 ?? ? j ? ?2 F (? ) ? ? F (0)? (? ) ? ? Sa( )e ? ?? (? ) ( j? ) j? 2信号与系统九、频域微分性质，则若f (t ) ? F (? )?dF (? ) ( ? jt) f (t ) ? d?? ?证明：对右边求导得dF (? ) d ? f (t )e- j? t dt ? ? f (t )e- j? t ( ? jt)dt ? ? ( ? jt) f (t )e- j? t dt d? d? ?? ? ?? ??推广：d n F (? ) ( ? jt) n f (t ) ? d? n信号与系统九、频域微分性质频域微分性质的应用：1 ? 2?? (? )? jt ? 2?? ' (? )( ? jt) n ? 2?? ( n ) (? )tu(t ) ? j?? ' (? ) ? 11 u(t ) ? ?? (? ) ? j?2 Sgn (t ) ? j??2t ??2t ? t Sgn (t )?2信号与系统九、频域积分性质f (t ) ? F (? )?若f (t ) 则 ? f (0)? (t ) ? j ? ? F ( ?) d ? t ??因为利用对称性信号与系统3.4.4 周期信号的傅立叶变换信号与系统一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换欧拉公式1 j?0t ? j?0t cos ?0t ? (e ? e ) 2 1 j?0t ? j?0t sin ?0t ? (e ? e ) 2j而已知 根据频移性质1 ? 2π? (? )1? ej? 0 t? 2?? (? ? ?0 )1? e ? j?0 t ? 2?? (? ? ?0 )所以可得cos ?0t ? ? ?? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )?sin ?0t ? j? ?? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )?信号与系统一、虚指数信号和正余弦信号的傅立叶变换频谱图：ej?0tF (? )频率为ω0 ，频谱 为ω0 处的冲激cos ?0tF (? )(? )0频率为±ω0 ，频 sin 0t 谱是±ω0 处的冲 激 F (? ) / j?(2? )(? )(? )?00?0?? ?0?0?? ?00(?? )?物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量， 所以它们的密度频谱都是冲激函数。 注意： 傅立叶变换得到的是双边密度谱，必须是在频率轴 上对称的两个频率才能合成一个物理上的频率分量。信号与系统二、一般周期信号的傅立叶变换f (t ) ? Fn e jn?0t ??设 f (t) 是以为 T 周期的周期信号，则2? 其中 ? 0 ? T则有1 Fn ? TT 2n ? ????f (t )e - jn?0t dtf (t ) ?n ? ??Fn e jn?0t ? 2? ??T 2n ? ??? F ? (? ? n? )n 0?说明：周期信号的傅立叶变换由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于 nω0 处，每一冲激的强度为傅立叶系数乘以 2π。信号与系统二、一般周期信号的傅立叶变换2?n ???例： 已知单位冲激序列函数表示为 ? T (t ) ?且 T?? ? (t ? nT )?,T 为周期，?0，试求其傅立叶变换。解： 单位冲激序列函数可以展开成傅立叶级数 ? T (t ) ?n ? ??Fn e jn?0 t ??其中1 Fn ? TT 2??? T 2T(t )e- jn?0t1 dt ? TT 2? ? (t )e? T 2- jn?0t1 dt ? T因此有1 ? jn?0 t ? T (t ) ? ? e T n ? ??信号与系统二、一般周期信号的傅立叶变换? ?其傅立叶变换为1 ? T (t ) ? 2? T波形图n ? ??? ? (? ? n? ) ?? ? ? (? ? n? )0 0 n ? ?? 0频谱图F (? )? T (t )(1)? 2T(?0 )T2T?T0(a)t? 2?0 ? ?00(b )?02?0?信号与系统三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系f T (t )，取其中一个周期得到单周期信号 f (t )? ? f T (t ) f (t ) ? ? ?0 ? T T ? ?t? 2 2 其它?设周期信号因为1 Fn ? T所以T 2?1 ? jn?0t ?T f T (t )e dt ? T2T 2?1 ? jn?0t ?T f (t )e dt ? T2??? f (t )e? jn?0t1 dt ? F (? ) T ? ? n?0F ( n?0 ) F (? ) Fn ? ? T ? ?n?0 T? ?取不同周期得到的 傅立叶变换是不同 的，但得到的傅立 叶系数是一样的则单脉冲信号与周期化后的周期信号的傅立叶变换之间的关系为2? FT (? ) ? 2? ? Fn? (? ? n?0 ) ? T n ???n ???? F (n? )? (? ? n? )0 0信号与系统三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系fT (t )例：试求周期矩形脉冲(幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。 解： 单脉冲信号?? f 0 (t ) ? F0 (? ) ? ? Sa ( ) 2由傅立叶级数与傅立叶变换的关系，有1?T0 ?2Tf 0 (t )tn?0? n?0? 1 1 ? Fn ? F0 (? ) ? ? Sa( ) ? Sa( ) T T 2 T 2 ? ? n?01?2f T (t ) ?n ? ???F en?jn?0t? ? Tn? 0? jn?0t ? Sa( 2 )e n ? ????0 ?2t信号与系统三、傅立叶系数与傅立叶变换的关系? n?0? n?0? ? Sa( 2 )? (? ? n?0 ) ? ??0 n? Sa( 2 )? (? ? n?0 ) n ? ?? ? ?? ?2?? f T (t ) ? T1所以有fT (t )1f 0 (t )?F0 (? )?T ??0 ?2Tt??20?2t?4??2 ?2??02?4? 6??????TFn??0F (? )?4??2 ???02??4? 6? ? ???4??2 ???02??4? 6? ? ??频谱图信号与系统一、系统函数与不失真传输系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为H (? ) ? H (? ) e j ? ?? ?H (? ) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性，是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 是表征系统特性的一个重要参数。? (? )信号与系统一、系统函数与不失真传输定义2 当系统的激励为冲激信号δ(t) ，系统的零状态响应即为冲激响应 h(t) ，即x(t ) ? ? (t )y ( t ) ? h( t )令h (t) 的傅立叶变换为H(ω)y(t ) ? h(t ) ? x(t ) 根据傅立叶变换的时域积分性质有： Y (? ) ? H (? ) ? F (? )对任意激励x(t)都有响应 和定义1相符 说明：系统频率响应是系统冲激响应的傅立叶变换。h(t) 和 H(ω) 从时域和频域两个方面表征了同一系统的特性。信号与系统一、系统函数与不失真传输2. 频率响应的计算 例：已知一个LTI因果系统的单位冲激响应为 h(t ) ? [e ?t ? e ?2t ]u(t )试求该系统的频率响应H(ω) 。?解： 因为???h(? ) d? ? ? e ?? ? e ?2? d? ? ?0?所以系统稳定。 则系统的频率响应为? ?H (? ) ????h(? )e ? j?? d? ? ? (e ?? -e ?2? )e ? j?? d?01 1 1 ? ? ? 1 ? j? 2 ? j? ?? 2 ? 2 ? j3?信号与系统一、系统函数与不失真传输H (? ) ?幅频特性1 ? ? 2 ? 2 ? j 3?相频特性1 2H ?? ?? ?? ??00????信号与系统一、系统函数与不失真传输例： 已知一个零状态LTI系统由下列微分方程表征d3y d2y dy dx ? 10 2 ? 8 ? 5 y (t ) = 13 ? 7 x(t ) dt 3 dt dt dt试求该系统的频率响应H(ω) 。解： 对上式两边取傅立叶变换，得[( j? ) 3 ? 10( j? ) 2 ? 8( j? ) ? 5]Y (? ) ? [13( j? ) ? 7] X (? )所以系统的频率响应为H (? ) ?Y (? ) 13 j? ? 7 ? X (? ) ( j? )3 ? 10( j? ) 2 ? 8 j? ? 5 13 j? ? 7 ? ? j? 3 ? 10? 2 ? 8 j? ? 5信号与系统一、系统函数与不失真传输例： 已知电路如图所示，试求该系统 的频率响应 H(ω) 。 解：对于电路系统，求它的频率响应，? V1 ?? ? ?CR V2 ?? ???1 用电路分析中的相量法，将 R, L, C 为是复阻抗分别为 R, j?L, 的 j?C 元件，然后用各种电路分析方法求输出信号相量与输入信号的相量之比。因此由图根据分压原理得系统的频率响应为H ?? ? ?V2 (? ) R j? ? ? 1 V1 (? ) R ? 1 j? ? j?C RC信号与系统一、系统函数与不失真传输从而得幅频响应为H ?? ? ?ω ? 1 ? ω2 ? ? ? RC ? ?2相频特性为 ? (? ) ?π ? arctan CRω 2H ? j ω?1?20? ? j ω????2?信号与系统一、系统函数与不失真传输3.信号的无失真传输条件失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中 产生了失真。 线性系统引起信号失真的原因3.7 系统无失真传输的条件1）幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。2）相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起 相位失真。 由延时特性知：f (t ? t0 ) ? F ( j? )e ? j?t0? (?) ? ?t0－－相移与频率成正比信号与系统一、系统函数与不失真传输y(t )线性系统无失真条件f (t )f (t )0H ( j? ) ? Ke? j?t0y(t ) ? Kf (t ? t0 )0t0tt波形无改变则 称为无失真实现无失真传输 H ( j? )应满足的条件设 由f (t ) ? F (? ) y (t ) ? Y (? ) ? F (? ) Ke ? j?t0 Y (? ) j? (? ) 则 H ( j? ) ?| H ( j? ) | e ? ?? Ke ? j?t0 F (? )信号与系统一、系统函数与不失真传输| H ? j? ? |无失真传输系统应满足： 幅频特性?k? (? )在整个频率范围内应为常数 K ， 即系统的通频带应为无穷大； 相频特性 在整个频率范围内应与频率 ω 成正比t0?? (? ) ? ?? t0信号通过系统时谐波的相 移比需与其频率成正比。信号与系统一、系统函数与不失真传输例： 已知一模拟滤波器的幅频和相频特性，如图所示。对于下列给定的信号，通过滤波器后，波形是否发生失真？如果失真，是幅度失真、还是相 位失真，抑或两者兼而有之？x1 (t ) ? cos(20t ) ? cos(60t )x3 (t ) ? cos(20t ) ? cos(220t )H (? )2 1? 200x2 (t ) ? cos(20t ) ? cos(140t )? (? ) ? /2?? 100 00200100???/2信号与系统一、系统函数与不失真传输解：(1) 根据据滤波器幅频特性知当 ? ? 100 弧度/秒 ，系 ? 统无失真，则 ? ? ? (? ) ? 2 ? ? ? ? H ?? ? ? 1所以有 ? (20) ? ? 因此稳态输出为? ，? (60) ? ? 10 10100 3?200y ss1 (t ) ? cos( 20t ?? 3? ? ? ) ? cos(60t ? ) ? cos[20(t ? )] ? cos[60(t ? )] 10 10 200 200输出信号只是输入信号的一个延时，不存在失真。x (t ) ? cos(20t ) ? cos(60t )yss1 (t )无失真(a)0t信号与系统(2)输入信号 而x2 (t ) ? cos(20t ) ? cos(140t )? H ?140 ? ? 1，? ?140 ? ? ? 2 ? ? 所以 yss 2 (t ) ? cos(20t ? ) ? cos(140t ? )10 2 ? cos[20(t ??200)] ? cos[140(t ??280)]输出波形不是输入信号的一个延时，存在失真，是相位失真。x2 (t ) ? cos(20t ) ? cos(140t )y ss 2 (t )只有相位失真(b )0t信号与系统(3)输入信号而? H ?220? ? 2, ? ?220? ? ? 2yss 3 (t ) ? cos(20t ?x3 (t ) ? cos(20t ) ? cos(220t )) ? 2 cos(220t ? ) 10 2所以??200 440 输出波形不是输入信号的一个延时，存在失真，同时有相位失真和幅 度失真。x3 (t ) ? cos( 20t ) ? cos( 220t )? cos[20(t ??)] ? 2 cos[220(t ??)]y ss 3 (t )]同时有相位和 幅度失真(c )0t信号与系统例：已知电路如下图所示，求该电路的频率响应H(ω) ，若使该系统为无失真传输系统，元件参数应满足何条件？R1 + f (t) C1 R2 (a) C2 + y(t) + u1(t) R1 R2 (b) L2 L1 + y(t) -解：(a) 系统频率响应为1 j? ? C1 C1 R1 H( ) ? ω ? ? R1 R2 R1 ? R2 C1 ? C 2 ? j? ? 1 ? jωC1 R1 1 ? jωC 2 R2 R1 R2 ?C1 ? C 2 ? R2 1 ? jωC 2 R2信号与系统系统频率响应为1 j? ? C1 C1 R1 H (? ) ? ? R1 ? R2 C1 ? C2 j? ? R1 R2 (C1 ? C2 )R1 ? R2 1 ? C1 R1 R1 R2 ?C1 ? C 2 ?所以，系统无失真的条件为即C1R1 ? C2 R2R2 H (? ) ? R1 ? R2 C1 ? C2 ? C1此时有信号与系统(b) 系统频率响应为R1 R1 R2 ?L1 ? L2 ? ? 所以系统无失真的条件为 L1 L2 L1 ?R1 ? R2 ?即R1 j? R2 L2 j? ? R2 ? j? L2 R2 L1 H (? ) ? ? ? j? R1 L1 j? R2 L2 R1 R2 ? L1 ? L2 ? R1 ? R2 ? j? ? R1 ? j? L1 R2 ? j? L2 L L ?R ? R ?2 1 1 2R1 L2 ? R2 L1此时有 H (? ) ?L2 R2 ? L1 ? L2 R1 ? R2信号与系统二、信号通过理想滤波器H (? )K1. 理想滤波器的频率特性? (? ) 滤波：改变一个信号所含频率分量的相对大小， 或者全部抑制掉某些频率分量的过程。 ??理想低通滤波器的频率响应：阻带c0通带?c阻带??e- j?t0 ? H ( j? ) ? ? ?0 ?即? ? ?c ? ? ?c? ? ?c ? ? ?c( a ) 理想低通滤波器( K ? 1)?1 ? H (? ) ? ? ?0 ???? t0 ? ? (? ) ? ? ?0 ?? ? ?c ? ? ?c信号与系统二、信号通过理想滤波器理想带通滤波器和理想带阻滤波器的频率响应：H ?? ?K? ?c 2? ? c1(c )0 ? (? ) ?c1?c 2?理想带通滤波器H ?? ?K? ?c 2? ? c1(d )0 ? (? ) ?c1理想带阻滤波器?c 2?信号与系统二、信号通过理想滤波器2. 理想低通滤波器的冲激响应?1 ? 对于零相位理想低通滤波器 H (? ) ? ? ?0 ? 其单位冲激响应为? ? ?C ? ? ?Cj? t1 h (t ) ? 2??C ??H ?? ? e d? ? ?? H ?? ? e d? ? ? Sa(?C t ) ? ?j? tC??C其单位冲激响应为?e -j?t0 ? 对于线性相移理想低通滤波器 H (? ) ? ? ?0 ?? ? ?C ? ? ?C?C h (t ) ? Sa[?C (t ? t0 )] ?信号与系统二、信号通过理想滤波器?C ?h (t ) ??C ?时刻系统响应达到最大值，这 表明系统对信号由延迟作用。 （2）响应h(t)比激励 (t ) 展宽了许多， ? 表明冲激中的高频分量被滤波 0 t 器衰减了。 h （3）由图知t&0时，(t ) ? 0 ，而输入 (a) 在t=0时 ? (t ) 加入，这是非因 ?C h (t ) ? Sa[?C (t ? t0 )] 果系统，所以理想低通滤波器 ? 是无法实现的。?C Sa (?C t ) （1）在t=0时 (t ) ? 作用于系统，而在t0 ?0t0t(b)信号与系统二、信号通过理想滤波器3. 理想低通滤波器的阶跃响应 设理想低通滤波器的阶跃响应为 g (t )s(t ) ? h(t ) ? ? (t ) ? ? h(? )d???t?c ? ? ??? ? Sa ??c ?? ? t0 ? ? d? sin ??c ?? ? t0 ? ? t ? ? ? d? c ?? ? ?? ? ?c ?? ? t0 ??t令 x ? ?c (? ? t0 ) ，则， ?c d? ? dx 于是有s(t ) ?1???c ? t ?t0 ???sin x dx x?c ? t ?t0 ? sin x 1 ? 0 sin x ? ? ?? dx ? ? dx ? 0 ? ? ?? x x ?信号与系统二、信号通过理想滤波器上式第一项积分?0??sin x ? dx ? x 2第二项积分是正弦积分函数Si ( y ) ??ysin ?0?d?它的函数值可从正弦积分函数表中查得， 于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为s(t ) ?1 1 ? Si ??c (t ? t0 ) ? 2 ?信号与系统二、信号通过理想滤波器sin x 1 x? (t )?O Si ?x ?2?3? 4? x O上升时间定义为阶跃响应 从最小值上升到最大值所 t 需的时间。上升时间为?21s (t )tA-tB= t ? 2? r B?c1O x 2AO??2tAt0tBt式中 Six ??x0sin y dy y1 1 s (t ) ? ? Si[?c (t ? t0 )] 2 ?缩短上升时间，必加大滤波器的带宽称为正弦积分函数信号与系统3.6 取样定理及应用信号与系统一、取样信号信号取样也称为抽样或采样，是利用取样脉冲序列 p (t) 从连续信号f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过取样过程得到的离散样值信号 称为取样信号，用 fs (t) 表示。f (t )op (t )toTSf s (t )toTSt信号与系统一、信号取样取样的原理方框图:f (t )fs (t )A/Df (n )量化编码p(t )数字 滤波器g (n )D/ Ag (t )周期 信号连续信号经取样后变成取样信号，往往还需要再经量 化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、 处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原 连续信号。需要解决两个问题：1.取样信号 fs (t)的频谱Fs(ω)与原连续信号 f (t)的频谱F(ω)的关系；2. 在什么条件下可从取样信号 fs (t)中无失真地恢复原连续信号 f (t) 。信号与系统一、取样信号假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即f (t ) ? F (? )取样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为p(t ) ?其中，? s ?2? 为取样角频率，T 为取样间隔 ， s Ts 所以取样信号的频谱为n ???? Pen?j n ?s t? P(? ) ? 2?n ???? P ? (? ? n? )n s?1 为取样频率， 频谱是原连续信号的频 谱以取样角频率为间隔 Ts 周期地延拓，频谱幅度 受取样脉冲序列的傅立 1 f s (t ) ? f (t ) ? p(t ) ? Fs (? ) ? F (? ) ? P(? ) 叶系数加权。 fs ?2??n ???? F (? ) ? P ? (? ? n? ) ? ? P F (? ? n? )n s n ??? n s??在时域取样（离散化）相当于频域周期化信号与系统一、取样信号(1) 冲激取样 若取样脉冲是冲激序列，则这种取样称为冲激取样或理想取样。连续信号f (t )?? T (t )抽样信号p(t ) ?f s (t )n ???? ? (t ? nT ) ? ? ? ? (? ? n? )s s ?? s??抽样脉冲f s (t ) ? f (t ) ? p(t ) ?Ts 2n ?????f (nTs ) ? (t ? nTs )取样信号的频谱 1 1 - j n?s t 是以 ωs 为周期等 冲激序列的傅立叶系数为 P ? ? ( t )e dt ? n Ts Ts Ts 幅地重复 ? 所以冲激取样信号的频谱为 2?1 1 Fs (? ) ? F (? ) ? ? T (? ) ? 2π Tsn ???? F (? ? n? )s?信号与系统一、取样信号f (t )op (t )(1)频谱图：1F (? )t? ?mo ?m?P(? )E t?(?s ) ?oo TSf s (t )? ?s相 乘?s?卷 积1 / Ts?Fs (? )?oTSt? ?so ?m ?s?信号与系统一、取样信号(2) 周期矩形脉冲取样 若取样脉冲是周期矩形脉冲，则这种取样称为周期矩形脉冲取样。也称 ? 为自然取样连续信号f (t )?p(t ) ?抽样信号n ????G? (t ? nTs )f s (t )p (t )抽样脉冲f s (t ) ? f (t ) ? p(t ) ?n ?????f (t ) G? (t ? nTs )周期矩形脉冲的傅立叶系数为 Pn ? 则取样信号的频谱为n? ? E? Sa ( s ) Ts 2 n?s? E? ? Fs (? ) ? ? Sa( 2 ) F (? ? n?s ) Ts n???在矩形脉冲取样情况下，取样信号频谱也是周期重复，但在重复过 程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系 数 的加权。信号与系统一、取样信号f (t )1F (? )op (t )t? ?mo ?m?EE??sP (? )2??o Ts f s (t )t相 乘幅度不再是等幅， ? ? s o ?s ? 受到周期矩形脉冲 卷 Fs (? ) 信号的傅立叶系数 E? 积 的加权 Ts?o T sto ? ?s ?m ?s?信号与系统二、时域取样定理如何从取样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由取样信号恢复原连续信号。著名的取样定理对此作了明确而精 辟的回答。取样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。信号与系统二、时域取样定理时域取样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 ?? ? , ? ? m m的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的取样值样间隔 Ts 不大于 2f1mf (nTs ) 唯一地表示，只要取，其中 f m为信号的最高频率，或者说，取样频率 f s 满足条件通常把满足取样定理要求的最低取样频率 f s ? 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的取样间隔 Ts ? 称为奈奎斯特间隔 。 ? fs 2 fmf (t ) F (? )fs ? 2 fm0tf s (t )(a) 连续信号的频谱? ?m0?mFs (? )?0 Tst? ?m0?m?信号与系统二、时域取样定理时域取样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 (?? , ? ) 的范围， m m若以间隔 Ts 对 f (t)进行取样，取样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为周期重复，在此情况下，只有满足条件?s ? 2?各频移的频谱才不 m会相互重叠。这样，取样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs(t) 。如果?s ? 2?m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从取样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种 现象称为频率混叠现象。信号与系统二、时域取样定理f (t ) F (? )0t f s (t )(a) 连续信号的频谱? ?m0?mFs (? )?0Tst??s? ?m0?m?sf s (t )(b) 高抽样速率时抽样信号的频谱?Fs (? )0Tst??s0?m ? s?(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠信号与系统三、连续时间信号的重建在满足取样定理的条件下，可用一截止频率为?c ? ?m的理想低通滤波器，即可从取样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。f s ?t ?Fs ?? ?0Tst??s? ?m0?m?s?? ?C h (t ) ? Ts C Sa (?C t ) Ts ? ?? ?cH ?? ?Ts0t0F ?? ?f ?t ??c?0t0?m?信号与系统三、连续时间信号的重建因为?Ts ? 所以，选理想低通滤波器的频率特性为 H (? ) ? ? ?0 ?1 Fs (? ) ? Tsn ???? F (? ? n? )s?? ? ?C ? ? ?C?s ? ?m ? ?c ? ?m ，则有 F (? ) ? Fs (? ) H (? ) ? 理想低通滤波器的冲激响应为 h(t ) ? Ts C Sa (?C t ) ? ?s 2? ? 若选 ?c ? ，则 Ts ? ? ? s ?c 2若选定 而冲激取样信号为f s (t ) ? f (t ) ? p(t ) ?n ?????f (t ) ? (t ? nTs ) ?n ?????f (nTs ) ? (t ? nTs )信号与系统三、连续时间信号的重建则连续低通滤波器的输出信号为f (t ) ? f s (t ) ? h(t ) ? ?说明：n ?????f (nTs ) ? (t ? nTs ) ? Ts?C Sa(?C t ) ?n ?????f (nTs ) Sa ??C (t ? nTs )?（1）信号可以展开成取样函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值； （2）若在取样信号的每个样点处，画出一个峰值为 f (nTs ) 的Sa函数波 形，那么其合成信号就是原连续信号； 结论：只要已知各取样值，就能唯一地确定出原信号。信号与系统三、连续时间信号的重建注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。 原因 有限时间内存在的信号， 其频谱理论上是无限宽的 理想低通滤波器无法实现 实际中的取样一般是 平顶的矩形脉冲取样 解决方法 在信号被取样之前，首先通过低通滤波 器（称为防混叠低通滤波器） 逼近理想低通滤波器的特性 在用低通滤波器之前，加一个频率响应 为 1/P(ω)的补偿低通滤波器信号与系统四、频域取样与频域取样定理假设连续频谱函数为F(ω) ，取样频谱函数为FS(ω) ,即在频域取样有Fs (? ) ?n ???? F (? )? (? ? n? ) ? ? F (n? )? (? ? n? )s n ??? s s??假设 FS(ω) 对应的时间信号为 fs (t) ，则有f s (t ) ?1?sn ?????f (t ? nTs )说明：信号在频率域取样（离散化）等效于在时间域周期化。 频域取样定理：频域取样定理表明，一个时间受限的信号 f (t) ，如果时 间只占据 tm , tm ) 的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的频率取样值 F (n ?s ) (?唯一地表示，取样间隔为 ?s ，它必须满足条件 Ts? 2tm ，其中 Ts?s ? 2?信号与系统四、频域取样与频域取样定理例： 大致画出图所示周期矩形信号冲激取样后信号的频谱。f1 (t )E?T ??0 ?2T2tf s (t )E?T ??0?2T2t信号与系统四、频域取样与频域取样定理解：信号在时域取样、周期化过程中频谱的变化规律：（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，取样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域取样，取样间隔为 TS ，则频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。信号与系统四、频域取样与频域取样定理矩形单脉冲信号的频谱 F (? ) ? E? Sa ? ?? ? 0 ? ?? 2 ?? m?0? ? Sa ? 2 ? m ????频域取样 周期矩形信号的频谱 周期矩形信号 时域取样E? F1 (? ) ? 2? T取样间隔为 TS? ? ? (? ? m?0 ) ?频谱周期化，重复周期为 ωS＝2π/TS 。1 Fs (? ) ? Ts ?n ???? F (? ? n? )1 s n ?????0 E?Ts??? n?0? ? Sa ? 2 ? m ????? ? ? (? ? n?s ? m?0 ) ?信号与系统四、频域取样与频域取样定理f 0 ?t ?E?2E?F0 (? )?0 ??a ?E2t?2??02?f1 ?t ??b ???F1 ?? ?E ??0?T ??0 ?T2?c?E2t?2 ??02??d ???f s ?t ?E ??0 Ts 2? ? Ts?2?Fs ?? ??T ??0?2T2?e?t?02???f ?2? Ts?信号与系统3.8 频域分析用于通信系统信号与系统一．信号的调制1.为什么要调制 ?在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输， 往往要进行调制和解调： ?高频信号容易以电磁波形式辐射出去 (便于信号的辐射) ?多路信号的传输――频分复用 (便于多路通信)调制是实现多路复用的关键技术。信号与系统一．信号的调制2.调制的分类（1）按调制信号f(t)的不同进行分类a）模拟调制：f(t)为模拟信号。典型波形为单频正弦波。b）数字调制：f(t)为数字信号。典型代表为二进制数字脉冲序列。（2）按载波信号x(t)的不同进行分类 a ）连续波调制：x(t)为连续波形。典型代表为正弦波。 b）脉冲调制：x(t)为脉冲波形。典型代表为矩形脉冲序列。 （3）按调制器的功能不同进行分类 a ）幅度调制（调幅）：f(t)改变x(t)的幅度参数（即：载波x(t)的幅度随f(t)成比例地变化）。如：常规调幅（AM)、脉冲调幅(PAM)、抑制载波调幅(SC-AM)等。y(t ) ? Af (t )cos(? 0t ? ?0 )信号与系统一．信号的调制b ）频率调制（调频）：f(t)改变x(t)的频率参数（即：载 波x(t)的频率随f(t)成比例地变化）。如：调频（FM)、 脉冲调频(PFM)等。 y (t ) ? A cos(? 0t ? k f ? f (t )dt ? ?0 ) c ）相位调制（调相）：f(t)改变x(t)的相位参数（即：载波x(t)的相位随f(t)成比例地变化）。如：调相（PM)、脉冲调相(PPM)等。 y(t ) ? A cos(?0t ? k? f (t ) ? ?0 ) 调频与调相都表现为总相角受到调制，所以总称为角度调制 （调角）。幅度调制为线性调制，角度调制为非线性调制。信号与系统二、正弦调幅与频分复用1.调制原理 theory of modulation调制――将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程。f (t )相乘y (t )A cos(? 0t ? ?0 )f (t ) ――待传输的信号，称为调制信号A cos(? 0t ? ?0 )――运载f (t )的高频振荡信号称为载波y(t ) ? Af (t )cos(? 0t ? ?0 ) ――为经调制后的高频信号称为已调波(调幅信号）信号与系统F ?? ?1二、正弦调幅与频分复用振幅随调制信号而变，这种调制称为调幅应用傅立叶变换的性质说明频谱搬迁的原理? ?mF ?cos?0t ?0? m?f (t ) ? F (? )由复指数函数的傅立叶变换1(? )(? )cos ?0t ?? ? ?? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )? ?1 Y [? ] ? F (? ) ? ? ?? (? ? ?0 ) ? ?? (? ? ?0 ) ? 2? 1 ? ? F (? ? ?0 ) ? F (? ? ?0 ) ? 2 Y (? )? ?00?0 ?1 2? (?0 ? ?m )? ?00? (?0 ? ?m )?0 ? ?m ?0 ? ?m?0?信号与系统时域频域幅度调制信号及其频谱信号与系统二、正弦调幅与频分复用2. 解调 demodulation 解调――由已调信号 y (t) 恢复原始信号 f (t) 的过程称为解调。f (t ) cos ?0t相乘y1 (t )f (t )低通F (? )1cos ?0t本地载波2?0 ? ?m ? ?0 ? ?m? ?m0?m?1 1 y1 (t ) ? ? f (t ) cos ?0t ? cos ?0t ? f (t ) ? f (t ) cos 2?0t 2 2 Y1 (? ) ? F ? y1 (t )?Y1 (? )1 41 21 1 ? F (? ) ? ? F (? ? 2?0 ) ? F (? ? 2?0 ) ? 2 41 4?2?0? ?m0?m2?0?信号与系统1 2再利用一个理想低通，滤除在频率 2?c 附近的分量，即可取出 f(t)? ?m0?m ?H ( j? )?理想低通滤波器F (? )H (? )2 F (? )? ?c?c这种解调器称为同步解调H ( j? ) ?2 0? ? ?c? (? ) ? t0?H ( j ? ) ? H ( j ? ) e ? j?t 0? ? ?c信号与系统F (? )1/ 2Y (? )1? ?0? ?m?m?1/ 4Y1 (? ) 1/ 2 2?0 ? ?m 1 / 4 ? ?m ?m 2 H ( j? ) 2?0?0?? 2?0?? ?c1 Y1 (? ) H ( j? ) ? 2 ? F (? ) ? F (? ) 2F (? )?c?1/ 2? ?m ?m?信号与系统 3.频分复用●通信领域广泛采用调制解调技术。原因有二：① 电磁理论表明，对信号进行无线发射时，要求发射天线的尺寸 必须为信号波长的1/10或更大，才会有效发射。例如， 语音信号所处的频段大约为20Hz～20kHz，若直接发射， 要求天线尺寸几百千米以上（ 1kHz信号的波长是300千米），才会 有效发射，难以实现。 采用调制技术，将调制信号的频谱搬移到高频，可使发射天线尺 寸变小。在接收地点，再将调制信号解调下来。 ② 通信领域广泛采用多路信号公用一个信道的信号传输方式。因 此，处于同一频段而具有不同信息的多路信号，不进行调制地在一 个信道中传输，必将无法区分。例如，无线广播公用的自由空间信 道，都采用调制解调技术。 ● 采用调制解调技术，在一个信道传输多路信号， 称为“频分复用”。信号与系统 3.频分复用 (FDMA)f a (t )cos ? a tya (t )f b (t )cos ?b t cos ?c ty b ?t ?g (t )f c (t )yc (t )Fb (? )在发送端系统将各路信 号的频谱搬移到各不相 同的频率范围，使它们 互不重叠，搬移过程中 可以用各种调制技术。Fc (? )Fa (? )0?0G (? )?0?频分复用 的特点：独占 频率，共享时 间。●?? ?c? ?b? ?a0?a?b?c频分复用(FDMA)发送端系统框图及信号频谱信号与系统●假定，所有调制信号频带均为 0 ～ωM。不产生频谱混叠的条件：载波频率间隔应大于2ωM。 信道带宽至少应大于6ωM。●●信号与系统三、脉冲幅度调制与时分复用1.脉冲幅度调制(PAM) 脉冲幅度调制---取样过程－通过 调制信号与脉冲载波信号相乘实 现。满足取样定理， f(t) 就包含在y(t) 中。信号与系统f (t )1F (? )op (t )t? ?mo ?m?EE??sP (? )2??o Ts f s (t )t相 乘幅度不再是等幅， ? ? s o ?s ? 受到周期矩形脉冲 卷 Fs (? ) 信号的傅立叶系数 E? 积 的加权 Ts?o T sto ? ?s ?m ?s?信号与系统 2.时分复用（TDMA)●时分复用的特点：独占时间，共享频率。
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