椭圆的焦半径公式_百度文库
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椭圆的焦半径公式
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你可能喜欢椭圆双曲线抛物线过上下焦点的焦点的焦半径公式是?注意是上下.我知道是∣MF1∣= a-ey0,∣MF2∣= a+ey0.但f1是上面的焦点还是下面的.
点艹梦魔术4
椭圆过右焦点的半径r=a-ex　　过左焦点的半径r=a+ex　　过上焦点的半径r=a-ey　　过下焦点的半径r=a+ey　　双曲线过右焦点的半径r=|ex-a|　　双曲线过左焦点的半径r=|ex+a|　　双曲线过下焦点的半径r=|ey+a|　　双曲线过上焦点的半径r=|ey-a|　　抛物线焦点x,开口右的半径r=p/2+x0；焦点x,开口左的半径r=p/2-x0；焦点y,开口上的半径r=p/2+y0；焦点y,开口下的半径r=p/2-y0　　记忆方法：　　椭圆的焦半径是左加,右减；下加,上减.双曲线的焦半径是左加套绝对值,右减套绝对值；下加套绝对值,上减套绝对值.
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椭圆面积公式
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椭圆面积公式S=π()×a×b（其中a,b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长）.
椭圆面积公式面积公式
S=π()×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).
c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式.
椭圆面积公式定理内容
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a&b&0）的面积为π * a^2 * b/a=πab
因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。 根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图 形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤：（第一象限全取正，后面不做说明） S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi= ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
椭圆面积公式导数方法
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
取第一内面积 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2
即 y=√（b^2-b^2/a^2*x^2)
=b/a*√(a^2-x^2)
由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4
可得 当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4
即S=abπ。
此方法比较容易理解。
椭圆面积公式阴影面积
众所周知，斜切圆柱所得截面即为椭圆，这在高中数学圆
锥曲线一章有阐述，下面就用阴影面积法巧妙求解椭圆面积。圆形面积与椭圆面积之比为cosθ，则cosθ=πR^2/S=2R/2a，椭圆短轴b即为圆柱底面半径R,即R=b，所以S=πR^2*a/R=πaR=πab
椭圆面积公式周长公式
没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷的求和。如
L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴，e为
的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则
椭圆的准线
椭圆的离心率公式
e=c/a(e&1,因为2a&2c)
椭圆的 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离，数值=b^2/c
椭圆 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
椭圆的：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a
点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2&1
点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2&1
直线与椭圆位置关系
x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
相离△&0无交点
相交△&0 可利用：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
椭圆（定义：（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a
椭圆的斜率公式　过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的斜率为 -(b^2)X/(a^2)y
椭圆上的点（x，y）与两焦点围成的三角形面积 S=b^2*tan(α/2) α为点(x，y)与两焦点连线的夹角
椭圆面积公式周长算法
L1 = π · qn / atan(n)
(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2
这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。
L2 = π · θ/(π/4) · (a - c + c/sinθ)
(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)
这是根据两对组成椭圆得特点推导的，精度一般。
L3 = π · q(1 + mn)
(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)
这是根据圆周长公式推导的，精度一般。
L4 = π · √(2a^2 + 2b^2) · (1 + mn)
(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)
这是根据椭圆a=b时得基本特点推导的，精度一般。
L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2) · (1 + mn)
( m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )
这是根据椭圆a=b，b=0时是特点推导的，精度较好。
L6 = π · q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)) · (1 + mn)
( q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2， m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)
这是根据椭圆标准公式提炼的，精度很高。
企业信用信息关于椭圆的第二定义（高二）1、设P（x,y)左焦半径 PF1=a+ex右焦半径 PF2=a-ex问：这两个公式是怎么推导出来的?2、椭圆的第二定义到底怎么用啊!郁闷中……
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椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL所以PF2=ed(d是P点到对应准线距离）（F1为左焦点,F2为右焦点）又,椭圆的准线方程x=±a^2/C所以d=a^2/C-xPF2=ed=c/a(a^2/C-x)=a-ex2a=PF1+PF2所以PF1=a+ex至于第二定义,……我忘了是哪个了
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第一定义平面内与两定点的距离的和等于常数的动点P的轨迹叫做椭圆。即：第二定义平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数（即椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）　其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a?/c[焦点在X轴上]；或者y=±a?/c[焦点在Y轴上]）。其他定义根据椭圆的一条重要性质：椭圆上的点与椭圆长轴两端点连线的斜率之积是定值，定值为e?-1，可以得出：在坐标轴内，动点（x,y）到两定点（a,0）（-a,0）的斜率乘积等于常数m（-1&m&0）注意：考虑到斜率为零时不满足乘积为常数，所以x=±a无法取到，即该定义仅为去掉两个点的椭圆。椭圆也可看做圆按一定方向作压缩或拉伸一定比例所得图形。面积公式S=π（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L = ∫[0，π/2]4a * sqrt（1-(e*cost)²)dt≈2π√（（a²+b²)/2） [椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率椭圆的准线方程　x=±a?/c离心率椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：0&X&1）e=c/a(0&e&1），因为2a&2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a?/c) 的距离为b?/c离心率b/a与的关系：焦半径焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex焦点在y轴上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分别为上下焦点）椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，即|AB|=2*b?/a斜率公式过椭圆上x?/a?+y?/b?=1上一点（x，y）的切线斜率为 -b?X/a?y三角面积若有一两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上那么若∠F1PF2=θ，则S=b?tan（θ/2）。曲率公式K=ab/[(b?-a?）（cosθ）?+a?]^3/2准线方程通径l=2b?/a（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦椭圆中的通径是通过焦点最短的弦标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x?/a?+y?/b?=1 (a&b&0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y?/a?+x?/b?=1 (a&b&0)椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b?=a?-c?。b是为了书写方便设定的参数。又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx?+ny?=1(m&0，n&0，m≠n）。即标准方程的统一形式。椭是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ， y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a?+yy0/b?=1。椭圆切线的斜率是：-b?x0/a?y0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。一般方程Ax?+Bxy+Cy?+Dx+Ey+1=0（A&0，B&0，且A≠B）。参数方程x=acosθ ， y=bsinθ。极坐标（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）r=a（1-e?）/（1-ecosθ）（e为椭圆的离心率=c/a）
椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆半焦距，则此椭圆的离心率是_____．
\frac{\sqrt{5}-1}{2}&&
根据椭圆上的点到一条准线距离的最小值恰好等于该椭圆半焦距，即\frac{a^{2}}{c}-a=c，解出离心率\frac{c}{a}的值．解：椭圆上的点到一条准线距离的最小值为\frac{a^{2}}{c}-a，它等于椭圆的半焦距，即\frac{a^{2}}{c}-a=c．方程的两边同除以c，得\frac{a}{c}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}，故离心率\frac{c}{a}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5-1}}{2}故答案为：\frac{\sqrt{5}-1}{2}
称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为()．
分析：由题意可得 b=c，故有 a2=b2+c2=2c2，可得=．解答：解：由题意可得 b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴=，
测试题精选
以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是()
A.\frac{1}{2}
B.\frac{\sqrt{2}}{2}
C.\frac{\sqrt{3}}{2}
D.\frac{\sqrt{3}}{3}
称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为()．
椭圆的离心率为()
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