【图文】利息理论1_百度文库
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你可能喜欢1.如下为类型CMyString的声明，请为该类型添加赋值运算符函数。
1 class CMyString
CMyString(char* pData = NULL);
CMyString(const CMyString& str);
~CMyString(void);
7 private:
char* m_pD
2.设计一个类，我们只能生成该类的一个实例。
3.在一个二维数组中，每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否函数该整数。
4.请实现一个函数，把字符串中的每个空格替换成"%20"。例如输入"We are happy"，则输出"We%20are%20happy"。
4_1.有两个排序的数组A1和A2，内存在A1的末尾有足够多的空余空间容纳A2。请实现一个函数，把A2中的所有数字插入到A1中并且所有的数字是排序的。
5.输入一个链表的头结点，从尾到头反过来打印出每个节点的值。
6.输入某二叉树的前序遍历和中序遍历的结果，请重建出该二叉树。假设输入的前序遍历和中序遍历的结果都不含重复的数字。例如输入前序遍历序列{1,2,4,7,3,5,6,8}和中序遍历序列{4,7,2,1,5,3,8,6}，则重建出图2.6所示的二叉树并输出它的头结点。
7.用两个栈实现一个队列。队列的声明如下，请实现它的两个函数appendTail和deleteHead，分别完成在队列尾部插入节点和队列头部删除节点的功能。
7_1.用两个队列实现一个栈。
8.把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转，该数组的最小值为1。
9.写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。
9_1.一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
9_2.青蛙跳台阶问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级...它也可以跳上n级，此时青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法？
9_3.我们可以用2*1的小矩形横着活着竖着去覆盖更大的矩形。请问8个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*8的大巨星，总共有多少种方法？
10.请实现一个函数，输入一个整数，输出该二进制表示中1的个数。例如把9表示成二进制是1001，有2位是1。因此如果输入9，该函数输出2。
10_1.用一条语句判断一个整数是不是2的整数次方。一个整数如果是2的整数次方，那么它的二进制表示中有且只有一位是1，而其他所有位都是0。根据前面的分析，把这个整数减去1之后再和它自己做与运算，这个整数中唯一的1就会变成0。
10_2.输入两个整数m和n，计算需要改变m的二进制表示中的多少位才能得到n。比如10的二进制表示为1010，13的二进制表示为1101，需要改变1010中的3位才能得到1101 。 我们可以分为两步解决这个问题：第一步求这两个数的异或，第二步统计异或结果中1的位数。
10_3.把一个整数减去1之后再和原来的整数做位与运算，得到的结果相当于是把整数的二进制表示中的最右边一个1变成0 。 很多二进制的问题都可以用这个思路解决。
基础知识，准备这方面的知识需要从编程语言、数据结构和算法3方面做准备。通常采用概念题、代码分析和编程题3种常见题型考察对某一编程语言的掌握程度。
数据结构一直是面试考察的重点，数组和字符串是两种最基本的数据结构。链表应该是面试题中使用频率最高的一种数据结构。如果面试官想加大面试难度，他很有可能会选用树（尤其是二叉树）相关的面试题。由于栈与递归调用密切相关，队列在图（包括树）的宽度优先遍历中需要用到，因此应聘者也需要掌握这两种数据结构。
算法也是面试考察的重点，查找（特别是二分查找）和排序（特别是快速排序和归并排序）是面试中最经常考察的算法，一定要熟悉掌握。另外还需掌握分析时间复杂度的方法，理解即使是同一思路，基于循环和递归的不同实现他们的时间复杂度可能大不相同。
位运算是针对二进制数字的运算规律，熟悉掌握二进制的与、或、异或运算以及左移、右移操作，就能解决与位运算相关的问题。
11.实现函数double Power(double base,int exponent)，求base的exponent次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
（提示由于计算机表示小数float和double型都有误差，所以不能直接利用等号（==）判断两个小数是否相等。如果两个小数的绝对值很小，例如小于0.0000001，我们可以认为其相等）
12.输入数字n，按顺序打印出从1最大的n位十进制数。比如输入3，则打印出1、2、3一直到最大的3位数即999 。
12_1.前面的代码中，我们都是用一个char型字符表示十进制数字的一位。8个bit的char型字符最多能表示256个字符，而十进制数字只有0-9的10个数字。因此用char型字符串来表示十进制的数字并没有充分利用内存，有一些浪费。有没有更高效的方式来表示大数。
12_2.定义一个函数，在该函数中可以实现任意两个整数的加法。由于没有限定输入两个数的大小范围，我们也要把它当做大数问题来处理。在前面的代码的第一个思路中，实现了在字符串表示的数字上加1的功能，我们可以参考这个思路实现两个数字相加功能，另外还有一个需要注意的问题：如果输入的数字中有负数，我们应该怎么处理？（如果面试题关于n位的整数并且没有限定n的取值范围，或者是输入任意大小的整数，那么这个题目很有可能是需要考虑大数问题的，字符串是一个简单，有效的表示大数的方法）
13.给定单向链表的头指针和一个结点指针，定义一个函数在O（1）时间删除该节点。链表的节点与函数的定义如下：
1 struct ListNode
ListNode* m_pN
6 void DeleteNode(ListNode** pListHead,ListNode* pToBeDeleted);
（提示：删除单向链表结点的两种方法
（a）删除结点i之前，先从链表的头结点开始遍历到i前面的一个节点h，把h的m_pNext指向i的下一个节点j，再删除结点i ， 这也是最经常用的一个方法，自己熟悉。
（b）把节点j的内容复制覆盖节点i，接下来再把节点i的m_pNext指向j的下一个节点之后删除结点j。这种方法不用遍历链表上结点i前面的节点，只需要有指向i结点的指针即可完成操作。）
14.输入一个整数数组，实现一个函数来调整该数组中数字的顺序，使得所有奇数位于数组的前半部分，所有偶数位于数组的后半部分。
（考虑可扩展性的解决方案，将判断奇偶的部分利用函数指针抽象出来达到解耦的效果）
15.输入一个链表，输出该链表中倒数第K个结点。为了符合大多数人的习惯，本题从1开始计数，即链表的尾结点是倒数第1个结点。例如一个链表有6个结点，从头结点开始它们的值依次是1,2,3,4,5,6。这个链表的倒数第3个结点是值为4的结点。（注意代码鲁棒性，考虑输入空指针，链表结点总数少于k，输入的k参数为0）
15_1.求链表的中间结点。如果链表中结点总数为奇数，返回中间结点；如果结点总数为偶数，返回中间两个结点的任意一个。（通过一次遍历解决这个问题）
15_2.判断一个单项链表是否形成了环形结构。（提示：速度不同的链表指针遍历，类似于操场跑步，当我们用一个指针遍历链表不能解决问题的时候，可以尝试利用两个指针来遍历链表，可以让其中一个指针遍历的速度快一些，比如一次在链表上走两步，或者让它先在链表上走若干步）
16.定义一个函数，输入一个链表的头结点，反转该链表并输出反转后链表的头结点。
16_1.递归实现同样的反转链表的功能。
17.输入两个递增排序的链表，合并这两个链表并使新链表中结点仍然是按照递增排序的。例如输入1-&3-&5-&7和2-&4-&6-&8，则合并之后的升序链表应该是1-&2-&3-&4-&5-&6-&7-&8 。
18.输入两颗二叉树A和B，判断B是不是A的子结构。二叉树结点的定义如下：
1 struct BinaryTreeNode
BinaryTreeNode* m_pL
BinaryTreeNode* m_pR
从规范性、完整性和鲁棒性3个方面介绍了如何在面试时写出高质量的代码。
规范性：书写清晰，布局清晰，命名合理
完整性：完成基本功能，考虑边界条件，做好错误处理
鲁棒性：采取防御式编程，处理无效的输入
19.请完成一个函数，输入一个二叉树，该函数输出它的镜像。（递归和循环应该分别怎样实现？）
20.输入一个矩阵，按照从外向里以顺时针的顺序依次打印出每一个数字。例如：如果输入如下矩阵：
1 & &2 & &3 & &4
5 & &6 & &7 & &8
9 & &10 & 11 & 12
13 & 14 & 15 & 16
则依次打印出数字1、2、3、4、8、12、16、15、14、13、9、5、6、7、11、10 。
21.定义栈的数据结构，请在该类型中实现一个能够得到栈的最小元素的min函数。在该栈中，调用min、push以及pop的时间复杂度都是O(1)。
22.输入两个整数序列，第一个序列表示栈的压入顺序，请判断第二个序列是否为该栈的弹出顺序。假设压入栈的所有数字均不相等。例如序列1、2、3、4、5是某栈的压栈序列，序列4、5、3、2、1是该压栈序列对应的一个弹出序列，但4、3、5、1、2就不可能是该压栈序列的弹出序列。
23.从上往下打印出二叉树的每个结点，同一层的结点按照从左到右的顺序打印。
23_1.如何广度优先遍历一个有向图？这同样也可以基于队列实现。树是图的一种特殊退化形式，从上到下按层遍历二叉树，从本质上来讲就是广度优先遍历二叉树。
23_2.不管是广度优先遍历一个有向图还是一棵树，都要用到队列。第一步我们把起始结点（对树而言是跟结点）放入队列中，接下来每一次从队列的头部取出一个结点，遍历这个结点之后把从它能达到的结点（对树而言是子结点）都一次放入队列。我们重复这个遍历过程，直到队列中的结点全部被遍历为止。
24.输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历的结果。如果是则返回true，否则返回false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。
24_1.输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的前序遍历的结果。这和前面的问题的后序遍历很类似，只是前序遍历的序列中，第一个数字是根结点的值。
24_1.如果面试题是要求处理一颗二叉树的遍历序列，我们可以先找到二叉树的根结点，再基于根结点把整棵树的遍历序列拆分成左子树对应的子序列和右子树对应的子序列，接下来再递归地处理这两个子序列。
25.输入一颗二叉树和一个整数，打印出二叉树中结点值的和为输入整数的所有路径。从树的根结点开始往下一直到叶结点所经过的结点形成一条路径。
26.请实现函数ComplexListNode* Clone(ComplexListNode* pHead)，复制一个复杂链表。在复杂链表中，每个结点除了有一个m_pNext指针指向下一个结点外，还有一个m_pSibling指向链表中的任意结点或者NULL。结点C++的定义如下：
1 struct ComplexListNode
ComplexListNode* m_pN
COmplexListNode* m_pS
27.输入一颗二叉搜索树，将该二叉搜索树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建人和新的结点，只能调整树中结点指针的指向。
28.输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc，则打印出由字符串a、b、c所能排列出来的所有字符串abc、acb、bac、bca、cab和cba。
28_1.如果不是求字符的所有排列，而是求字符的所有组合，应该怎么办？还是输入三个字符a、b、c，则它们的组合有a、b、c、ab、ac、bc、abc。当交换字符串中两个字符时，虽然能得到两个不同的排列，但却是同一个组合。比如ab和ba是不同的排列，但只算一个组合。
28_2.当输入一个含有8个数字的数组，判断有没有可能把这8个数字分别放到正方体的8个顶点上，使得正方体上三组相对的面上的4个顶点的和都相等。
28_3.在8*8的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能相互攻击，及任意两个皇后不得处于同一行，同一列或者同意对角线上，请问总共有多少种符合条件的摆法。
28_4.如果面试题是按照一定要求摆放若干数字，我们可以先求出这些数字的所有排列，然后再一一判断每个排列是不是满足题目给定的要求。
面试的时候难免会遇到难题，画图、举例子和分解者三种办法能够帮助解决复杂的问题。
图形能够使抽象的问题形象化，当涉及链表、二叉树等数据结构时，如果在纸上画几张草图，题目中隐藏的规律就有可能变得很直观。
一两个例子能使得抽象的问题具体化。
复杂问题分解成若干个小问题，是解决很多复杂问题的有效方法。如果我们遇到的问题很大，尝试先把大问题分解成小问题，然后递归的解决这些小问题。分治法、动态规划等方法都是基于这种思路。
29.数组中有一个数字出现的次数超过数组长度的一半，请找出这个数字。例如输入一个长度为9的数组{1,2,3,2,2,2,5,4,2}。由于数字2在数组中出现了5次，超过数组长度的一半，因此输出2。
30.输入n个整数，找出其中最小的k个数。例如输入4、5、1、6、2、7、3、8这8个数字，则最小的4个数字是1、2、3、4 。
31.输入一个整型数组，数组里有正数，也有负数。数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n）。
32.输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现5次。
33.输入一个正整数数组，把数组里所有数字拼接起来排成一个数，打印能拼接出所有数字中最小的一个。例如输入数组{3,32,321}，则打印出这3个数字能排成的最小数字321323。
34.我们把只包含因子2,3和5的数称作丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7.习惯上我们把1当做第一个丑数。
35.在字符串中找出第一个只出现一次的字符。如输入"abaccdeff"，则输出'b'。
35_1.在前面的例子中，我们之所以可以把哈希表的大小设为256，是因为字符（char）是8个bit的类型，总共只有256个字符。但实际上字符不只是256个，比如中文就有几千个汉字。如果题目要求考虑汉字，前面的算法是不是有问题？如果有，可以怎么解决。
35_2.定义一个函数，输入两个字符串，从第一个字符串中删除在第二个字符串中出现过的所有字符。例如第一个字符串"we are students"，第二个字符串是"aeiou"，结果应该是"w r stdnts"。
35_3.定义一个函数，删除字符串中所有重复出现的字符。例如输入"google"，则输出结果应该是"gole"。
35_4.请完成一个函数，判断输入的两个字符串是否是Anagram。
35_5.如果需要判断多个字符是不是在某个字符串里出现过或者统计多个字符在某个字符串中出现的次数，我们可以考虑基于数组创建一个简单的哈希表。这样可以用很小的空间消耗换来时间效率的提升。
36.在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。
37.输入两个单向链表，找出它们的第一个公共结点。
降低时间复杂度的第一个方法是改用更加高效的算法。
降低时间复杂度的第二个方法是用空间换取时间，另外我们可以创建一个缓存保存中间的计算结果，从而避免重复计算。递归中会出现很多重复计算，所以这种保存已经计算的结果成为&记账法&。
空间和时间应该进行权衡，嵌入式系统的内存有限，所以不一定非要花费空闲去换取时间。
38.统计一个数字在排序数组中出现的次数。例如输入排序数组{1,2,3,3,3,3,4,5}和数字3，由于3在这个数组中出现了4次，因此输出4。
39.输入一颗二叉树的根节点，求该树的深度。从根节点到叶节点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。
39_1.输入一颗二叉树的根结点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意结点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一颗平衡二叉树。
40.一个整型数组里除了两个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n)，空间复杂度O(1)。
41.输入一个递增排序的数组和一个数字s，在数组中查找两个数，使得它们的和正好是s。如果有多对数字的和等于s，输出任意一对即可。
41_1.输入一个正数s，打印出所有和为s的连续正数序列（至少含两个数）。例如输入15，由于1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以结果打印出3个连续序列1~5,4~6和7~8。
42.输入一个英文句子，翻转句子中单词的顺序，但单词内字符的顺序不变。为简单起见，标点符号和普通字母一样处理。例如输入字符串"I am student"，则输出"student. a am I"。
42_1.字符串的左旋转操作是把字符串前面若干个字符转移到字符串的尾部。请定义一个函数实现字符串左旋转操作的功能。比如输入字符串"abcdefg"和数字2，函数将返回"cdefgab"。
43.把n个骰子仍在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s，输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
44.从扑克牌中随机抽5张牌，判断是不是一个顺子，即这5张牌是不是连续的。2~10为数字本身，A为1，J为11，Q为12，K为13，而大、小王可以看成任意数字。
45.0~n-1这n个数字排列成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈中删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
46.求1+2+...+n，要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句。
47.写一个函数，求两个整数之和，要求函数体内部的使用+、-、*、\四则与水暖符号。
48.用C++设计一个不能被继承的类。
沟通能力、学习能力。善于提问的人有较好的沟通和学习能力。
知识迁移能力能帮助我们轻松解决很多问题，举一反三的能力，平时要有一定的积累，每完成一道题目之后都要总结解题方法。
抽象建模能力，选取适当的数据结构表述模型，分析模型中的内在规律确定计算方法。
发散思维能力，跳出常规思路的束缚，从不同的角度去尝试新的方法。
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一道高三数学填空题
2=1，y∈R+，x+y^2&#47若x
勾股定理得DB=BF=√5;r=9&#47,应为∠ACB=90°(否则直角边=斜边). 题目又有误. ∴ 首项a1的取值范围是(0;5 2;10=1&#47, 底面正△内切圆的半径r=(1&#47,揭示方法, ∴ |1-(a1/3=1,y∈R+,∴ q=1-(a1&#47,由余弦定理得B1E=√5. 题目有误;2=2/7)|&5, ∴ tanθ=h/a1&lt, 若x;100;14,a1=7-7q;8) 4. n→∞ 时,作FE‖A1B1,y∈R-, x+y≤-1&#47. ∵ xy=1/1;3)×4×(√3)&#47,解得0&lt,交于E,则x+y≥2√(xy)=2&#47,若x;4，我按lg(xy)=-2作,limSn=a1&#47,∠DBE是BD1与AF1所成的角, ∴ ∠DBE=60°;1. 由16×(√3/√3,BD1与AF1所成角的余弦值是1/(1-q=)7 ,而公比|q|&5(此时无最小值) ∴x+y的最小值为1&#47. 如图所示;4)×h/81.设BC=CA=CC1=2;7),则(-x)+(-y)≥1&#47,得h=√3&#47,即侧面与底面所成的二面角的大小为arctan(9&#47,B1E‖A1C1;2 3;5
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出门在外也不愁奥数题解,题与解答
题目：甲、乙两个小朋友各有一袋糖,每袋糖不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍.甲、乙两个小朋友共有糖多少粒?分析与这道题虽属差倍问题,但解答时很有难度.若能着眼全局,从整体上加以考察,抓住题中的不变量加以分析,就能使问题迎刃而解.因为不管甲给乙多少粒糖,还是乙给甲多少粒糖,甲、乙两个小朋友共有糖粒的总数始终没有变化.甲给乙一定数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍,说明这时乙的糖粒数是总数的 ；乙给甲同样数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍,说明这时乙的糖粒数是总数的 ,相差 .假设甲给乙1粒（至少为1粒）,那么甲还有（甲-1）粒,如果乙给甲同样多的粒数,则甲有（甲+1）粒,“甲+1”与“甲-1”相差数为2, （粒）.假设甲给乙2粒……那么“甲+2”与“甲-2”相差数为4, （粒）.已知每袋糖不到20粒,则两人糖的总数不到40粒,显然48粒不符合题意,那么就说明甲、乙两个小朋友共有糖24粒2.先比较再选择题目：希望小学要买50个足球,现有甲、乙、丙三家商店可以选择.三家商店足球的价格都是25元,但各个商店的优惠方法不同.甲店：买10个足球免费赠送2个,不足10个不赠送；乙店：每个足球优惠5元；丙店：购物满100元返回现金20元.为了节省费用,希望小学应该到哪家商店购买呢?分析与从问题出发,希望小学肯定应选择买50个足球所需费用最少的商店去购买,也就是要分别求出这三家商店优惠后的总价.已知甲店买10个足球免费赠送2个,那么买20个免费赠送4个,买30个免费赠送6个,买40个免费赠送8个.40个加上赠送的8个共计（40+8）48个,而希望小学一共要买50个,还差2个,这2个得自己掏钱买了,也就是说希望小学如果去甲店购买的话,只需买42个,按每个25元计算,共需（25×42）1050元.由于乙店每个足球优惠5元,也就是每个足球按20元的单价计算.所以,买50个足球共需（50×20）1000元.由于丙店购物满100元返回现金20元,而不满100元这个优惠是不能享受的.买50个足球,每个25元,共计（50×25）1250元.1250元里有12个100,从优惠方案中可知,可以优惠（12×20）240元.也就是说希望小学去丙店购买的话,共需（）1010元.从上可知,享受优惠后希望小学买50个足球的总价分别是：甲店需1050元,乙店需1000元,丙店需1010元.为了节省费用,希望小学当然要到花钱最少的商店去购买,即选择乙店,只需1000元.3.巧 妙 变 换数学练习课上,老师出了这样一道题目：“6.28×7.81＋37.2×0.781”,让同学们计算.大家都全神贯注用竖式计算,不一会儿,小林说：“我做好了.”“你怎么算得这么快?”随着老师的问话,同学们放下了手中的笔,投去了怀疑的目光.“我是这样算的.”说罢他到黑板上写出了计算过程： 老师佩服地对小林说：“你真行,你怎么想到这样算的?”小林说：“计算之前,我仔细观察了这道题中的数据,发现了”6.28×7.81”中的因数7.81与”37.2×0.781”中的因数0.781只是小数点的位置不同,根据积的变化规律可知,如果把”37.2×0.781”中两个因数的小数点移动一下,变换成”3.72×7.81”,积是不变的.变换之后就可以用乘法分配律进行简便计算了.”同学们受小林的启发,又想到了一种简便的算法.即： 看来在计算时,我们要注意观察算式中数据的特点,尽可能挖掘出隐藏着的简算因素,从而正确、迅速地进行计算4.运用规律 化难为易从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,那么这个圆的面积与原来正方形的面积之比是多少?周长之比呢?设剪下的面积最大的圆的半径为r,则原正方形的边长就是2r.
由此可得：在一个正方形中剪下一个面积最大的圆,那么这个圆与原来正方形的面积之比、周长之比都是 .运用这个规律,我们可以使一些题目的解答变得更加简便,更加容易.例1. 从一块面积是36平方厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,这个圆形铁皮的面积是多少平方厘米?分析与因为, 所以,这块圆形铁皮的面积＝原来正方形的面积 即 （平方厘米）例2. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,已知这个圆的面积是25.12平方厘米,原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米?分析与因为, 所以,原来正方形的面积＝最大圆的面积 即 （平方厘米）例3. 从一个周长是36厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,这块圆形铁皮的周长是多少厘米?分析与因为, 所以,这块圆形铁皮的周长＝原来正方形铁皮的周长 即 （厘米）例4. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,已知这个圆的周长是25.12厘米,原来正方形铁皮的周长是多少厘米?分析与因为, 所以,原来正方形的周长＝最大圆的周长÷ 即 （厘米）想一想：从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,剩下的铁皮面积占原来正方形面积的几分之几?没有告诉我们具体的数据,应该怎样解答呢5.巧求“总和”妙解难题数学竞赛中,有些题目初看不知从何处下手,但若能巧妙求出“总和”,问题就会迎刃而解.例1. 三张卡片上分别写着三个互不相等的自然数.甲、乙、丙三人按以下规则做游戏：每人每次从袋里各拿出一张卡片,并走与卡片上的数相同的步数,然后一起把卡片放回袋里,开始第二个回合.在进行了n个这样的回合后,甲走了20步,乙走了10步,丙走了9步.如果在最后一个回合中,乙拿到的是写有最大数的那张卡片,这三个自然数分别是（ ）、（ ）和（ ）.（第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛决赛试题第15题）分析与先求出甲、乙、丙三人所走步数的总和,根据条件可知,这个总和为20＋10＋9＝39（步）,然后再求他们进行了几个回合,因为每个回合他们三人步数的和都相等,因39＝1×39＝3×13,所以他们不可能进行了1个、13个或39个回合,所以他们只能是进行了3个回合,每个回合他们三人步数之和为13.又因为乙在最后一个回合拿到的是写有最大数的那张卡片,而他走了10步,所以这三个自然数中最大的一个是8,且至少也为8,否则甲不可能达到20步.因此,这三个自然数只能是8、4、1或8、3、2.经试验,甲：8＋8＋4＝20,乙：1＋1＋8＝10,丙：4＋4＋1＝9,这三个自然数是8、4、1.例2. 甲盒中有99个白球和100个黑球,乙盒中有足够多的黑球.现在每次从甲盒中任意取出两个球放在外面.如果两个球同色,则从乙盒中取出1个黑球放入甲盒；如果两个球异色,仍将其中的白球放回甲盒中.这样经过197次取放之后,甲盒中剩几个球?各是什么颜色?请说明理由.分析与先求出经过197次取放后,甲盒中球数减少的“总和”.根据取放规则,取同色2球,放回1黑球,甲盒中每次少1个球.取异色球,放回1白球,甲盒中仍是每次少1个球.即甲盒中的球每取放1次减少1个,所以甲盒中球减少的“总和”是197个,则甲盒中只剩下99＋100－197＝2（个）球.又因为甲盒中的白球只有在取出的2个球都是白色时才会减少,且白球总是成对减少,即甲盒中的白球始终保持奇数个.因此,取放197次后,甲盒中只有一黑一白两个球.6.运用比的基本性质巧解题同学们已经学过有关比的知识了,知道两个数相除又叫做两个数的比.比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外）,比值不变.如a：b＝2a：2b,还有a：b＝（a÷2）：（b÷2）.也许同学们对比的基本性质已有所了解,但是否能运用比的基本性质解决一些实际问题呢?下面我们应用比的基本性质解两道应用题.例1. 某次考试,甲、乙两同学的得分之比为5：4,如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的得分之比就是5：7,问：甲、乙两同学实际各得多少分?分析与由题意可知,甲、乙两人的分数之和没有变化.所以可以将甲、乙两人实际得分总和看作5＋4＝9（份）,变化后甲、乙两人得分看作5＋7＝12（份）,份数之和发生了变化,这正是解题的障碍所在.若将9份与12份统一加以变化,这道题就迎刃而解了.因为9与12的最小公倍数是36,所以我们可以将甲、乙实际得分的比例和变化后甲、乙得分的比例按总份数为36份来变化.5：4＝（5×4）：（4×4）＝20：16……总份数为20＋16＝36（份）5：7＝（5×3）：（7×3）＝15：21……总份数为15＋21＝36（份）这时它们的总份数相同,都是36份.由此可见,甲少得的22.5份,相当于甲少了20－15＝5（份）；乙多得的22.5分,相当于乙多了21－16＝5（份）.则原来甲得了（22.5÷5）×20＝90（分）；乙得了（22.5÷5）×16＝72（分）.例2. A、B两种商品的价格之比是7：3,如果它们的价格分别上涨70元,则它们的价格之比是7：4.问：这两种商品原来的价格是多少元?分析与因为A、B两种商品价格上涨的幅度相同,所以涨价前后两种商品价格之差仍保持不变.从7：3来看,两种商品的价格差为7－3＝4（份）；从7：4来看,它们的价格差为7－4＝3（份）.根据比的基本性质可得下列两个式子：7：3＝（7×3）：（3×3）＝21：9……相差份数为21－9＝12（份）7：4＝（7×4）：（4×4）＝28：16……相差份数为28－16＝12（份）这时它们相差的份数相同,都是12份.由此可见,A商品的价格是从21份涨到了28份,也就是28－21＝7（份）,相当于70元,所以A商品原来的价格是70÷7×21＝210（元）,B商品原来的价格是70÷7×9＝90（元）.7.巧妙“割补”化难为易在计算平面图形的面积时,经常会遇到一些比较复杂的组合图形,若能巧妙地将这些图形进行割补转化,往往能化难为易.例1. 如下图,大、小正方形的边长之和为20厘米,面积之差为40平方厘米,求大、小正方形的边长各是多少厘米? 分析与根据题意,对上图进行分割（如图1）,由已知条件可得A、B、C三块阴影部分的面积之和是40平方厘米,再将图1转化为图2,则可求得阴影部分长方形的宽为40÷20＝2（厘米）. 图1 图2所以,小正方形的边长为（20－2）÷2＝9（厘米）；大正方形的边长为9＋2＝11（厘米）.例2. 一个正方形,如果一条边增加6厘米,另一条边增加2厘米,所得的长方形的面积就比原正方形的面积多92平方厘米,求原正方形的边长. 分析与根据题意可作出上图.正方形边长变化后,增加的部分可分成A、B、C三个部分,其中C的面积是6×2＝12（平方厘米）,则A、B的面积之和为92－12＝80（平方厘米）,A和B各有一条边长正好是原正方形的边长,因而A和B可以拼成一个宽为2＋6＝8（厘米）的长方形（如下图）.因这个长方形的面积为80平方厘米,宽为8厘米,所以可得原正方形的边长为（92－6×2）÷（6＋2）＝80÷8＝10（厘米）. 例3. 一个正方形的一条边增加6厘米,另一条边减少2厘米,所得长方形的面积比原正方形的面积多68平方厘米,求原正方形的边长.分析与根据题意可作出下图. 图中阴影部分B为增加的面积,阴影部分A为减少的面积,由已知条件可得B的面积比A的多68平方厘米.补上面积C,C的面积为6×2＝12（平方厘米）,则B和C的面积之和比A的面积多68＋12＝80（平方厘米）.因B和C所组成的长方形的长是原正方形的边长,A所在长方形的长也是原正方形的边长,所以通过拼割可以作出下图. 从上图中可以看出,80平方厘米是以原正方形边长为长,以6－2＝4（厘米）为宽的长方形的面积.从而可求出原正方形边长为：（68＋6×2）÷（6－2）＝80÷4＝20（厘米）综上所述,可知在解答这类图形题时,应紧紧抓住图形的特点,从题中所给的已知条件出发,割拼结合,巧妙拼补,这样才能清晰地凸现它们之间的关系,达到化难为易、化繁为简的解题目的.8.数形结合 巧解难题题目 上体育课时,同学们站好队,一至二报数,然后让报一的学生退出队列；再一至二报数,同样也让报一的学生退出队列；但从第三次开始,每次报数后,一律让报二的学生退出队列,……直到最后剩下一个人为止,问最后剩下的一个人最初排在队列的第几位?分析与初看这道题,感觉很复杂,没有思路,但只要运用数形结合的方法,就很容易得出答案.方法如下：用圆圈代表学生（不妨以19人为例）,第一次报数后出现的情况如图1所示,第二次报数后出现的情况如图2所示,第三次报数后出现的情况如图3所示,第四次报数后出现的情况如图4所示. 至此,就得到了答案：最后剩下的一个人最初排在队列的第4位（值得注意的是：从纯数学的角度考虑,本题应再加一个条件“上课的学生人数不少于4人”,但联系实际情况,无此条件也是可以的）.进一步研究就会发现：只要总人数不少于4人,最后剩下的一个人最初都是排在第4位.为什么会有这样的规律呢?与哪些条件有关呢?我试着把条件“让报一的学生退出队列”的次数改为3次,其余条件不变,结果就发生了变化,最后剩下的一个人最初排在队列的第8位.换了假定的人数,结果依然相同.我又一次调整这一条件出现的次数,让它出现4次,其余条件还是不变,则最后剩下的那一个人最初排在队列的第16位.最后我得出的结论是：已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数与问题“最后剩下的一个人最初排在队列的第几位?”关系密切.假如把已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数设为n,那么最后剩下的一个人最初就排在队列的第2n位.本题中这一条件出现2次,则剩下的一个人最初排在队列的第22＝4（位）；出现3次,剩下的一个人最初就应排在队列的第23＝8（位）.下面,请你也来试一试：当报一的这一条件出现5次,其余条件不变时,最后剩下的一个人最初应排在队列的第几位呢?9.挖掘题目内涵 拓宽解题思路有些应用题,通过挖掘题目内涵,就能拓宽解题思路,寻求多解,并有利于提高学生的思维水平和解题能力.〔题目〕某通讯员骑摩托车从甲地往乙地发送文件,到达乙地后立即返回,往返共用去2小时.已知去时每小时行45千米,返回时每小时行30千米,求甲、乙两地相距多少千米.〔分析与解〕此题可用八种策略策略一：等价变换此题的已知条件与问题很难直接建立数量关系,若将已知条件进行等价变换,问题就容易解决了.已知条件可等价变换为：去时行1千米要用 小时,返回时行1千米要用 小时.据此,往返各行1千米一共要用 （小时）,又因为这位通讯员往返共用去2小时,由此就可求出甲、乙两地的路程为： （千米）.策略二：引量过渡对问题提出假设性答案,为解题“搭桥”.假设两地的路程为90千米（45和30的最小公倍数）,则去时要用90÷45＝2（小时）,返回时要用90÷30＝3（小时）,往返共用5小时.而题目中告诉我们往返共用去了2小时,即5小时的 ,所以甲、乙两地的实际路程是90千米的 ,即 （千米）.策略三：增设参数将某个未知数量用字母表示,直接参与计算.如用字母“t”表示去时所用的时间,则甲、乙两地的路程可表示为45t,返回时所用的时间可表示为 .由通讯员往返一次所行的总路程45t×2＝90t与所用的总时间 ,可求得通讯员往返的平均速度为： ,进而可求出甲、乙两地相距的路程为：36×2÷2＝36（千米）.策略四：横向联系通过横向联系,从“比和按比例分配”的角度入手.根据“去时和返回时的速度之比为45∶30＝3∶2”,可知“行同样的路程,去时和返回时所用的时间之比为2∶3”,用按比例分配的方法即可求出去时所用的时间为： （小时）,进而可求出甲、乙两地的路程为：45×0.8＝36（千米）.策略五：确定单位把题目中涉及到的某个数量设为单位“1”,根据数量关系可进一步分析求解.如把返回时所用的时间设为单位“1”,则甲、乙两地的路程为30×1＝30,去时所用的时间为 ,由此可求出返回时所用的时间为 （小时）,进而可求出甲、乙两地相距的路程为：30×1.2＝36（千米）.策略六：变式转换根据“返回时所用的时间＝2小时－去时所用的时间”可以列出等式：45×去时所用的时间＝30×（2－去时所用的时间）,然后通过去括号、移项可得：45×去时所用的时间＋30×去时所用的时间＝30×2,由此可以求出去时所用的时间为：30×2÷（45＋30）＝0.8（小时）,进而可求出两地的路程为：45×0.8＝36（千米）.策略七：据理估算由“去时的速度是返回时速度的45÷30＝ 倍”可知,去时所用的时间小于1小时,返回时所用的时间大于1小时,所以可将去时所用的时间估算为0.9小时,返回时所用的时间估算为1.1小时,则去时的速度是返回时速度的 倍,这说明我们估算的去时所用的时间偏大了,返回时所用的时间偏小了,可试着调整为：去时所用的时间为0.8小时,返回时所用的时间为1.2小时,则去时的速度是返回时速度的 倍,符合题目条件,故调整后的估算正确,因此,甲、乙两地相距的路程为：45×0.8＝36（千米）,或30×1.2＝36（千米）.策略八：特殊假设假设去时用2小时,返回时用0小时,则可推出“去时路程－返回路程＝45×2－30×0＝90千米”,为什么会有路程差呢?这是因为去时路程被看成“45×2”,多了“45×返回时所用的时间”；而“返回路程”被看成“30×0”,少了“30×返回时所用的时间”,也就是说,被减数多了“45×返回时所用的时间”,减数少了“30×返回时所用的时间”,差就多了90千米,所以,45×返回时所用的时间＋30×返回时所用的时间＝90千米,由上式即可求出返回时所用的时间为：90÷（45＋30）＝1.2（小时）,进而可求出甲、乙两地的路程为：30×1.2＝36（千米）.10.先估算 再确定三个连续正整数,如果中间一个是完全平方数,那么这样的三个连续正整数的积被称为“美妙数”.问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?（全国第九届“华罗庚金杯”赛暨南通市“华杯”赛六年级试题）〔一般解法〕根据题意,符合条件的三个连续正整数的积要小于2008,我们不妨先估算这三个连续正整数的范围.因为“美妙数”要求三个连续正整数中间的一个数是完全平方数,所以由8×9×10＝720和15×16×17＝4080可知中间一个数的完全平方数肯定不大于9,也就是说符合条件 三个连续正整数只有3、4、5和8、9、10两组.综合以上分析,小于2008的“美妙数”为3×4×5＝60和8×9×10＝720.因60与720的最大公约数为60,所以所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是60.〔巧妙解法〕根据题意,很容易找出最小的“美妙数”为3×4×5＝60,所以符合条件的三个连续正整数中必定有一个数是3的倍数,其中也必定有一个是偶数,且这个偶数也一定是4的倍数.又因为三个连续正整数中间一个要求是完全平方数,所以完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9,末位数字是0和5的数字又一定是5的倍数,与末位数字为1、4、6、9相邻的正整数中,一定有一个正整数是5的倍数,因此,“美妙数”一定是3、4、5的公倍数,即“美妙数”一定是3×4×5＝60的倍数.而最小的“美妙数”是60,因此这些“美妙数”的最大公约数也一定是60.11. 拆拆合合,神机妙算小朋友,下面几道题我一会儿就做了出来,你一定认为我用了计算器才算得那么快的.其实不是这样的,看,我拆拆合合,就可以神机妙算.（1）7227÷73我是这样想的：少了1个73,而7300里有100个73,所以7227里就有99个73. （2）99×99＋199我是这样想的：先从199里拿1个99出来,与99×99合起来就有100个99相加了.再加上剩下的100,实际上就是100个100相加. （3）8÷2÷5÷8我是这样想的：把80000缩小125倍,再缩小8倍,实际上是缩小了1000倍,接着又缩小2倍,缩小5倍,即又缩小了10倍.
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