实数公理_百度百科
定义实数的一种途径。按照它，所谓实数系就是定义了两种二元运算（加法与乘法）和一种次序关系（&）的集合，并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。
实数公理概述
实数公理是在集合论发展的基础上，由希尔伯特于1899年首次提出的。后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进，逐步演变为现在的公理系统。[1]
实数公理来源于实数理论的研究，包括对实数的结构,运算法则和拓扑性质等方面问题的研究。
实数集有多重结构，例如:
：从代数上看实数集是一个。
：实数集是一个。
：实数集是一个,并且有诸如,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。
实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限论的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。
实数公理实数系的公理系统
设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:
(I) 域公理
对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b的和与积，满足：
1.（交换律） 对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，a·b=b·a。
2.（结合律） 对任意a，b，c∈R，有
a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3.（分配律） 对任意a，b，c∈R，有
(a+b)·c=a·c+b·c。
4.（单位元） 存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有
a+0=a，a·1=a。
5.（逆元） 对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使
a+(-a)=0。a·a^(-1)=1。
(II) 序公理
在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“&”，使对任意a，b，c∈R，满足：
1.（三歧性） a&b,b&a,a=b三种关系中必有一个且仅有一个成立。
2.（传递性） 若a&b且b&c则a&c。
3.（与运算的相容性） 若a&b，则a+c&b+c；若a&b，c&0则ac&bc。
在任意两个元素a，b∈R之间存在一种关系，记为“
”，使对任意a，b，c∈R，满足：
1.（反对称性） 若a
a那么a=b。
2.（传递性） 若a
3.（与运算的相容性） 若a
注：对于序公理a，b这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。
(III)(1) 阿基米德公理（也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由连续性公理证明。在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题）。
：对任意a，b∈R，a&0 存在正整数n，使na&b。
(III)(2)完备性公理
R中的任何基本列都在R中收敛。
称满足公理组I的集为域；满足公理组I与II的集为有序域；满足公理组I，II与(III)(1)的集为阿基米德有序域；满足公理组I～III的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。这样，实数系就是完备阿基米德有序域。所有有理数的集合Q就是阿基米德有序域，但它不满足完备性公理。根据域公理，可以定义实数的减法和除法，并证明四则运算的所有性质。序公理的1与2表明关系“&”是R的全序。
用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值，并证明它们具有通常的运算性质。加上阿基米德公理与完备性公理，可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。实数公理有多种不同的提法，常见的另一种提法是把公理组III换成
(III)’连续性公理（戴德金公理）
若A，B是R的非空子集且 A∪B=R ，又对任意的x∈A 及任意的 y∈B 恒有x&y，则A有最大元或B有最小元，即存在 c∈R，使 x&c&y。
这里把戴德金定理用作连续性公理。另一个常用作连续性公理的。公理组I～III与公理组I+II+(III)’是等价的，（注意不是III&=&(III)’）。完备性公理可以换成的形式。类似地，，等也可用作连续性公理。公理组II也有其他提法。用公理定义了实数系R后，可以继续定义R的特殊元素正整数、整数等。例如，由数1生成的子加群Z={0,±1,±2,…}的元素称为整数；由数1生成的子域Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}的元素称为有理数。[1]
但这里有一个很微妙的问题，即与连续性公理等价的7个（、、、、、和）中，并不是每一个都能推出阿基米德公理的。具体来说，柯西收敛准则和闭区间套定理就是如此，其他5个基本定理则可以推出阿基米德公理。因此，以连续性公理作为实数公理之一时，阿基米德公理可以去掉，这时连续性和完备性是统一的，所以连续性公理也可以称为完备性公理；而以柯西收敛准则或闭区间套定理代替连续性公理时，连续性和完备性是分离的，必须补充阿基米德公理，这时柯西收敛准则或比区间套定理就只能称为完备性公理，是为了公理的完备而存在的。
满足这些公理的任何集合R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。[2]
需要说明的是，实数公理下的系统是相容的，范畴的。
从另外一个角度来想，希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的，用公理规定实数，然后再定义整数、正整数直至自然数。那么反过来行不行呢，实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢，事实上，这就是实数的构造理论所做的事了，在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论中，就展示了用戴德金分割的方法从有理数定义无理数的过程，从而建立了实数，而有理数是依赖于先建立整数的，整数又是依赖于先建立自然数的，当集合论发展起来之后，自然数又依靠集合来定义了（即），集合是最原始的概念，无法再定义的概念，整个自下而上的过程可以参见兰道的《分析基础》，从此，整个数学的基础就建立在了之上，数学再也不能排除掉集合这一现代概念了，当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后，引发了，促使集合论又不得不加以改进，致使朴素集合论发展为近代集合论，现代的数学基础终于建立在了公理集合论的基础之上（）。
实数公理实数模型
一、戴德金分割（分划）模型
二、柯西数列模型
三、魏尔斯特拉斯十进制小数模型
四、康托尔闭区间套模型（可归入第三个模型）
实数公理实数的基本定理
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是、、、、、和，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立，引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
一、上（下）确界原理
非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）
有界数列必有收敛子列。
七、完备性（柯西收敛准则）
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
注：只有充要条件的命题才能称之为“准则”，否则不能称为“准则”。
以上7个命题称为实数系的基本定理。实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，它们彼此等价。在证明中，可采用单循环证明的方式证明它们的等价性。它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。[3]
在闭区间上连续函数的性质的证明中，实数系的基本定理是非常重要的工具，但是它们之间的等价性不能说明它们都成立，必须要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而以上的命题都成立，进过反复仔细琢磨，问题就归结为实数的引入问题了。如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》[4]
中，可以用实数的连续性来推出确界定理，在华东师范大学数学系编的《数学分析（上册）》（第四版）中就通过实数十进制小数形式推出确界定理，这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。从逻辑上，应该是先建立了实数，有了实数的定义之后，再得出实数系的基本定理，从而能够在实数域上建立起严格的极限理论，最后得到严格的微积分理论，但数学历史的发展恰恰相反，最先产生的是微积分理论，而严格的是在19世纪初才开始建立的，实数系的基本定理已经基本形成了之后，19世纪末才诞生，这时分析的算数化运动才大致完成。
程民德，何思谦等．《数学辞海（第一卷）》：山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社，2002
卓里奇．《数学分析（第一卷）》(第4版) ：高等教育出版社，2006
朱时．数学分析札记：贵州教育出版社，1994
菲赫金哥尔茨．微积分学教程：高等教育出版社，2006
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包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数
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3秒自动关闭窗口【实数系统】 02 - 实数构造 - 卞爱华 - 博客园
　　人们在工作和生活中熟练地使用着数，只要按照运算律进行计算，就不用怀疑结果是否正确。面对着那些似乎天经地义的运算法则，一般人根本不会多想，更看不出什么花样来。即使是碰到了似是而非的概念，大部分人也是选择视而不见，因为它们似乎并不影响最终的结果。然而数作为大自然的语言，数学家们并不甘心只是把它当做一般的对话工具，而是想通过它与世界进行更深层次的交流，并将其转变成探索世界的武器。
　　事实证明，对于简单问题的深入思考，有时候会颠覆人们的传统认识，数学史上的重大发现很多都来自一些&基本问题&，并且新理论总会让人离真相更近一步。我们先不急于看到真相，而是从故事开始的地方，追寻先人的步伐，总有一天，你也会走出自己的步调。在&集合论&中大家已经感受过自然数的公理化定义，这一篇我们将继续进行数的构造，相信大家是有着精神准备并充满好奇的。
　　用集合定义自然数虽然完美，但不符合直觉，一般人不容易想到。历史上较早出现的定义来自皮亚诺（Peano）的公理系统，之前我们顺带提过，现在就来看看它的具体内容吧。皮亚诺公理是说自然数集\(\Bbb N\)满足以下公理：
　　（I）\(1\in \Bbb{N}\)。\(1\)是自然数，但\(1\)不作定义。
　　（II）\(a\in \Bbb{N}\Rightarrow a^+\in \Bbb{N}\)。任何自然数都有一个&后继&，它也是自然数。
　　（III）\(a^+=b^+\Rightarrow a=b\)。后继相等的两个自然数也相等。
　　（IV）\(\forall a(a^+\ne 1)\)。\(1\)不是任何自然数的后继。
　　（V）\(M\subset \Bbb{N}\wedge 1\in M\wedge (a\in M\Rightarrow a^+\in M)\Rightarrow M=\Bbb{N}\)。归纳公理。
　　皮亚诺公理更符合直觉的认识，理解起来也没有困难。\(1\)和&后继&不作定义，前两条公理确定了自然数的链式结构，后面两条避免了环的产生，最后的归纳公理排除了多余的元素，它是数学归纳法的依据。这里的很多概念与集合论中的定义十分相像，它们同样也可以推导出自然数的各种性质，并且严格地定义加法、乘法、大小，以及证明各种运算律。
　　你有必要亲自尝试一下这些证明和定义，因为通过研究和摸索，你会惊叹从这几条简单的公理居然可以推出那么多的性质，并且很多看似显然的结论证明起来却并不轻松。通过练习，你更能感受到抽象和研究的魅力，感受各种性质的可证性，并认识到严格定义数的必要性。这里简单列一些问题，读者可以稍加练习：
　　& 任何自然数不以自己为后继；
　　& 除\(1\)外任何自然数都是别人的后继；
　　& 定义加法、乘法，证明交换律、结合律、分配率、消去律；
　　& 定义大小，证明其传递性、三歧性、运算下的单调性；
　　& \(n\)和其后继之间没有其它数；
　　& 最小数原理。
　　有心的读者可能注意到，集合论中我们是以\(0\)作为自然数的起点的，而这里却是以\(1\)为起点。其实单纯从自然数的结构来说，起点叫什么并不重要，区别主要发生在加法和乘法的定义里。\(0\)会让运算的定义变得复杂，这里我们选择推迟引入，好让大家把注意力集中在构造的原理和方法上。
　　自然数有加法和乘法运算，但它们的逆运算却并不总是有意义的，需要根据这个需求对自然数进行扩展。不管是差还是商，都可以用一个自然数对表示，从而负数和分数皆可以定义为数对。为了减少\(0\)的影响，可以先定义正分数。按照除法的性质可以定义自然数对的&相等&，等价的自然数对被定义为正分数，并将自然数嵌入其中。然后依次定义大小、四则运算、运算律、倒数，这些工作没有难点，可以作为练习。
　　正分数要比自然数多出许多，一些新的性质是需要被明确指出的。一个是显然的稠密性，它是说任何两个正分数之间都存在另一个正分数，这个是比较容易构造出来的。另一个就是阿基米德性：对任何正分数\(x,y\)，都存在自然数\(n\)，使得\(x&ny\)。你可能觉得阿基米德性也很显然，但请考虑一下&集合论&中的超限数，在那里它是不成立的。阿基米德性被频繁地使用，你甚至觉察不出它是一条性质，但是从公理出发它并不是那么明显，你可以尝试证明一下。稠密性和阿基米德性在有理数和实数中同样成立，那里就不再重复说明了。
　　自然数在除法上扩展后，需在减法上继续扩展。类似于正分数的定义，先要在减法的意义上定义正分数对的&相等&，然后将等价的正分数对定义为有理数，并将正分数嵌入其中。接着类似地定义大小、四则运算、运算律、相反数、绝对值。有理数集被记为\(\Bbb{Q}\)，自然数在减法运算下的扩展被称为整数\(\Bbb{Z}\)。
　　有理数在加法和减法上已经完全封闭，而且它貌似已经布满数轴，我们好像不再需要别的数了。毕达哥拉斯当初也是这样自信，但在经典的\(\sqrt{2}\)是无理数的证明面前，最终还是一筹莫展。一个稠密的点集之间居然还有未知的数存在，人们对看似简单的数轴突然产生了戒心，这些幽灵一样的数该如何定义？
　　现在是中场休息时间，思考一下如何证明\(\sqrt{D}\)（\(D\)为非平方自然数）是无理数？\(\sqrt{2}\)是无理数的证明虽然经典，但却不具有通用性，如果仅限于初等方法，我们需要另辟蹊径。这里的证明思想叫做无穷递降法，它发明于古希腊时期，现在在数论中仍有广泛的应用。如果\(\sqrt{D}\)可表示为既约分数\(\dfrac{p}{q}\)，设\(0&p-mq&q\)，利用\(p^2=Dq^2\)可以构造出\(\dfrac{nq-mp}{p-mq}=\dfrac{p}{q}\)，它的分母比\(q\)小，这是不可能的。
3.1 戴德金分割
　　历史上最成功的实数定义来自戴德金，他将有理数集\(\Bbb{Q}\)分割为左右两个非空集合\(\xi,\overline{\xi}\)，其中右集\(\overline{\xi}\)中的元素皆大于左集\(\xi\)中的元素，且左集没有最大值。戴德金将\(\xi\)被定义为一个实数，实数集记作\(\Bbb{R}\)。当右集中有最小值\(r\)时，这一刀正好切在有理数\(r\)上，这个分割就是\(r\)对应的实数。当右集中没有最小值时，它当然就是我们需要的无理数。在继续前进之前，先用几个问题复习一下概念，也顺便热热身。
　　& &右集的元素大于左集的元素&这一条件等价于：\(r\in\xi\wedge r'&r\Rightarrow r'\in\xi\)；
　　& \(\sqrt{2}\in\Bbb R\)；
　　& 对任意\(\varepsilon&0\)，都有\(\exists r\in\xi,\overline{r}\in\overline\xi(\overline{r}-r&\varepsilon)\)。
　　下面先来定义实数的大小：当\(\xi\subset\eta\)时，定义\(\xi&\eta\)，容易证明该定义的三歧性和传递性。接下来就是定义加法和乘法，以及它们的运算律。亲自定义并证明这些概念会提高你对严格定义的认同感，下面是加法的定义，希望你能从证明它的合法性开始进行探索。
\[\xi+\eta=\{a+b|a\in\xi,b\in\eta\}\]
　　我们的主要问题是：这样定义的实数能否布满数轴呢？换句话说，在数轴上一刀切下去，切到的必然是实数吗？类似于戴德金分割，将实数集\(\Bbb{N}\)分割为左右集\(X,\overline{X}\)，我们要证明的是：\(\overline{X}\)中必有最小值，因为它就是分割点。考察所有左集之并\(\xi=\cup X\)，先证明\(\xi\)是一个实数，然后证明它不小于\(X\)中的任何数且不大于\(\overline{X}\)中的任何数，所以它必是\(\overline{X}\)的最小值。这就证明了我们的结论，实数在数轴上没有空隙，这个性质被称为实数的完备性或连续性。实数的完备性是它区别于其它数的最大特性，它是分析学的根基，我们将在下一篇对它进行深入探讨，并给出与完备性等价的几个实数基本定理。
3.2 康托尔定义
　　早在19世纪的上半页，柯西、维尔斯特拉斯等人就着手进行分析学的严格化工作，其中就包括实数的严格定义。柯西将实数定义为有理数序列的极限，但他并没有发觉，他的定义中事先承认了极限这个&数&的存在，所以它是个循环定义。在继续前进之前，我们需要几个概念。序列\(a_0,a_1,a_2,\cdots\)称为一个数列（sequence），记作\(\{a_n\}\)，\(a_n\)称为数列的通项。数列可以看作是某个数集到自然数集的映射，若数列满足以下条件，它称为基本序列或柯西数列。柯西就是把实数定义为基本序列的极限，本篇不打算引入极限，而统统将之取代为基本序列，在下一篇中我们将看到它们其实是等价的。
\[\forall\varepsilon&0\exists N(m,n&N\Rightarrow\left|{a_m-a_n}\right|&\varepsilon)\]
　　若两个基本序列\(\{a_n\},\{a'_n\}\)满足以下条件，称它们为等价的，记作\(\{a_n\}\sim\{a'_n\}\)。容易证明\(\sim\)是一个等价关系，康托尔将有理数基本序列的等价类\([\{a_n\}]\)定义为一个实数。仅用有理数\(r\)组成的数列\(\{r\}\)显然是基本序列，它所在的等价类就被定义为有理数数\(r\)，不同的有理数是不等价的。
\[\forall \varepsilon&0\exists N(n&N\Rightarrow\left|{a_n-b_n}\right|&\varepsilon)\]
　　对两个实数\(\alpha,\beta\)，取其代表序列\(\{a_n\},\{b_n\}\)，容易证明\(n\)足够大时必有\(a_n&b_n\)或\(a_n&b_n\)成立，这可以作为实数大小的定义。下面是实数加法的定义，乘法和运算律留给读者完成。
\[[\{a_n\}]+[\{b_n\}]=[\{a_n+b_n\}]\]
　　如上所述，不与某个有理数等价的基本数列应当就是无理数了，它们能否填满数轴的空隙？即任何实数是否都可以逼近，用本节的语言就是实数基本数列是否必然与某个实数等价？这里会出现实数距离的概念，可以暂且定义为其代表序列的距离。对实数基本序列\(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\cdots\)，取其代表有理数序列\(\{a_{0n}\},\{a_{1n}\},\{a_{2n}\},\cdots\)。考察有理数列\(a_{00},a_{11},a_{22},\cdots\)，先证明它是基本数列，再证明它所代表的实数就是要找的数，这就证明了实数的完备性。
　　戴德金分割和康托尔定义的实数之间可以建立一一映射，它们是同构的，在历史上都有着很高的地位。但由于表达上的繁琐和定义的差异，不便于在论证中直接使用，下篇将介绍的实数基本定理与它们是等价的，而且更容易理解和使用，今后会使用它们作为实数完备性的等价物。
　　实数表示一条直线上的点，那么平面上的每个点能否表示数呢？高斯将复数和二维平面的点对应起来，彻底回答了这个问题。你可能会乐观地猜测空间上的每一点也能表示数，这个说法不能算错，因为我们连数的定义都没有！随着抽象代数的成熟，人们把数看成是满足一定运算法则的代数系统。可惜的是，复数已经是满足现有运算律的最大系统了，想要再大的话就必须牺牲掉一些运算律，比如哈密尔顿的四元数就不满足交换律。
　　说到代数系统，其实可以把有理数看做是实数的一个子系统，子系统对四则运算是完全封闭的。实数中还有其它的子系统，比较重要的一类来自对多项式的研究。有理数可以看做是所有满足整系数方程\(a_0x+a_1=0(a_0\ne 0)\)的实数，将这个概念进行扩展，一般称满足方程\(\sum\limits_{i=0}^n{a_ix^i}= 0(a_n\ne 0)\)的（复）数为代数数，最低满足\(n\)阶方程的数称为\(n\)阶代数数。容易证明代数数是可数的，自然实代数数也是可数的，所以实数中还有不是实代数数的数，它被称为超越数，典型的代表就是\(\pi\)和\(e\)。你可能认为代数数就是带有各种根号的数，反过来说的确是对的，但大部分代数数却无法用有限的表达式来表示！这个精彩的命题就放到抽象代数中再说吧。110.154.110.*
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