【经验总结】行列式计算方法_百度文库
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【经验总结】行列式计算方法
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为什么n等于两个向量相乘 而且行列式是怎么得出来的
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提问者采纳
所以通常都用两个向量的叉乘求法向量，它的方向与已知的两个向量都垂直（右手法则）。至于那个行列式这涉及向量叉乘的定义，而这正是法向量的指向，大小是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。正是由于叉乘与两个向量都垂直，它是叉乘的计算式。两个向量叉乘仍是一个向量
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
中学高级教师
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2016线性代数8月复习指导：体系化复习
来源：未知，发布时间：
考研数学的复习基本上在八月份是进入了线性代数和概率论的强化复习，所以中公考研在这儿给首先给大家提一些线性代数相关的复习建议。由于强化阶段的复习注重习题的解答以及知识点综合的练习，所以我们就从综合应用知识为主进行分析。
　　首先我们需要谈到的是行列式，因为行列式是线性代数的基础，是贯穿整个学科的，而且其计算技巧性强，考查多样化，所以首先给大家介绍一下行列式的计算。
　　本质上来讲行列式的计算可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式的计算。
　　1.数值型行列式的计算
　　主要方法有：
　　(1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的计算，但是它计算量大，而且容易出错;
　　(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算;
　　(3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算;
　　(4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算;
　　(5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。
　　2.抽象型行列式的计算
　　主要计算方法有：
　　(1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的;
　　(2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的行列式的计算;
　　(3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算;
　　(4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算;
　　(5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。
　　接下来就给大家介绍一下相关联模块的学习，由于线性代数本身联系非常紧密，所以大家平时也要自己总结一些。
　　1.行列式与矩阵
　　行列式的核心内容是求行列式&&具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。
　　矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
　　而在行列式与矩阵的联系中，重点是求解一些抽象行列式的计算，也就是一些通过矩阵形式给出的行列式的计算。比如计算kA、A的转置的行列式等等。
　　2.向量与线性方程组
　　向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
　　向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
　　这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式&&矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
　　(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
　　齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立&&印证了向量部分的一条性质&零向量可由任何向量线性表示&。
　　齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系&&齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
　　(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
　　同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是&极大线性无关组中的向量个数&。经过 &秩&线性相关、无关&线性方程组解的判定&的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
　　(3)非齐次线性方程组与线性表示的联系
　　非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
　　3.特征值与特征向量
　　相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容&&既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，&牵一发而动全身&。
　　本章知识要点如下：
　　(1)特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
　　(2)相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
　　(3)矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
　　(4)实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
　　4.二次型
　　这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为&对于实对称矩阵，必存在正交矩阵使其可以相似对角化&，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
　　本章知识要点如下：
　　(1)二次型及其矩阵表示。
　　(2)用正交变换化二次型为标准型。
　　(3)正负定二次型的判断与证明。
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行列式在数学中，是由解产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在中可以成为描述“体积”的函数。其为nxn的A，取值为一个，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个对“体积”所造成的影响。无论是在、理论，还是在中（比如说中），行列式作为基本的，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，与的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义[1]
行列式续续文
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行列式续基本性质
行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。
在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。[1]
在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k。[1]
在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。[1]
行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号。[1]
在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。[1]
将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。[1]
注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改变。[1]
将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置。[1]
这个性质可以简单地记作
行列式的乘法定理：的乘积的行列式等于行列式的乘积。
特别的，若将矩阵中的每一行每一列上的数都乘以一个常数r，那么所得到的行列式不是原来的r倍，而是rn倍。
·以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设A是一个矩阵，而B是一个矩阵。如果S是
中具有m个元素的子集
，我们记AS为A中列指标位于S中的子矩阵。类似地，记BS为B中行指标位于S中的子矩阵。那么
中m个元素的所有可能子集S（共有C(n,m)个）。
如果m=n，即A与B是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许S，柯西–比内公式退化为通常行列式的乘法公式。如过m= 1则有n容许集合S，这个公式退化为。如果m&n，没有容许集合S，约定行列式det(AB)是零。[3]
·由行列式的乘法定理以及
可以知道，行列式定义了一个从一般线性群
·若将方块矩阵中的元素取，得到的是矩阵的共轭矩阵。共轭矩阵的行列式值等于矩阵行列式值的共轭：
·若两个矩阵，那么它们的行列式相同。这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。用数学语言来说，就是：
如果两个矩阵A与B相似，那么存在可逆矩阵P使得，所以
·行列式是所有（按代数重数计）的乘积。这可由矩阵必和其若尔当标准型相似推导出。特殊地，的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。[6]
·由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为时，可以通过将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。可以证明，所有的矩阵A都可以分解成一个上三角矩阵U、一个下三角矩阵L以及一个P的乘积：
。这时，矩阵A的行列式可以写成：
·分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论：
，矩阵的行列式等于对角元素的行列式之乘积。
对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说A可逆，那么矩阵的行列式可以写做
·矩阵的行列式和矩阵的有一定的关联，当矩阵的系数为时，在定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式：
行列式续行列式的展开
行列式续余因式
又称“余子式”、“余因子”。参见主条目余因式。
对一个n阶的行列式M，去掉M的第i行第j列后形成的n-1阶的行列式叫做M关于元素mij的余因式。记作
行列式续代数余子式
M关于元素mij的代数余子式记作
行列式续行列式关于行和列的展开
一个n阶的行列式M可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。
这个公式又称，把n维矩阵的行列式计算变为了n个n-1维的行列式的计算。[1]
另一方面，拉普拉斯公式可以作为行列式的一种归纳定义：在定义了二维行列式后，n维矩阵的行列式可以借助拉普拉斯公式用n-1维的行列式来定义。这样定义的行列式与前面的定义是等价的。[2]
行列式续计算
计算行列式的值是一个常见的问题。最简单的方法是按照定义
计算或按照进行运算。这样的算法需要计算
次的加法，复杂度是指数函数。在实际的计算中只能用于计算阶数很小的行列式。注意到拉普拉斯公式的性质，如果一行或一列里面有很多个0，那么就可以把行列式按这一行或一列展开，这时数值为零的系数所对应的代数余子式就不必计算了，因为最后要乘以0，这样就可以简化计算。然而更加简便的算法是利用或LU分解法，把矩阵通过初等变换变成三角矩阵或三角矩阵的乘积来计算行列式的值。这些算法的复杂度都是n3级别，远远小于直接计算的复杂度。
如果一个算法可以在
时间内算出矩阵乘法，那么可以构造出一种
时间内的行列式求值算法。这说明求矩阵的行列式的值和矩阵的乘法有相同的复杂度。于是，通过分治算法或者其它的方法，可以达到比
更好的结果。比如，存在复杂度
的行列式求值算法。[10-11]
行列式续函数
由行列式的一般表达形式中可以看出，矩阵A的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。
行列式续单变量的行列式函数
设矩阵函数
（k阶连续可导）的函数，则由于行列式函数
只不过是矩阵
的某些系数的乘积，所以也是
的。其对t的导数为
，其中的每个
的第i个行向量（也可以全部是列向量）。
行列式续矩阵的行列式函数
是连续的。由此，n阶一般线性群是一个，因为是开区间
的原像，而则是一个，因为是闭集合
也是可微的，甚至是的（
）。它在某个矩阵A处的展开为
也就是说，在装备正则的矩阵空间Mn()中，是行列式函数的
特别当A为时，
可逆矩阵的可微性说明一般线性群GLn()是一个。
居余马．线性代数：清华大学出版社，2002年
项武义．基础代数学：人民教育出版社，2004年
．UQAM&#91;引用日期&#93;
．Massachusetts Institute of Technology&#91;引用日期&#93;
这是由于行列式按照定义可以看成关于矩阵系数的多项式。另一方面，若干个复数乘积或和的共轭等于其共轭的乘积或和。从而当每个系数都取共轭后，行列式这个多项式的值也变成原来的共轭。
N.丹佛，J.T.施瓦茨．线性算子：Interscience，1958
．Imperial College&#91;引用日期&#93;
Horn, Roger A．Topics in Matrix Analysis：Cambridge University Press，1991
张贤科．高等代数学：清华大学出版社，2004年
．Computational Complexity&#91;引用日期&#93;
．CNRS - LIP ENS Lyon&#91;引用日期&#93;
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