专栏/微积分简单介绍与个人分享（十六）——反函数求导（不要求掌握）2021年08月30日 13:52--浏览 ·
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--评论如果能掌握利用函数的导数求其反函数的导数的方法，那么求一次导数就相当于求了原本的函数及其反函数的导数，达到事半功倍的效果。先来猜一波反函数求导公式。如下图，蓝绿两函数互为反函数，它们关于红色的轴对称。现在我们想求蓝色函数上一点的导数，即那一点切线的斜率：先设法找到该点在绿色函数上的对称点，并画出其切线：假设绿色函数为，那么蓝色即为，设，。现在考虑两者切线斜率的关系。两切线显然关于轴对称，那么由解析几何的知识易知两者斜率相乘得。而蓝色函数切线的斜率可记作：，而绿色即为：（因为的横坐标为）。则根据前面的讨论有：这就是反函数的导数公式。（难点）但是目前有一个问题，那就是公式里的并不是对求导，而是对求导，因为在绿色函数中充当了自变量的角色。所以应该看成对求导后将带入，于是一般写作。故最终公式为：应用最后再说。先看看如何进行严谨的推导。首先要说明一点。对于函数，它的反函数不止可以写成：，还可以写成。这是因为对应关系并没有发生改变。这么做有一个好处就是不会和原函数产生歧义。如果是之前的写法，那么就同时代表了与，而按照后者则不会有任何问题。而这对于下面的推导是必须的。首先设，我们欲求它的导数。设导数为,于是有：推导完成。由于与自始至终都只有一个，而表示的是作为的函数时的导数，而作为的函数即为，仅此一个，所以有，于是就有：从上面的推导过程可以看出，公式里的指的是原本的函数而不是其反函数，所以计算时最好将其反函数写成，这样不容易搞错。例如求反三角函数（或写成）的导数。我们知道它的反函数为。为了避免有歧义，不妨将反函数写作：。那么根据公式，我们可以得到：（这里，）但是我们已经知道了，我们最终是要求关于的式子的。所以要进行带入。即：换元，令，这个范围刚好能让我们作以下操作：再换回去，就得到了结果：有兴趣的读者可以自己求及的导数。再举一例。干脆来验证一下之前指、对数函数的导数公式。例如现在根据求的导数。有：显然是正确的。本文为我原创本文禁止转载或摘编
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