苏教版四年级数学下册知识点总结　　在日常过程学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点有时候特指教科书上或考试的知识。还在为没有系统的知识点而发愁吗？下面是小编为大家收集的苏教版四年级数学下册知识点总结，希望能够帮助到大家。　　四年级数学下册知识点总结1　　1、加法运算定律：　　①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。　　a+b=b+a　　②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。　　（a+b）+c=a+（b+c）　　③加法的这两个定律往往结合起来一起使用。　　如：165+93+35=93+（165+35）　　2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。　　a—b—c=a—（b+c）　　3、乘法运算定律：　　①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。　　a×b=b×a　　②乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。　　（a×b） ×c=a×（b×c）　　乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。　　如：125×78×8的简算。　　③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。　　（a+b） ×c=a×c+b×c　　4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。　　a÷b÷c=a÷（b×c）　　5、有关简算的拓展：　　102×38—38×2　　125×25×32　　37×96+37×3+37　　125×88　　3.25+1。98　　10.32—1。98　　易错的情况：　　0.6+0.4—0.6+0.4　　38×99+99　　小学数学四大领域主要内容　　数与代数：的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；　　图形与几何：空间与平面的基本图形，图形的性质和分类；图形的平移、旋转、轴对称；　　统计与概率：收集、整理和描述数据，处理数据；　　实践与综合应用：以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径。　　数学整除的特征　　1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。　　2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。　　3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。　　四年级数学下册知识点总结2　　第一单元乘法　　一、三位数乘两位数笔算　　1、三位数乘两位数，所得的积不是四位数就是五位数。　　2、三位数乘两位数的计算法则：先用两位数的个位上的数与三位数的每一位相乘，乘得的积末位和个位对齐，再用两位数十位上的数与三位数的每一位相乘，所得的积末位和十位对齐，最后把两次乘得的积相加。　　二、乘数末尾有0的乘法　　1.末尾有0的乘法计算方法：先把两个乘数不是零的部分相乘，再看两个乘数末尾一共有几个零，就在积的末尾加几个零。　　2.乘积末尾0的个数是由乘数末尾有几个0决定的（错误）,因为乘法计算过程中末尾也会出现0.　　第二单元升和毫升　　一．容量的理解　　1.容量是一个物体可以容纳的体积。　　二、升和毫升之间的进率　　1、1升（L）=1000毫升（ml、mL）　　2.计量水、油、饮料等液体时，一般用升或毫升做单位。　　2、生活中的升和毫升的运用：生活中一杯水大约250毫升；一个高压锅大约盛水6升；一个家用水池大约盛水30升，一个脸盆大约盛水10升；一个浴缸大约盛水400升；一个热水瓶的容量大约是2升，一个金鱼缸大约有水30升，一瓶饮料大约是400毫升，一锅水有5升，一汤勺水有10毫升。　　3、一个健康的成年人血液总量约为4000----5000毫升。义务献血者每次献血量一般为200毫升。　　4、1毫升大约等于23滴水。　　第三单元三角形　　一、三角形的特征及分类　　1、围成三角形的条件：两边之和大于第三边。　　2、从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。　　3、三角形具有稳定性（也就是当一个三角形的三条边的长度确定后，这个三角形的形状和大小都不会改变），生活中很多物体利用了这样的特性。如：人字梁、斜拉桥、自行车车架。　　4、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。（两个内角的和大于第三个内角。）　　5、有一个角是直角的三角形是直角三角形。（两个内角的和等于第三个内角。两个锐角的和是90度。两条直角边互为底和高。）　　6、有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（两个内角的和小于第三个内角。）　　7、任意一个三角形至少有两个锐角，都有三条高，三角形的内角和都是180度。（锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形有两条高落在两条直角边上；钝角三角形有两条高在三角形外）。　　8、把一个三角形分成两个直角三角形就是画它的高。　　二、三角形内角和、等腰三角形、等边三角形　　1、两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的两个夹角叫做底角，它的两个底角也相等，是轴对称图形，有一条对称轴（跟底边高正好重合。）三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等（每个角都是60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）　　2、有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90°。　　3、求三角形的一个角=180°－另外两角的和　　4、等腰三角形的顶角=180°－底角×2=180°－底角－底角　　5、等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2　　6、一个三角形最大的角是60度，这个三角形一定是等边三角形。　　7、多边形的内角和=180°×（n－2）{n为边数}　　第四单元混合运算　　一、不含括号的混合运算　　四则运算中不含括号时，先做乘除再做加减。　　二、含有小括号的混合运算　　要先算小括号里面的。　　三、含有中括号的混合运算　　既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里的。　　第五单元平行四边形和梯形　　一、认识平行四边形　　1、两组对边互相平行的四边形叫平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等。从一个顶点向对边可以作两种不同的高。　　底和高一定要对应。一个平行四边形有无数条高。　　2、用两块完全一样的三角尺可以拼成一个平行四边形。　　3、平行四边形容易变形（不稳定性）。生活中许多物体都利用了这样的特性。如：（电动伸缩门、铁拉门、　　伸降机）把平行四边形拉成一个长方形，周长不变，面积变了。平行四边形不是轴对称图形。　　二、认识梯形　　1、只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边较短的叫做梯形的上底，较长的叫做梯形的下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，两条平行线之间的距离叫做梯形的高（无数条）。　　2、两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。直角梯形有且只有两个直角。　　3、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。　　4、正方形、长方形属于特殊的平行四边形。　　第六单元找规律　　1、搭配型规律：两种事物的个数相乘。（如帽子和衣服的搭配）　　2、排列：（1）爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：2×3。　　即n×（n1）×……×1　　（2）5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4+3+2+1　　即（n1）＋（n2）＋……＋1　　第七单元运算律　　1、乘法交换律：a×b=b×a　　2、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)　　3、乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c（合起来乘等于分别乘）　　4、衍生：(a-b)×c=a×c-b×c5、简便运算典型例题：102×35=（100+2）×3536×101-36＝36×（101-1）35×98=35×（100-2）=35×100-35×2　　第八单元对称、平移和旋转　　一、轴对称图形　　画图形的另一半：　　（1）找对称轴　　（2）找对应点　　（3）连成图形。　　二、对称轴的条数　　正三边形（等边三角形）有3条对称轴，正四边形（正方形）有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，……正n变形有n条对称轴。　　三、平移和旋转　　1、图形的平移，先画平移方向，再把关键的点平移到指定的地方，最后连接成图。（本学期学习两次平移，如从左上平移到右下，先向右平移，再向下平移。）　　2、图形的旋转，先找点，再把关键的边旋转到指定的地方，（注意方向和角度）再连线。（不管是平移还是旋转，基本图形不能改变。）　　第九单元倍数和因数　　1、4×3=12，或12÷3=4。那么12是3和4的倍数，3和4是12的因数。（倍数和因数是相互存在的，不可以说12是倍数，或者说3是因数。只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。）　　2、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。如18的因数有：1、2、3、6、9、18。　　3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。如：18的倍数有：18、36、54、72、90……（省略号非常重要）　　4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数（都是它本身）。5、是2的倍数的数叫做偶数。（个位是0、2、4、6、8的数）6、不是2的倍数的数叫做奇数。（个位是1、3、5、7、9的数）　　7、个位上是2、4、6、8、0的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。8、既是2的倍数又是5的倍数个位上一定是0。（如：10、20、30、40……）9、一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（如：453各位上数字的和是4+3+5=12，因为12是3的倍数，所以453也是3的倍数。）　　10、一个数只有1和它本身两个因数的数叫素数（或质数）。如：2、3、5、7、11、13、17、19……　　2是素数中唯一的偶数。（所以“所有的素数都是奇数”这一说法是错误的。）11、一个数除了1和它本身两个因数外，还有其他的因数的数叫合数。如：4、6、8、9、10……　　12、1既不是素数也不是合数，因为1的因数只有1个：1。　　素数只有2个因数，合数至少有3个因数(如：9的因数有：1、3、9)。13、哥德巴赫猜想：任何大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。如6=3+38=3+5，10=5+5,12=5+7等等。　　14、100以内的素数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、71、73、79、83、89、97。（共25个）　　15、三个连续的自然数（3、4、5），三个连续奇数（3、5、7），三个连续偶数（4、6、8）的和都是3的倍数。　　第十单元用计算器探索规律　　1、积的变化规律：　　①一个因数不变，另一个因数乘或除以几，得到的积等于原来的积乘或除以几。如：A×B=10那么A×(B×5)=10×5(A÷2)×B=10÷2②如果两个因数同时扩大几倍，得到的积等于原来的积乘两个因数分别扩大倍数的乘积。如：A×B=10那么(A×2)×(B×3)=10×(2×3)　　③如果两个因数同时缩小几倍，得到的积等于原来的积除以两个因数同时缩小倍数的乘积。如：A×B=10那么(A÷2)×(B÷3)=10÷(2×3)　　④如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么积不变。　　如：A×B=10那么(A×3)×(B÷3)=10　　2、商的变化规律：　　①被除数和除数同时乘(或除以)相同的数（0除外），商不变。　　商不变规律也可以应用于除法计算。在计算两个末尾都有0的除法算式中，应用“被除数和除数除以相同的数，商不变”，这样计算比较简便。　　注意：被除数的变化会带来余数的变化。如：900÷40，虽然在计算时被除数和除数同时划去一个零，算到最后一步是10-8=2，但是余数并不是2，而是20。　　②被除数乘（或除以）一个数，除数不变，商也乘几（或除以）几。③被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商也除以几或乘几。如：A÷B=10那么A÷(B÷2)=10×2A÷(B×2)=10÷2　　附：常用数量关系　　正方形的面积=边长×边长（S=a×a=a2）正方形的周长=边长×4(C=a×4=4a)长方形的面积=长×宽(S=a×b=ab)长方形的周长=（长+宽）×2C=(a＋b)×2　　①总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价②路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度③工总=工效×时间工效=工总÷时间时间=工总÷工效房间面积=每块地面砖面积×块数　　块数=房间面积÷每块面积（简称：大面积除以小面积）　　四年级数学下册知识点总结3　　1、位置与方向　　（1）确定物体位置的两个条件：方向和距离。　　（2）在平面图上表明物体位置的方法：先确定方向，再以选定的长度单位为基准来确定距离，最后画出物体的具体位置，标出名称。确定方向时选择与物体所在反响离得较近（夹角较小）的方位；距离必须以选定的单位长度为基准。（3）如何描述物体的位置，与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。　　（4）描述路线图的方法：按行驶路线，确定观测点及行走的方向和路程。例题：　　学校在小明家北偏＿＿的方向上，距离是＿＿米。　　书店在小明家＿偏＿＿的方向上，距离是＿＿米。　　邮局在小明家＿偏＿＿的方向上，距离是＿＿米。　　游泳馆在小明家＿偏＿＿的方向上，距离是＿＿米。　　2、整数加法　　(1)把两个数合并成一个数的运算叫做加法。　　(2)在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。　　(3)加数+加数=和，一个加数=和－另一个加数　　3、整数减法　　(1)已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。　　(2)在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。　　(3)加法和减法互为逆运算。　　4、整数乘法　　(1)求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。　　(2)在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。　　(3)在乘法里，0和任何数相乘都得0。　　(4)1和任何数相乘都的任何数。　　(5)一个因数×一个因数=积；一个因数=积÷另一个因数　　5、整数除法　　（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。　　（2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。　　（3）乘法和除法互为逆运算。　　（4）在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。　　（5）被除数÷除数=商，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。　　6、整数加、减法计算法则　　整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。　　整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。　　7、整数乘、除法计算法则　　整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的积加起来。　　整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。　　8、0的运算　　“0”不能做除数；字母表示：a÷0错误一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0=a一个数减去0还得原数；字母表示：a－0=a被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a=0一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0=0　　0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）=08、四则运算　　（1）加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。加法、减法称为第一级运算，乘法、除法称为第二级运算。　　（2）在没有括号的算是里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，后算加减法。　　（3）有括号的混合运算先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。　　9、加法交换律：　　两个加数交换位置，和不变。字母公式：a+b+c=（b+a）+c　　10、加法结合律：　　先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。　　字母公式：a+b+c=a+(b+c)　　11、乘法交换律：　　两个因数交换位置，积不变。字母公式：a×b=b×a　　12、乘法结合律：　　先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。　　字母公式：a×b×c=a×(b×c)　　13、乘法分配律：　　两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。字母公式：(a+b)×c=a×c+b×c　　14、拓展：　　(a－b)×c＝a×c－b×c或a×(b－c)＝a×b－a×c　　四年级数学下册知识点总结4　　第一单元大数的认识　　1.10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。　　相邻两个计数单位之间的进率是“十”，这种计数方法叫做十进制计数法。　　特别注意：计数单位与数位的区别。　　2、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。　　3、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个六位数。　　4、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。　　6、亿以上数的读法：　　①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。　　②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。　　③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。　　7、亿以上数的写法：　　①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。　　②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。　　8、比较数的大小：　　①位数不同的两个数，位数多的数比较大。　　②位数相同的两个数，从最高位开始比较。　　9、求近似数：　　省略万位后面的尾数，要看千位上的数；省略亿位后面的尾数，要看千万位上的数。　　这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数最高位上的数是小于5还是等于或大于5。小于5就舍去尾数，等于或大于5就向前一位进1，再舍去尾数。　　10、表示物体个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…….都是自然数。一个物体也没有，用0来表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。　　11、最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。　　12、每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做十进制计数法。　　13、ON╱CE：开关及清除屏键，清除显示屏上的内容。　　AC:清除键，清除所有内容。　　第二单元公顷和平方千米　　1、边长是100米的正方形面积是1公顷。　　1公顷=10000平方米　　2、边长是1千米的正方形面积是1平方千米。　　1平方千米=1000000平方米　　1平方千米=100公顷　　3、从大单位变到小单位，乘以进率。　　从小单位变到大单位，除以进率。　　4、国土面积(中国、省、市、区等)、海洋面积等特别大的面积适合用平方千米。如　　香港特别行政区的面积约1100。　　广场、校园等稍大土地面积适合用公顷。如天安门广场的占地面积大约是44;　　操场、教室等较小的面积适合用平方米。如一个教室的面积约60;　　5、长方形面积=长×宽　　正方形面积=边长×边长　　第三单元角的度量　　1、直线、射线、线段　　直线：可以向两端无限延伸，没有端点。　　射线：可以向一端无限延伸，只有一个端点。　　线段：不能延伸，有两个端点，线段是直线的一部分。　　2、直线、射线与线段有什么联系和区别？　　①、直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。　　②、线段可以量出长度。　　③、线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。　　4、角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。　　3、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。　　将圆平均分成360份，每一份所对的角的大小是l度，记做1°。　　5、角的大小与角两边的长短没关系。角的大小与叉开的大小有关系，叉开得越大，角越大。　　6、度量角的工具叫量角器。　　7、量角的步骤：　　①把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。　　②角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。　　8、角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。　　9、一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。1平角=180°　　10、一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。1周角=360°　　1周角=2平角=4直角1直角=90°　　11、小于90度的角叫做锐角，大于90度而小于180度的角叫做钝角。　　锐角　　12、画角的步骤：　　(1)画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。　　(2)在量角器上找到要画的角的度数(如65°)的地方，并点一个点。　　(3)以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点再画一条射线。　　13、经过一点可以画无数条直线；经过两个点，只能画一条直线。　　14、用三角板可以画的角：180°165°150°135°120°105°90°75°60°45°30°15°　　第四单元三位数乘两位数　　1、三位数乘两位数的笔算方法：　　先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。　　2、积的变化规律：　　一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。　　3、每件商品的价钱，叫做单价；买了多少，叫做数量；一共用的价钱，叫做总价。　　单价×数量=总价　　单价=总价÷数量　　数量=总价÷单价　　4、一共行了多长的路，叫做路程；每小时(或每分钟等)行的路程，叫做速度；行了几小时(或几分钟等)，叫做时间。　　速度×时间=路程　　速度=路程÷时间　　时间=路程÷速度　　5、速度单位通常有：千米/时、米/分、米/秒等。　　第五单元平行四边形和梯形　　1、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。　　记作：a‖b读作：a平行于b　　2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。记作：a⊥b读作：a垂直于b　　3、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。　　4、与两条平行线互相垂直的线段长度都相等。或者说：两条平行线之间的距离处处相等。经过直线上一点(或外一点)作垂线，可以画一条。　　5、同一平面内，与同一条直线平行(或垂直)的两条直线也互相平行。　　6、从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。　　7、一个长方形，用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，可以拉成不同形状的平行四边形，但是周长不变。　　8、平行四边形的特点：容易变形。例如：伸缩门、升降机　　9、平行四边形和梯形有无数条高。　　10、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。特点：两腰相等，两底角相等。　　11、有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。特点：有一条腰就是梯形的高。　　12、从梯形上底任取一个点，向下底引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。　　13、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。　　两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。　　两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。　　14、长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。　　15、三角形三个内角的和是180°，四边形四个内角的和是360°。　　16、四边形小结：　　两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；　　只有一组对边平行的四边形叫梯形。　　两腰相等的梯形叫做等腰梯形。　　有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。　　四个角都是直角的四边形叫长方形。　　四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。　　第六单元除数是两位数的除法　　1、去0法：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0，商不变。　　2、除数是两位数的除法的计算方法：　　从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数。　　除到被除数的哪一位，就在那一位上写商。　　求出每一位商，余下的数必须比除数小。　　3、商的变化规律：　　被除数和商的变化相同。除数和商的变化相反。　　商不变的性质：被除数和除数同时乘(或除以)一个相同的数(0除外)，商不变。　　除数×商+余数=被除数　　(被除数-余数)÷商=除数　　第七单元条形统计图　　1、条形统计图的特点：能直观的看出各种数量的大小，便于比较。　　2、在绘制条形统计图时，条形图一格表示几，要根据具体情况来确定　　第八单元数学广角--优化　　1、沏茶问题：　　合理安排时间的过程：(1)明确完成一项工作要做哪些事情；(2)明确每项事情各需要多少时间；(3)合理安排工作的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。　　2、烙饼问题：烙饼的最优方案是每一次尽可能的让锅里按要求放最多的饼，这样既没有浪费资源，又节省时间。　　3、对策论问题：解决同一个问题有不同的策略，要学会寻找最优方案。可以用列举法选择最优方案。　　四年级数学的学习方法　　1.预习的习惯　　预习是学生在学习新知识前，通过自学对新知识有初步的认识，形成一定的表象，这对于学生在课中学习新知识时，是很有帮助的。而且学生有了一定的预习基础后，教师在教学时就能有的放矢，更多地让学生通过尝试来获取新知识，可以更多的发挥学生的主体性。　　而实际情况，当今的学生中养成预习习惯的还不够普遍，当然这是有一个过程的，这其中固然有学生自身的因素，但我们教师、家长也有不可推卸的责任。　　因此，要培养学生的预习习惯，老师和家长首先要起到引导作用，有意识的引导学生如何去预习，教给他们预习的方法。在上新课之前，可以提出几个能引起学生的注意的问题作为预习的作业，如要求读、划、问、查，提高学生预习的兴趣。结合课文背景、内容查找相关的资料，使学生很容易理解课文的内容，我们现在学的课文有很多都距离孩子们很远，这就需要背景的查找来辅助学习，加深理解。　　这样坚持较长一段时间之后，学生对预习就有了一定的习惯性。其次，学生本身也要有一定的学习自觉性，在预习中有不懂的地方打个问号，核心重点的地方或较难理解的地方打个*号等等。　　作为家长也可以和孩子一起预习，有些问题孩子会主动向你询问，上网的查询还需要家长的辅导。在上课时，因为学生做了充分的预习，那么他的思维会紧跟着教师，不是老师引着走，而是进行互动的学习。只要学校家庭共同联合，孩子的预习习惯一定会很好地养成，这对于他今后的学习有很大的帮助。　　2.听讲的习惯　　上课专心听讲，集中注意力，这是保证课堂35分钟效率的最低要求。它包括两个方面的要求，一是认真听教师讲课并观察教师的教具演示过程、板书内容、讲课的动作及表情等等，理解教师讲课的内容。老师在讲课时，较多采用动作信号，往往一个动作、一个手势，一个眼神就可能是个问题。　　因此，学生只有在认真听讲的基础上，才能回答我的动作问题，或领会一个手势所表示的意思。二是注意听同学的发言，同学在回答老师提出的问题时，要注意听，边听边想，同学回答得对或不对，如果不对，错在什么地方；如果让自己回答，该怎样说好。　　边听边思考，同意的可以轻轻点头表示赞同，若需要补充或者有不同的看法时，要积极大胆的举手站起来发表自己的意见，这样可以沟通同学之间的信息，取长补短，促进学生听懂教学内容。　　3.课堂上说的习惯　　上课积极回答问题、大胆发言，既可以培养学生的口语表达能力，有培养了学生的思维能力。因此，在学生回答问题时，首先要求语言要完整，不要语无伦次；其次，如果学生回答错了或回答不完整，老师要鼓励学生，表扬他敢于说的勇敢的精神，不让学生觉得回答问题是种压力而不敢说、不肯说。　　所以，在班上，学生回答问题时会说“我认为”“我补充谁的问题”……显得非常自信，有时像开辩论会一样，一个个争先恐后的表达自己的观点。这样，学习的主动权就还给了学生，教师只是一个组织者。　　4.做作业的习惯　　总体来说，学生的作业书写较好，但是要做到持之以恒那是要有恒心的。现在有的学生做作业只是为了应付教师，有的回家马马虎虎做好就出去玩了；有的一边做作业一边看电视；有的一有不懂得题目，就马上问家长，自己不动脑筋；有的甚至不完成作业……因此，要培养学生的良好的作业习惯，应该从几方面着手。　　(1)培养按时完成作业的习惯，要求学生当天的作业当天完成。　　(2)独立完成作业，遇到困难想办法自已解决，不能依赖他人。　　(3)做完作业认真检查。　　作为一些作业常迟交的学生的家长可以相机地抽查孩子的书包，或者和别的学生交流后，再来询问。只有多督促，多提醒，才能让学生改掉迟交或者不叫不交的不良习惯。　　四年级数学下册知识点总结5　　租船问题　　共有32人，租小船每条24元，限乘4人;租大船每条30元，限乘6人，怎样租最省钱?　　比较哪种船的租金便宜　　小船：24÷4=6(元/人)大船：30÷6=5(元/人)　　经比较大船便宜　　方案一：全租大船　　应租大船只数：32÷6=5(条)……2(人)　　这2人还要租一条小船，那么总租金就为：　　5×30+24=174(元)　　如租5大船和1条小船，小船没有做满，还空2人这时不是最省钱的，还可在调整成租4条大船和2条小船，这是大小船刚好做满　　租金为4×30+2×24=168(元)　　答：租4条大船和2条小船最省钱。　　解决租船问题的策略：　　(1)根据船的租金和限乘人数，先计算哪种船便宜　　(2)再假设所有人都租便宜的船，如果全部做满无空位并且人全部做完，那么这种租法就是最省钱的。　　(3)就要调整，尽量做到两种船刚好做满，这时是最省钱的。　　鸡免同笼问题：　　笼了里有鸡免若干只，从上面数有10个头，从下面数有32只脚。问鸡和免各有多少只?　　1、用列举法：　　鸡只数　　免只数　　脚总数　　2、假设法：　　(1)假设全是鸡，那么就有10×2=20只脚　　(2)这样与实际相差32-20=12只脚　　(3)当我们把一只鸡想成一只免就多想了4-2=2只脚　　(4)说明笼了里12÷2=6只鸡被想成了　　(5)那么鸡应有10-6=4只　　3、抬脚法：　　(1)把鸡和免都抬起两只脚，这时一共抬起了10×2=20只脚　　(2)这时还剩下32-20=12只脚，这些都是免子的　　(3)一只兔子还剩下4-2=2只脚，说明笼子里有12÷2=6只免子　　(4)那么鸡应有10-6=4只　　四年级数学下册知识点总结6　　运算定律及简便运算　　一、加法运算定律：　　1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a　　2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+b）+c=a+b+c　　加法的这两个定律往往结合起来一起使用。　　如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？　　3、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。a-b-c=a-b+c　　二、乘法运算定律：　　1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。a×b=b×a　　2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。（a×b）×c=a×b×c　　乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。如：１２５×７８×８的简算　　3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。　　（a+b）×c=a×c+b×c a－b×c＝a×c－b×c　　鸡兔问题公式　　（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：　　（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；　　总头数-兔数=鸡数。　　或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；　　总头数-鸡数=兔数。　　例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”　　解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；　　36-14=22（只）……………………………鸡。　　解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；　　36-22=14（只）…………………………兔。　　（答略）　　（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式　　（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；　　总头数-兔数=鸡数　　或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；　　总头数-鸡数=兔数。（例略）　　（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。　　（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；　　总头数-兔数=鸡数。　　或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；　　总头数-鸡数=兔数。（例略）　　（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：　　（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。　　例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”　　解一（4×1000-3525）÷（4+15）　　=475÷19=25（个）　　解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）　　＝1000-18525÷19　　=1000-975=25（个）（答略）　　（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）　　（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”　　解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2　　=20÷2=10（只）……………………………鸡　　〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2　　=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）　　鸡兔同笼　　1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反。　　2、“鸡兔同笼”问题的解题方法　　假设法：　　①假如都是兔　　②假如都是鸡　　③古人“抬脚法”：　　解答思路：　　假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方法叫化归法。　　3、公式：　　鸡兔总脚数÷2－鸡兔总数=兔的只数；　　鸡兔总数－兔的只数=鸡的只数。　　四则运算　　1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。　　2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。　　3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。　　4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。　　5、先乘除，后加减，有括号，提前算　　关于“0”的运算　　1、“0”不能做除数； 字母表示：a÷0错误　　2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a＋0=a　　3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a－0=a　　4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a－a=0　　5、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a×0=0　　6、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a（a≠0）=0　　7、0÷0得不到固定的商; 5÷0得不到商.（无意义）【四年级数学下册知识点总结】相关文章：初二数学下册知识点总结11-11初一数学下册知识点总结11-22四年级下册数学知识点总结11-25初一数学下册知识点总结归纳08-13初一数学下册知识点总结6篇11-22初一数学下册知识点总结(6篇)11-22初一数学下册知识点总结8篇03-08苏教版四年级数学下册知识点总结3篇11-25四年级下册数学知识点总结8篇11-25}

七年级数学下册期末复习知识点总结七年级数学（下册）知识点总结任课教师：闫冠彬★必考▲重点√了解★复习重点：七至十单元测试卷相交线与平行线【知识点】√1.▲平面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________2.两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。P3例；P82题；P97题；P352（2）；P353题3.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。4.垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5.做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。6.做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。AACBC7.垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。8.垂线段最短；CB9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。10.两条直线被第三条直线所截：同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）,内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧），同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）。P7例、练习111.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//cP174题13.平行线的判定。P15例结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。P15练习；P177题；P368题。14.平行线的性质。P21练习1，2；P236题15.★命题：“如果+题设，那么+结论。”P22练习116.真、假命题P2411题；P3712题17.平移的性质P28归纳三角形和多边形1.三角形内角和定理★【重点题目】P763例：三角形三个内角之比为2：3：4，则他们的度数分别为_____________2.构成三角形满足的条件：三角形两边之和大于第三边。判断方法：在△ABC中，a、b为两短边，c为长边，如果a+b>c则能构成三角形，否则（a+bc）不能构成三角形（即三角形最短的两边之和大于最长的边）【重点题目】P64例；P692，6；P7073.三角形边的取值范围：三角形的任一边：小于两边之和，大于两边之差（的绝对值）【重点题目】三角形的两边分别为3和7，则三角形的第三边的取值范围为_____________4.等面积法：三角形面积12底高,三角形有三条高，也就对应有三条底边，任取其中一组底和高，三角形同一个面积公式就有三个表示方法，任取其中两个写成连等（可两边同时2消去12）底高底高，知道其中三条线段就可求出第四条。例如：如图1，在直角△ABC中，ACB=900，CD是斜边AB上的高，则有ACBCCDAB【重点题目】P708题A例直角三角形的三边长分别为3、4、5，则斜边上的高为_____________D5.等高法：高相等，底之间具有一定关系（如成比例或相等）【例】AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，SABC4cm2，则SABE=_____________CB图16.三角形的特性：三角形具有_____________【重点题目】P695题7.外角：【基础知识】什么是外角？外角定理及其推论【重点题目】P75例2P765、6、8题8.n边形的★内角和_____________★外角和_______√对角线条数为_____________【基础知识】正多边形：各边相等，各角相等；正n边形每个内角的度数为_____________【重点题目】P83、P84练习1，2，3；P843，4，5，6；P904、5题9.√镶嵌：围绕一个拼接点，各图形组成一个周角（不重叠，无空隙）。单一正多边形的镶嵌：镶嵌图形的每个内角能被3600整除：只有6个等边三角形（600），4个正方形（900），3个正六边形（1200）三种（两种正多边形的）混合镶嵌：混合镶嵌公式nm3600：表示n个内角度数为的正多边形与m个内角度数为的正多边形围绕一个拼接点组成一个周角，即混合镶嵌。【例】用正三角形与正方形铺满地面，设在一个顶点周围有m个正三角形、n个正方形，则m，n的值分别为多少？平面直角坐标系▲基本要求：在平面直角坐标系中1.给出一点，能够写出该点坐标2.给出坐标，能够找到该点▲建系原则：原点、正方向、横纵轴名称（即x、y）√语言描述：以…（哪一点）为原点，以…（哪一条直线）为x轴，以…（哪一条直线）为y轴建立直角坐标系▲基本概念：有顺序的两个数组成的数对称为（有序数对）【三大规律】1.平移规律★点的平移规律（P51归纳）例将P(2,3)向左平移3个单位，向上平移5个单位得到点Q，则Q点的坐标为_____________图形的平移规律（P52归纳）重点题目：P53练习；P543、4题；P557题。2.对称规律▲关于x轴对称，纵坐标取相反数关于y轴对称，横坐标取相反数关于原点对称，横、纵坐标同时取相反数例：P点的坐标为(5,7)，则P点（1.）关于x轴对称的点为_____________(2.)关于y轴的对称点为_____________（3.）关于原点的对称点为_____________3.位置规律★假设在平面直角坐标系上有一点P（a，b）y1.如果P点在第一象限，有a>0，b>0（横、纵坐标都大于0）第二象限第一象限2.如果P点在第二象限，有a0（横坐标小于0，纵坐标大于0）3.如果P点在第三象限，有a扩展阅读：沪科版七年级数学下册复习知识点总结大全努力学习好数学知识数学是一门研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的学科；数学解题的关键就是知识和方法；知识是锁眼，方法是钥匙。缺少哪个都不能打开题目这把锁；那么我们的数学学习也要针对这两点进行。一、掌握课本知识内容及内涵数学知识是数学解题的基石。只有掌握了课本知识的内容，理解知识的内涵，才能更好地运用它来解决问题。二、多看例题数学有的概念、定理较抽象，我们可以通过例题，将已有的概念具体化，使自己对知识的理解更加深刻，更加透彻！看例题时，还要注意以下几点：1、看一道例题，解决一类问题。不能只看皮毛，不看内涵。我们看例题，要注意总结并掌握其解题方法，建立起更宽的解题思路。不能看一道题就只会一道题，只记题目答案不记方法，这样看例题也就失去了它本来的意义。每看一道题目，就应理清解题思路，掌握解题方法，再遇到同类型的题目，我们就不在难了。既然有“授人以鱼，不如授人以渔”，那么我们是不是也可以说“要鱼不如要渔”呢！2、我们不仅要看例题还要会总结，总结题型、解题思路和方法。运用了哪些数学思想。最好把总结的写出来。以后复习时再看，就事半功倍了。3、会模仿，也要创新。在看例题的解题时，首先想自己遇到这个题怎么做，然后看例题怎么解答的，之后我们还要思考还有没有其它方法和思路。我们最后看哪种方法更简便。三、多做练习“多”讲的是题型多，不是题目数量多。不怕难题，就怕生题。题海战术不一定好，但是接触的题型多了，总结的解题方法多了。以后遇到相同类型的题目也就不怕了。四、心细，多思，善问，勤总结数学是严谨的，做题目时要细心，一个符号之差，题目的解就可能完全不一样了，遇到问题要多思考，培养自己的数学思维，思考实在不会的，我们就要问，去弄懂。在数学学习过程中，我们要会总结，还要勤总结。多总结知识内容，总结解题方法，解题思想。一方面能够起到复习巩固的作用，另一方面能提高自己的自学能力。数学的四大思维体系：数形结合、函数思想、分类讨论、方程思想。第六章实数一、知识总结（一）平方根与立方根1、平方根（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。（2）表示：非负数a的平方根记作±a，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。2、算术平方根（1）定义：正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：a≥0恒成立。（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数的没有算术平方根。3、立方根：（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。（2）表示：a的立方根记作3a，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。（二）实数1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一对应。5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。7、实数大小：（1）正数>0>负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法二、解题实用1、21.4142131.73252.2362、aa2a2aa33a33a3、abababababb0三、典题练习1、16的平方根是；-3的算术平方根是；-3的立方根是。222、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是；如果一个有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是。3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是。4、下列各数中一定为正数的是（填序号）23①x②x1③x④x1⑤x15、当x6、比较下列各组数的大小41112-3与2-221与7335与2114-与-5277、7-2的绝对值为，相反数为，倒数为。8、已知x3，y为4的平方根，xy0，求x+y的值。9、已知x310、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是。11、a为5的整数部分，b为5的小数部分，则a+2b的值为。12、若201*-aa-201*a，试求a-201*的值。（提示：找出题中的隐含条件）2y-20，求x2+y的平方根。第七章一元一次不等式与不等式组一、知识总结（一）不等式及其性质1、不等式：（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。即：如果ab，那么acbc.性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。即：如果ab，并且c0，那么acbc；acbc.性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。即：如果ab，并且c0，那么acbc；性质4：如果ab，那么ba.（对称性）性质5：如果ab,bc,那么ac.（传递性）acbc.（二）一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左（三）一元一次不等式组1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。4、一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：不等式组ab解集xbxa口诀记忆同大取大同小取小大小小大中间找大大小小则无解xaxbxaxbxaxbaxbxaxb无解（四）一元一次不等式（组）解决实际问题解题的步骤：⑴审题，找出不等关系→⑵设未知数→⑶列出不等式（组）→⑷求出不等式的解集→⑸找出符合题意的值→⑹作答。二、解题技巧一、有解无解问题：（1）（3）xaxb有解：ab无解：ab（2）xaxb有解：ab无解：abxaxb有解：ab无解：ab2、特征解问题：解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m)当作已知数，去解原式→得到原式的解（含m)→根据解的特征列出式子（关于m的式子)→解出m的值。例：已知ax2x1的解集为x1，求a的值。解：解不等式ax2x1把a当作已知数，去解原式得xa1得到原式的解（含a)则a-11根据解的特征列出式子解得a2解出a的值三、典题练习1、若关于x的不等式xm1x2m1有解，则m的取值范围是？若无解呢？2xy1mx2y22、已知关于x，y的方程组的解满足xy0，求m的取值范围。3、适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：（1）x只有一个整数解；（2）x一个整数解也没有。4、解不等式（组）2x53x,（1）x2x（2）2324x3x7,3x32x1x,236x35x4,（3）3x72x3.1[x2(x3)]1.2（4）－5＜6－2x＜3（5）y3y832(10y)721.5、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m－1)x＞n．3x2yp1,6、已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围。4x3yp17、已知关于x的不等式组xb02x45的整数解共有3个，求b的取值范围。8、已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，试比较A与B的大小。3x4a,9、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值。x202210、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。（1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y。（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?（2）若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。第八章整式乘除与因式分解一、知识总结（一）幂的运算：1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。aaamnmnmn2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。aaa3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。amnmnamn4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。abambmm注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；a01a0（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。ap1apa0（3）科学记数法：ca10n或ca10-n1a10绝对值小于1的数可记成a10-n的形式，其中1a10，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。（二）整式乘法：1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。（三）、完全平方公式与平法差公式1、完全平方公式：aba22abb2a-ba2-2abb2两个数的和（或22差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。2、平法差公式：a-baba-b两个数的平方之差等于这两个数的和22与这两个数的差之积。（四）、整式除法（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。（五）、因式分解1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、分解因式的基本方法：（1）提公因式法（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式（3）对于二次三项式的因式分解的方法：1）配方法，2）十字相乘法：公式xabxabxaxb2例：将x24x3因式分解。方法一：配方法：原式=x24x4-43=x2-1=x1x32方法二：十字相乘法：x24x3=x1x3（4）分组分解法3、分解因式的技巧：(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁(3)变形技巧：①符号变形Ⅰ、x-y-y-xⅡ、当n为奇数时，x-y-y-xnnⅢ、当n为偶数时，x-yy-xnn②增项变形：例：4x414x414x2-4x24x44x21-4x2③拆项变形：例x32x2-1x3x2x2-1x3x2x2-1x2x1x-1x1二、典题练习1、计算题(1)a-2b2b-a（2)2xx(3)a253m-2352m(4)aa(5)310521432310(6)x2y-x-2yx2y3222、快速计算：（1）10397（2）102（3）993、2m4，416，求2mnn2m-n的值。4、如果2x2n64成立，那么m,n。5、在括号内填上指数和底数（1）8322（2）93326、化简求值：已知x2-2x3，求x-1x3x-3x-3x-1的值。27、已知2x5y4，再求4x32y的值。8、已知ab3，ab-5，求代数式的值：（1）a2b2（2）a-b29、因式分解：1）x32x2-5x-62）x2-y2axay3）a44b410、比较99999993与9996的大小。11、不解不等式组2mn623m-3n1，求7nm-3n-23n-m的值。2第九章分式一、知识总结（一）分式及其性质1、分式（1）定义：一般的，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式统称为有理式。（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意义，则分母≠0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变aamam即：（a，b，m都是整式，且m0）bbmbm分式的性质是分式化简和运算的依据。-10-ab叫做分3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。注：约分的结果应为最简分式或整式。约分的方法：1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母最低次幂；2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。（二）分式运算1、分式的乘除acac1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：bdbd2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；acadad即：bdbcbcaaa13）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即：n，abbbbnnnn2、分式的加减acac1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：b0bbb2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即：abcdadbdbcbdadbcbdbd0（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解法：转化整式方程1）基本思路：分式方程2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。整式方程解整式方程检验3）一般步骤：分式方程注：检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。通过转化方法（四）分式应用列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题设未知数，找等量关系列方程检验（①是否有增根，②是否符合题意）得出答案二、分式解题中常用的数学思想和技巧1、已知1x1y5，求2x-3xy2yx2xyy的值。（整体思想、构造法）2、已知xy43，求3x-5xy2y2x3xy-5ya1aab2222的值。（整体思想、构造法）bc1cca3、已知abc1，求4、已知1a1b161bbc的值。，1a1b1b1c1c19，1c1a115，求abcabbcac。（先得到x1x2的值，然后按第1题方法做）15、已知4，求x2x2的值。（提示：abcx1x2x1x）6、已知bcaxcababc，求abbcac的值。（提示：参数法）7、已知x-x121，求x422xx1的值。（倒数求值法）8、已知x2-5x10，求x41x4的值。（提示：由x2-5x10得x5x2y-z2222221x5）9、已知4x-3y-6z0，x2y-7z0，求2x-3y-10z的值。（提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数）10、计算：1）2）3）201*201*11-x332-2201*21201*11x-3201*-222（提示：用字母代替数）（提示：局部通分）x2x111x11x41x4x2x1-x3x2-x-4x-3x-5x-4(提示：假分式可先变形）三、典题练习1、如果分式|x|5x5x2的值为0，那么x的值是。2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。3、计算:11x11x=_______________。x3x2x1224、当分式x2x1与分式的值相等时，x须满足。5、把分式2x2yxy中的x，y都扩大2倍，则分式的值。（填扩大或缩小的倍数）6、下列分式中，最简分式有个。m1a2abb,,,,222222223xxymnm1a2abba3xymn22227、分式方程1x321x34x922的解是。8、若2x+y=0，则xxyy2xyx2的值为。9、当x为何值时，分式x1xx2x1222有意义？10、当x为何值时，分式2x1x2xx22的值为零？11、已知分式:当x=时，分式没有意义；当x=_______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______。12、当a=____________时，关于x的方程13、一辆汽车往返于相距akm的甲、乙两地，去时每小时行mkm，返回时每小时行nkm，则往返一次所用的时间是_____________。14、某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(b18、已知a3a10，求19、已知x+1x1x2a42a1的值。=3，则x2+1y1x2=________。2x3xy2yx2xyy20、已知=3，则分式=。21、化简求值．（1）（1+（2）1x11x）÷（1－(x21x13），其中x=－)，其中x=12；12x2x2x2。22、解方程:（1）23、已知方程，是否存在m的值使得方程无解？若存在，求出满2xxxx1足条件的m的值；若不存在，请说明理由。12xm1102x1512x=2；（2）2x13x1x3x12。24、若x2y3z5，且3x2yz14，求x、y、z的值。25、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多25，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？第十章相交线、平行线与平移一、知识总结（一）相交线1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。对顶角性质：对顶角相等2、垂直：（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线相互垂直。记作ABCD；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。注：1）垂直是相交的一种特殊的情况；2）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。（2）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。4、垂线的画法：略（二）平行线1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB∥CD。在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。3、性质：基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。其他性质：①两直线平行，同位角相等；角的关系②两直线平行，内错角相等；两直线位置关系③两直线平行，同旁内角互补。4、平行判定：①同位角相等，两直线平行；性质两直线位置关系②内错角相等，两直线平行；角的关系③同旁内角互补，两直线平行。5、平行线的画法：略判定（三）平移1、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。2、性质：1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行（或在同一直线上）且相等；2）平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。3、确定平移的要素：1）方向；2）距离。二、典题练习1、如图所示，下列判断正确的是()12121212⑴⑵⑶⑷A、图⑴中∠1和∠2是一组对顶角B、图⑵中∠1和∠2是一组对顶角C、图⑶中∠1和∠2是一对邻补角D、图⑷中∠1和∠2互为邻补角2、下列说法中正确的是（）A、有且只有一条直线垂直于已知直线；B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；C、互相垂直的两条直线一定相交；D、直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。3、如图，下列说法错误的是（）A.∠A与∠C是同旁内角B.∠1与∠3是同位角C.∠2与∠3是内错角D.∠3与∠B是同旁内角第3题图第6题图第7题图4、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是()A．B．C．D．5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为。7、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判断a∥b的条件是。（填序号）8、如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大。9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图，1110，则2。10、如图，由三角形ABC平移得到的三角形共有个。第8题图第9题图第10题图-16-ACB第11题图11、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1________。12、已知：如图，BAPAPD180，12。试说明EF。A1EBFPD13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最C2近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置。MANB14、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A、∠C之间的关系，请你从所得的四个关系中任选一个加以说明。APCDBAPCDBACPBDACPBD(1)(2)(3)(4)15、如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B∠D90，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B点，AE是折痕。（1）试判断BE与DC的位置关系；（2）如果∠C130，求∠AEB的度第十一章频数分布一、知识总结（一）频数与频率1、概念：一般地，如果一组数据共有n个，而其中一类数据出现m次，那么m就叫做该类数据在该组数据中出现的频数；而则称为该类数据在该组数据中出现的频率。-17-2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图）（1）整理数据的步骤：1）计算这批数据的极差（极差=最大值-最小值）2）决定组距和组数（当数据个数在100以内，一般分为5~12组，数据多分组多，数据少分组少，若有的组内的频数为0时，则应放宽组距）组距=极差组数组数=极差组距3）决定分点（为了避免出现某一数据所在组不能确定的情况，应使分点比已知数据多一位小数，且把第一组的起点稍微放小）4）画频数分布表。3、注意：（1）频率概率（2）三种统计图的特点：条形统计图：能清楚地表示出事物的绝对数量；折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势；扇形统计图：能清楚地表示各部分占总体的百分率。二、典题练习1、对某班的一次数学测验成绩进行统计分析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数满分为100分）．请根据图形回答下列问题：20学生人数15105040～4950～5960～6970～7980～8990～99成绩/分①该班有名学生；②70～79分这一组的频数是，频率是。2、频数分布直方图（如图22-2-9所示）显示了学生半分钟心跳数情况，总共统计了_________名学生的心跳数情况；__________次人数段的学生数最多，约占__________；如果半分钟心跳数3039属于正常范围，心跳次数属于正常范围的学生约占__________。3、校课外活动小组为了了解本校九年级学生的睡眠时间情况，对学校若干名九年级学生的睡眠时间进行了抽查，将所得数据整理后画出了频数分布直方图的一部分，如图所示，已知图中从左到右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二小组的频数为4，请回答：（1）这次被抽查的学生人数是多少？补全频率分布直方图；（2）被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？这一范围的人数是多少？（3）如果该学校有900名九年级学生，若合理的睡眠时间值为7t9，那么请你估计一下这个学校九年级学生中睡眠时间在此范围的人数是多少？4、校八年级（2）班40个学生某次数学测验成绩如下：63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。数学老师按10分的组距分段，算出每个分数段学生成绩出现的频数，填写频数分布表：（1）请把频数分布表、频数分布直方图(如图22-2-19)补充完整并画出频数分布折线图；（2）请你帮老师统计一下这次数学测验的及格率（60分以上为及格，含60分）及优秀率（90分以上为优秀，含90分）；（3）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？成绩段[来源学
科
网]49.559.559.569.569.579.579.589.589.599.5频数记录频数295频率0.250友情提示：本文中关于《七年级数学下册期末复习知识点总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，七年级数学下册期末复习知识点总结：该篇文章建议您自主创作。来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。《七年级数学下册期末复习知识点总结》由互联网用户整理提供,转载分享请保留原作者信息,谢谢!
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(this._monitoringIntersections=!0,this.POLL_INTERVAL?this._monitoringInterval=setInterval(this._checkForIntersections,this.POLL_INTERVAL):(r(window,"resize",this._checkForIntersections,!0),r(t,"scroll",this._checkForIntersections,!0),this.USE_MUTATION_OBSERVER&&"MutationObserver"in window&&(this._domObserver=new MutationObserver(this._checkForIntersections),this._domObserver.observe(t,{attributes:!0,childList:!0,characterData:!0,subtree:!0}))))},n.prototype._unmonitorIntersections=function(){this._monitoringIntersections&&(this._monitoringIntersections=!1,clearInterval(this._monitoringInterval),this._monitoringInterval=null,i(window,"resize",this._checkForIntersections,!0),i(t,"scroll",this._checkForIntersections,!0),this._domObserver&&(this._domObserver.disconnect(),this._domObserver=null))},n.prototype._checkForIntersections=function(){var t=this._rootIsInDom(),n=t?this._getRootRect():{top:0,bottom:0,left:0,right:0,width:0,height:0};this._observationTargets.forEach((function(r){var i=r.element,a=o(i),c=this._rootContainsTarget(i),s=r.entry,u=t&&c&&this._computeTargetAndRootIntersection(i,n),l=r.entry=new e({time:window.performance&&performance.now&&performance.now(),target:i,boundingClientRect:a,rootBounds:n,intersectionRect:u});s?t&&c?this._hasCrossedThreshold(s,l)&&this._queuedEntries.push(l):s&&s.isIntersecting&&this._queuedEntries.push(l):this._queuedEntries.push(l)}),this),this._queuedEntries.length&&this._callback(this.takeRecords(),this)},n.prototype._computeTargetAndRootIntersection=function(e,n){if("none"!=window.getComputedStyle(e).display){for(var r,i,a,s,u,l,f,h,p=o(e),d=c(e),v=!1;!v;){var g=null,m=1==d.nodeType?window.getComputedStyle(d):{};if("none"==m.display)return;if(d==this.root
d==t?(v=!0,g=n):d!=t.body&&d!=t.documentElement&&"visible"!=m.overflow&&(g=o(d)),g&&(r=g,i=p,a=void 0,s=void 0,u=void 0,l=void 0,f=void 0,h=void 0,a=Math.max(r.top,i.top),s=Math.min(r.bottom,i.bottom),u=Math.max(r.left,i.left),l=Math.min(r.right,i.right),h=s-a,!(p=(f=l-u)>=0&&h>=0&&{top:a,bottom:s,left:u,right:l,width:f,height:h})))break;d=c(d)}return p}},n.prototype._getRootRect=function(){var e;if(this.root)e=o(this.root);else{var n=t.documentElement,r=t.body;e={top:0,left:0,right:n.clientWidth
r.clientWidth,width:n.clientWidth
r.clientWidth,bottom:n.clientHeight
r.clientHeight,height:n.clientHeight
r.clientHeight}}return this._expandRectByRootMargin(e)},n.prototype._expandRectByRootMargin=function(t){var e=this._rootMarginValues.map((function(e,n){return"px"==e.unit?e.value:e.value*(n%2?t.width:t.height)/100})),n={top:t.top-e[0],right:t.right+e[1],bottom:t.bottom+e[2],left:t.left-e[3]};return n.width=n.right-n.left,n.height=n.bottom-n.top,n},n.prototype._hasCrossedThreshold=function(t,e){var n=t&&t.isIntersecting?t.intersectionRatio
0:-1,r=e.isIntersecting?e.intersectionRatio
0:-1;if(n!==r)for(var i=0;i0&&function(t,e,n,r){var i=document.getElementsByClassName(t);if(i.length>0)for(var o=0;o展开全部一个数与它本身相加、相减、相除,所得的和、差和商相加的总和是9.2,这个数是( 4.1)2x+0+1=9.22x=8.2x=4.1展开全部4.1（4.1+4.1）+（4.1-4.1）+（4.1/4.1）=8.2+0+1=9.2
展开全部4.1
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