知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式

如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质

5．等差数列的前n 项和公式

6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

[难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定

2．等差数列与等差数列各项和的有关性质

(4)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝2. 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项) ．

例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝5a n ＝2－ (n ≥2，

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

∴数列{b n }是以－2为首项，1为公差的等差数列．

易知f (x ) 在区间 －∞，2和 2，＋∞?内为减函数．

∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.

例2（等差数列的基本量的计算）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{an }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.

故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2.

例3（前n 项和及综合应用）(1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．

所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． ?a n ＝4n －25

例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3

已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握. 一般有三常见思路：

(1)算出前几项，再归纳、猜想；

知识点2：等比数列及其n 项和 1．等比数列的定义 2．等比数列的通项公式 3．等比中项

4．等比数列的常用性质

5．等比数列的前n 项和公式

6．等比数列前n 项和的性质

7. 等比数列的单调性

从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非常数． 2．等比数列中的函数观点

利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．等比数列的前n 项和S n

(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．

共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知三求二，体现了方程的思想的应用．

(3)在使用等比数列的前n 项和公式时，如果不确定q 与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q ＝1和q ≠1两种情况．

由通项公式a n ＝a 1q n －1及已知条件得：

将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，无解将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. ，故舍去．

n }2为首项，2为公比的等比数列．

设是1-a 和1+a 的等比中项，则a +3b 的最大值为 2 .（三角函数）

, 的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列, 则三角形的形状为__等边三角形k π△±k ∈Z __________.

例7. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

知识点3：数列的基本知识

例1：设{a n }数列的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为2，数列的递推公式及应用：利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法：累加法，累积法，构造法

的递推公式，两边取倒数后换元转化为再=p +，

1、等比数列的定义：2、通项公式：

（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=

A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{a n }是等比数列?a n 2=a n -1?a n +1 4、等比数列的前n 项和S n 公式：

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或为等比数列

（k 为非零常数）均为等比数列。

③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q

A ．是等比数列 B．当p ≠0时是等比数列 B ．C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列 D．不是等比数列

【例4】 求数列的通项公式：

考点一：等比数列定义的应用

1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=（ ）

3、已知数列{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 1、若公比为

的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ） 383

考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用

考点五：公式a n =?1的应用

C. 公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )

一、等差和等比数列比较：

二、等差数列的定义与性质

性质：{a n }是等差数列

（3）若a n ，b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n ，T n ，则

（4）{a n }为等差数列?S n =an 2+bn （a ，b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值） （5）项数为偶数2n 的等差数列{a n }

三、等比数列的定义与性质

等比中项：x 、G 、y 成等比数列?G 2=

性质：{a n }是等比数列

四、数列求和的常用方法：

2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 例

错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式；(3)用①-②，错位相减；(4)化简计算。 3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：