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　　高三数学上学期期中试卷理科

　　第Ⅰ卷(选择题 共60分)

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

　　1. 已知集合 ,则集合 且 为( )

　　2. 若复数 满足 ,则 的虚部为( )

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

　　4. 若 是 的一个内角,且 ,则 的值为( )

　　5. 两个非零向量 满足 则向量 与 夹角为( )

　　6. 如果 位于第三象限,那么角 所在的象限是( )

　　A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限

　　7. 函数 的图象可能是( )

　　8. 已知数列 满足: , ，设数列 的前 项和为 ,则 ( )

　　9. 在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于x轴对称,若 ,则 ( )

　　10.已知函数 的图象向左平移 个单位后,得到函数 的图象,下列关于 的说法正确的是( )

　　A.图象关于点 中心对称 B.图象关于点 中心对称.

　　C.图象关于 轴对称 D.图象关于 轴对称

　　11. 已知函数 的图象关于点 对称,若函数 有四个零点 则 ( )

　　12. 已知 是定义在 上的单调递减函数, 是其导函数,若 ,则下列不等关系成立的是( )

　　第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

　　二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上).

　　16. 关于函数 ,有下列命题:

　　①由 可得 必是 的整数倍;

　　② 的表达式可改写为 ;

　　③ 的图象关于点 对称;

　　④ 的图象关于直线 对称.

　　其中不正确的命题的序号是__________.

　　三、解答题(本大题共6小题，满分共70分)

　　17.(本小题满分10分) 在 中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,向量 , ,且 .

　　(1)求锐角 的大小;

　　(2)若 ,求 面积的最大值.

　　19.(本小题满分12分)

　　某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量 (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克, ),满足:当 时, ( 为常数);当 时, .已知当销售价格为 元/千克时,每日可售出该特产 千克;当销售价格为 元/千克时,每日可售出 千克.

　　(1)求 的值,并确定 关于 的函数解析式;

　　(2)若该商品的销售成本为 元/千克,试确定销售价格 的值,使店铺每日销售该特产所获利润 最大

　　20.(本小题满分12分)

　　设各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 , 且 构成等比数列.

　　(1)求数列 的通项公式;

　　(2)若对一切正整数 都有 ,求实数 的最小值.

　　21.(本小题满分12分)

　　(1)讨论 的单调性

　　(2)若 在 上有且仅有一个零点,求 的取值范围.

　　22.(本小题满分12分)

　　(1)若 ,求曲线 在点 处的切线方程

　　(2)若 在 上恒成立,求实数 的取值范围

　　(3)若数列 的前 项和 , ,求证:数列 的前 项和

　　数 学 试 题 答 案(理科)

　　又∵ 为锐角,∴ ,

　　由余弦定理 ,得 . +7分

　　又 ,代入上式,得 ,

　　当且仅当 时等号成立. +9分

　　当且仅当 时等号成立,

　　即 的最大值为 . +10分

　　由 得 或 由 得

　　所以 在 上是增函数,在 上是减函数

　　因为 所以 时, 的最大值为 +8分

　　当且仅当 ,即 时取等号,

　　∴当 时 有最大值 ,

　　即当销售价格为 元的值,使店铺所获利润最大. +12分

　　∴当 时, 是公差为 的等差数列. +4分

　　∵ ,构成等比数列,

　　又由已知,当 时, ,

　　∴ 是首项 ,公差 的等差数列.

　　∴数列 的通项公式 . +6分

　　∴ 的最小值为 +12分

　　当 时, 恒成立; +2分

　　综上所述,当 时, 在 上为增函数;

　　当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数. +5分

　　∴g在上为增函数,又 ,不符合题意.

　　令 的两根分别为 且 ,

　　当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数;

　　当 时, ,∴ ,∴ 在 上为减函数;

　　当 时, ,∴ ,∴ 在 上为增函数.

　　∴g在上必有一个零点.

　　∴ 在 上必有一个零点.

　　综上所述,a的取值范围为 +12分

　　22.解：(1)因为 ,所以 , ,切点为 .由 ,所以 ,所以曲线 在 处的切线方程为 ,即 +2分

　　(2)由 ,令 ,则 (当且仅当 取等号).故 在 上为增函数.

　　①当 时, ,故 在 上为增函数,所以 恒成立,故 符合题意;

　　②当 时,由于 , ,根据零点存在定理,必存在 ,使得 ,由于 在 上为增函数,故当 时, ,故 在 上为减函数, 所以当 时, ,故 在 上不恒成立,所以 不符合题意.综上所述,实数 的取值范围为 +6分

　　关于高三上学期数学期中试题

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

　　2.命题“”的否定是( )

　　3.“ ”是“ ”的( )

　　A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

　　4.已知函数y=f(x)，其导函数y=f′(x)的图像如图所示，则y=f(x)(　　)

　　A.在(-∞，0)上为减少的 B.在x=0处取极小值

　　C.在(4，+∞)上为减少的 D.在x=2处取极大值

　　6.下列求导运算正确的是(　　)

　　7 .将函数y=sinx-π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为(　　)

　　8.三次函数 的图象在点 处的切线与 轴平行，则 在区间 上的最小值是( )

　　9.函数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。)的图象可能为( )

　　11.已知错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数，当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，则函数错误!未找到引用源。的零点的集合为( )

　　A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

　　12. 对于函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。，若存在错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。，则称函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”，现已知函数错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。互为“零点密切函数”，则实数错误!未找到引用源。的取值范围是( )

　　二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　　15.设函数 ,则

　　16.如图，在 中， ，点 在线段 上，且 ， ，

　　则 的面积的最大值为 .

　　三.解答题：共70分。解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。

　　17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.

　　(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;

　　(2)求f(x)在区间0，π2上的单调增区间.

　　(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差;

　　(2)若函数y=f(x)有三个零点，求m的取值范围.

　　(1)求 的单调区间;

　　(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： .

　　高三数学(理科)试卷参考答案

　　三.解答题：共70分。解答题应写出文字说明，证题过程或演算步骤。

　　当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增;

　　因为△ABC为斜三角形，所以cos A≠0，

　　由正弦定理可知b=5a，　①

　　解：(1)由 ，可得 ，下面分两种情况讨论：

　　① 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 .-----2分

　　②当 时，令 ，解得 或 .

　　当 变化时， ， 的变化情况如下表：

　　单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

　　所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .---6分

　　(2)证明：因为 存在极值点，所以由(1)知 且 .由题意，

　　由题意及(1)知，存在唯一实数 满足 ，且 ，

　　第I卷 (选择题, 共60分)

　　一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案)

　　1. 已知集合 2， ， ，则

　　2.已知复数 (其中i是虚数单位),则 =( )

　　3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)

　　A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

　　C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

　　4设数列 是单调递增的等差数列， 且 ， ， 成等比数列，则 ( )

　　6.函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则 =

　　7.函数 的图象可能是( )

　　8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为( )

　　9.设正实数 满足 则( )

　　10.已知数列 为等差数列，若 ，且它们的前n项和 有最大值，则使得 的n的最大值为( )

　　11.已知两个单位向量 ， ，且满足，存在向量 使 ，则 的最大值为

　　12.已知点 是曲线 上任意一点，记直线 ( 为坐标系原点)的斜率为 ，则( )

　　A.至少存在两个点 使得 B.对于任意点 都有

　　C.对于任意点 都有 D.至少存在两个点 使得

　　第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)

　　14.设向量 与 的夹角为 ， ，则 。

　　15.已知 若函数 只有一个零点，则 的取值范围是________。

　　16.设△ 的三边 所对的角分别为 .已知 ，则 的最大值为_____。

　　三.解答题(满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)

　　17、(本小题满分12分)

　　已知在等差数列 中， 为其前 项和， ;等比数列 的前 项和 .

　　(I)求数列 ， 的通项公式;

　　18、(本小题满分12分)

　　如图，在 中，点P在边BC上，， ， .

　　(Ⅱ)若 的面积是，求 .

　　19、(本小题满分12分)

　　食品安全问题越来越引起人们的重视，农药，化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲，乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的的年收入P与投入 (单价：万元)满足 ，种黄瓜的年收入Q与投入 (单价：万元)满足 ,设甲大棚的投入为 (单价：万元)，每年两个大棚的总收益为 (单价：万元).

　　(Ⅱ)试问如何安排甲，乙两个大棚的投入，才能使总收益 最大?

　　20、(本小题满分12分)

　　将射线y=17x(x≥0)绕着原点逆时针旋转π4后所得的射线经过点A(cos θ，sin θ).

　　(I)求点A的坐标;

　　21、(本小题满分12分)

　　(Ⅰ)当 时，求 的单调区间和极值;

　　(Ⅱ)若 ，且 ，证明： .

　　请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

　　22(本小题满分10分)

　　选修4—4：坐标系与参数方程

　　在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 .

　　(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;

　　(Ⅱ)设过点 且倾斜角为 的直线l与圆C交于A，B两点，且 ，求直线l的普通方程.

　　23(本小题满分10分)

　　(Ⅰ)若 ,解不等式 ;

　　(Ⅱ)若不等式 对任意的实数 恒成立，求 的取值范围.

　　泉港一中、南安国光中学高三年段两校联考

　　学年第一学期期中考试理科数学参考答案

　　17.解：(I)设等差数列 的首项为 公差为 ，

　　且 满足上式， ……………6分

　　(II) …………8分

　　18. Ⅰ 在 中，因为， ， ，

　　由余弦定理得，………………2分

　　所以 是等边三角形.

　　所以. ………………6分

　　Ⅱ 法1：由于是 的外角，所以.

　　因为 的面积是，所以 .

　　所以 .…………8分

　　所以 .………………….10分

　　在 中，由正弦定理得 ，

　　所以 .………………12分

　　19.解：(Ⅰ)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，

　　所以 .………………4分

　　(II) ，………………6分

　　依题意得 解得 ，

　　故 ( ). ………………7分

　　令 ， ………………8分

　　当 ，即 时， ， ………………11分

　　所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元……12分

　　20.解：(Ⅰ)设射线y=17x(x≥0)与x轴的非负半轴所成的锐角为α，

　　则tan α=17，α∈0，π2. ………………2分

　　所以点A的坐标为35，45. ………………6分

　　所以f(x)在x∈ 上单调递增在x∈ 上单调递减………………12分

　　函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间，无极值;

　　当 时，令 ，解得 ，

　　当时， ;当 ， .

　　所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是，

　　在区间 上的极小值为，无极大值.……………4分

　　(II)因为 ，由 知，函数 在区间 上单调递减，

　　在区间上单调递增，

　　要证 ，只要证 ，即证 …………6分

　　因为 在区间上单调递增，所以 ，

　　又 ，即证 ，……………8分

　　即， ，……………10分

　　因为 ，所以 ， ，即 ，

　　所以函数 在区间 上单调递增，故 ，

　　所以 ，即 ，所以 成立.……………12分

　　22 圆C的极坐标方程为 .

　　圆C的直角坐标方程为 ，

　　化为圆的标准方程为 ………………5分

　　(II)设直线l的参数方程为 为参数

　　将l代入圆C的直角坐标方程 中，

　　设A，B两点所对应的参数分别为 ， ，

　　由韦达定理知 ， ，

　　由 ， 同号 又， ，

　　所以解集为： . ………………5分

　　所以 的取值范围为： . ………………10分

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