原文标题：数学“好玩”在于转化在解题中的积极作用

作者单位：北京大学附属中学(100080)

《义务教育课程标准(2011年版)》中指出:“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括”。转化思想是重要的数学思想,在解题中利用转化思想对解题有积极的作用.接下来就以具体问题让学生感受转化思想的魅力:

如图1所示，点P位于等边△ ABC 的内部，且 ∠ACP= ∠CBP.

(3)在(2)的条件下，若BD的长为2,求四边形 ABCD的面积.

【分析问题】 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线,利用转化的思想解决问题.

(1)根据等边三角形的性质解答即可;

(2)①利用射线的作法得出D点位置,并连接AD,CD.

②利用全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质证明即可;

(3)关键是利用四边形问题转化成三角形问题进行解决.

一张图后为大家揭晓答案：

(2)①解:如图2所示，

方法1:将四边形问题转化成两个三角形问题,利用整体代换的思想解决问题.

如图3，作BM⊥DA于M，BN⊥DC的延长线于N.

方法2:将四边形问题转化成两个三角形问题,利用整体代换的思想解决问题.

方法3:将四边形问题转化成一个三角形问题,利用截长补短的思想解决问题.

∴△BDE是等边三角形

数学知识的发生、发展的过程，也是数学思想发生的凸显的过程.在解题中重视数学思想，会起到事半功倍的效果.通过解决上述问题，发现最关键的是利用转化的思想，将四边形问题转化成三角形问题，进而解决问题.让学生真正体会到数学“好玩”在于解题中的转化作用.

中小学数学 2022年1-2月中旬(初中)第22页

本文的例题是由等边三角形内的一个点引发延伸推出的。老师的解析非常精彩，过程中重视数学思想的渗透，为同学们提供了丰富的营养，让人受益匪浅。

数学课最重要的东西是什么？我认为比老师传授的知识点更重要的是学会如何思考问题，掌握思考问题的方法。

我们学过的知识因为长时间不用，很多都遗忘了，我希望思考问题的方法大家都还记得。

什么是教育？在受过教育之后，学到的知识都快忘光了，这时剩下的东西就是你所接受的教育。

大家有没有思考过这样的问题：等边三角形内有一个动点，但是无论动点怎样运动，有一个量始终不变。

如果你认真思考并找到答案，就能够深刻体会到中学数学老师说过的一句话：三角形的王者是等边三角形。

有一个经济学家打电话请教美国几何学家佩多，询问一个问题：等边三角形内一个动点无论怎样运动，该点到三边上的距离之和是否始终不变？

其实不用数学家出手，只需要请教八年级学生就能够得到满意的答复了。

下面我们直接给出结论，论证过程请大家脑补，自行再创造出来。

设等边三角形ABC内有一个动点P，该点到三角形的三边距离之和为a+b+c=s，三角形的高为h，则有以下结论：s=h

为什么等边三角形会如此特殊？被誉为三角形中的王者？原因何在？

因为等边三角形有一个重要性质：四心合一，也可以说四心重合。

问：哪四心？答：内心，外心，重心，垂心。

三角形还有一个特殊点，或者说是巧合点，那就是费马点。

普通三角形的费马点和重心是两个点，而等边三角形的费马点和重心重合。

什么是费马点？请看下图：

上图所示的三角形是普通三角形，如果换成三角形中的王者——等边三角形(正三角形)，那么，重心和费马点就重合了。

有的好奇宝宝可能会问，老师，有没有负等角中心？答：如你所愿，有的，请看下图。

接下来，我们探究一个问题，等边三角形内的动点p在运动过程中，它到三角形的三个顶点的距离之和是否为定值？

问：这个值的极值如何求？

答：设三角形的边长为a，高为h，有以下结论：

①当p点与三角形的顶点重合时，这个值为2a；

②当p点位于一条边的中点时，这个值为a+h；

③当p点位于三角形的重心时，这个值取最小值：2h.

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

一、填空题（每小题4分,共32分）.

4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．

6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部．

7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________．

二、选择题（每小题4分,共24分）

11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )

12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=?BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ?≌△ABC ，?得到ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ） N A M C B 图7 图8 图9 图10