《初等数论》版习题解答

第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3 定理3 若都是得倍数，是任意n个整数，则是得倍数． 证明： 都是的倍数。 存在个整数使 又是任意个整数 即是的整数 2．证明 证明 又，是连续的三个整数 故 从而可知 3．若是形如（x，y是任意整数，a，b是两不全为零的整数）的数中最小整数，则． 证： 不全为 在整数集合中存在正整数，因而有形如的最小整数 ，由带余除法有 则，由是中的最小整数知 （为任意整数） 又有， 故 4．若a，b是任意二整数，且，证明：存在两个整数s，t使得 成立，并且当b是奇数时，s，t是唯一存在的．当b是偶数时结果如何？ 证：作序列则必在此序列的某两项之间 即存在一个整数，使成立 当为偶数时，若则令，则有 若 则令，则同样有 当为奇数时，若则令，则有 若 ，则令，则同样有，综上所述，存在性得证． 下证唯一性 当为奇数时，设则 而 矛盾 故 当为偶数时，不唯一，举例如下：此时为整数 §2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1 推论4.1 a，b的公因数与（a，b）的因数相同． 证：设是a，b的任一公因数，|a，|b 由带余除法 |， |，┄, |, 即是的因数。 反过来|且|，若则，所以的因数都是的公因数，从而的公因数与的因数相同。 2．证明：见本书P2，P3第3题证明。 3．应用§1习题4证明任意两整数的最大公因数存在，并说明其求法，试用你的所说的求法及辗转相除法实际算出（76501，9719）． 解：有§1习题4知： 使。， ，使如此类推知： 且 而b是一个有限数，使 ，存在其求法为： 4．证明本节（1）式中的 证：由P3§1习题4知在（1）式中有 ，而 ， ，即 §3 整除的进一步性质及最小公倍数 1．证明两整数a，b互质的充分与必要条件是：存在两个整数s，t满足条件． 证明 必要性。若，则由推论1.1知存在两个整数s，t满足：， 充分性。若存在整数s，t使as+bt=1，则a，b不全为0。 又因为，所以 即。 又， 2．证明定理3 定理3 证：设，则 ∴又设 则。反之若，则， 从而，即= 3．设 （1） 是一个整数系数多项式且，都不是零，则（1）的根只能是以的因数作分子以为分母的既约分数，并由此推出不是有理数． 证：设（1）的任一有理根为，。则 （2） 由， 所以q整除上式的右端，所以，又， 所以； 又由（2）有 因为p整除上式的右端，所以 ，，所以 故（1）的有理根为，且。 假设为有理数，，次方程为整系数方程，则由上述结论，可知其有有理根只能是 ，这与为其有理根矛盾。故为无理数。 推论3.3 设a，b是任意两个正整数，且 ，，， ，，， 则，， 其中，， 证：， ∴ ∴ ，. ∴ ，又显然 ∴ ，同理可得， 推广 设,, (其中为质数为任意n个正整数)， 则 4．应用推论3

能将任意8个连续的正整数分为两组,使得每组4个数的平方和相等吗?如果能,请给出一种分组法,并加以验证,如果不能,请说明理由.

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