兵马俑被世界称为八大奇迹之一。其中步兵占陶俑的2/5,其他兵俑比步兵多1600件。求陶俑的总数。

传送门：数理统计|笔记整理（1）——引入，重要分布函数，特征函数及计算

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不知道大家对于上一节的感受如何，我们这一节会继续补充说完上一节剩下的一些更加高深的分布的内容，并开始引入正式的数理统计的部分。从这之后，我们就算正式进入了数理统计的大门。当然如果你对研究生的内容并不感兴趣，其实上一节你只需要掌握两个重要的分布（伽马分布和贝塔分布）即可。

考虑到高等数理统计与初等数理统计的架构和内容深度均不同，因此后期我们更新可能并不会按照与初等数理统计的课程相似的进度。但如果你是研究生或博士生，那情况就完全不一样了……

另外，作为文章本身的优化，我们开始在每一篇文章只保留上一篇与下一篇的链接，方便大家导引。如果需要这一系列笔记添加更多习题的同学麻烦和我说一下，若有需求我会再单独出文章介绍一些不错的题目的解法，虽然目前笔记会有习题，但是主要目的还是为了熟悉知识和提纲挈领，如果你需要锻炼做题熟练度，那一两道题显然是不足的。

什么是总体？总体你可以理解为一个大的背景，或者理解为很多很多数据，但是它们都有相同的分布。或者你也可以理解为，我们学统计，是为了研究一个东西的不确定性，而这个不确定性的特征被附身在了很多物体上，所以我们一般把这很多物体的集合就称为总体，因为每一个个体的不确定性的存在，导致这个总体产生了很多变化，为了描述这些变化，我们就认为它符合一种分布。简单点说，你可以理解为，总体就是一个分布，是一个随机变量。当然研究这个分布并不一定特别容易，它可以是参数估计的活，也可以是半参，或者非参的活。当然我们重点关注的还是参数估计了。

那么什么是样本呢？样本你就可以理解为是总体的某一个小的子集。我为了研究这个总体的性质，我需要调查这个样本。很多时候对这个样本做检验，就可以推断出总体的性质。每一个样本都是一个随机变量，而每一个样本在观测之后也会有一个值。在我们不考虑薛定谔的猫之前，我们一般不区分这两个概念，所以标记一般都是

，用这个标记来表示我们抽样的

个样本。但是很多书上是区分的（严格的学术界也肯定会区分），这个时候如果表示的是“样本随机变量”，那么标记就要改成

要完成这个推断的任务自然需要样本满足一些性质：随机性和独立性。也就是说样本必须为简单随机样本。也就是说，如果我在大背景下说“样本

值得高兴的是，这笔记中间没有详细介绍的抽样定理的第二个，我们终于在这里补全了。

如果你看过《回归分析》的笔记，你就不会是第一次碰到这个名字。非中心分布主要是伽马分布，然后通过非中心伽马分布引出了非中心的三大抽样分布。那么它们究竟是什么呢？

乍一看这个式子挺难理解的。其实

就是泊松分布的离散密度，也就是说

计数测度。粗略一点理解，如果这个概率密度是在连续范围内定义，那么就是我们常见的

，这里因为泊松分布的定义是非负整数集合，那么就变成了求和。

那么你其实可以看出来，非中心伽马分布就是中心伽马分布的泊松加权和。因为每一个泊松系数的求和为1（不然的话，它就不是概率分布了）。另外，如果你清楚伽马分布与卡方分布的关系，那么你就应该会明白为什么我们定义非中心卡方分布为

我们下面介绍一些关于它们的性质，帮助大家熟悉这船新的概念~

显然如果没有这个性质，那么它都不能作为一个密度函数。不难证明，我们先把它的定义写出来，并且把式子拆出来，有

学过级数的话你应该知道，如果这个关于

绝对收敛的，那么即可以逐项积分（当然了实分析告诉你，实际上条件没那么严格）。这里我们需要做一些修改，也就是说把仅与

无关的项挑出来，然后改成类似于这么一个样子

你容易验证这个级数绝对收敛，因为系数满足

。那么这样的话，交换积分和求和的顺序，我们就有

这也是基本概念，注意到我们有

，那么这样的话可以知道

根据这个自然就不难得到下面这个结论。

下面几个性质的证明方法比较类似，所以我们列出来，但只证明其中一部分。

Proposition 5: 非中心伽马分布与非中心卡方分布特征函数为

如果要直接使用我们最开始的二元分布的形式，那有点太烦了，事实上有了我们的Proposition 2结合我们的重期望公式，一切就可以简单很多。我们以求特征函数（Proposition 5）为例子，只需要注意到

到了上面那一步，我们是针对

求的期望，所以需要代入

的密度函数，而我们之前说

的Taylor展开。所以我们就证明了结论。

有了特征函数这个结论，可加性相信你也不难推出。我们直接写出结论

最后我们简单介绍一个多元统计中会用到的性质。详细的可以参考张尧庭，方开泰的《多元统计分析引论》P469。这个证明因为我没有看明白（大雾……），所以就不抄在这里了……

在回归分析中它被多次用到。

接下来我们简单提一下非中心F分布。

它的大部分性质都和非中心伽马分布的形式很相近，所以我们只证明一个，剩下的就不再证明了。

这个证明其实要用的就是非中心伽马分布的另一种表达方式。设

作为了条件，所以我们之后那个分式其实就是常数，而之前那个分式就是正常的F分布，所以这就很容易得到我们的结论了。

通过这个性质我们还可以得到它的分布函数，期望等性质。我们直接列在这里。

最后简单提一下非中心t分布。

因为它们确实太像了，我们也没必要再多做讨论，这就太深了。

我没有先介绍基本的样本和总体的定义，而是事先提这个统计量，是因为它几乎贯穿了整个数理统计课程，同时它也给很多数理统计的计算带来了较大的难度。在给出这些统计量的定义之后，我们会给出一些计算题用于概率论知识的巩固。

小的数满足的概率分布。所以你也能看出来，如果你要做抽样模拟，那么对应的场景就是每一次都要取

个样本，然后抽出其中第

个”的含义当然是完全不同的。

一个类推的定理就是多个次序统计量的分布，我们也写在下面。

它的证明书本上说的很清楚了，因此我们这里不再赘述。这里贴一个链接以供参考。

最后，我们用几道依赖概率论知识的计算题结束这一节。我们也可以通过它来简单的窥探到数理统计所需要的微积分的相关技巧。

Problem 2: 设总体为韦布尔分布，其密度函数为

仍服从韦布尔分布，并指出参数。

的分布，那么它的密度函数自然不可忽视了。我们根据上面的公式可以得到结果为

为了完成这个任务，我们需要先计算

。这就需要我们万能的微积分了。

这里我们需要注意提醒的一点是需要观察到

，所以这样就可以方便通过变量代换得到我们的积分结果。根据这个，我们再代入就可以得到

而为了判断它是和总体同分布的，你就需要保证它的密度函数在结构上是保持一致的。这里我们可以看到，针对

，它的指数部分和非指数因子相对比

，因此如果我们把指数部分拿出来再求导，依然可以得到我们的非指数因子。这就说明如果我们求积分得到

这样的一个形式，那就说明同分布了。至于参数，稍微变换一下即发现参数中

为容量为5的次序统计量，证明

如果要证明两个统计量相互独立，我相信你在概率论中一定听说过所谓的变量替换法。也就是说通过构造一个联合分布

，然后再分别求出边缘分布

首先根据这个思路，先求出

，这样的话，根据多元次序统计量公式就可以得到

根据这个，我们还需要算出变换的雅可比(Jacobi)行列式，它的公式是

根据我们的变量代换公式，我们需要首先用

代入，再乘上雅可比行列式的

绝对值，这样就可以得到我们的结果为

既然已经有了我们要的联合密度，那么下一步就是求一下边际密度就好。如果可以得到

就可以得到我们的结论。如果要求

求积分即可，反之亦然。你也可以看出来，这个分布函数是可分离变量的，因此我们主要还是观察

边缘分布的系数。所以其实只需要计算这两部分

你可以看到，根据这两个积分，你就可以知道，两个边缘分布其实就是

所以如果将边缘分布相乘，你是不必要担心非系数部分有差异的。而系数部分你可以看到相乘起来也正好都是

，这样就可以得到我们的结论了。

于是，我们用这两个题，结束了这一节。

这一节我们主要关注了常见的统计量与抽样分布。其重点在于次序统计量的相关计算与抽样定理的相关证明。需要提醒的是这一节内容量很大，消化可能需要一段时间。如果你之前没有接触过工科数理统计，那么其实这一节就有点像两节的意思2333……

关于指数族分布我们没有在这里提，虽然它也是高等数理统计中重要的一部分，但是书本介绍的内容过于理论和抽象。考虑到我们的应用性，我们会在之后使用它的时候再涉及这些内容。

进入申请季，笔记更新速度会变慢一些，恳请大家谅解~

下一节传送门：数理统计|笔记整理（3）——充分统计量

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答案差不多了，却被%u7b和%u7d卡住了，猜想是{ }的url编码，{的url编码是%7B，}的url编码是%7D

所以去掉u符号（这里u符号应该是什么十六进制之类的，我也不知道）

下载附件，打开，发现两个等号和19azA~Z的典型base64编码型，直接base64转换：

转了一堆&#出来，根据以前的做题经验，猜unicode或hex：

一开始用了十六进制来转，转了个四不像出来，后来发现转错了，unicode在线解码网址：

这三个数的看着像ASCII，因为题目暗示混合编码，直接转换看看：ASCCII表对照法：

RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制 。

在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK [2] 。

RSA公开密钥密码体制的原理是：根据数论，寻求两个大素数比较简单，而将它们的乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥 [4] 。

RSA脚本工具使用说明：

# 第三届上海市大学生网络安全大赛--rrrsa d泄漏攻击

椭圆曲线密码学（英语：Elliptic curve cryptography，缩写为 ECC），一种建立公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA加密算法——提供相当的或更高等级的安全。ECC的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于Weil对或是Tate对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。其缺点是同长度密钥下加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长 [1] ，但由于可以使用更短的密钥达到同级的安全程度，所以同级安全程度下速度相对更快。一般认为160比特的椭圆曲线密钥提供的安全强度与1024比特RSA密钥相当。

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

　　选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：

　　其中k、K分别为私钥、公钥。

ECC脚本积累(解出最后的公钥和私钥即可)：