多元函数的极值及其法

教学目的：了解多元函数极值的定义熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、极值方法，并能够解决实际问题熟练使用拉格朗日乘数法條件极值。

教学重点：多元函数极值的法

教学难点：利用拉格朗日乘数法条件极值。

一、 多元函数的极值及最大值、最小值

定义  设函数茬点的某个邻域内有定义对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式

则称函数在点有极大值如果都适合不等式

则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点

函数在点（0，0）处有极小值因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(00)的點，函数值都为正而在点（0，0）处的函数值为零从几何上看这是显然的，因为点（00，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点

函数在点（0，0）处有极大值因为在点（0，0）处函数值为零而对于点（0，0）的任一邻域内异于（00）的点，函数值都为负点（0，00）是位于平媔下方的锥面的顶点。

例３　函数在点（00）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（00）处的函数值为零，而在点（00）的任一鄰域内，总有使函数值为正的点也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）  设函数在点具有偏导数且在点处有极值，则它在该点的偏導数必然为零：

证  不妨设在点处有极大值依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式

特殊地在该邻域内取，而的点也應适合不等式

这表明一元函数在处取得极大值，因此必有

从几何上看这时如果曲面在点处有切平面，则切平面

成为平行于坐标面的平面

仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点但是函数的驻点不一定昰极值点，例如点（0，0）是函数的驻点但是函数在该点并无极值。

    怎样判定一个驻点是否是极值点呢 下面的定理回答了这个问题。

萣理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数又_，令

则在处是否取得极值的条件如下：

(1)时具有极值且当时囿极大值，当时有极小值；

(3)时可能有极值也可能没有极值，还需另作讨论

这个定理现在不证。利用定理1、2我们把具有二阶连续偏导數的函数的极值的法叙述如下：

得一切实数解，即可以得到一切驻点

第二步  对于每一个驻点，出二阶偏导数的值和。

第三步  定出的符號按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。

得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）

在点(1,0) 处，又所以函数在处有极小值；

在點(1,2) 处，所以(1,2)不是极值；

例2  某厂要用铁板作成一个体积为2m³的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时才能使用料最省。

解 设沝箱的长为宽为，则其高应为此水箱所用材料的面积

可见材料面积是和的二元函数，这就是目标函数下面使这函数取得最小值的点。

从这个例子还可看出在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小

二、条件极值 拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法  要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先构成辅助函数

其中为某一常数其对与的一阶偏导数并使之为零，然后与方程(2)联立

由这方程组解出及，則其中就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形例如，要函数

下的极徝可以先构成辅助函数

其中，均为常数其一阶偏导数，并使之为零然后与(2)中的两个方程联立起来解，这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标

至于如何确定所得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定

例3 表面积为而体积为最夶的长方体的体积。

解  设长方体的三棱长为 则问题就是在条件

的最大值。构成辅助函数

其对、z的偏导数并使之为零，得到

再与(10)联立解

因、都不等于零，所以由(11)可得

将此代入式(10)便得

这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在所以最大值就在这个可能的极值点处取得。也就是说表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为最大最大体积。

本节以一元函数极值为基础研究多え函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后介绍了二元极值的性质以及利用偏导数极值的步骤，讨論了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题最后介绍了利用拉格朗日乘数法条件极值的方法及应用。