《张量及其力学应用》由会员分享可在线阅读，更多相关《张量及其力学应用（145页珍藏版）》请在人人文库网上搜索

1、张量及其力学应用 西安科技大学建工学院 贠永峰,1 矢 量 1.1矢量表示方法 1.2指标符号 1.3矢量代数 1.4坐标变换 1.5 梯度、散度与旋度,1.1矢量表示方法 运动物理中的位移、速度、力都是矢量。 最直观的表示法：三维空间中的有向线段（图示法） 特点：这种方法不依赖于坐标系的选择 （表示在一张图上的物理矢量，但是有些不同的矢量事实仩 是属于不同的矢量空间） 分量表示法：先选定一个坐标系，比如通常的正交直线坐标系 即卡氏坐标系，然后确定矢量对于这个坐标系嘚分量：,有序数可以看做单行矩阵,（1-1.1）,矢量用基矢与其对应分量表示 其中 称为分矢量 是单位矢量，它们组成卡氏系

2、中的一组基矢(称為标架)。 1.2指标符号 （1.1中的矢量表示方法推广到多维空间存在困难） 记法 3维空间的矢量（速度） 变为 一个N 维空间的矢量(图示画不出来)用分量表示时为： 它可视为一个N 维的单行矩阵且可写为,（1-1.2）,（1-2.1）,（1-1.3）,（1-1.3）,（1-2.2）,同理，基矢 可分别写为 或者 N 维空间的基矢可写为： 与(1-1.2)式对应的寫法为 相应的分矢量为 其中 顺序第 个 叫做 的下标。 有些量比矢量更复杂只用一个下(或上)指标还不够，要采用更 多的指标如 张量就是这種形式的一种量。,（1-2.4）,1.3矢量代数 矢量运算 1.矢量的加

3、法 矢量的加(减)法运算在图形 表示法中，可以采用三角形法或 平行四边形法 分量表示法 用指标记法 用基矢表示 根据以上所述几种表示方法容易看见矢量的加法满足交换律,（1-4）,（1-5）,（1-3）,（1-6）,三角形法,2.矢量的标积和叉积， 和 苻号、并矢 矢量代数中的积可以有几种定义总之，是从两已知矢量去定义第三量下定义时当然最好同已知的物理规律相联系。 (1)标积和Kronockor苻号 标积 从物理学知道一个力矢量 与一个位移矢量 可以确定一个标量 功 记作 ，又称点积 用指标符号 最后一个等式在 符号下 有两个同样嘚指标 。 求和约定 符号 可以不写出凡在一项中有一对。

4、相同的指标就认为对这一指标遍历求和。求和所得的结果不再含有这一指標。,（1-7）,（1-8）,另外又因为求和结果既然不包括所求和的指标，那么这一指标在运算中间写成什么别的指标也不会影响结果 这一记法可鉯推广到N 维空间，即 代表 也可以推广到用指标符号表示的其它物理量，如 只要注意将一对求和指标同时替换如(1-9)式 换成 ， (1-10)式中 换成 换 ，它们的含意都是相同的即 （相同的指标叫做哑指标，其他指标为自由指标） 与(1-9)式对应当分别用基矢表示 时，可写为,（1-10）,（1-9）,（1-11）,（1-12）,令 为相互垂直的单位矢量 由点积的定义知 所以。

5、有,（1-14）,称为Kronecker符号对于N 维向量扩大变程为 于是N 维空间的点积为： (1-2)式单位矢量 为 ， 为 僦可以将其分量分别写成 推广到N 维，而写成 (2)叉积和置换将号 矢量第二种积也与实际有联系用两个矢量作为邻边，可以 构成一个平行四邊形这个平行四边形有面积，间且还可规定一 个法线正方向可以定义矢量的积就等于这样规定的平行四边 形面积。记为 并定义为,(1-13),（1-15.1）,显然,矢量的方向为此平行四边形用右手螺旋定则所确定的正法线方向。这样定义的积是矢量故叫矢积，也叫叉积 与(1-11)式的定义点积的方式对比，用基矢表示 时的叉积可写为

6、 互相垂直的单位矢量，由 和上式知,（1-15.2）,（1-15.3）,引入符号 上面九个式子(1-15.3)可用一个式子概括：,（1-16）,稱为置换符号，利用符号 于是 (3) 与 的关系 由定义 左右两边点乘 得,（1-17）,（1-18）,左边就是矢量的混合积。它的物理意义是以 为个棱而形成的正立方体的体积 以矢量 为棱的平行六面体的体积V (注意矢量的次序)可用行列式,（1-19）,给出。因此考虑到(1-14)式可得,（1-20）,(4)并矢 矢量积还可以有别的定義方法， 比如矢量 直接放在一起成 以及 这可以叫作直接乘积或并矢，因为它们是将两个矢量并排放在一起的但是这样。

7、定义的乘积囿何意义?有何性质?（第二章讨论） 总之，上面按不同的定义矢量的积得出三种不同的结果有 标量，矢量并矢,1.4坐标变换 1.三维空间坐标變换 考虑三维空间的两个正交直线坐标系(笛卡尔坐标系)，并 设原坐标系为 其基矢(标架)为 。又设 变换后的新坐标系为 其基矢(标架)为 。 设┅矢量 用旧坐标和新坐标系表示分别为 用 点乘（1-21）左右两边，得 记为,（1-21）,（1-22）,（1-23）,为新坐标轴对旧坐标轴的方向余弦,利用 记号还可以寫出新旧坐标的关系。比如矢径 在新、旧坐标系上表为 ，左右两边点乘 后得 利用 得 如果求矢量分量从新坐标到旧坐标的变换式，

8、 （或 ）点乘（1-21）,（1-24）,（1-25）,（1-26）,而用新坐标表示旧坐标的关系式与(1-24)对应有：,对于基矢也有,（1-27.1）,（1-27.2）,应当注意 ，此两式虽然形式与(1-22)、(1-25)相同但這里(1-27)表示的是基矢。 变换成 基矢旋转一个角度。 而(1-22)、(1-25)两式所表示的是矢量本身没动，只是由于坐标系变化而改变了分量的值 由符号萣义，显然 综合(1-22)及(1-25)两式还有 由此得出,（1-28）,（1-29）,矢量判别准则 概括式(1-22)与(1-25)，可知矢量在坐标变换前与变换后(或其逆)只差一个 符号的因子，

9、这是矢量的一个性质。反过来也可以说如果一个具有单一指标的量 ，在坐标系变换前与坐标系变换后的分量之间由(1-22)或(1-25。)式联结則此单一指标的 ，必定是矢量 单纯从一个量有分量。 或( ， )并不能断定它就是矢量只有当分量服从(1-22)或(1-25)式的才是矢量。这个条件是一个矢量要满足的充分必要条件可以作为矢量判别法则，也可以作为矢量的定义： 如果有一组有序量 (i=12.n)，在坐标变换时服从(1-22)式： 则称有序量 (i=I、2n)为矢量,2 坐标变换的矩阵记法 矢量 的矩阵表示 行矩阵 列矩阵 坐标变换系数，如写成矩阵形式则(1-23)中的 和（1-。

10、25)式中的 分别为,（1-30.2）,（1-30.1）,（1-32）,（1-31）,（1-29）式可以写成,（1-33）,即两个 矩阵互为逆矩阵而且可以看出，在现在的情况下由于（1-28)式逆矩阵刚好是转秩矩阵。,1.5 梯度、散度与旋喥 采用指标符号时求导运算记为 于是梯度 利用(1-26)式： 得 或写成 由于 即 再由(1-22)式知 是矢量。,（1-34）,（1-35）,散度 旋度 用指标符号 当k=1时 故 即通常旋度的苐一分量 亦即一般表示的,（1-36）,（1-37）,2 笛卡尔张量,2.1 张量的概念与表示方法 2.2 张量的代数运算 2.3 商定理(张量识别定理） 2

11、.4 二阶实对称张量的性质和鈈变量 2.5 各向同性张量,2.1 张量的概念与表示方法 1 定义 矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。 自然界还有比矢量更复杂的量固体中一点嘚应力状态描述共九个分量值。 有二重或多重方向性的量称为张量。 张量可以把它看作矢量概念的一种推广 但是矢量的表示方法不是嘟可以用来表示张量。 矩阵表示法能推广成以多行多列矩阵来表示张量； 写出分矢量之和的(1-26)式也能推广用来表示张量； 将判断一组数是否构成一个矢量的判断式或定义式(1-22)加以推广，可以用来判断或定义一个张量,矢量到张量推广实例 由(1-26)式一个矢量v， 在选定的坐标系中可表為 而

12、由(1-21) 式在经过变换的另一个坐标系中，则可表示为 他们之间的关系按照 写为 写成通常式,（2-1）, 表示 ， ,在 坐标下 在 坐标下 但表示的昰同一个矢量 矢量的另一个定义： 如果在正交直线坐标系 中的一组有序量集合 当坐标系变换为 按(2-1）式变 那么这组有序量集合，就叫做“仿射正交”矢量 矢量的推广-张量 张量的定义（之一） 如果在正交直线坐标系 中的一组矢量集合 当坐标系变为 时，按下式变为矢量,（2-2）,那么這组矢量集合 叫做二阶仿射正交张量记为 。 与(1-2.2) 对应也可将 记为： 上式就是并矢，要注意并矢的次序 2 弹性应力张量的例子,（2-3）,作。

13、鼡在 外表面,作用在 外表面,作用在 外表面,作用在 外表面,设 点是弹件体内的一点在此点附近取一个四面体,这些力不一定垂直作用面,为面元 的囸方向 为面元 上的应力 为面元 的面积,为面元 的面积 为面元 的面积 为面元 的面积,由牛顿第二定律 即 静力时,以 除以上式 为任意方向，取新坐标系 的方向时 就有,（2-4）,如果写成指标形式则上式即(2-2)式。这就证明矢量集合是符合张量定义的是一个二阶张量。,3 张量的矩阵记法 的意义 表礻作用于一个单位面积(此面积以ox轴为法线方向)上的力此力并不一定在ox方向。设它有三个量记作 。 第一个下标x表示作用于法向为x方向的那个面元；

14、 第二个下标表示是哪个方向的分量。 一般理论 把张量的这个矢量集合 所有分量都写出来 并换成指标记法：,（2-5.1）,写成矩阵形式 为张量的分量，这正是矢量矩阵表达式的推广 4 张量第二定义 (2-2)式是矢量集合到矢量集合的变换关系，还不是从旧坐标系中的九个分量箌新坐标系九个分量的变换关系 分量到分量的变换关系推导,（2-6.1）,由（2-5.1）得新坐标下的分量表达式 与（2-6）式对应有 将它们都换成i,j 指标，并采用求和约定,（2-5.2）,（2-6.2）,（2-7.1）,（2-8.1）,（2-7.2）,（2-8.2）,将（2-2）式写成指标形式 并将 的分量形式 代入上。

15、式得 两边点成 注意：推导时由原始推导出嘚 ，当变换一次位置时请将下标调换。,（2-9.1）,此式的特点是右边有两个 因子这正是二阶张量在坐标变化时的规律，也是“二阶”张量名詞的由来 这就是二阶张量在坐标变换时的分量变换式，也可以作为二阶张量的定义 如果有一个两指标的集合 ，在坐标系变换时变为另┅两 指标集合 又如果此变换遵照两个多因子的法则，则称此两指标集合为二阶张量 此方式的定义的进一步推广 如果有一个无指标量 ，茬坐标系变换时遵从0个 因子法则： 等于1则称此量力为零阶张量，即标量 如果有一个单一指标集合 ，在坐标系变换时遵从一个 因子法則(1-22)：,（2-9.2。

16、）,（2-9.3）,此集合 为一阶张量即矢量。如果 的变程是从1到2就叫一阶二维张量。从l到3就叫一阶三维张量 如果有一个n 指标集合 (其Φ每个指标 可从l，2变到 )在坐标系变换时，遵从 个 因子法则： 则称集合 为 维空间的 阶张量 这样就得到了一个包括标量和矢量在内的广泛嘚张量概念。 5 张量与矩阵的关系 单一指标不一定是矢量： 两个指标也不一定是二阶张量。 如果不遵从 因子变换关系就不是张量。,（2-9.4）,②阶矩阵与二阶张量的关系也是如此从(2-6.1)和(2-6.2)中看到，二阶张量可以用分量写成矩阵的形式但张量和矩阵不是一回事。从上面的讨论知道它们两者有关。

17、系但本质上又有差别。 可以用矩阵形式表示的张量也只有零阶、一阶、二阶张量。 更高阶的张量无论如何也是无法写成矩阵形式,6 用并矢表示张量 二阶张量除了用分量，用矩阵的形式表示之外还可用2-3)式那种并矢的方法表示。它是(1-26)式的推广 仍用前媔弹性应力的例子，进一步把该式写成分量表达式,将(2-5.1)式代入(2-3)式 规定矢量的并积遵从分配律，可写,（2-5.1）,（2-3）,（2-10）,这样表示的张量与前面关於张量的第一第二定义是一致的。 张量 在旧坐标系与新坐标系中的表达式 规定任做点积、差积运算时并矢中的每个 或 可以独立看待 因為 ，进行点积、叉积运算时要分。

18、清是从左面还是从右面乘的并分别叫做左乘或右乘。 用 右点乘（2-11）两端 再用左点乘上式,（2-11）,证明叻在所作的一系列关于 的运算规定之下表达式(2-10)也是张量。 例1 此例表示诸分量之中只有 ，其余为 写成矩阵,（2-12）,在坐标系变化时 由(1-29.1)式（ ），此式等于 这相当于在新坐标系仍有 称为单位张量。 例2 分析并矢 和 的分量分别为 和 用基矢表示,（2-13.1）,用矩阵表示 在坐标系变化时，由矢量遵从一个因子的变换法则有 所以 可看出并矢的分量(两个指标)遵从两个 因子的变换法则，故写成矩阵的形式(2-14.1)或写成基矢的并矢形式(2-13

19、.1)，它们表示的都是张量 和 表示的是不同的张量，因为,（2-14.1）,（2-13.2）,用矩阵表示 与 比较 是 的转置矩阵。 但 也是张量 2.2张量的代数运算 张量嘚加、减、乘等运算，其中还有一种对张量指标的置换 1 张量的指标置换 张量特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算,（2-14.2）,二階张量的指标置换： 这是将原来张量矩阵第 行第 列的元素，换成新张量第行第 列也就是将原来代表 的矩阵换成转置矩阵 。 记作 指标置换後所得的新集合仍是张量，称为原张量的共轭张量 如果 即 为对称张量。 如果 即 为反对称张量 三维的二阶张量可表示为三行三列矩阵，共九

20、个独立分量。 对称张量 三个独立方程 只有六个独立分量 反对称张量， 六个独立方程只有三个独立分量。,（2-15）,三阶或更高阶張量进行指标对换也构成新张量。也可构成 对称张量与反对称张量 表示一个张量对哪几个指标是对称的，用圆括号括出 表示 对调时張量不变。 表示这三个指标任意对换张量仍不变。 用方括号表示哪几个指标是反对称的它们之间对调，张量就反号 表示反对称二阶張量 表示反对称三阶张量，任意对调其中两个指标张量都反号。 张量的对称性和反对称性在坐标系变换时能继续保持。 2 张量与常数相塖 张量与常数相乘即每个分量乘一个常数。,（2-16）,3 张量的加减 张量的加法

21、用分量的加法定义： (2-18) 为两个待加张量之分量， 为求得之新元素 两待加张量的阶数与维数均须相同。 张量和遵从交换律也遵从结合律。 张量之差的定义与和的定义完全相似 4 张量的分解 设有一个②阶张量 则由,（2-19）,（2-20）,为对称张量之元素 为反对称张量之元素。 将原张量分解为两个张量之和其中一个为对称张量，一个为反对称张量 如果张量是一个并矢 ： 则其对称部分为 其反对称部分为 。 矢量 与矢量 的叉积为 可见张量 的反对称部分等价于两矢量叉积的1/2倍。这样僦把叉积与反对称张量联系起来。,从一个张量 找出对称张量的过程叫对称化 从一个张量 找出反对称张量的。

22、过程叫做反对称化 对三階张量 或更高阶张量，也可以对称化或反对称化； 从而得出新的对称张量或反对称张量：,（2-22）,（2-21）,5 张量的乘法 张量的乘法又叫张量的外積或直积。任何阶的几个张量都 可施行乘法运算其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个 张量的每一个分量，不难证明它们所组成嘚集合仍是一个张量 叫做原两个张量的积张量。积张量的阶数等于两相乘张量的阶数 之和 考虑二阶张量 乘一阶张量 。根据张量乘法定義得三阶张量 记作 很明显，三阶张量 两者的关系是指标置换的关系。可见张量的乘积不遵从交换律。另一方面从乘法定义可知张量的乘法满足结合律。 乘法与加法的组合满足分

23、配律,（2-23）,（2-24）,6 张量的缩并 这是张量所特有的又一个代数运算。 对 阶张量 进行缩并就昰对其中两两相同的指标按求和约定求和。 缩并之后仍是张量其阶数比原张量低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定 二阶张量縮并是标量。低于二阶的张量不能进行缩并运算,三阶三维张量 的缩并，将第一指标与第三指标缩并即： 三阶变成了3-21阶。此单指标的集匼是一个矢量或一阶张量 在坐标系变换时，原三阶张量 服从三个 因子的变换式,令 并对 求和得 由 代入上式 时 此为 一阶张量的变换公式,7 张量的内积 张量的内积，又叫张量的连并它是两个张量进行外积之后 再施以缩并运算(将一个。

24、相乘张量的某一指标与另一相乘张量的 某┅指标缩并假定这一指标的维数相同)，形式上与两个量矢量的点积两个矩阵的积相同，所以又叫张量的点积 和 ，它们的积(或外积)是,（2-25）,它们的连并为 和 它们的积是 它们的连并为 n是张量的维数连并的结果，仍是张量 最简单的连并就是对矢量 的连并,（2-26）,这是一个标量。矢量的连并即为内积或标量积 矢量连并后是标量，与矢量的次序无关； 其他张量的连并不服足交换律但好几个张量连并时，满足结匼律 如果两个张量A与B同阶同维，其中一个是对称张量另一个是反对称张量， 则它们的连并为：,如果两个张量A与B同阶同维 一个是对称张量 一个是反对

25、称张量 它们的连并为： 8 并矢与多重矢的问题 并矢与多重矢都是张量，即使是一般张量也可用多重矢之和表示 对于张量囷，如是多重矢则须是同空间，同阶多重矢才能 求和 或者写为,（2-27）,（2-28.1）,对张量的外积有 对张量的缩并，有 对张量的连并有 显然，张量的连并不服从交换律如 而,（2-28.2）,（2-28.3）,（2-28.4）,与上式比较，如 为非对称张量 则 2.3 商定理(张量识别定理） 按照一组量在坐标系变换时是否遵从幾个 因子的变换法则来判定是否为张量，为定义法根据连并规律，还可以提出另一个张量判别的法则 设有一组张量方程 其中 是已知的彡阶张量， 是已

26、知的二阶张量，则由此二张量连并所得的 肯定是一阶张量。 反过来如果巳知 是张量， 是张量它们与另一组张量 經由如上公式连接，此公式在新旧坐标系下皆成立问 是否一定是张量?答案是肯定的，但还有一定的条件 证明结论,在新坐标系下，有 因 、 是张量 而 故 移项得 此方程组以 为自由指标共N个方程每个方程中含方括号的乘积项共N个，这些项相加在一起互相耦合，十分复杂但昰，在某种条件下即在 为任意的条件下，方括弧元素等于零即有 满足三个因子，是三阶张量,商定理或商法则； 设 为一个任意 阶张量， （假如 ）为待判断的一个量(不知是否张量)如果连并 而所得的 为一个 阶张量，则量

27、 必为一个 阶张量。 例 一标量 的全微分 为标量(0阶张量) 为任意矢量（ 一阶张量）故根据商定理 为一阶张量。,2.4 二阶实对称张量的性质和不变量 经常应用的张量都是二阶张量 任意二阶张量，叒可分解为一个对称张量与一个反对称张量之和 1 二阶实对称张量与反对称张量 设有实元素 所组成的二阶三维张量，满足 用矩阵形式写絀为 叫做二阶三维实对称张量。 共有六个独立分量； 二维时有三个独立分量；,（2-29）,如果二阶三维实张量满足 用矩阵形式写出为 式中已使 總共只有三个独立分量： 二维时，有一个独立分量； 张量的对称与反对称性质不随坐标系而改变。 2 矩阵形式下二阶张量的代数运

28、算 ②阶张量可以写成矩阵的形式，在写成矩阵的形式下张量与张量的和、差、数乘，连并都可按矩阵的算法表示 以三维为例,（2-30）,1）和,3）連并,2）数乘,（2-32）,（2-31）,4）连并（矢量） 此时将矢量 写为列矩阵，而有 此运算是用 左点乘 或用 右点乘 所得的列矩阵。 若用 左点乘 将 写成行矩阵： 所得仍是一行矩阵，显然 ,（2-33.1）,（2-33.2）,3 二阶实张量的分解 二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分之和。 在弹性体中对称张量与变形联系，反对称张量与转动对应 而一个二阶三维张量还可分解为球张量与偏张量之和 设有二阶三维张量 令 并称 为球形张量。

29、哃时称 为偏张量。于是有 即张量 为球张量 与偏张最 之和,（2-36）,（2-35）,（2-34）,弹性力学 球张量引起体积变化； 偏张量引起形状变化。 叫作张量的跡 这种 还可推广到N 维，即方程主横排竖排对角线相加等于18上元素之和 张量的迹是一个不变量，即在坐标系变换时其值不变。 由张量嘚变换性质： 由于 和 得 这一不变量叫作二阶张量的第一不变量并用符号 表示。二阶张量还有其它不变量,（2-37）,（2-38）,4 张量的主轴、主值和鈈变量 一个二阶三维张量 与一个矢量 的点乘运算可以得到一个新矢量 。它是原矢量 进行放大(或缩小)并加上旋转得到的 对于一个给定的 ，能否找到某一个方向的

30、一个矢量 ， 使得 经 点乘运算得到新矢量 与在同一个方向只是经过放大，即能否找到 使下式成立 把符合这个要求的 的方向称为张量的主轴或主方向 称 为 的本征矢量，称 为张量的主值又因可将 看作一个 对 作用的算子，所以 可叫做 的本征值显然，这个方程的成立不受坐标系选择的影响 将(2-39.1)式写成三个代数方程,（2-39.1）,或 方程组对 是一个齐次方程组，要想使它有非零解只有其 系数行列式 为零，才有可能即：,（2-39.2）,（2-39.3）,（2-40）,张量A的特征方程,(2-40)是实系数的奇次方程，必至少有一个实根用这个实根代入(2-38)就求出对应的一个 。

31、讨论另外两个根的情况。 就是前面所说的主横排竖排对角线相加等于18上的系数之和叫做第一不变量。 (2-40)是一个标量方程 、 都是标量， 一次项的系数及零次项的系数都应是标量即其数值与坐标系的选择无关。 对于这些标量系数分别令 张量 第二不变量 张量 第三不变量 鈳知 对于实二阶张量 ，这些不变量都是实数,（2-41.2）,（2-41.1）,假如 是对称张量，设 。 (其中mn1，23)是(2-39)式的两个不同根， 和 是与这两个不同根通过(2-39.2)式相联系的本征矢量 由(2-39.2) （2-42.1）点乘 ，（2-42.2）点乘 两式相减得 利用哑指标成对改写不影响结果得到 。

32、或者,（2-42.2）,（2-42.1）,当且仅当 是对称张量时方程左边为零。于是 如果 则 结论：对于二阶对称张量属于不同本征值 、 的本征矢量是相互正交的。 观察二阶实对称张量的主轴主值囷本征矢量的意义 研究二维，设空间为二维二维二阶张量 二维矢量 消失在 了,（2-43）,（2-44）,（2-45）,作标量 即 或者 这是一条以原点为中心的圆锥曲線的方程。在一定条件下 就是椭圆。 对于一个以原点为中心的椭圆曲线有长轴，短轴长轴与短轴的两个方向互相垂直。 对坐标系作囸交变换, 方程式的关系不变 其中 是标量不变。张量的主值 也是标量，也不变 总可以选择坐标系 使椭圆方。

33、程标准化,（2-46.2）,（2-46.1）,（2-47.1）,（2-47.2）,椭圆的半长轴和半短轴分别为： 张量的主值 利用方程(2-39.1.2)求方向主方向 新坐标 或者 当 时， 即单位本征矢量为(1，0)与长轴方向一致当 时， 即单位本征矢量为(0，1)与短轴方向一致。本征矢量的方向即主方向同理，可知三维时为一椭球,3 应力张量和应变张量,3.1应力张量 3.2柯西(Caucky)應力公式 3.3应力张量的对称性 3.4正应力 剪应力 主应力 3.5运动方程 平衡方程 3.6应力张量的坐标变换公式 3.7应变张量 3.8 一点的应变状态 3.9主应变 3.10应变协调。

34、方程,3 应力张量和应变张量,3.1应力张量 张量作为一种工具探讨应力本身的性质 按照柯西应力原理（不考虑应力偶） 1）在连续体内，不同点处嘚应力一般不 同即便在方向相同的截面上；（x） 2）在同一点，方向不同的微小截面应力一般也不相同。（n） (3-1)式中的应力是点的位置x和截面方向n的函数,（3-1）,（3-2）,图3-1,固定 而改变 就得到过一点的不同面上的应力，这就是一点的应力状态； 改变 得到不同点的应力状态构成应仂场。 均匀应力状态 当(3-2)的关系式不包含 时应力场与点的位置无关。 各向同性应力状态 当(3-2)的关系式只是x的函数而对所有 都相同时应力场呮是。

35、点的位置的函数 应力张量 的九个分量记作 第一个下标表明力矢量所作用的 面元(以外法线方向表示面元的方向)； 第二个下标表示仂矢量在那个方向 上的分量。,图3-2,分别为垂直于外法线方向为 的面元的应力（正应力）； 另外六个应力 在它们的作用面内（剪应力） 3.2 柯西(Caucky)應力公式 2-2中 从四面体元质心受力出发，应用牛顿第二定律得到公式(2-4)。 改变一下符号公式(2-4)可写成,为法线的面元上的力 为法线的面元上的仂 为法线的面元上的力,（3-3.1）式,图3-3,（3-3.1）式写成分量形式 用 代替 表示弹性体中的应力，上式变为： 表示单位矢量 的 分量 （3-

36、3.2）矩阵表示,（3-3.2）,（3-3.3）,或者 此时 （柯西应力公式） 由此公式，只要知道应力张量 可对任意 的求出 。 柯西应力公式对加速运动和存在体力的情况也仍然是适鼡的 3.3应力张量的对称性 当物体处于平衡状态时，除合外力为零的条件外还应有合外力矩为零的条件。以四面微分体作为研究对象 设 昰通过微分截面 的重心 ,且平行于 轴的直线，由于点 在其它三个面上的投影均与这三个面的重心重合所以 面的重心 与其它各面的垂直距离汾别为，,（3-3.3）,图3-4,以 为转轴对轴线 的力矩方程为: 即得 同理有 写成哑指标 （3-4.2）式称为剪应力的互易定律。它表明应力张量是

37、对称张量。即一点的应力状态实际上只需要六个应力分量便可确定。 3.4正应力 剪应力 主应力 总应力 ,一般来说不与所取截而 的法线方向重合; 在 面上的法线方向投影(或分量)为该面上的正应力 ; 在 面上的切向投影为该面上的剪应力 。,（3-4.1）,（3-4.2）,1 正应力 由矢量运算法则正应力为 的分量表示式 ，即 ； 的分量表示式 所以 将（3-3.2）代入得 其展开式为 写为矩阵形式 2 剪应力 根据矢量运算法则，有 因为 的大小为 ,方向为 所以 可以用 表示，,（3-5.1）,（3-5.2）,（3-5.3）,（3-5.4）,代入上式可得 分量表示 展开式 大小为 另。

38、一求法 此式在事先求得 与 的情况下用起来十分方便。 3 主应力 微分截面可有無穷多的取向适当选取微分截面，使该面上只作用有正应力而无剪应力则此时该面上的正应力就是总应力。此截面称为主微分面主微分面上的总应力称为主应力。,（3-6.1）,（3-6.2）,（3-6.4）,（3-6.3）,（3-6.5）,主应力 在正交坐标系各轴上的投影为 等于主微分面上总应力在各坐标轴上的分量。 则 而 上式可写为 按哑指标展开 式中 之间存在如下关系： 由（3-8）和（3-9）式可知，若一点的应力张量为已知由此二式求出该点的主应力忣主方向。要使方程组(3-8)有解则必须是这方程组的系数行列式等于。

39、零,（3-7）,（3-8）,（3-9）,其中 (3-11)式即为在已知某点应力张量的情况下，求解該点主应力的特征方程式对于弹性力学问题，可证明(3-11)式有三个实根 就是所求解的主应力。 分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量,（3-11）,（3-10）,（3-12）,将所求得的主应力值代入（3-8）式，并考虑 可求出对应各应力主值的方向余弦(或主方向)。 方向余弦之间存在着一个特殊關系它们彼此是相互垂直的。 证明 设 的方向余弦为 和 将其代入（3-8）式，得 对（3-13）式各分式分别乘以 对（3-14）式各分式分别乘以 则有,（3-13）,（3-14）,将此六式相加。

40、可得 的值不一定相等，要保持等式成立必有 (3-17)式是主应力 的主方向相互垂直的条件，或者说 作用的主微分面相互垂直 同理，也可证明 此时 ，如果,（3-16）,（3-15）,（3-17）,则由(3-17)式可知 ， 而 并不一定垂直，它们之间的夹角可以是任意数值 如果 则空间任意方向部可以是主方向。 主应力表示的应力张量不变量 如果选用应力主轴为正交坐标系的三个坐标轴则因为此时应力张量中的剪应力分量均为零，正应力分量即为三个主应力值因此应力张量成为 相应地，应力张量的不变量(3-12)式变为,（3-18）,应力椭球 三维二阶实对称张量对应於一个椭球。对于应力张量此。

41、椭球在以主方向为轴的坐标系中表达式简单。 椭球的方程 在此坐标系中应力张量为（3-3.3） 任一截面上嘚应力矢量（3-3.3） 即 （3-21.1.2.3）变换得,（3-19）,（3-20）,（3-21.1.2.3）,（3-22.1.2.3）,又因 所以 此即为一个形式最简单的椭球方程叫做拉梅应力椭球。它 表示过任一点的任意截面上的应力矢量的矢端位于以三个主应力为对称轴的一个椭球面上。 3.5运动方程 平衡方程 当物体所受的合外力不为零时物体将沿合外仂的方向产生加速度。连接合外力加速度之间关系的是牛顿第二定律 物体在外力作用下的运动方程 设想在弹性介质中，取任意一闭合面 面内包围。

42、的体积为 如果 内单位体积的介质受到的体力(重力等)为 ，其中 为介质密度 为单位质量的介质上所受到的外力，则 内介质受的总的体力为 除体力外，闭合面内的介质还将受面力的,（3-23）,作用设在闭合曲面上的任意点选取一面元 ,如果 上的总应力(单位面积上的仂)分量为 ,则 面上外介质对内介质的作用力是 。而整个闭曲面上外介质对内介质的作用为 因此，闭合面内的介质所受的合力为 如果介质内各质点之间的相对位移忽略不计(根据小变形假设)且以 表示 面内某点的位移矢量，根据牛顿第二定律有 将 代入上式得 利用高斯定理 上式化為 或者,（3-24）,（3-25）,由于 面是任意选取的可令。

43、它收缩为一点此时有 此式即为所讨论的运动方程的微分表示式，它揭示了物体内某点力與加速度之间的关系 将其按哑指标规则展开，则有 如果位移场不随时间改变即 （3-26）变为 此式即为平衡方程的微分表示式 其展开式为,（3-26）,（3-27）,（3-28）,（3-29）,3.6应力张量的坐标变换公式 应力张量的坐标变换，是指在不同坐标系中描述同一应力状态时应力张量不同表示之间的变换關系。 应力张量的坐标变换公式推导 设所考察的空间任意点 与原坐标系 的原点 及新坐标系的原点 重合新坐标系 的各轴对原坐标系 各轴的方向余弦如下表。,新坐标系 可视为原坐标系 旋转所致新坐标系的各轴分别表示。

44、原坐标系中的三个方向 假设以 三个方向为外法向，茬 点的极近处裁取三个微分截面此三个微分截面的外法向分别为 以 轴为外法线截取 微分面，根据任意截斜面上总应力的分量公式(3-3.2)式以 為外法线方向的微分截面上的总应力分量为,（3-30）,图3-5,这是以 轴为外法线方向的截面上的总应力在原坐标系 轴上的分量。因为 轴相互垂直所鉯 一定在微分截面 上。所以若将 投影在新坐标轴 上，便得以 为外法线方向的截面的三个垂直分量 即,（3-31）,（3-32）,哑指标表示 此三个分量就是鼡新坐标系表达原坐标系的应力张量 时在以 轴为外法线方向的截面上的三个应力分量。 同理可以得到另外两个

45、坐标轴为法线的截面仩的应力分量,（3-33）,（3-34）,（3-35）,综合（3-34）（3-36）的矩阵关系可用下列矩阵表示 (3-37)或（3-38）式即为应力张量的坐标变换式。,（3-36）,（3-37）,（3-38）,3.7应变张量 1.位移場 设正交坐标系 中有一物体 在外载作用下物体发生位置的改变和变形，使 变成 内任一点 移到了 点。构成 与 的质点一一对应因此 应是 嘚单值连续函数。即 物体 到 的位移场为 由此位移场 也 是向径 的单值连续函数。 设在物体 内与 点相邻有 点 在外力作用下 点移到 点，相应哋 点移到 点 点的位移为 ， 点的位移为 点的位。

46、移与 点的位移关系,（3-40）,（3-39）,图3-5,将 改写成 将 改写成 。由于 点十分接近于 点 为一阶无窮小量，所以可以对 进行泰勒展开只取一次项，有 将上式右端加、减 项得 令 （3-42）式变为 为应变张量， 为旋转张量 （3-43.1.2）分别按哑指标展開,（3-41）,（3-42）,（3-43.1.2）,（3-44）,可知应变张量为对称张量，旋转张量力反对称张量 （3-44）式还可以写成矩阵形式,（3-46）,（3-45）,由(3-44)或(3-47)式可知， 点的位移 等於 点的位移 与另外两项之和如果弄清另外两项的物理意义，就可进一步明确 点位移与 点位移

47、之间的关系。 2.应变张量 应变张量对角元素 的物理意义在位移场图中，按哑指标规则 点的位置矢量 可以用 表示， 点的位置矢量 可以用 表示 点的位移 可以用 表示，线元 （AB）可鉯用 表示 可以用 表示。,（3-47）,由图可以看出 两边微分得 两边平方，得 利用 上式可化为 对三维物体而言，当形变很小时也就是当 ，可畧去 的二次项 上式变为

48、,（3-55）,（3-56）,写成 为线段 的线应变。若以 表示则(3-57)式成为 按哑指标规则展开 应变张量横排竖排对角线相加等于18元素嘚物理意义 当线元 原来在 方向上时，则 因此有 当线元 原来在 方向上时，可得 很明显 是 方向上的线段沿各自方向的线应变或相对伸长量。,（3-57）,（3-58）,（3-59）,（3-60.1）,（3-60.1.2）,应变张量中非对角元素的物理意义 先讨论 前面讨论过 为 点的位移， 为 点的位移根据泰勒展开有 如果线元 在变形前沿 方向，则 点的位置为 点的位置为 。此时(3-61)式成为,（3-61）,（3-62）,同样如果线元 变形前沿 方向，则有

49、 右图， 即为变形前沿 方向的线元 为变形前 沿 方向的线元。变形后 成 为 成为 ， 表示 线元 变形后的角度改变量 表示线元 变形后的角度改变量。 几何表示 小变形时 很小,（3-63）,（3-64）,（3-65）,图3-6,式中 于是有 小变形时 比1小的多所以 同样求得 从而得,点在 方向上的位移减去 在 方向上的位移,（3-66）,（3-67）,（3-68）,（3-69）,由剪应变的定義可知， 为平面 内剪应变同样可证明另外两个平面内的剪应变 。(注意与工程应变的区别) 可见在应变张量的九个分量中，横排竖排对角線相加等于18元素分别表示物 体沿各坐标轴方向上的线应变而非对角元素分别表示与。

50、各坐 标平面平行的面上的剪应变 3.8 一点的应变状態 在(3-41)式中不加、减 ，描述空间任一线段 的位移表示式仍为 当 取1时 表示 点的位移在 轴方向上的投影； 表示 点的位移在 轴方向上的投影。由圖可以看出 是线段 的改变量在 轴上的投影。它包含着线段伸长与角度改变的综合成份,（3-70）,图3-7,设 由（3-70）可得 上式两端除以 根据应变的定義，可知 的意义为线段 由线量伸长(线 应变)与角量改变(剪应变)而引起的“总”的形变在 轴方向上的投影以 表示，又因 同理,（3-71）,（3-72.1）,（3-72.2.3）,将(3-72)式写成哑指标 矩阵形式为 其中 称

51、为相对位移量，它可以分解为如下的两个张量,（3-73）,（3-74）,即分解出的两个张量分别为应变张量和旋转张量 由上面的讨论可以看出：表现“总”的应变(形变)在各坐标轴上分量的(3-74)式与表现总应力在各坐标轴上分量的（3-3.3）式完全相似，不同的只昰相对位移张量不是对称张量因为在一般情况下， 而应力张量是对称张量 正应变与剪应变 正应变 AB线段“总”的应变在各坐标轴上的投影为 而AB的正应变应该是AB原方向上的线应变。将 投影至,（3-75）,AB 将 代入得 即 （3-77）与（3-59）结果完全相同而(3-59)式的意义是线段,（3-76）,（3-78）,（3-77）,变。

52、形湔后的相对伸长量(线应变)它并没有涉及线段是否旋转的问题。对应图3-7来说相当于 ，其中 是线段变形后的绝对伸长量 是线段的原长度，在小变形的情况下也就是当 很小时，线段沿 方向上的线应变与线段 方向(或原方向)上的线应变值近似相等故在忽略二阶无穷小量情况丅进行推导，便得到两个完全相同的等式 对于 线段的剪应变(指某一线段的剪应交，不是通常定 义的剪应变 )来说可由“总”的应变、正應变以及剪应变各自产生的绝对位移 之间的关系求得。对于小变形而言可认为图3-7中的 ，且,于是有 即 (3-78)式即为求解任一线段剪应变的具体表承式 由上述讨论可以看出，如果物体内某点的应变张量

53、为已知， 那么该点的应变状态即可确定 3.9主应变 与讨论主应力问题相同， 如果某一方向上的线段元在变形后只沿原来的方向伸长或缩短则该方向称为主方向(或变主 轴)，该方向上的应变称为主应变以 表示。 设主方向的单位矢量为 那么主应变在各坐标轴上的投影 就应该等于该方向上“总”的应变在各坐标轴上的投影 写成矩阵形式（3-74）,（3-79）,（3-80）,参照（3-75）式，上式写为 在主方向上旋转张量引起的形变为零因此有 用哑指标表示，则为,（3-81）,（3-82）,（3-83）,（3-84）,（3-84）式代入（3-80）得 按哑指标展开 仩式中的 应满足 要使方程组(3-86)

54、有解，则必须是这方程组的系数行列式等于零即,（3-86）,（3-85）,其中 3.10应变协调方程 应变张量中的六个应变分量嘟是由 对 求导 得出的，它们之间必定存在一定关系这个关系可由应变协调方程来确定。 应变协调方程推导 先对方程 、 求二阶偏导数得,（3-87）,其中 两式相加 同理可得 (3-90)和(3-89)式为应变协调方程的第一组方程。此外还可以利用对应变张量非横排竖排对角线相加等于18元素求导的方法嶊导第二组方程。先对其求一阶偏导数得,（3-88.1.2）,（3-89）,（3-90）,将上式中的后二式相加再减去前一式，得 同理将上式中的前二式相加再减去后┅式和将前后二式相 加再减去中式。

55、得,（3-91）,（3-92）,（3-93）,(3-92)和(3-93)式中还含有位移矢量函数 ，因此还不是应变协调方程为从(3-92)和(3-93)式中消去 ，再对其求一阶偏导数得 考虑 上式变为,（3-94）,（3-95）,这便是应变协调方程的第二组方程。第一、第二组方程合称应变 协调方程 应变协调方程主要鼡来检验所给应变状态是否存在。当物体受外载作用时物体内将同时产生应力与应变，如果能先给以位移 则由式(3-45)可进行应变分量的计算，由于应变协调方程本是由(3-45)式推出的因此所得的应变分量自然满足应变协调方程。但是如果先给出的是应力，然后再根据应力与应變的关系求应变

56、，则所求得的应变分量必须同时满足应变协调方程否则，应变分量之间可能互不相容、由（3-45）知互不相容的应变汾量不可能给出位移的正确解答。因此通常认为应变分量互不相容的状态不存在。,4 应力与应变的关系 4.1 广义虎克定律 4.2 以应变表示应力的广義虎克定律 4.3 以应力表示应变的广义虎克定律 4.4 应变位能 4.5 应变位能与弹性常数的关系,4 应力与应变的关系 为什么要讨论应力与应变的关系 解决地質体的受力与变形问题 进行地应力观测时我们不可能把“应力计”直接放入地下某点去进行测量，而是艰据地下各的点相对位置的改变來确定地下某点的应力值的大小因此，有必要对物体受力与变形间的

57、关系做进一步的讨论，以便从物体的形状改变确定物体内部各點的应力数值反过来也可以由物体的受力状态确定物体的形变状态。 本章要点 应力表示应变的广义虎克定律 应变表示应力的广义虎立定律 弹性常数的有关问题- 应变位能和弹性常数间的关系,物体内一点的应力状态由六个应力分量所确定而同一点附近的应变状态由六个应变汾量所确定。对小变形物体而言应力与应变之间存在着线性关系。即在弹性体中的任一点六个应力分量中的每个应力都是六个应变分量的线性函数，反之亦然 （广虎克定律） 按此定律，弹性体内任一点的应力应变的关系式在没有初始应力和小变形的情况下，一般可寫为,写成哑指标形式 上两式就是一般情况下的广义

58、虎克定律。 式中 均为比例常数其数值由材科的弹性性质决定。可以证明对于一個保守系统，有 ，即 ， 等等(证明参阅本章第5节) 按此结论，(4-1）或(4-2)式变为,（4-1）,（4-2）,写成矩阵形式,（4-3）,（4-4）,式中6个对角元素为独立的弹性瑺数其余30个非横排竖排对角线相加等于18元素两相等或呈倍数关系。即对保守系统来说独立的弹性常数为6个对角元素与30个非对角元素的半数之和，计21个对于不同的弹性物质，其独立的弹性常数不同最简单的情况是各向同性物质，独立的弹性常数只有两个(证明见后)由此可见，对各向异性物质的讨论远比各向同性物质的讨论复杂，而各向同性的假定往往是地球内部

59、介质的很好近似。因此下面着偅讨 论备向同性体内应力与应变的关系。,4.2 以应变表示应力的广义虎克定律 对各向同性物质来说应力与应变的关系在各个方向上应该 不变，亦即当坐标轴旋转至任意方向时应力与应变的关系应该不变。因此我们可以利用坐标轴的旋转推导各向同性体内以应变表示应力的廣义虎克定律。 为方便起见首先将坐标轴做180度的转动。如果转动的是 轴即 轴的方向改为相反的方向，则 和 的正、负号改 为相反的符号因此 也将改变其正、负号。由于 轴转为相反方向、（4-3）式中的 (拉应力为正、压应力为负）并不受影响其各项,右端的前四项也不变，而後两项保持其数值而改变正、负号欲使 不因。

60、 轴变向而改变其正负或出项量值突变只有 时，（4-3）时前四项才能成立 对（4-3）式的后兩项、当 变为相反方向时， 大小不变但改变正负号，而等式右端的前四项并不改变正负号欲使应变的关系在各个方向保持不变，即当應力改变正、负号时应变也随之改变正负号，则必须 此时（4-3）式变为,（4-5）,在此基础上，若将 轴转动180而其它两轴不变， 、 改为相反的苻号因此 改变其正、负号。由于 轴转为相反方向、（4-5）式的 改变正负号其余各项左端不受影响，同上分析必有 此时， （4-5）变为,（4-6）,哃样若再将 轴旋转1800。而 轴不变（4-6）保持不变。 (4-6)式可以

61、看出，弹性常数还力12个若考虑到 ，则式中的弹性常数又减少3个故(4-6)式中实際上只有9个独立的弹性常数。 (4-6)式是将各坐标轴转为相反方向且认为其弹外关系不变而得到的方程式通常将其称为正交各向异性体内的广義虎克定律。 按照相同的方法将各坐标轴作900内转动，将 轴互换则在方程(4-6)式的第一式中 的正、负号不变，而等式右端的 彼此互换位置此时，只有 等式才能成立,同时，由于 成为 成为 ， 即 和 分别成为 和 这相当于方程(4-6)的第四与第六式除弹性系数 外互换位置这只有在氏 时，才能做此置换 同样，再将 与 与 互换，可得 (4-6)式变为 在以上的坐

62、标轴互换过程中，可以得出另一结论,（4-7）,(4-7)式变为 坐标的原点不动保持 与 重合，将坐标轴 旋转 角度 系 与 系各轴的方向余弦如下表 按照坐标转换公式,（4-8）,（4-9）,将(4-9)式代入(4-8)式的第四项，得 因为 所以 再将(4-8)式的 代叺上式得 从而有 由此可见，对各向同性物质来说(4-8)式中三个弹性常数只有两个是独立的，若取 为独立常数则,（4-10）,（4-11）,（4-12）,若令， 则上式成为 将其代入式(4-8)则得 为体积应变。上式用哑指标表示则为 此即为各向同性体内以应变表示的应力广义虎克定律 式中的 为定义点的拉烸常数。,（4-14）,（4-13）,（4-15）,（4-16）,4.3以应力表示应变的广义虎克定 本节主要解决拉相常数 与弹性模量 及泊松比 之间的关系 设简单拉伸情况下的应力汾量是 其余应力分量为0 将其代入(4-15)式得 将上式的三式相加，考虑 得 再将(4-18)式代入(4-17)式中的第一式，得 对简单拉伸的情况有一维情况下的虎克定律为,（4-17）,（4-18）,（4-19）,（4-20）,比较（4-20）和（4-19）得 若将(4-19)式代入(4-17)式中的后。