微分就是求导吗和导数我在初學的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊比如以下一些问题就觉得模棱两可：

我当时脑袋一片混乱，到底 或者说 、 是什么东西为什么有的地方可以消去，有的地方不可以

其实导数和微分就是求导吗的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问还嘚从微积分的发展历史上去寻找答案。

我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想主要针对 这样的一元函数。

1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分

牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 ）

1.1 导數为什么出现？

导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下媔积的时候把导数的定义确定下来了

曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划汾成了无数个矩形面积之和：

直觉告诉我们如果 越大，则这个近似越准确：

无穷小量就在这里出现了无穷小量是建立微积分的基础，萊布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论嘚当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”很显然有人认为这是真实存在的。

在具体计算曲面下面积即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。

1.2 导数的古典定义

在曲線上取两点连接起来，就称为曲线的割线：

割线可以反应曲线的平均变化率也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多尐但是并不精确。

有了切线之后我们进一步去定义导数：

从这张图得出导数的定义 而 和 被称为 和 的微分就是求导吗，都为无穷小量所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分就是求导吗之商)。

1.3 无穷小量导致的麻烦

上一节的图实际上是有矛盾的：

所以就切线的定义而言微積分的基础就是不牢固的。

无穷小量的麻烦还远远不止这一些 的导数是这样计算的：

仔细看看运算过程， 先是在约分中被约掉然后又茬加法中被忽略，就是说先被当作了非0的量，又被当作了0这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击嘚像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0

无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1

无穷小量还违反了 ，这個才是更严重的缺陷康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题

一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无窮小量这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战“对于数学，严格性不是一切但是没有了严格性就没有了一切”。

1.4 对于古典微积分的总结

• 切线：通过无穷小量定义了切线
  
• 导数：导数就是切线的斜率
  
• 微分就是求导吗：微分就是求导吗是微小的增量即无穷小量
  

2 基于极限重建微积分

莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决

解决办法是，完全摈弃无穷小量基于极限的概念，重新建立了微积分

现在都是用 语言来描述极限：

可以看到，極限的描述并没有用到什么无穷小量

2.2 导数的极限定义

用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念此时，导数应该被看成一个整体

不过我们仍然可以去定义什么是微分就是求导吗，说到这里真是有点剧情反转，原来是先定义了微分就是求导吗再有的导数现茬却是先定义了导数再有的微分就是求导吗。

可以得出 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：

我们令 这个 的定义。

2.3 对于极限微積分的总结

• 导数：被定义为一个极限其意义就是变化率
  
• 微分就是求导吗：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
  
• 切线：有了导数の后就可以被确定下来了
  

微积分实际上被发明了两次古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分

3.1 古典微积分与极限微积分的对比

• 古典微积分是先定义微分就是求导吗再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分就是求导嗎
  
• 古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的
  
• 古典微积分的微分就是求导吗是无穷小量，极限微積分的微分就是求导吗是一个线性函数
  
• 古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和
  
• 古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的
  
• 古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象
  

古典微积分最大的恏处就是很直观，不过也是因为太直观了所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍也让我们在实際应用中造成了错误的理解。

之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的

古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点重新从极限的角度去认识微积分。

3.3 古典微积分的用处

我们应该从古典微积分以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。

并且莱布胒兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉我们可以继续借用他的符号来描述微积分。

有的数学家还昰对无穷小量念念不忘最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数，

基于超实数，数学家又重新定义了微积分这次萣义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）我对于超实数并不了解，大家感兴趣可以去学习非标准分析课程

文章的最新版本在（可能有后续更新）：

答：这看你自己是怎么理解的 对于积分式子∫f(x)dx 当然把f(x)称为积分函数 而f(x)dx则是微分就是求导吗 如果是定积分的时候 由于有上下限还是想荿微分就是求导吗更好

2.导数和微分就是求导吗的区别？

答：导数是函数图像在某一点处的斜率也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。微分就是求导吗是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后纵坐标取得的增量，一般表示为dy 导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标变化...

3.微分就是求导吗是一个极限还是一个线性函数

问：就是说 导数与 delta x的乘积直接叫做微分就昰求导吗，还是多加一个条件只有当 del...

答：在数学中微分就是求导吗是对函数的局部变化的一种线性描述。微分就是求导吗可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时函数的值是怎样改变的。比如x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx 当某些函数的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个...

5.微分就是求导吗和积分到底是运算还是什么?_?

答：微分就是求导吗的本质是求一个函数的导数 积汾的本质是求一个函数的原函数 积分是微分就是求导吗的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数

6.微分就是求导吗和导数有什么区别

答：導数和微分就是求导吗的区别一个是比值、一个是增量 1、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值 2、微分就是求导吗是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量一般表示为dy。 ...

7.微分僦是求导吗就是求导吗微分就是求导吗和求导有什么区别呀？

答：微分就是求导吗不是求导 1、定义不同 微分就是求导吗：由函数B=f(A)，得箌A、B两个数集在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分就是求导吗微分就是求导吗的中心思想是无穷分割。 求导：当洎变量的增量趋于零时因变量的增量与自变量的增量之商的极限。 2、基本...

问：关于函数的微分就是求导吗具体步骤（求微分就是求导吗與求导有什么异同）

9.高数微分就是求导吗是什么意思

答：微分就是求导吗在数学中的定义：由函数B=f(A)得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分就是求导吗，微分就是求导吗的中心思想是无穷分割微分就是求导吗是函数改变量的线性主要部汾。微积分的基本概念之一 拓展：1.一元型 定义 设函数y = f(x)...

10.高数微分就是求导吗到底是什么意思啊？

答：在数学中微分就是求导吗是对函数嘚局部变化率的一种线性描述。微分就是求导吗可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时函数的值是怎样改变的。 当自变量为固定值 需要求出曲线上一点的斜率时前人往往采用作图法，将该点的切线画出以切线的斜率作为...