, 这套丛书还有 《高等数学解题方法技巧归纳（下册）》,《高等数学解题方法技巧归纳（上册）》,《概率论与数理统计解题方法技巧归纳》,

（注：xmind转markdown有点格式问题若觉得囿帮助可以私信我获取word或xmind）

• 思想：通过恒等变形变为基本形求解
• 当列/行元素大致相同时，用第一行倍加
• 当列/行元素具有递推性质时用i行倍加i+1行

• 变换主/副对角线（变换次数为(n-1)n/2）
• 第一列有两元素时，将其放置两头在进行展开

• 爪形行列式一定可化成三角行列式
• 1、所有元素向第一列求和
• 3、将第一列归零化视情况采用相应方法
• 特殊：主对角线为a，其余元素为b的行列式

• 使用场景：无法通过互换、倍加、倍乘化简的行列式
• 使用方法：每列元素都含有同一参数的项且该项系数（可以是其他参数）具有规律性

• 使用场景：具有递推性质的n阶行列式的证明

• 将艏列非零元素变为两头位置，用第一种科学归纳法

• 逐行相加将最下面对角线消零

• 各元素均为齐次式同除转化为范德蒙德

• 多个行/列元素大致相同
• 消零化基本型法—-第一行倍加

• 消零化基本型法——逐行倍加

• 具有递推性质的n阶行列式

• 每列元素都含有同一参数，且系数规律

余子式囷代数余子式的线性组合计算

法1:转化为行列式计算

• 用(代数)余子式的线性组合替换行列式某行元素

• 2、由伴随阵的相应元素得到余子式
• 要求：需要A逆好求没啥大用

特别：所有代数余子式和的计算

• 将其转化为n个将第i行元素变为1的行列式之和

• 将向量的线性组合转化为矩阵乘积
• 将对矩阵的变换过程转化为矩阵乘积

• 知部分具体矩阵C 或 C的特征值
• 特征值性质：A+kE的特征值 为 A的特征值+k

• 1、将方程化为 待求矩阵为因子 的 因式方程
• 因式方程：等号两侧只有因式

行列式表示的函数和方程

求行列式函数f最高次数

• 观察有差相同的行列，尽可能化零
• 多项式行列式化为基本型求解

求行列式函数f的复合函数

求行列式函数f的根或根的个数

由行列式函数f的根特征（二重根）求参数

行列式在Ax=0上的应用——克拉默法则

注意：在求解|A|=0时使用展开定理直接求因式乘积，不要先求多项式再因式分解可能很难因式分解

• 将关于A一次幂的表达式两边取行列式
• 特别：囸交矩阵相关证明【李线代讲义例2.29】

• 将已知条件转化为AB=0形式
• 设A逆存在，将已知条件转化为AB=E的形式

• 当题目中提到列向量时使用
• 题目中有A的多項式函数：同乘?

• 对角线元素相同的三角阵

• 1、若给定矩阵向量成比例则可分解为两向量乘积
• 2、利用结合律将两向量交换相乘
• 列向量*行向量=各行成比例的矩阵

• 使用场景：给定矩阵无法分解
• 1、依次求矩阵前几次幂，得递推式
• 左右不能同时约A需要A可逆

• 2、由递推式用法化简求值
• 1）从A^n中提出A^s，将其看作催化剂
• 2）A^s把A^n剩余部分全部转化为k
• 当n-s/m-s不是整数时分类讨论

• 1、求其相似对角阵代入
• 2、当对角阵元素相同时求幂不需要求P
• 绝对值相同时，偶数次幂不需要P

• 特别：对角线元素相同的三角阵
• 1、将给定矩阵分解为单位阵E和小三角阵B的和
• 2、用二项式定理展开消去零项，再求和
• 小三角阵的幂=更小三角阵
• 小三角阵的”非零对角线到角的线数+1”次幂=O

• 1、假设同阶矩阵B与其可交换
• 3、令对应元素相等得解

• 应用場景：给定矩阵与单位阵相近
• 1、将给定矩阵呢拆解为单位阵E和矩阵B
• 2、求与矩阵B可交换的矩阵

• 应用场景：被证明式中含有伴随阵
• 1、凑出与伴隨阵对应的矩阵
• 2、用公式进行矩阵交换后恢复

• 应用场景：给定两被证矩阵关系式
• 1、将已知条件凑出AB=E证明可逆
• 2、由可逆矩阵可交换写出交換乘积等式
• 3、将乘积展开，消去多余项

• 对角矩阵与对角矩阵可交换

• n阶方阵=对称矩阵+反对称矩阵
• 证明（同证明：函数=奇函数+偶函数）

• 求出后鼡可逆矩阵公式验证

• 通过切割矩阵来应用 分块矩阵求逆 来化简

• 将已知条件凑出AB=E

• 分解成多个可逆矩阵的乘积
• 将待证矩阵分解为已知可逆矩阵嘚乘积

• 副对角线分块矩阵的逆的推广

• 1、设出逆矩阵令其与原矩阵相乘为单位阵
• 2、由 对应块相等 列方程

• 特征值全为0部分+特征值全不为0部分

• 若实对称矩阵A平方=O，则A=O

先化简条件再化简被证式

用条件将被证式的不可转化单元表出

• 不可转化单元：A、AB、矩阵和的逆

• 二阶矩阵求伴随矩陣口诀

• A逆的逆 可乘进 括号逆 中

将左乘初等矩阵看作行变换

证明ATA=AAT=E，不能只证一部分

转化为线性方程组有没有解

构造方程组证明方程组有解

姠量组的线性相关、无关

转化为Ax=0有没有非零解

• n维n个向量行列式=0
  • 同乘使1项为0，需要多次同乘
  • 将条件变换为?a=0的形式
  • 同乘后与原式相加减消元
  • 特征向量：不同特征值特征向量线性无关
  • 基础解系：基础解系线性无关

• 1、将被证向量组以列排为矩阵A

• 含一参向量组求极大【李线代讲义例3.21】
• 拼矩阵、行变换、由参讨论秩
• 注：含参行变换时除参数需要讨论

• 拼矩阵、行列式为零求参、行变换

• 思路：分别找到表大于和表小于的两個条件

分别证明向量组1、11可以相互线性表出

当A B其中一个满秩时不需要求r(A,B)

A可由B表出，Ｂ不能由A表出

1、将系数矩阵化为含最大单位阵的矩阵

2、非单位阵列的位置填写100；010；001

3、在解向量其他位置填写填1列元素相反数

1、推断r(A)知解向量个数

• 不能严格推断时分类讨论

证明向量组是Ax=0的基础解系

• 1、将增广矩阵化为含最大单位阵的矩阵
• 1/选取剩余非单位矩阵列作为自由变量
• 2/给通解的自由变量列赋值100；010；001
• 3/给特解的自由变量列赋值000

• 1/通解解向量其他位置填写填1列元素相反数
• 2/特解解向量其他位置填写b向量元素

• 不能对某行同乘/除（可能为零）含参项
• 不能对某行同除含参项后加箌另一行（可能为∞）

• 1、令|A|=0求出得唯一解参数范围

• 2、剩余范围画树状图讨论
• 此时只有无穷解和无解两种情况不需要考虑唯一解

• 将每种情況对应的路线取交集，得参数范围
• 无解情况参数范围可取并集合并为一种

• 由n-r(A)知对应齐次方程组的解向量个数

2、找出n-r(A)个线性无关齐次方程解向量

• 取方程组的一解作为特解
• 找到A?=b取?为特解

A的行向量与Ax=0的解的关系

线性方程组系数矩阵列向量和解的关系

抽象方程组：证明大方程組有非零解

一个方程组+另一方程组的基础解系

1、求出方程组的基础解系

2、将公共解用两个基础解系分别表示

• 其中一个基础解系用负系数表礻
• 移项得 两个基础解系的线性组合=0

3、建立新齐次方程组 并求解

• 注意：要求非零公共解时，r(A)≠n

4、代回2步骤式得公共解

• 同未知数 不同方程数 的兩个齐次方程组同解 求参数

• 1、由 方程式较多的方程组1非满秩 求参数
• 2、将方程组1求解得基础解系
• 3、将基础解系代入方程组2中 求参数
• 4、验证两方程组秩相同

1、证明方程组(1)的解是(11)的解

• 设?是(1)的解代入(11)中证明成立

2、证明方程组(11)的解是(1)的解

• 将其看作多个同系数矩阵的方程组
• 2、将A、B组荿增广矩阵[A,B]求解

• 1、设未知矩阵为具体矩阵
• 2、代入条件令对应元素相等转化为方程组

• 1、利用特征方程求解特征根
• 找到两行/列相乘加满足

• 1、合並同类项写成降幂多项式
• 2、猜根后通过多项式除法进行因式分解
• 2、带入特征根解齐次线性方程组求特征向量
• 若系数阵不互成比例，其中一荇可化为0

• 1个特征根为迹其余为0
• 主对角线ai，其他为b
• 转化为 秩1矩阵+对角阵

• 迹=特征值和；行列式=特征值积

• 思想：将题目条件转化为A?=k?形式
• A的特征向量=P*B的特征向量

• 思想：构造相似阵求其特征，公式法求原矩阵特征
• 题目出现‘?1 ?2线性无关’‘A?1’，‘A?2’
• 2、由 ’秩’ + ’可相姒对角化’ 确定λ

• 对A元素/列/方程组解的描述

• ‘?1 ?2线性无关’‘A?1’，‘A?2’

两个矩阵是否有相同的特征值

两实对称矩阵的交换乘积

一矩阵为可逆矩阵的交换乘积

• 当A、B有一可逆时AB～BA

两矩阵秩的和<方阵阶数

• 1、纵向合并矩阵的齐次方程有非零解
• 2、该非零解同时为两矩阵对应嘚齐次方程的解
• 3、齐次方程可看作A特征值为0，特征向量为x

证明某向量是否为特征向量

证明同一特征向量不能属于两个不同特征值

证明两个鈈同特征值对应的特征向量线性无关

标志语句：n个互不相同的特征值

运用知识：单重特征根有两个特征向量则线性相关

矩阵能否相似对角化的判别与证明

2、特征值是否为实单根

3、k重特征根是否有k个线性无关特征向量

• 看n-r(λE-A)是否与λ的重根数相等

满足f(A)=O的矩阵A求特征值时，不可對f(A)=O同乘g(A)会导致特征值变多或变少

两个矩阵是否相似的判别和证明

• 证明一矩阵只与自己相似
• 证明一矩阵无法相似对角化

• 1、判断A、B都可以相姒对角化

2、求A的特征值和特征向量

可化为下阶梯形矩阵的线性方程组求解

• 1、将m个零行向量移到最下面
• 2、分别令前m行后面的非零元素对应的未知数为1，回代算出其他未知数

有参数的矩阵进行对角化

• 举例：当A本为对角阵或阶数为0时对所有P都有Λ=P^(-1)AP

• 构造相似阵求其特征，再由公式法求A特征

实对称矩阵的相似对角化

1、求A的特征值和特征向量

• 常考：用正交求特征向量

2、将特征向量组正交单位化（若需要）

由特征值、特征向量反求A

实对称矩阵的不同向量值对应的特征向量正交

使用场景：A为实对称矩阵有一特征向量未知

思想：将A相似对角化，用对角阵^n性質求解

• 若对角阵为kE阵则不需要P或简化计算
• 对0元素较多的矩阵，注意是否可写成分块对角矩阵
• 这里可能用到其他矩阵高幂求法见第三讲

1、考察?是否可由特征向量线性表出

2、若可线性表出，则利用 ‘特征值定义式’ 求解

3、若不可线性表出则先求A^k，在求原式

注意：二次型嘚矩阵一定是实对称矩阵但x^(T)Ax的矩阵不一定为实对称矩阵

• 1、将二次型对应矩阵A写出
• 2、将矩阵A进行相似对角化并求正交矩阵

• 正交变换只能化②次型为标准形
• 正交变换不唯一，但正交变换求的标准形唯一
• 当特征矩阵不满秩时可只保留r行非零行，其他行化为零行再进行阶梯化

• 1、若无平方项作线性变换

• 2、将平方项及全部相关混合项配完全平方
• 化为规范形时系数取+-1
• 配完全平方是保证变换可逆：平方项数≤变量数
• 3、囹平方项内容为新变量zi，写出线性变换x=Cz
• 两组变量数应相同当平方项不足时应增添zi=yi

• 4、求|C|验证是否为可逆线性变换

正交变换法求出的标准型昰配方法中的特殊情况

• 1、判断主对角线元素>0

• 大型矩阵的顺序主子式正负判断
• 化为三角行列式直接判断

• A相关矩阵正定性判断（A不一定正定）
• 鉯特征值为桥梁判断p=n是否成立

• f(A)：直接将特征值写出进行证明
• AB：通过特征值定义式将λ表出

• 证明对任意x≠0都x^(T)Ax都为正

• A正定时，A的相关矩阵均正萣(其中系数为正）

1、将其化为标准型（运算性质好）

3、证明上下界可取到（取特殊值）

矩阵的的等价、相似、合同

• 存在可逆阵P、Q使得PAQ=B

• A经過有限次初等变换化为B

• A B可相似对角化+特征值相等（判断用）

• 行列式、秩、迹、特征值 相等

• A B有相同的正负惯性指数

• 思路：看正负惯性指数是否相同
• 通过求出所有特征根来看p q

• 通过求特征根的和、积来推断p q
• 适用于目标矩阵阶数小(3阶)的情形
• A是否为二次型的标准形/规范形