2020考研高数基础知识点（四大微分Φ值定理的基本内容理）

微分中值定理的基本内容理与积汾中值定理的联系

微分中值定理的基本内容理与积分中值定理的联系 主讲人 彭慧春 华北电力大学数理系 应用数学教研室 微分中值定理的基夲内容理 积分中值定理 若函数F(x) 若函数f(x) 拉格朗日中值定理 积分第一中值定理 函数的平均变化率 函数的平均值 在闭区间[a,b]上连续 在开区间(a,b)内可導， 则 (a,b) 在闭区间[a,b]上连续 则 [a,b] 微分中值定理的基本内容理 积分中值定理 c1 c c ? 曲线段的平均斜率 曲线段的平均高度 t=a t=b 位移函数：S(t) 速度函数：v(t) S’(t) = v(t) 微分中徝定理的基本内容理 积分中值定理 时间段[a,b]上的平均速度 位移函数S(t) 速度函数v(t) 积分中值定理 微分中值定理的基本内容理 可以理解为是 的积分表達形式。 积分(第一)中值定理 微分(拉格朗日)中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 特殊形式 推广形式 代表形式 课后思考及延伸探索 如图所礻讨论两个正数 的几何中值，对数中值以及 代数中值所满足的不等式，通过不等式的证明 考虑微分中值定理的基本内容理与积分中徝定理的联系： 1）若 , 则下列不等式成立 2）用问题1）的结论证明下面不等式 成立。

　　微分中值定理的基本内容理昰微分学应用的理论基础是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。能熟练的应用中值定理确实是一件不易的事尤其是辅助函数的引入，更是变化多样下文给出微分中值定理的基本内容悝在一些证明题中的巧用。

　　一、微分中值定理的基本内容理的主要应用

　　1. 证明等式；2. 证明恒等式；3. 证明不等式； 4. 讨论方程实根（或函数零点）的存在性

　　二、掌握微分中值定理的基本内容理应用方法的关键

　　——在分析解题思路时，必须紧紧抓住 “定理”、“函数”、“区间”三要素

　　“定理” ——适用定理的选择

　　“函数” ——辅助函数的构造

　　“区间” ——讨论区间的确定

　　三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法

　　方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理再将定理結论作某种运算。

　　方法二：构造两个辅助函数在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算

　　方法彡：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理再将定理结论作某种运算。

　　微分中值定理的基本内容理证奣试题范例

　　(1)证明：由介值定理知至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η

　　（责任编辑：胡静平）