相同的z变换表达式，为什么会有不同的拉普拉斯变换收敛域与极点

点击联系发帖人 时间：2020-12-14 05:13

拉普拉斯变换收敛域与极点

数学系和工科生都会学到数学系学的更严谨一些、更丰富一些（包括群上的Fourier分析）。工科生不太重视严格性比如哪些函数类能做Fourier变换，做了Fourier变换了以后又在什么函数類分享一篇文章作为参考

当然，过于严谨可能会掩盖某些本质追根溯源，Fourier变换有西方“分析主义”的感觉物质分解为分子，分子分解为原子水的化学式H2O，氢原子占多少氧原子占多少，透过化学式一目了然一个周期函数，展开为Fourier级数低频分量占多少，高频分量占多少一目了然。Fourier变换同理工程角度，这为后续的高频滤波、低频滤波打好铺垫一句话，“用简单近似代替复杂”

对信号做Fourier变换動机是将信号分解为正弦、余弦波的叠加（连续求和—定积分），这种分解还是“正交分解”（严格地说是对一类性质较好的信号。有“内积”才能定义“正交”思考一下怎么定义函数之间的“内积、正交”？）对比高中所学，力的正交分解、向量的正交分解都成竝着“勾股弦定理”，自然期望“信号的正交分解”也有“勾股弦定理”回答是肯定的，那就是Fourier级数的“Parseval等式”可看成是无穷维空间嘚勾股弦定理。学一点泛函分析会理解得更好

无论如何，作为通信工程毕业的个人还是觉得数学系的Fourier变换理论（包括广义函数的Fourier变换）意义深远（比如，一本书中说Fourier变换是开发对称性的工具）理论自洽，自圆其说值得一看。至于z变换理论实际就是复变函数的Laurent级数悝论，双边信号的z变换就对应着Laurent级数的正、负幂次项

再推荐几本国内教材，两位数学家写的其中一位讲过“高等数学”，其中一位是泛函分析专家这位应用数学系老师在九十年代写的一本书，内容全面包括Fourier分析、泛函分析、自适应算法、模式识别、同态滤波、神经網络。

关肇直. 信号分析与处理[M].
柳重堪. 信号处理的数学方法[M]. 东南大学出版社, 1992.
关肇直, 王恩平. Z-变换与拉普拉斯变换[M]. 国防工业出版社, 1983.
关肇直. 沃尔什函数与沃尔什变换[M]. 1984.

}

z变换是将离散时间信号的傅里叶變换一般化的结果
参照连续时间信号与系统拉普拉斯变换和傅里叶变换
对于所以的序列或者所以的z值z变换并不总是收敛
对任意给定的序列，使z变换收敛z值集合叫做收敛集合
①式的幂级数将在z平面上的一个环形区域中收敛
不同的序列可能有相同的z变换表达式，但拉普拉斯變换收敛域与极点却不同
只有当z变换的表达式与拉普拉斯变换收敛域与极点都相同时，才能判断两个序列相等

}

我爱游戏网