如图,棱长为2的正四面体棱切球ABCD(所有棱长均相等的三棱锥)中E.F为AB和DC的中点 1

点击联系发帖人 时间：2020-11-16 07:53

正四面体棱切球

如图在四面体ABCD中，已知所有棱長都为a点E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求线段EF的长；（EF是两异面直线AB与CD的公垂线）；
（2）求异面直线BC、AD所成角的大小．

∴EF是等腰△ECD底边上的高，EF⊥CD

（2）取AC中点H，连EH、FH则θ=∠EHF是BC、AD所成的角，
由余弦定理得cosθ=

（1）连CE、DE在等边△ABC中，求出EC与D从而得到EF是等腰△ECD底边上的高，根據勾股定理可求出所求；
（2）取AC中点H连EH、FH，根据异面直线所成角的定义可知∠EHF是BC、AD所成的角然后利用余弦定理可求出异面直线BC、AD所成角的大小．

点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．

本题主要考查了异面直线的距离，以及异面直线所成角同时考查了转化與划归的思想，计算能力和推理能力属于中档题．

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已知有关正三角形的一个结论：“在正三角形ABC中若D是BC的中点，G是三角形ABC内切圆的圆心则

=2”．若把该结论推广到正四面体棱切球（所有棱长均相等的三棱锥），则有结論：“在正四面体棱切球ABCD中若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面体棱切球ABCD内切球的球心则

推广到空间，则有结论：“ 设正四面体棱切球ABCD邊长为1易求得AM=

，又O到四面体各面的距离都相等
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r

类比平面几何结论，推广到空间则囿结论：“

=3”．设正四面体棱切球ABCD边长为1，易求得AM=

又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心设内切球半径为r，则囿r=

可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．

本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识考查运算求解能力，考查空间想潒力、化归与转化思想．属于基础题．

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