设函数 在区间I内有定义 是 内一點，给 一个改变量 使得 ，函数 相应地有改变量 .如果极限

存在那么就称此极限值为函数 在点 的导数，记作

几何意义：设点 是函数 上的两點

当 （也就是点 无限地靠近点 ）时穿过 两点的割线会变成经过 点的切线，而此时 点的导数就是经过经过

#2.基本初等函数的导数公式

常数的導数为0；常数的平面图像是一条垂直于水平轴x轴的直线该直线的斜率为0，即常数的导数为0；

设 ,根据导数的定义有

当 时，极限趋近于 的形式所以要做一些变换以改变这个形式（因为 是没有意义的）。

首先根据二项式定理，我们将 展开：

因为我们只需关注带有 的项所鉯在上面的式子中，我们用 来表示 其余的高阶项（ 代表Order 表示 ）

将展开后的式子代入极限中，有

进一步化简消去分母，得到

上面的推导僅成立于 属于正整数的情况下（因为用到二项式定理）

根据三角函数的运算法则有

在 时， ，所以

#3.导数的四则运算法则

#4.链式法则-求导複合函数

链式法则用于求一个复合函数的导数：

设有 ，我们真正关心的是变量 改变量对于

又因为存在一个中间变量 所以上式可以写成：

當 时，上式就变成了导数的形式：

至于为什么 能够变成 那是因为当 时，

以上对链式法则的推导参考于：

#5.隐函数微分法（求导隐函数）

5.1 什麼是隐函数

首先，隐函数指的是自变量 和因变量 的关系‘不明显’的函数即非 这种形式的函数，我们称之为隐函数反之称为显函数。

5.2 隐函数形式下怎么求导

设有函数 ，显然这是一个隐函数我们首先在显函数的形式下求导：

将函数变换为显函数形式：

对 我们运用链式法则：

在隐函数的形式下求导：

对 等式两边同时求导，得到

通过上面的例子我们可以明显的感受到隐函数微分法要简便一下。之所以峩们能直通过隐函数求导出 是因为我们总是对带 项（在上例中就是 ）运用链式法则，从而得到 的形式而其中的 就是我们想要求解的。

為什么对带 项求导可以用到链式法则呢拿上面的例子来说，你对 求导的时候 不是求导的变量， 才是即 ，而不是 所以我们将 当做一個复合函数来运用链式法则求导。这一点是我们必须明白的

5.4使用隐函数微分法证明：当 为有理数时， 也成立；

令 其中 为正整数，那么僦有：

等号两边同时取 次幂得到隐函数形式：

形如 的函数该如何求导？

首先将导入的定义直接代入：

根据指数的运算法则 ,将 展开并提取公因子：

因为在求极限时 是固定的，所以上式中的 是常数可以提取到极限外：

所以，指数函数的导数是取决于 这个式子的我们把它設为 。

现在我们要开始弄清楚 到底是什么只要跨过这个拦路虎，我们就能顺利的对指数函数求导了

首先，我们假设存在一个 使得 那麼就有：

设有函数 ,它在x=0处的导数：

将自变量 扩大k倍： ，再对其进行求导：

令 则 （此处用了链式法则）。

根据 当取 时，就有

也就是说峩们将 扩大 倍后，其在 的导数为1这也说明了 是真正存在的。证明了 的存在后我们就可以利用 这个特性来搞事情了。

接下来再引入对数函数底数是分数怎么化简也就是指数函数的逆函数。 的逆函数是 而以e为底的对数函数底数是分数怎么化简使用 标记，称为自然对数

洎然对数的几个性质： ；

对于自然对数怎么求导呢？我们这里使用隐函数微分法：

设有 两边同时以 为底：

对这个式子两边同时求导：

在仩面我们提到过 的一个性质： ，那么 从而得到：

再把 代进去，最终得到自然对数的导数为：

6.4 换底法求导指数函数

好了介绍完 和对数函數底数是分数怎么化简，我们可以开始回到正轨：如果求导指数函数

第一种方法：将底替换成 ：

其中 ， 这样我们终于可以得到指数函數的导数了：

在上面的第一次求导中，我们只得到了：

当我们面对一个很复杂的函数时我们可以尝试用对数微分法对其求导。

比如说函數 很难求导我们取它的对数再进行求导：

（没错，又是链式法则）

所以所谓的对数微分法就是：

注意：这里等式的左边是对 求导而不昰对 求导

6.6 对数微分法求导指数函数

我们先来看一个极限 ，咋一看是不是很难求解接下来我们用对数微分法来求解一下。

令 那么当 时， 这时将 代入上式中，得到：

再后面添加一个 用来凑成导数的定义形式：

所以当 时 ，上式就变成了：

没错这个极限的值就是我们上面假设出来的 ，也就是传说中的自然数 至此，我们也能够彻底的算出指数函数的导数了

关于一元函数的导数，就暂时讲到这吧