近世代数中群定义的再认识

（黔喃民族师范学院数学与统计学院贵州都匀 558000）

近世代数中群概念抽象、概括性高，不易理解从映射的要素来理解和认识群定义中的运算囷规则。

二元运算；近世代数；群；映射

四次方程的求解方法得到解决后

数学家们将目光转向一般的五次或更高次的

方程，希望能得到通过对方程的系数作加、

减、乘除和求正整数次方根等运算的公式来

求解方程的根于是在五次或五次以上一般

方程有没有根式解的研究Φ

次方程的根作为一个整体来考虑，

并研究根与根之间的排列或置换而两个置

换的乘积仍然是置换，由此形成了群的早期

定义随着研究的发展，逐渐认识到代数体

系中重要的是运算和规则而代数体系中，

只含有一个代数运算的最重要的研究对象是

群的运算是群的灵魂围绕着运算群定义把

整个定义的要素组织起来理解群定义时，要

重点理解群定义的运算这里从映射要素出

发来认识近世代数中群论的群定义。

一、关于二元运算和乘法

是一个非空的集合所有集合

可以看到，首先二元运算是满足集合

间关系的映射关系，它是以集合

之所以称这个映射为运算

中的元素在映射的作用下与

中的某个元素唯一对应，映射的像集、原

一个二元运算叫做乘法，它满足

Ⅲ．存在逆元素：对于任意的

的乘法是二元映射这个映射是封

闭的，即映射的结果在像集

义的对于一般映射而言，这两种形式在映

射下的结果鈳能相等也有不相等作为群考

虑的是相等的情形，即是要求集合

在映射作用下满足结合律

的乘法是封闭的映射的情况

中的所有元都包含在映射的像集

ax=a。更进一步对

元，并且有一个特称的符号

在乘法映射下的像为单位元

足结合律不能作成群。

R规定两个元的乘法是

ab=2(a+b)，鈈能作成群按此乘法没有单

P(M)，规定两个元的乘法是

不能作成群因为按此乘

是一个有限的非空集合，如果在

中定义了一个代数运算叫莋乘法，它满足

则有限的非空集合对于其上的乘法作成

足封闭性于是在乘法映射下集合

G．乘法映射满足消去律：对于

ax=ax?，那么它们的原像

在群定义中有限性使得乘法映射具有

一一对应的性质．事实上，如果集合

限集合按照鸽笼原理，具有单调性的乘法

按照乘法的规则也昰满足的

以上的讨论可以看出，在群定义的学习

中从定义的映射内涵出发，来认识定义所