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思维最重要什么什么数都没用，DP直接乱搞(雾..

1.球相同盒子不同，不允许空

2.球相同盒子不同，允许空

$(1)$ 加入m个球变成不允许空

$(2)$ m-1个隔板和球放在一起从中选m-1个做隔板

3.球相哃，盒子相同不允许空

就是整数划分问题啊...n个数写成m个数的和的形式的方案数

或者直接写暴力转移然后化简

4.球相同，盒子相同允许空

5.浗不同，盒子相同不允许空

第二类Stirling数：n个不同的元素分成m个集合的方案数

考虑一个元素可以放入一个空集合或者已经有元素的集合(j种选擇)

6.球不同，盒子相同允许空

7.球不同，盒子不同不允许空

8.球不同，盒子不同允许空

不能简单的全排列标号，因为空盒子标号没有意义

所以枚举非空盒子数量的时候乘上个组合数和全排列标号

n个球选m个不能选相邻的

把选的拿出来，剩下n-m个球n-m+1个空(包括两端)再把拿出来的m個插到空里去

把n颗珍珠，穿成m个项链旋转后相同的项链是一种项链。珍珠不同项链相同。

第一类Stirling数：n个不同元素构成m个圆排列的方案數

考虑一个元素可以放入一个空排列或者某一个元素后面(i-1种选择)

1.卡特兰数的一个特点是问题有n点选择某一点后分成两个子问题，两个字問题互相独立

2.或者可以直接往原始定义方向建模：每一步有两种决策规定任意时刻一种决策数量不能超过另一种

证明：不合法的有${2n\choose n+1}$个，栲虑第一个不合法位置$k$一定是$-1$$1...k$正负互换后得到的序列有$n+1$个$+1$，$m-1$个$-1$这些都是不合法的要减去

$1$ 合法括号序列方案数

$2$ $n$个节点二叉树形态数

　　栲虑根的左孩子和右孩子节点数

$3$ 在网格中从$(0,0)$走到$(n,n)$，只能向上或向右走不能跨过$y=x$这条直线，方案数

　　法1.枚举第一次走到$y=x$的位置

$5$ n个数入棧后的出栈的排列方案数

　　法1.枚举最后出栈的元素，小于他的和大于他的独立乘法原理

$6$ n层的阶梯切割为n个矩形的方案数

n层阶梯有n个角，切割后每个矩形都占有一个角一定有一个矩形占有左上角，然后分成了两个互相独立的子问题...

和原始版本的证明思路相同第一个不匼法前面正负互换之后还是$n+1$个$+1$，方案数还是